Идеал (теория порядка) - Википедия - Ideal (order theory)

В математический теория порядка, идеальный является специальным подмножеством частично заказанный набор (посеть). Хотя этот термин исторически произошел от понятия кольцо идеальное из абстрактная алгебра, впоследствии оно было обобщено на другое понятие. Идеалы имеют большое значение для многих построек по порядку и теория решетки.

Основные определения

Подмножество я частично упорядоченного множества (п, ≤) является идеальный, если выполняются следующие условия:^[1]^[2]

я является непустой,
для каждого Икс в я, любой у в п и у ≤ Икс подразумевает, что у в я. (я это нижний набор ), и
для каждого Икс, у в я, есть элемент z в я, так что Икс ≤ z и у ≤ z. (я это направленный набор ).

Хотя это наиболее общий способ определения идеала для произвольных положений, он изначально был определен для решетки Только. В этом случае можно дать следующее эквивалентное определение: подмножество я решетки (п, ≤) - идеал если и только если это нижнее множество, замкнутое относительно конечных соединений (супрема ), т.е. непусто и при всех Икс, у в я, элемент ${ displaystyle x vee y}$ из п также в я.^[3]

В двойной понятие идеала, т. е. понятие, полученное обращением всех ≤ и заменой ${ displaystyle vee}$ с ${ Displaystyle клин}$ , это фильтр.

Некоторые авторы используют термин идеальный для обозначения более низкого набора, то есть они включают только условие 2 выше,^[4]^[5] в то время как другие используют термин заказать идеальный для этого более слабого понятия.^[6] В более слабом определении идеал решетки, рассматриваемый как ч.у., не замкнут относительно соединений, поэтому он не обязательно является идеалом решетки.^[6] Википедия использует только «идеал / фильтр (теории порядка)» и «нижний / верхний набор», чтобы избежать путаницы.

Идеалы Фринка, псевдоидеалы и Псевдоидеалы Дойля являются различными обобщениями понятия решеточного идеала.

Идеал или фильтр называется правильный если он не равен всему набору п.^[3]

Наименьший идеал, содержащий данный элемент п это главный идеал и п считается главный элемент идеала в этой ситуации. Главный идеал ${ displaystyle downarrow p}$ для директора п таким образом дается ${ displaystyle downarrow p}$ = {Икс вп | Икс ≤ п}.

Основные идеалы

Важный частный случай идеала составляют те идеалы, теоретико-множественными дополнениями которых являются фильтры, то есть идеалы в обратном порядке. Такие идеалы называются главные идеалы. Также обратите внимание, что, поскольку мы требуем, чтобы идеалы и фильтры были непустыми, каждый главный идеал обязательно правильно. Для решеток простые идеалы можно охарактеризовать следующим образом:

Подмножество я решетки (п, ≤) - простой идеал тогда и только тогда, когда

я настоящий идеал п, и
для всех элементов Икс и у из п, Икс ${ Displaystyle клин}$ у в я подразумевает, что Икс в я или же у в я.

Легко проверить, что это действительно эквивалентно утверждению, что п \ я является фильтром (который тогда также является простым в двойственном смысле).

Для полная решетка дальнейшее понятие полностью идеальный имеет смысл. Он определен как правильный идеал я с дополнительным свойством, что всякий раз, когда встречаются (инфимум ) некоторого произвольного множества А в я, какой-то элемент А также в я. Так что это просто конкретный простой идеал, который расширяет вышеуказанные условия до бесконечности.

Существование простых идеалов, как правило, не очевидно, и часто удовлетворительное количество простых идеалов не может быть получено в ZF (Теория множеств Цермело – Френкеля без аксиома выбора ). Этот вопрос обсуждается в различных теоремы о простых идеалах, которые необходимы для многих приложений, требующих первичных идеалов.

Максимальные идеалы

Идеальный я является максимальный если это правильно и нет правильный идеальный J это строгий надмножество я. Точно так же фильтр F является максимальным, если он правильный и нет подходящего фильтра, который является строгим надмножеством.

Когда позет распределительная решетка, максимальные идеалы и фильтры обязательно просты, в то время как обратное утверждение в общем случае неверно.

Максимальные фильтры иногда называют ультрафильтры, но эта терминология часто используется для булевых алгебр, где максимальный фильтр (идеал) - это фильтр (идеал), содержащий ровно один из элементов {а, ¬а} для каждого элемента а булевой алгебры. В булевых алгебрах члены главный идеал и максимальный идеал совпадают, как и условия основной фильтр и максимальный фильтр.

Есть еще одно интересное понятие максимальности идеалов: рассмотрим идеал я и фильтр F такой, что я является непересекающийся из F. Мы заинтересованы в идеале M что является максимальным среди всех идеалов, содержащих я и не пересекаются с F. В случае дистрибутивных решеток такая M всегда главный идеал. Доказательство этого утверждения следует.

Доказательство. Предположим идеальный M максимальна по непересекаемости с фильтром F. Предположим от противоречия, что M не является простым, т.е. существует пара элементов а и б такой, что а

{ Displaystyle клин}

б в M но ни то, ни другое а ни б находятся в M. Рассмотрим случай, когда для всех м в M, м

{ displaystyle vee}

а не в F. Можно построить идеал N взяв закрытие вниз набора всех двоичных соединений этой формы, т. е. N = { Икс | Икс≤ м

{ displaystyle vee}

а для некоторых м в M}. Легко проверить, что N действительно идеал, не пересекающийся с F что строго больше, чем M. Но это противоречит максимальности M и, следовательно, предположение, что M не простое.

В другом случае предположим, что есть м в M с м

{ displaystyle vee}

а в F. Теперь, если какой-либо элемент п в M таково, что п

{ displaystyle vee}

б в F, оказывается, что (м

{ displaystyle vee}

п)

{ displaystyle vee}

б и (м

{ displaystyle vee}

п)

{ displaystyle vee}

а оба в F. Но тогда их встреча в F а по распределенности (м

{ displaystyle vee}

п)

{ displaystyle vee}

(а

{ Displaystyle клин}

б) в F тоже. С другой стороны, это конечное соединение элементов M явно в M, такие, что предполагаемое существование п противоречит дизъюнктности двух множеств. Следовательно, все элементы п из M присоединиться к б это не в F. Следовательно, можно применить приведенную выше конструкцию с б на месте а получить идеал, который строго больше, чем M будучи отделенным от F. Это завершает доказательство.

Однако в целом неясно, существует ли идеал M что в этом смысле максимально. Но если предположить, что аксиома выбора в нашей теории множеств, то существование M для каждой непересекающейся пары фильтр – идеал можно показать. В частном случае, когда рассматриваемый заказ является Булева алгебра, эта теорема называется Теорема о булевом простом идеале. Это строго слабее, чем выбранная аксиома, и оказывается, что для многих теоретико-порядковых приложений идеалов больше ничего не требуется.

Приложения

Построение идеалов и фильтров - важный инструмент во многих приложениях теории порядка.

В Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр максимальные идеалы (или, что то же самое, через отображение отрицания, ультрафильтры) используются для получения множества точек топологическое пространство, чей Clopen наборы находятся изоморфный к исходной булевой алгебре.
Теория порядка знает многих процедуры завершения, чтобы превратить позы в позы с дополнительными полнота характеристики. Например, идеальное завершение данного частичного порядка п это совокупность всех идеалов п упорядочены по включению подмножества. Эта конструкция дает свободный DCPO создано п. Идеал является главным тогда и только тогда, когда он компактный в идеальном завершении, так что исходный чум может быть восстановлен как подмножество, состоящее из компактных элементов. Кроме того, каждый алгебраический dcpo может быть реконструирован как идеальное пополнение своего набора компактных элементов.

История

Идеалы были впервые представлены Маршалл Х. Стоун, получившие свое название от кольцевых идеалов абстрактной алгебры. Он принял эту терминологию, потому что, используя изоморфизм категорий из Булевы алгебры и из Булевы кольца, эти два понятия действительно совпадают.

Литература

Идеалы и фильтры - одни из основных понятий теории порядка. См. Вводные книги для теория порядка и теория решетки, и литература по Теорема о булевом простом идеале.

Смотрите также

Примечания

^ Тейлор (1999), п. 141: "Направленное нижнее подмножество посета Икс называется идеалом "
^ Gierz, G .; Hofmann, K. H .; Keimel, K .; Lawson, J.D .; Mislove, M. W .; Скотт, Д. С. (2003). Непрерывные решетки и домены. Энциклопедия математики и ее приложений. 93. Издательство Кембриджского университета. п.3. ISBN 0521803381.
^ ^а ^б Беррис и Санкаппанавар 1981, Def. 8.2.
^ Лоусон (1998), п. 22
^ Стэнли (2002), п. 100
^ ^а ^б Дэйви и Пристли 2002, стр.20, 44.