Теорема о булевом простом идеале

В математика, то Теорема о булевом простом идеале утверждает, что идеалы в Булева алгебра может быть расширен до главные идеалы. Вариант этого утверждения для фильтры на множествах известен как лемма об ультрафильтрации. Другие теоремы получаются путем рассмотрения различных математических структур с соответствующими понятиями идеалов, например, кольца и простые идеалы (теории колец), или распределительные решетки и максимальный идеалы (из теория порядка ). Эта статья посвящена теоремам о простых идеалах из теории порядка.

Хотя различные теоремы о первичных идеалах могут показаться простыми и интуитивно понятными, они не могут быть выведены в целом из аксиом Теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора (сокращенно ZF). Вместо этого некоторые из утверждений оказываются эквивалентными аксиома выбора (AC), в то время как другие - например, теорема о простом булевом идеале - представляют свойство, которое строго слабее, чем AC. Именно из-за этого промежуточного статуса между ZF и ZF + AC (ZFC) теорема о булевом простом идеале часто используется в качестве аксиомы теории множеств. Аббревиатуры BPI или PIT (для булевых алгебр) иногда используются для обозначения этой дополнительной аксиомы.

Теоремы о простых идеалах

An заказать идеальный является (непустым) направленный нижний набор. Если рассматриваемый частично заказанный набор (poset) имеет двоичный супрема (a.k.a. присоединяется ), как и множества в этой статье, то это эквивалентно характеризуется как непустое нижнее множество я который закрыт для двоичной супремы (т.е. Икс, у в я подразумевать Икс ${ displaystyle vee}$ у в я). Идеальный я является простым, если его теоретико-множественное дополнение в ч.у.м. фильтр. Идеалы правильны, если они не равны всему изм.

Исторически первое утверждение, относящееся к более поздним теоремам о простых идеалах, на самом деле относилось к фильтрам - подмножествам, которые являются идеалами относительно двойной порядок. Лемма об ультрафильтрах утверждает, что каждый фильтр в наборе содержится в некотором максимальном (собственном) фильтре - ультрафильтр. Напомним, что фильтры на множествах являются собственными фильтрами булевой алгебры ее powerset. В этом особом случае максимальные фильтры (то есть фильтры, которые не являются строгими подмножествами какого-либо надлежащего фильтра) и простые фильтры (то есть фильтры, которые с каждым объединением подмножеств Икс и Y содержат также Икс или же Y) совпадают. Таким образом, двойственность этого утверждения гарантирует, что каждый идеал набора мощности содержится в простом идеале.

Вышеприведенное утверждение привело к различным обобщенным теоремам о простых идеалах, каждая из которых существует в слабой и сильной формах. Слабые теоремы о простых идеалах заявляют, что каждый нетривиальный алгебра определенного класса имеет хотя бы один первичный идеал. В отличие, сильные теоремы о простых идеалах требуют, чтобы каждый идеал, не пересекающийся с данным фильтром, мог быть расширен до простого идеала, который все еще не пересекается с этим фильтром. В случае алгебр, которые не являются посетами, вместо фильтров используются разные подструктуры. На самом деле известно, что многие формы этих теорем эквивалентны, поэтому утверждение о том, что «PIT» выполняется, обычно принимается как утверждение, что соответствующее утверждение для булевых алгебр (BPI) верно.

Другой вариант подобных теорем получается заменой каждого вхождения главный идеал к максимальный идеал. Соответствующие теоремы о максимальном идеале (MIT) часто - хотя и не всегда - сильнее их эквивалентов в PIT.

Теорема о простом булевом идеале является сильной теоремой о простом идеале для булевых алгебр. Таким образом, формальное заявление:

Позволять B - булева алгебра, пусть я быть идеалом и пусть F быть фильтром B, так что я и F находятся непересекающийся. потом я содержится в некотором простом идеале B это не пересекается с F.

Слабая теорема о простом идеале для булевых алгебр просто утверждает:

Каждая булева алгебра содержит простой идеал.

Мы называем эти утверждения слабыми и сильными. BPI. Они эквивалентны, поскольку сильный BPI явно подразумевает слабый BPI, а обратная импликация может быть достигнута путем использования слабого BPI для нахождения простых идеалов в соответствующей фактор-алгебре.

BPI можно выразить по-разному. Для этого напомним следующую теорему:

Для любого идеала я булевой алгебры B, следующие эквиваленты:

я это главный идеал.
я является максимальным идеалом, т.е.для любого собственного идеала J, если я содержится в J тогда я = J.
Для каждого элемента а из B, я содержит ровно один из {а, ¬а}.

Эта теорема является хорошо известным фактом для булевых алгебр. Его двойник устанавливает эквивалентность основных фильтров и ультрафильтров. Обратите внимание, что последнее свойство фактически самодвойственно - только предварительное предположение, что я идеал дает полную характеристику. Все следствия этой теоремы можно доказать в ZF.

Таким образом, следующая (сильная) теорема о максимальном идеале (MIT) для булевых алгебр эквивалентна BPI:

Позволять B - булева алгебра, пусть я быть идеалом и пусть F быть фильтром B, так что я и F не пересекаются. потом я содержится в некотором максимальном идеале B это не пересекается с F.

Обратите внимание, что требуется «глобальная» максимальность, а не только максимальность относительно того, чтобы не пересекаться с F. Тем не менее, эта вариация дает еще одну эквивалентную характеристику BPI:

Позволять B - булева алгебра, пусть я быть идеалом и пусть F быть фильтром B, так что я и F не пересекаются. потом я содержится в каком-то идеале B который является максимальным среди всех идеалов, не пересекающихся с F.

Эквивалентность этого утверждения BPI легко установить, если обратить внимание на следующую теорему: для любого распределительная решетка L, если идеал я является максимальным среди всех идеалов L которые не пересекаются с заданным фильтром F, тогда я это главный идеал. Доказательство этого утверждения (которое снова можно провести в теории множеств ZF) включено в статью об идеалах. Поскольку любая булева алгебра является дистрибутивной решеткой, это показывает желаемую импликацию.

Теперь легко увидеть, что все приведенные выше утверждения эквивалентны. Идя еще дальше, можно использовать тот факт, что двойственные порядки булевых алгебр являются в точности самими булевыми алгебрами. Следовательно, если взять эквивалентные двойственные ко всем предыдущим утверждениям, мы получим ряд теорем, которые в равной степени применимы к булевым алгебрам, но где каждое вхождение идеальный заменяется на фильтр. Стоит отметить, что для частного случая, когда рассматриваемая булева алгебра является powerset с подмножество упорядочивая, "теорема о максимальном фильтре" называется леммой об ультрафильтрации.

Подводя итог, для булевых алгебр, слабая и сильная MIT, слабая и сильная PIT, а также эти утверждения с фильтрами вместо идеалов эквивалентны. Известно, что все эти утверждения являются следствием Аксиома выбора, AC, (простое доказательство использует Лемма Цорна ), но не может быть доказано в ZF (Теория множеств Цермело-Френкеля без AC), если ZF последовательный. Тем не менее, BPI строго слабее, чем выбранная аксиома, хотя доказательство этого утверждения принадлежит Дж. Д. Халперну и Азриэль Леви довольно нетривиально.

Дальнейшие теоремы о простых идеалах

Прототипные свойства, которые обсуждались для булевых алгебр в предыдущем разделе, можно легко изменить, включив в них более общие решетки, Такие как распределительные решетки или же Гейтинговые алгебры. Однако в этих случаях максимальные идеалы отличаются от простых идеалов, и связь между PIT и MIT не очевидна.

В самом деле, оказывается, что MIT для дистрибутивных решеток и даже для гейтинговых алгебр эквивалентны выбранной аксиоме. С другой стороны, известно, что сильная PIT для дистрибутивных решеток эквивалентна BPI (то есть MIT и PIT для булевых алгебр). Следовательно, это утверждение строго слабее выбранной аксиомы. Кроме того, обратите внимание, что алгебры Гейтинга не являются самодуальными, и поэтому использование фильтров вместо идеалов приводит к различным теоремам в этом случае. Удивительно, но MIT для двойников гейтинговых алгебр не сильнее BPI, что резко контрастирует с вышеупомянутым MIT для гейтинговых алгебр.

Наконец, теоремы о простых идеалах существуют и для других (не теоретико-порядковых) абстрактных алгебр. Например, MIT для колец подразумевает аксиому выбора. Эта ситуация требует замены теоретико-порядкового термина «фильтр» другими понятиями - для колец подходит «мультипликативно замкнутое подмножество».

Лемма об ультрафильтрации

Фильтр на комплекте $Икс$ непустой набор непустых подмножеств $Икс$ замкнутое относительно конечного пересечения и надмножества. Ультрафильтр - это максимальный фильтр. Лемма об ультрафильтрах утверждает, что каждый фильтр на множестве $Икс$ является подмножеством некоторых ультрафильтр на $Икс$ .^[1] Ультрафильтр, не содержащий конечных множеств, называется «неглавным». Лемма об ультрафильтрах и, в частности, существование неглавных ультрафильтров (рассмотрим фильтр всех множеств с конечными дополнениями) могут быть доказаны с использованием из Лемма Цорна.

Лемма об ультрафильтре эквивалентна булевой теореме о простом идеале, эквивалентность которой доказывается в теории множеств ZF без аксиомы выбора. Идея доказательства состоит в том, что подмножества любого множества образуют булеву алгебру, частично упорядоченную по включению, и любая булева алгебра может быть представлена как алгебра множеств с помощью Теорема Стоуна о представлении.

Если набор $Икс$ конечна, то лемма об ультрафильтре может быть доказана из аксиом ZF. Это больше не верно для бесконечных множеств; дополнительная аксиома должен предполагаться. Лемма Цорна, то аксиома выбора, и Теорема Тихонова все можно использовать для доказательства леммы об ультрафильтрах. Лемма об ультрафильтре строго слабее выбранной аксиомы.

Лемма об ультрафильтрации имеет много приложения в топологии. Лемму об ультрафильтрации можно использовать для доказательства Теорема Хана-Банаха и Теорема александра о суббазе.

Приложения

Интуитивно теорема о булевых первичных идеалах утверждает, что в булевой алгебре «достаточно» простых идеалов в том смысле, что мы можем расширить каждый от идеального до максимального. Это имеет практическое значение для доказательства Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр, частный случай Каменная двойственность, в котором набор всех простых идеалов снабжен определенной топологией и действительно может восстановить исходную булеву алгебру (вплоть до изоморфизм ) из этих данных. Более того, оказывается, что в приложениях можно свободно выбирать, работать ли с простыми идеалами или с простыми фильтрами, потому что каждый идеал однозначно определяет фильтр: набор всех булевых дополнений его элементов. Оба подхода можно найти в литературе.

Многие другие теоремы общей топологии, которые, как часто говорят, основаны на выбранной аксиоме, на самом деле эквивалентны BPI. Например, теорема о том, что произведение компактных Хаусдорфовы пространства компактно эквивалентно ему. Если исключить «Хаусдорф», мы получим теорема эквивалентно полной аксиоме выбора.

В теория графов, то Теорема де Брейна – Эрдеша еще один эквивалент BPI. В нем говорится, что если для данного бесконечного графа требуется хотя бы некоторое конечное число $k$ в любом раскраска графика, то у него есть конечный подграф, который также требует $k$ .^[2]

Не слишком известное применение теоремы о булевом простом идеале - это существование неизмеримое множество^[3] (обычно приводится пример Виталий набор, что требует аксиомы выбора). Из этого, а также того факта, что BPI строго слабее, чем выбранная аксиома, следует, что существование неизмеримых множеств строго слабее, чем выбранная аксиома.

В линейной алгебре теорема о булевом первичном идеале может использоваться для доказательства того, что любые два базы данного векторное пространство имеют то же самое мощность.

Смотрите также

Список тем по булевой алгебре

Примечания

^ Халперн, Джеймс Д. (1966), "Основы в векторных пространствах и аксиома выбора", Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 17 (3): 670–673, Дои:10.1090 / S0002-9939-1966-0194340-1, JSTOR 2035388.
^ Läuchli, H. (1971), "Раскраска бесконечных графов и теорема булевого простого идеала", Израильский математический журнал, 9: 422–429, Дои:10.1007 / BF02771458, МИСТЕР 0288051.
^ Серпинский, Вацлав (1938), "Добавки, не содержащие добавки, добавки и функции, не подлежащие измерению", Fundamenta Mathematicae, 30: 96–99

Теорема о булевом простом идеале - Boolean prime ideal theorem

Содержание

Теоремы о простых идеалах