Изображение (математика) - Википедия - Image (mathematics)

ж это функция из домена Икс в codomain Y. Желтый овал внутри Y это изображение ж.

В математика, то изображение из функция - это набор всех возможных выходных значений.

В более общем плане оценка данной функции ж в каждом элементе данного подмножества А своего домен производит набор, называемый "изображение из А под (или через) ж ". Точно так же обратное изображение (или же прообраз) данного подмножества B из codomain из ж, это набор всех элементов домена, которые сопоставляются с членами B.

Изображение и инверсное изображение также могут быть определены для общего бинарные отношения, а не только функции.

Определение

Слово «изображение» используется тремя взаимосвязанными способами. В этих определениях ж : ИксY это функция от набор Икс к набору Y.

Изображение элемента

Если Икс является членом Икс, то изображение Икс под ж, обозначенный ж(Икс),[1] это ценить из ж когда применяется к Икс. ж(Икс) также известен как результат ж для аргумента Икс.

Изображение подмножества

Образ подмножества АИкс под ж, обозначенный , является подмножеством Y который можно определить с помощью обозначение построителя множеств следующее:[2]

Когда нет риска запутаться, просто записывается как . Это обычное соглашение; предполагаемое значение должно быть выведено из контекста. Это делает ж[.] функция, чья домен это набор мощности из Икс (набор всех подмножества из Икс), и чьи codomain это набор мощности Y. Видеть § Обозначения ниже, чтобы узнать больше.

Изображение функции

В изображение функции - это изображение всего ее домен, также известный как классифицировать функции.[3]

Обобщение на бинарные отношения

Если р произвольный бинарное отношение на Икс×Y, то множество {y∈Y | xRy для некоторых ИксИкс } называется изображением или диапазоном р. Соответственно, множество { ИксИкс | xRy для некоторого y∈Y } называется областью р.

Обратное изображение

Позволять ж быть функцией от Икс к Y. В прообраз или же обратное изображение набора BY под ж, обозначаемый , является подмножеством Икс определяется

Другие обозначения включают ж −1 (B)[4] и ж  (B).[5] Прообраз одиночка, обозначаемый ж −1[{у}] или ж −1[у], также называется волокно над у или набор уровней из у. Набор всех волокон над элементами Y это семейство множеств, индексируемых Y.

Например, для функции ж(Икс) = Икс2, прообраз {4} будет {−2, 2}. Опять же, если нет риска запутаться, ж −1[B] можно обозначить как ж −1(B), и ж −1 также можно рассматривать как функцию от набора мощности Y к силовому набору Икс. Обозначение ж −1 не следует путать с этим для обратная функция, хотя он совпадает с обычным для биекций в том, что прообраз B под ж это изображение B под ж −1.

Обозначение для изображения и инверсии

Традиционные обозначения, использованные в предыдущем разделе, могут сбивать с толку. Альтернатива[6] заключается в том, чтобы дать явные имена для изображения и прообраза как функции между наборами степеней:

Обозначение стрелки

  • с
  • с

Звездное обозначение

  • вместо
  • вместо

Другая терминология

  • Альтернативное обозначение для ж[А] используется в математическая логика и теория множеств является ж "А.[7][8]
  • Некоторые тексты относятся к изображению ж как диапазон ж, но этого использования следует избегать, потому что слово "диапазон" также обычно используется для обозначения codomain из ж.

Примеры

  1. ж: {1, 2, 3} → {а, б, в, г} определяется
    В изображение множества {2, 3} при ж является ж({2, 3}) = {а, в}. В изображение функции ж является {а, в}. В прообраз из а является ж −1({а}) = {1, 2}. В прообраз из {а, б} также {1, 2}. Прообраз {б, d} это пустой набор {}.
  2. ж: рр определяется ж(Икс) = Икс2.
    В изображение из {−2, 3} под ж является ж({−2, 3}) = {4, 9}, а изображение из ж является р+. В прообраз из {4, 9} под ж является ж −1({4, 9}) = {−3, −2, 2, 3}. Прообраз набора N = {пр | п <0} меньше ж - пустой набор, потому что отрицательные числа не имеют квадратных корней в наборе действительных чисел.
  3. ж: р2р определяется ж(Икс, у) = Икс2 + у2.
    В волокна ж −1({а}) находятся концентрические круги о источник, само происхождение и пустой набор, в зависимости от того, а > 0, а = 0, или а <0 соответственно.
  4. Если M это многообразие и π: TMM канонический проекция от касательный пучок TM к M, то волокна из π являются касательные пространства ТИкс(M) за ИксM. Это тоже пример пучок волокон.
  5. Фактор-группа - это гомоморфный образ.

Характеристики

Контрпримеры на основе
ж: → ℝ, ИксИкс2, показывая
что равенство вообще нужно
не соблюдаются некоторые законы:
ж(А1А2) ⊊ ж(А1) ∩ ж(А2)
ж(ж−1(B3)) ⊊ B3
ж−1(ж(А4)) ⊋ А4

Общий

Для каждой функции и все подмножества и , выполняются следующие свойства:

ИзображениеПрообраз

(равно, если , например сюръективно)[9][10]

(равно, если инъективно)[9][10]
[9]
[11][11]
[11][11]

Также:

Несколько функций

Для функций и с подмножествами и , выполняются следующие свойства:

Множественные подмножества домена или кодомена

Для функции и подмножества и , выполняются следующие свойства:

ИзображениеПрообраз
[11][12]
[11][12]
(равно, если инъективен[13])
[11]
(равно, если инъективен[13])
[11]

(равно, если инъективно)

Результаты, связывающие изображения и прообразы с (Булево ) алгебра пересечение и союз работают для любого набора подмножеств, а не только для пар подмножеств:

(Здесь, S может быть бесконечным, даже бесчисленное множество.)

Относительно алгебры подмножеств, описанной выше, функция обратного изображения является решеточный гомоморфизм, а функция изображения - это только полурешетка гомоморфизм (т.е. не всегда сохраняет пересечения).

Смотрите также

Примечания

  1. ^ «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-28.
  2. ^ "5.4: Функции и изображения / прообразы множеств". Математика LibreTexts. 2019-11-05. Получено 2020-08-28.
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Изображение". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-28.
  4. ^ «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-28.
  5. ^ Долецки и Майнард 2016, стр. 4-5.
  6. ^ Блит 2005, п. 5.
  7. ^ Жан Э. Рубин (1967). Теория множеств для математика. Холден-Дэй. п. xix. КАК В  B0006BQH7S.
  8. ^ М. Рэндалл Холмс: Неоднородность мочеточников в обычных моделях НФУ, 29 декабря 2005 г., в: Semantic Scholar, стр. 2
  9. ^ а б c Видеть Халмос 1960, п. 39
  10. ^ а б Видеть Мункрес 2000, п. 19
  11. ^ а б c d е ж грамм час См. Стр. 388 Ли, Джон М. (2010). Введение в топологические многообразия, 2-е изд.
  12. ^ а б Келли 1985, п.85
  13. ^ а б Видеть Мункрес 2000, п. 21 год

Рекомендации

В этой статье использованы материалы из Fiber on PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.