Идеал (теория множеств) - Википедия - Ideal (set theory)

В математической области теория множеств, идеальный это частично заказанный коллекция наборы которые считаются «маленькими» или «незначительными». Каждый подмножество элемента идеала также должны быть в идеале (это кодифицирует идею о том, что идеал - это понятие малости), и союз любые два элемента идеала также должны быть в идеале.

Более формально, учитывая набор Икс, идеальный я на Икс это непустой подмножество powerset из Икс, такое, что:

${ displaystyle emptyset in I}$ ,
если ${ displaystyle A in I}$ и ${ Displaystyle B substeq A}$ , тогда ${ displaystyle B in I}$ , и
если ${ displaystyle A, B in I}$ , тогда ${ displaystyle A cup B in I}$ .

Некоторые авторы добавляют четвертое условие: Икс сам не в я; идеалы с этим дополнительным свойством называются правильные идеалы.

Идеалы в теоретико-множественном смысле в точности идеалы в теоретико-порядковом смысле, где установлен соответствующий порядок включения. Кроме того, они точно идеалы в теоретико-кольцевом смысле на Логическое кольцо сформированный powerset базового набора.

Терминология

Элемент идеала я как говорят I-ноль или же I-незначительный, или просто ноль или же незначительный если идеал я понимается из контекста. Если я идеал на Икс, то подмножество Икс как говорят Положительный (или просто положительный) если это нет элемент я. Сборник всех я-положительные подмножества Икс обозначается я⁺.

Если ${ displaystyle I}$ настоящий идеал на ${ displaystyle X}$ и для каждого ${ Displaystyle A substeq X}$ либо ${ displaystyle A in I}$ или же ${ displaystyle X setminus A in I}$ , то я главный идеал.

Примеры идеалов

Общие примеры

Для любого набора Икс и любое произвольно выбранное подмножество B ⊆ Икс, подмножества B сформировать идеал на Икс. Для конечных Икс, все идеалы имеют эту форму.
В конечные подмножества любого набора Икс сформировать идеал на Икс.
Для любого измерить пространство, множества нулевой меры.
Для любого измерить пространство, множества конечной меры. Это включает в себя конечные подмножества (используя счетная мера ) и небольшие наборы ниже.

Идеалы натуральных чисел

Идеал всех конечных множеств натуральные числа обозначается Fin.
В суммируемый идеал на натуральные числа, обозначенные ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {1 / n}}$ , это совокупность всех множеств А натуральных чисел такие, что сумма ${ displaystyle sum _ {n in A} { frac {1} {n + 1}}}$ конечно. Видеть небольшой набор.
В идеал множеств асимптотически нулевой плотности на натуральные числа, обозначенные ${ displaystyle { mathcal {Z}} _ {0}}$ , это совокупность всех множеств А натуральных чисел такие, что доля натуральных чисел меньше п которые принадлежат А, стремится к нулю при п стремится к бесконечности. (Это асимптотическая плотность из А равно нулю.)

Идеалы на реальные числа

В измерить идеал это собрание всех наборов А из действительные числа так что Мера Лебега из А равно нулю.
В скудный идеал это собрание всех скудные наборы реальных чисел.

Идеалы на других наборах

Если λ - порядковый номер бесчисленных конфинальность, то нестационарный идеал на λ - это совокупность всех подмножеств λ, не являющихся стационарные наборы. Этот идеал широко изучался В. Хью Вудин.

Операции над идеалами

Учитывая идеалы я и J на базовых наборах Икс и Y соответственно, один формирует продукт я×J на Декартово произведение Икс×Yследующим образом: Для любого подмножества А ⊆ Икс×Y,

{ displaystyle A in I times J iff {x in X | {y | langle x, y rangle in A } notin J } in I}

То есть набор незначителен в идеале продукта, если только незначительный набор Икс-координаты соответствуют значительному срезу А в у-направление. (Возможно, яснее: набор положительный в идеале продукта, если положительно много Икс-координаты соответствуют положительным срезам.)

Идеальный я на съемочной площадке Икс вызывает отношение эквивалентности на п(Икс), набор мощности Икс, учитывая А и B быть эквивалентным (для А, B подмножества Икс) тогда и только тогда, когда симметричная разница из А и B является элементом я. В частное из п(Икс) этим отношением эквивалентности является Булева алгебра, обозначенный п(Икс) / я (читать "P из Икс мод я").

Каждому идеалу соответствует фильтр, назвал его двойной фильтр. Если я идеал на Икс, то двойной фильтр я это собрание всех наборов Икс \ А, куда А является элементом я. (Здесь Икс \ А обозначает относительное дополнение из А в Икс; то есть совокупность всех элементов Икс которые нет в А.)

Отношения между идеалами

Если я и J идеалы на Икс и Y соответственно, я и J находятся Изоморфность Рудина – Кейслера если они являются одним и тем же идеалом, за исключением переименования элементов их базовых наборов (игнорируя незначительные наборы). Более формально требуется наличие множеств А и B, элементы я и J соответственно, а биекция φ:Икс \ А → Y \ B, такое, что для любого подмножества C из Икс, C в я если и только если изображение из C под φ находится в J.

Если я и J изоморфны Рудину – Кейслера, то п(Икс) / я и п(Y) / J изоморфны как булевы алгебры. Изоморфизмы фактор-булевых алгебр, индуцированные изоморфизмами Рудина – Кейслера идеалов, называются тривиальные изоморфизмы.

Смотрите также

Фильтр (математика) - В математике - специальное подмножество частично упорядоченного множества.
$π$ -система - Непустое семейство множеств, в котором пересечение любых двух элементов снова является членом.
σ-идеал