Факторная группа - Quotient group

А факторгруппа или же факторная группа это математический группа полученные путем агрегирования похожих элементов большей группы с использованием отношение эквивалентности что сохраняет часть структуры группы (остальная часть структуры "факторизована"). Например, циклическая группа из сложение по модулю п можно получить из группы целые числа под сложением путем идентификации элементов, которые отличаются кратным п и определение структуры группы, которая работает с каждым таким классом (известной как класс конгруэнтности ) как единое целое. Это часть математической области, известной как теория групп.

В частном случае группы класс эквивалентности из элемент идентичности всегда нормальная подгруппа исходной группы, а остальные классы эквивалентности - это в точности смежные классы этой нормальной подгруппы. Полученное частное записывается грамм / N, куда грамм это исходная группа и N - нормальная подгруппа. (Это произносится как "грамм мод N", где" мод "- сокращение от по модулю.)

Важность фактор-групп во многом определяется их отношением к гомоморфизмы. В первая теорема об изоморфизме заявляет, что изображение любой группы грамм при гомоморфизме всегда изоморфный к частному грамм. В частности, изображение грамм при гомоморфизме φ: грамм → ЧАС изоморфен грамм / кер (φ) где ker (φ) обозначает ядро из φ.

В двойной понятие фактор-группы является подгруппа, это два основных способа формирования меньшей группы из большей. Любая нормальная подгруппа имеет соответствующую фактор-группу, образованную из большей группы путем устранения различия между элементами подгруппы. В теория категорий, фактор-группы являются примерами частные объекты, которые двойной к подобъекты. Для других примеров частных объектов см. кольцо частного, факторпространство (линейная алгебра), фактор-пространство (топология), и набор частных.

Определение и иллюстрация

Учитывая группа грамм и подгруппа ЧАС, и элемент а ∈ граммможно рассмотреть соответствующие левые смежный: ах := { ах : час ∈ ЧАС }. Классы смежности - это естественный класс подмножеств группы; например, рассмотрим абелева группа грамм из целые числа, с операция определяется обычным сложением, а подгруппа ЧАС четных целых чисел. Тогда есть ровно два смежных класса: 0 + ЧАС, которые являются целыми четными числами, и 1 + ЧАС, которые являются нечетными целыми числами (здесь мы используем аддитивную запись для двоичной операции вместо мультипликативной записи).

Для общей подгруппы ЧАС, желательно определить совместимую групповую операцию на множестве всех возможных смежных классов, { ах : а ∈ грамм }. Это возможно именно тогда, когда ЧАС это нормальная подгруппа, Смотри ниже. Подгруппа N группы грамм это нормально если и только если равенство смежных классов аН = Na относится ко всем а ∈ грамм. Нормальная подгруппа грамм обозначается N ◁ грамм.

Определение

Позволять N нормальная подгруппа группы грамм. Определить набор грамм/N быть множеством всех левых смежных классов N в грамм. То есть, грамм/N = {аН : а ∈ грамм}. Поскольку элемент идентичности е ∈ N, а ∈ аН. Определите бинарную операцию на множестве смежных классов, грамм/N, следующее. Для каждого аН и bN в грамм/N, продукт аН и bN, (аН)(bN), является (ab)N. Это работает только потому, что (ab)N не зависит от выбора представителей, а и б, каждого левого смежного класса, аН и млрд. Чтобы доказать это, предположим xN = аН и yN = bN для некоторых Икс, у, а, б ∈ грамм. потом

(ab)N = а(bN) = а(yN) = а(Нью-Йорк) = (аН)у = (xN)у = Икс(Нью-Йорк) = Икс(yN) = (ху)Н.

Это зависит от того, что N - нормальная подгруппа. Еще предстоит показать, что этого условия не только достаточно, но и необходимо для определения операции на грамм/N.

Чтобы показать, что это необходимо, рассмотрим, что для подгруппы N из грамм, нам дали, что операция хорошо определена. То есть для всех xN = аН и yN = bN, за Икс, у, а, б ∈ грамм, (ab)N = (ху)Н.

Позволять п ∈ N и грамм ∈ грамм. С eN = нН, у нас есть, gN = (например)N = (нг)Н.

Сейчас же, gN = (нг)N ⇔ N = грамм⁻¹(нг)N ⇔ грамм⁻¹нг ∈ N ∀ п ∈ N и грамм ∈ грамм.

Следовательно N нормальная подгруппа грамм.

Также можно проверить, что эта операция на грамм/N всегда ассоциативен. грамм/N имеет элемент идентичности N и обратный элемент аН всегда может быть представлен а⁻¹N. Следовательно, множество грамм/N вместе с операцией, определяемой (аН)(млрд) = (ab)N образует группу, фактор-группа грамм к N.

Из-за нормальности N, левые и правые смежные классы N в грамм такие же, и так, грамм/N можно было бы определить как набор правых смежных классов N в грамм.

Пример: сложение по модулю 6

Например, рассмотрим группу со сложением по модулю 6: грамм = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Рассмотрим подгруппу N = {0, 3}, что нормально, потому что грамм является абелевский. Тогда набор (левых) смежных классов имеет размер три:

грамм/N = { а+N : а ∈ грамм } = { {0, 3}, {1, 4}, {2, 5} } = { 0+N, 1+N, 2+N }.

Бинарная операция, определенная выше, превращает этот набор в группу, известную как фактор-группа, которая в этом случае изоморфна группе циклическая группа порядка 3.

Мотивация названия "частное"

Причина грамм/N называется фактор-группой, происходит от разделение из целые числа. При делении 12 на 3 получается ответ 4, потому что можно перегруппировать 12 объектов в 4 подколлекции по 3 объекта. Факторгруппа - это та же идея, хотя в конечном итоге мы получаем группу для окончательного ответа вместо числа, потому что группы имеют большую структуру, чем произвольный набор объектов.

Чтобы уточнить, глядя на грамм/N с N нормальная подгруппа грамм, структура группы используется для формирования естественной «перегруппировки». Это смежные классы N в грамм. Поскольку мы начали с группы и нормальной подгруппы, конечное частное содержит больше информации, чем просто количество смежных классов (что и дает регулярное деление), но вместо этого имеет структуру самой группы.

Примеры

Четные и нечетные целые числа

Рассмотрим группу целые числа Z (при сложении) и подгруппа 2Z состоящий из всех четных целых чисел. Это нормальная подгруппа, потому что Z является абелевский. Всего два смежных класса: набор четных целых чисел и набор нечетных целых чисел, и, следовательно, фактор-группа Z/2Z - циклическая группа с двумя элементами. Эта фактор-группа изоморфна множеству {0,1} со сложением по модулю 2; неофициально иногда говорят, что Z/2Z равно набор {0,1} со сложением по модулю 2.

Пример объяснен далее ...

Позволять ${ Displaystyle гамма (м) =}$ остатки ${ displaystyle m in mathbb {Z}}$ при делении на ${ displaystyle 2}$ .
потом ${ Displaystyle гамма (м) = 0}$ когда ${ displaystyle m}$ даже и ${ Displaystyle гамма (м) = 1}$ когда ${ displaystyle m}$ странно.
По определению ${ displaystyle gamma}$ , ядро ${ displaystyle gamma}$ ,
кер ( ${ displaystyle gamma}$ ) ${ displaystyle = {m in mathbb {Z}: gamma (m) = 0 }}$ , - множество всех четных целых чисел.
Позволять ${ displaystyle H =}$ кер ( ${ displaystyle gamma}$ ).
потом ${ displaystyle H}$ является подгруппой, поскольку тождество в ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ , который ${ displaystyle 0}$ , в ${ displaystyle H}$ ,
сумма двух четных целых чисел четная и, следовательно, если ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ находятся в ${ displaystyle H}$ , ${ displaystyle m + n}$ в ${ displaystyle H}$ (закрытие)
и если ${ displaystyle m}$ даже, ${ displaystyle -m}$ тоже даже и так ${ displaystyle H}$ содержит обратные.
Определять ${ displaystyle mu:}$ ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ ${ displaystyle to mathbb {Z} _ {2}}$ в качестве ${ Displaystyle му (аН) = гамма (а)}$ за ${ Displaystyle а в mathbb {Z}}$
и ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ фактор-группа левых классов смежности; ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ ${ displaystyle = {H, 1 + H }}$ .
Кстати, мы определили ${ displaystyle mu}$ , ${ Displaystyle му (ах)}$ является ${ displaystyle 1}$ если ${ displaystyle a}$ это странно и ${ displaystyle 0}$ если ${ displaystyle a}$ даже.
Таким образом, ${ displaystyle mu}$ является изоморфизмом из ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ к ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$ .

Остатки от целочисленного деления

Небольшое обобщение последнего примера. Еще раз рассмотрим группу целых чисел Z под дополнением. Позволять п любое положительное целое число. Будем рассматривать подгруппу пZ из Z состоящий из всех кратных п. Снова пZ нормально в Z потому что Z абелева. Сосеты - это коллекция {пZ, 1+пZ, ..., (п−2)+пZ, (п−1)+пZ}. Целое число k принадлежит к классу р+пZ, куда р это остаток при делении k к п. Частное Z/пZ можно рассматривать как группу «остатков» по модулю п. Это циклическая группа порядка п.

Комплексные целые корни из 1

Классы четвертого корни единства N в двенадцатых корнях единства грамм.

Двенадцатый корни единства, которые являются точками на сложный единичный круг, образуют мультипликативную абелеву группу грамм, показанный на картинке справа в виде цветных шариков с числом в каждой точке, определяющим его комплексный аргумент. Рассмотрим его подгруппу N состоит из корней четвертой степени единства, изображенного красными шарами. Эта нормальная подгруппа делит группу на три смежных класса, показанных красным, зеленым и синим. Можно проверить, что смежные классы образуют группу из трех элементов (произведение красного элемента на синий элемент - синий, обратный элемент синего - зеленый и т. Д.). Таким образом, фактор-группа грамм/N - это группа из трех цветов, которая оказывается циклической группой из трех элементов.

Действительные числа по модулю целых чисел

Рассмотрим группу действительные числа р при сложении, а подгруппа Z целых чисел. Каждый класс Z в р представляет собой набор вида а+Z, куда а это действительное число. С а₁+Z и а₂+Z являются идентичными наборами, когда не-целые части из а₁ и а₂ равны, можно наложить ограничение 0 ≤ а < 1 без изменения смысла. Добавление таких смежных классов осуществляется путем сложения соответствующих действительных чисел и вычитания 1, если результат больше или равен 1. Факторгруппа р/Z изоморфен круговая группа, группа сложные числа из абсолютная величина 1 при умножении, или, соответственно, группа вращения в 2D о происхождении, то есть особые ортогональная группа ТАК (2). Изоморфизм задается формулой ж(а+Z) = ехр (2πia) (видеть Тождество Эйлера ).

Матрицы действительных чисел

Если грамм группа обратимых 3 × 3 вещественных матрицы, и N - подгруппа вещественных матриц 3 × 3 с детерминант 1, то N нормально в грамм (поскольку это ядро детерминанта гомоморфизм ). Классы N - наборы матриц с данным определителем, и, следовательно, грамм/N изоморфна мультипликативной группе ненулевых действительных чисел. Группа N известен как специальная линейная группа SL (3).

Целочисленная модульная арифметика

Рассмотрим абелеву группу Z₄ = Z/4Z (то есть множество { 0, 1, 2, 3 } с добавлением по модулю 4) и его подгруппа { 0, 2 }. Фактор-группа Z₄/{ 0, 2 } является { { 0, 2 }, { 1, 3 } }. Это группа с элементом идентичности { 0, 2 }, и групповые операции, такие как { 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 }. Обе подгруппы { 0, 2 } и фактор-группа { { 0, 2 }, { 1, 3 } } изоморфны Z₂.

Целочисленное умножение

Рассмотрим мультипликативную группу ${ Displaystyle G = mathbf {Z} _ {п ^ {2}} ^ {*}}$ . Набор N из пth вычетов - мультипликативная подгруппа, изоморфная ${ displaystyle mathbf {Z} _ {n} ^ {*}}$ . потом N нормально в грамм и факторная группа грамм/N имеет смежные классы N, (1+п)N, (1+п)²N, ..., (1+п)^п−1N. Криптосистема Пайе основан на догадка что сложно определить смежный класс случайного элемента грамм не зная факторизации п.

Характеристики

Фактор-группа грамм/грамм является изоморфный к тривиальная группа (группа с одним элементом), и грамм/{е} изоморфен грамм.

В порядок из грамм/N, по определению, количество элементов равно |грамм : N|, то индекс из N в грамм. Если грамм конечно, индекс также равен порядку грамм разделены на порядок N. Набор грамм/N может быть конечным, хотя оба грамм и N бесконечны (например, Z/2Z).

Есть "естественный" сюръективный групповой гомоморфизм π : грамм → грамм/N, отправляя каждый элемент грамм из грамм к классу N которому грамм принадлежит, то есть: π(грамм) = gN. Отображение π иногда называют каноническая проекция G на G / N. Его ядро является N.

Между подгруппами группы существует взаимно однозначное соответствие. грамм которые содержат N и подгруппы грамм/N; если ЧАС является подгруппой грамм содержащий N, то соответствующая подгруппа грамм/N является π(ЧАС). Это соответствие выполняется для нормальных подгрупп группы грамм и грамм/N также и формализована в решеточная теорема.

Некоторые важные свойства факторгрупп записаны в основная теорема о гомоморфизмах и теоремы об изоморфизме.

Если грамм является абелевский, нильпотентный, разрешимый, циклический или же конечно порожденный, то так грамм/N.

Если ЧАС является подгруппой конечной группы грамм, и порядок ЧАС составляет половину порядка грамм, тогда ЧАС гарантированно является нормальной подгруппой, поэтому грамм/ЧАС существует и изоморфен C₂. Этот результат также можно сформулировать как «любая подгруппа индекса 2 нормальна», и в этой форме он применим также к бесконечным группам. Кроме того, если п наименьшее простое число, делящее порядок конечной группы, грамм, то если грамм/ЧАС есть заказ п, ЧАС должна быть нормальной подгруппой грамм.^[1]

Данный грамм и нормальная подгруппа N, тогда грамм это расширение группы из грамм/N к N. Можно спросить, является ли это расширение тривиальным или раздельным; другими словами, можно спросить, грамм это прямой продукт или же полупрямой продукт из N и грамм/N. Это частный случай проблема с расширением. Пример, в котором расширение не разделяется, выглядит следующим образом: Пусть грамм = Z₄ = {0, 1, 2, 3} и N = {0, 2}, что изоморфно Z₂. потом грамм/N также изоморфен Z₂. Но Z₂ имеет только тривиальный автоморфизм, поэтому единственный полупрямой продукт N и грамм/N это прямой продукт. С Z₄ отличается от Z₂ × Z₂, заключаем, что грамм не является полупрямым продуктом N и грамм/N.

Факторы групп Ли

Если ${ displaystyle G}$ это Группа Ли и ${ displaystyle N}$ это нормальный Подгруппа Ли из ${ displaystyle G}$ , частное ${ displaystyle G}$ / ${ displaystyle N}$ также является группой Ли. В этом случае исходная группа ${ displaystyle G}$ имеет структуру пучок волокон (в частности, главный ${ displaystyle N}$ -пучок ), с базовым пространством ${ displaystyle G}$ / ${ displaystyle N}$ и клетчатка ${ displaystyle N}$ .

Для ненормальной подгруппы Ли ${ displaystyle N}$ , космос ${ displaystyle G}$ / ${ displaystyle N}$ левых смежных классов - это не группа, а просто дифференцируемое многообразие на котором ${ displaystyle G}$ действует. Результат известен как однородное пространство.

Если подгруппа ${ displaystyle N}$ замкнуто (в топологическом, а не в алгебраическом смысле слова), то размерность группы Ли или однородного пространства ${ displaystyle G}$ / ${ displaystyle N}$ равно ${ Displaystyle mathrm {dim} G- mathrm {dim} N}$ .^[2]

Смотрите также

Примечания

^ Даммит и Фут (2003), п. 120)
^ Джон М. Ли, Введение в гладкие многообразия, второе издание, теорема 21.17