Изображение (математика) - Википедия - Image (mathematics)

ж это функция из домена Икс в codomain Y. Желтый овал внутри Y это изображение ж.

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математика, то изображение из функция - это набор всех возможных выходных значений.

В более общем плане оценка данной функции ж в каждом элементе данного подмножества А своего домен производит набор, называемый "изображение из А под (или через) ж ". Точно так же обратное изображение (или же прообраз) данного подмножества B из codomain из ж, это набор всех элементов домена, которые сопоставляются с членами B.

Изображение и инверсное изображение также могут быть определены для общего бинарные отношения, а не только функции.

Определение

Слово «изображение» используется тремя взаимосвязанными способами. В этих определениях ж : Икс → Y это функция от набор Икс к набору Y.

Изображение элемента

Если Икс является членом Икс, то изображение Икс под ж, обозначенный ж(Икс),^[1] это ценить из ж когда применяется к Икс. ж(Икс) также известен как результат ж для аргумента Икс.

Изображение подмножества

Образ подмножества А ⊆ Икс под ж, обозначенный ${ displaystyle f [A]}$, является подмножеством Y который можно определить с помощью обозначение построителя множеств следующее:^[2]

${ Displaystyle е [А] = {е (х) середина х в А }}$

Когда нет риска запутаться, ${ displaystyle f [A]}$ просто записывается как ${ displaystyle f (A)}$. Это обычное соглашение; предполагаемое значение должно быть выведено из контекста. Это делает ж[.] функция, чья домен это набор мощности из Икс (набор всех подмножества из Икс), и чьи codomain это набор мощности Y. Видеть § Обозначения ниже, чтобы узнать больше.

Изображение функции

В изображение функции - это изображение всего ее домен, также известный как классифицировать функции.^[3]

Обобщение на бинарные отношения

Если р произвольный бинарное отношение на Икс×Y, то множество {y∈Y | xRy для некоторых Икс∈Икс } называется изображением или диапазоном р. Соответственно, множество { Икс∈Икс | xRy для некоторого y∈Y } называется областью р.

Обратное изображение

Позволять ж быть функцией от Икс к Y. В прообраз или же обратное изображение набора B ⊆ Y под ж, обозначаемый ${ displaystyle f ^ {- 1} [B]}$, является подмножеством Икс определяется

${ displaystyle f ^ {- 1} [B] = {x in X , | , f (x) in B }.}$

Другие обозначения включают ж ⁻¹ (B)^[4] и ж ⁻ (B).^[5] Прообраз одиночка, обозначаемый ж ⁻¹[{у}] или ж ⁻¹[у], также называется волокно над у или набор уровней из у. Набор всех волокон над элементами Y это семейство множеств, индексируемых Y.

Например, для функции ж(Икс) = Икс², прообраз {4} будет {−2, 2}. Опять же, если нет риска запутаться, ж ⁻¹[B] можно обозначить как ж ⁻¹(B), и ж ⁻¹ также можно рассматривать как функцию от набора мощности Y к силовому набору Икс. Обозначение ж ⁻¹ не следует путать с этим для обратная функция, хотя он совпадает с обычным для биекций в том, что прообраз B под ж это изображение B под ж ⁻¹.

Обозначение для изображения и инверсии

Традиционные обозначения, использованные в предыдущем разделе, могут сбивать с толку. Альтернатива^[6] заключается в том, чтобы дать явные имена для изображения и прообраза как функции между наборами степеней:

Обозначение стрелки

• ${ displaystyle f ^ { rightarrow}: { mathcal {P}} (X) rightarrow { mathcal {P}} (Y)}$ с ${ Displaystyle е ^ { rightarrow} (А) = {е (а) ; | ; а в А }}$
• ${ displaystyle f ^ { leftarrow}: { mathcal {P}} (Y) rightarrow { mathcal {P}} (X)}$ с ${ Displaystyle е ^ { leftarrow} (B) = {a in X ; | ; f (a) in B }}$

Звездное обозначение

• ${ displaystyle f _ { star}: { mathcal {P}} (X) rightarrow { mathcal {P}} (Y)}$ вместо ${ displaystyle f ^ { rightarrow}}$
• ${ displaystyle f ^ { star}: { mathcal {P}} (Y) rightarrow { mathcal {P}} (X)}$ вместо ${ displaystyle f ^ { leftarrow}}$

Другая терминология

• Альтернативное обозначение для ж[А] используется в математическая логика и теория множеств является ж "А.^[7][8]
• Некоторые тексты относятся к изображению ж как диапазон ж, но этого использования следует избегать, потому что слово "диапазон" также обычно используется для обозначения codomain из ж.

Примеры

1. ж: {1, 2, 3} → {а, б, в, г} определяется ${ Displaystyle f (x) = left {{ begin {matrix} a, & { mbox {if}} x = 1 a, & { mbox {if}} x = 2 c, & { mbox {if}} x = 3. end {matrix}} right.}$
   В изображение множества {2, 3} при ж является ж({2, 3}) = {а, в}. В изображение функции ж является {а, в}. В прообраз из а является ж ⁻¹({а}) = {1, 2}. В прообраз из {а, б} также {1, 2}. Прообраз {б, d} это пустой набор {}.
2. ж: р → р определяется ж(Икс) = Икс².
   В изображение из {−2, 3} под ж является ж({−2, 3}) = {4, 9}, а изображение из ж является р⁺. В прообраз из {4, 9} под ж является ж ⁻¹({4, 9}) = {−3, −2, 2, 3}. Прообраз набора N = {п ∈ р | п <0} меньше ж - пустой набор, потому что отрицательные числа не имеют квадратных корней в наборе действительных чисел.
3. ж: р² → р определяется ж(Икс, у) = Икс² + у².
   В волокна ж ⁻¹({а}) находятся концентрические круги о источник, само происхождение и пустой набор, в зависимости от того, а > 0, а = 0, или а <0 соответственно.
4. Если M это многообразие и π: TM → M канонический проекция от касательный пучок TM к M, то волокна из π являются касательные пространства Т_Икс(M) за Икс∈M. Это тоже пример пучок волокон.
5. Фактор-группа - это гомоморфный образ.

Характеристики

Контрпримеры на основе ж:ℝ → ℝ, Икс↦Икс2, показывая что равенство вообще нужно не соблюдаются некоторые законы:
ж(А1∩А2) ⊊ ж(А1) ∩ ж(А2)
ж(ж−1(B3)) ⊊ B3
ж−1(ж(А4)) ⊋ А4

Общий

Для каждой функции ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ и все подмножества ${ Displaystyle A substeq X}$ и ${ displaystyle B substeq Y}$, выполняются следующие свойства:

Изображение	Прообраз
${ Displaystyle f (X) substeq Y}$	${ displaystyle f ^ {- 1} (Y) = X}$
${ Displaystyle е (е ^ {- 1} (Y)) = е (X)}$	${ Displaystyle е ^ {- 1} (е (X)) = X}$
${ Displaystyle е (е ^ {- 1} (B)) substeq B}$ (равно, если ${ Displaystyle B substeq f (X)}$, например ${ displaystyle f}$ сюръективно)[9][10]	${ Displaystyle е ^ {- 1} (е (А)) supseteq A}$ (равно, если ${ displaystyle f}$ инъективно)[9][10]
${ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B cap f (X)}$	${ Displaystyle (е верт _ {A}) ^ {- 1} (B) = A cap f ^ {- 1} (B)}$
${ Displaystyle е (е ^ {- 1} (е (А))) = е (А)}$	${ Displaystyle е ^ {- 1} (е (е ^ {- 1} (В))) = е ^ {- 1} (В)}$
${ displaystyle f (A) = varnothing Leftrightarrow A = varnothing}$	${ displaystyle f ^ {- 1} (B) = varnothing Leftrightarrow B substeq Y setminus f (X)}$
${ Displaystyle е (A) supseteq B Leftrightarrow существует C substeq A: f (C) = B}$	${ displaystyle f ^ {- 1} (B) supseteq A Leftrightarrow f (A) substeq B}$
${ Displaystyle f (A) supseteq f (X setminus A) Leftrightarrow f (A) = f (X)}$	${ displaystyle f ^ {- 1} (B) supseteq f ^ {- 1} (Y setminus B) Leftrightarrow f ^ {- 1} (B) = X}$
${ Displaystyle е (Икс setminus A) supseteq f (X) setminus f (A)}$	${ displaystyle f ^ {- 1} (Y setminus B) = X setminus f ^ {- 1} (B)}$[9]
${ Displaystyle f (A чашка f ^ {- 1} (B)) substeq f (A) cup B}$[11]	${ Displaystyle f ^ {- 1} (е (A) чашка B) supseteq A чашка f ^ {- 1} (B)}$[11]
${ displaystyle f (A cap f ^ {- 1} (B)) = f (A) cap B}$[11]	${ Displaystyle f ^ {- 1} (е (A) cap B) supseteq A cap f ^ {- 1} (B)}$[11]

Также:

• ${ displaystyle f (A) cap B = varnothing Leftrightarrow A cap f ^ {- 1} (B) = varnothing}$

Несколько функций

Для функций ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ и ${ displaystyle g: Y rightarrow Z}$ с подмножествами ${ Displaystyle A substeq X}$ и ${ Displaystyle C substeq Z}$, выполняются следующие свойства:

• ${ Displaystyle (г CIRC F) (А) = г (е (А))}$
• ${ Displaystyle (г circ f) ^ {- 1} (C) = f ^ {- 1} (g ^ {- 1} (C))}$

Множественные подмножества домена или кодомена

Для функции ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ и подмножества ${ Displaystyle A_ {1}, A_ {2} substeq X}$ и ${ displaystyle B_ {1}, B_ {2} substeq Y}$, выполняются следующие свойства:

Изображение	Прообраз
${ Displaystyle A_ {1} substeq A_ {2} Rightarrow f (A_ {1}) substeq f (A_ {2})}$	${ Displaystyle B_ {1} substeq B_ {2} Rightarrow f ^ {- 1} (B_ {1}) substeq f ^ {- 1} (B_ {2})}$
${ Displaystyle f (A_ {1} чашка A_ {2}) = f (A_ {1}) cup f (A_ {2})}$[11][12]	${ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} cup B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) cup f ^ {- 1} (B_ {2})}$
${ Displaystyle f (A_ {1} cap A_ {2}) substeq f (A_ {1}) cap f (A_ {2})}$[11][12] (равно, если ${ displaystyle f}$ инъективен[13])	${ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} cap B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) cap f ^ {- 1} (B_ {2})}$
${ Displaystyle f (A_ {1} setminus A_ {2}) supseteq f (A_ {1}) setminus f (A_ {2})}$[11] (равно, если ${ displaystyle f}$ инъективен[13])	${ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} setminus B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) setminus f ^ {- 1} (B_ {2})}$[11]
${ Displaystyle f (A_ {1} треугольник A_ {2}) supseteq f (A_ {1}) треугольник f (A_ {2})}$ (равно, если ${ displaystyle f}$ инъективно)	${ Displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} треугольник B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) треугольник f ^ {- 1} (B_ {2})}$

Результаты, связывающие изображения и прообразы с (Булево ) алгебра пересечение и союз работают для любого набора подмножеств, а не только для пар подмножеств:

• ${ displaystyle f left ( bigcup _ {s in S} A_ {s} right) = bigcup _ {s in S} f (A_ {s})}$
• ${ displaystyle f left ( bigcap _ {s in S} A_ {s} right) substeq bigcap _ {s in S} f (A_ {s})}$
• ${ displaystyle f ^ {- 1} left ( bigcup _ {s in S} B_ {s} right) = bigcup _ {s in S} f ^ {- 1} (B_ {s}) }$
• ${ displaystyle f ^ {- 1} left ( bigcap _ {s in S} B_ {s} right) = bigcap _ {s in S} f ^ {- 1} (B_ {s}) }$

(Здесь, S может быть бесконечным, даже бесчисленное множество.)

Относительно алгебры подмножеств, описанной выше, функция обратного изображения является решеточный гомоморфизм, а функция изображения - это только полурешетка гомоморфизм (т.е. не всегда сохраняет пересечения).

Смотрите также

• Биекция, инъекция и сюръекция
• Изображение (теория категорий)
• Ядро функции
• Установить инверсию

Примечания

Рекомендации

• Артин, Майкл (1991). Алгебра. Прентис Холл. ISBN  81-203-0871-9.
• Блит, Т. (2005). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры. Springer. ISBN  1-85233-905-5..
• Долецкий, Шимон; Майнард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии. Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств. Университетская серия по математике. Компания ван Ностранд. Zbl  0087.04403.
• Келли, Джон Л. (1985). Общая топология. Тексты для выпускников по математике. 27 (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN  978-0-387-90125-1.
• Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Верхний Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.

В этой статье использованы материалы из Fiber on PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.