Группа лиева типа - Group of Lie type

В математика особенно в теория групп, фраза группа лиева типа обычно относится к конечные группы которые тесно связаны с группой рациональные точки из редуктивный линейная алгебраическая группа со значениями в конечное поле. Фраза группа лиева типа не имеет общепринятого точного определения,^[1] но важный набор конечных просто группы лиева типа имеют точное определение, и они составляют большинство групп в классификация конечных простых групп.

Название «группы лиева типа» связано с близостью к (бесконечным) Группы Ли, поскольку компактная группа Ли можно рассматривать как рациональные точки редуктивной линейной алгебраической группы над полем действительные числа. Дьедонне (1971) и Картер (1989) стандартные ссылки для групп лиева типа.

Классические группы

Первоначальным подходом к этому вопросу было определение и подробное изучение так называемого классические группы над конечным и другим поля к Иордания (1870). Эти группы были изучены Л. Э. Диксон и Жан Дьедонне. Эмиль Артин исследовали порядки таких групп с целью классификации случаев совпадения.

Классическая группа - это, грубо говоря, специальный линейный, ортогональный, симплектический, или же унитарная группа. Есть несколько незначительных их вариаций, если взять производные подгруппы или же центральный частные, последний дает проективные линейные группы. Их можно построить над конечными полями (или любым другим полем) почти так же, как они строятся над действительными числами. Они соответствуют серии A_п, B_п, С_п, D_п,²А_п, ²D_п групп Шевалле и Штейнберга.

Группы Шевалле

Группы Шевалле можно рассматривать как группы Ли над конечными полями. Теория была прояснена теорией алгебраические группы, и работа Chevalley (1955 ) на алгебрах Ли, с помощью которых Группа Шевалле концепция была изолирована. Шевалле построил Основа Шевалле (своего рода интегральная форма, но над конечными полями) для всех сложных простые алгебры Ли (а точнее их универсальные обертывающие алгебры ), которые можно использовать для определения соответствующих алгебраических групп над целыми числами. В частности, он мог брать свои точки со значениями в любом конечном поле. Для алгебр Ли A_п, B_п, С_п, D_п это дало хорошо известные классические группы, но его конструкция также дала группы, связанные с исключительными алгебрами Ли E₆, E₇, E₈, F₄, а G₂. Типа G₂ (иногда называют Группы Диксона) уже был построен Диксон (1905), а типа E₆ к Диксон (1901).

Группы Штейнберга

Конструкция Шевалле дала не все известные классические группы: она опустила унитарные группы и не-разбить ортогональные группы. Стейнберг (1959) нашли модификацию конструкции Шевалле, которая дала этим группам и двум новым семействам ³D₄, ²E₆, вторая из которых была открыта примерно в то же время с другой точки зрения Сиськи (1958). Эта конструкция обобщает обычную конструкцию унитарной группы из общей линейной группы.

Унитарная группа возникает следующим образом: полная линейная группа над сложные числа имеет диаграммный автоморфизм дано изменением Диаграмма Дынкина А_п (что соответствует транспонированной инверсии), а полевой автоморфизм дан, взяв комплексное сопряжение, которые ездят на работу. Унитарная группа - это группа неподвижных точек произведения этих двух автоморфизмов.

Точно так же многие группы Шевалле имеют диаграммные автоморфизмы, индуцированные автоморфизмы их диаграмм Дынкина, и автоморфизмы поля, индуцированные автоморфизмами конечного поля. Аналогично унитарному случаю Стейнберг построил семейства групп, взяв неподвижные точки произведения диаграммы и полевого автоморфизма.

Они дали:

то унитарные группы ²А_п, из автоморфизма порядка 2 группы A_п;
дальше ортогональные группы ²D_п, из автоморфизма порядка 2 D_п;
новая серия ²E₆, из автоморфизма порядка 2 E₆;
новая серия ³D₄, из автоморфизма порядка 3 D₄.

Группы типа ³D₄ не имеют аналога над действительными числами, так как комплексные числа не имеют автоморфизма порядка 3.^{[требуется разъяснение ]} Симметрии D₄ диаграмма также приводит к триальность.

Группы Сузуки – Ри

Сузуки (1960 ) обнаружил новую бесконечную серию групп, которые на первый взгляд казались не связанными с известными алгебраическими группами. Ри (1960, 1961 ) знал, что алгебраическая группа B₂ имел "лишний" автоморфизм в характеристике 2, квадрат которого был Автоморфизм Фробениуса. Он обнаружил, что если конечное поле характеристики 2 также имеет автоморфизм, квадрат которого является отображением Фробениуса, то аналог конструкции Стейнберга дает группы Судзуки. Поля с таким автоморфизмом - поля порядка 2^2п+1, а соответствующие группы - это группы Сузуки

²B₂(2^2п+1) = Сузь (2^2п+1).

(Строго говоря, группа Suz (2) не считается группой Судзуки, поскольку она непроста: это Группа Фробениуса порядка 20.) Ри удалось найти две новые похожие семьи.

²F₄(2^2п+1)

и

²грамм₂(3^2п+1)

простых групп, используя тот факт, что F₄ и G₂ имеют лишние автоморфизмы в характеристиках 2 и 3. (Грубо говоря, в характеристике п можно игнорировать стрелку на связях множественности п в диаграмме Дынкина при взятии автоморфизмов диаграмм.) Наименьшая группа ²F₄(2) типа ²F₄ не простой, но он имеет простую подгруппу индекс 2, названный Группа синицы (назван в честь математика Жак Титс ). Самая маленькая группа ²грамм₂(3) типа ²грамм₂ не прост, но имеет простую нормальную подгруппу индекса 3, изоморфную A₁(8). в классификация конечных простых групп, группы Ри

²грамм₂(3^2п+1)

это те, чью структуру труднее всего определить в явном виде. Эти группы также сыграли роль в открытии первой современной спорадической группы. У них есть централизаторы инволюции вида Z/2Z × PSL (2, q) за q = 3^п, и исследуя группы с централизатором инволюции аналогичного вида Z/2Z × PSL (2, 5) Янко обнаружил спорадическую группуJ₁.

Группы Судзуки - единственные конечные неабелевы простые группы, порядок которых не делится на 3. У них порядок 2.^2(2п+1)(2^2(2п+1) + 1)(2^(2п+1) − 1).

Отношения с конечными простыми группами

Конечные группы лиева типа были одними из первых групп, которые стали рассматриваться в математике после циклический, симметричный и чередование группы, с проективные специальные линейные группы над простыми конечными полями PSL (2, п) строится Эварист Галуа в 1830-х гг. Систематическое исследование конечных групп лиева типа началось с Камилла Джордан Теорема о том, что проективная специальная линейная группа PSL (2, q) прост для q 2, 3. Эта теорема обобщается на проективные группы более высоких размерностей и дает важное бесконечное семейство PSL (п, q) из конечные простые группы. Другие классические группы изучались Леонард Диксон в начале 20 века. В 1950-е годы Клод Шевалле понял, что после соответствующей переформулировки многие теоремы о полупростые группы Ли допускают аналоги для алгебраических групп над произвольным полем k, что привело к созданию того, что сейчас называется Группы Шевалле. Более того, как и в случае компактных простых групп Ли, соответствующие группы оказались почти простыми как абстрактные группы (Теорема Титса о простоте). Хотя с 19 века было известно, что существуют и другие конечные простые группы (например, Матье группы ), постепенно сформировалось убеждение, что почти все конечные простые группы могут быть объяснены соответствующими расширениями конструкции Шевалле вместе с циклическими и знакопеременными группами. Более того, исключения, спорадические группы, разделяют многие свойства с конечными группами лиева типа и, в частности, могут быть построены и охарактеризованы на основе их геометрия в смысле Титс.

Вера теперь превратилась в теорему - классификация конечных простых групп. Просмотр списка конечных простых групп показывает, что группы лиева типа над конечное поле включают все конечные простые группы, кроме циклических групп, знакопеременных групп, Группа синицы, а 26 спорадические простые группы.

Малые группы лиева типа

В общем случае конечная группа, связанная с эндоморфизмом односвязной простой алгебраической группы, является универсальным центральным расширением простой группы, так же как и идеально и имеет тривиальный Множитель Шура. Однако некоторые из самых маленьких групп в перечисленных выше семьях либо несовершенны, либо имеют множитель Шура больше, чем «ожидаемый».

Случаи, когда группа не идеальна, включают

А₁(2) = SL (2, 2) Разрешаемая порядка 6 (симметрическая группа по 3 точкам)
А₁(3) = SL (2, 3) Решаемая порядка 24 (двойное покрытие знакопеременной группы по 4 точкам)
²А₂(4) Решаемая
B₂(2) Не идеальна, но изоморфна симметрической группе в 6 точках, поэтому ее производная подгруппа имеет индекс 2 и проста порядка 360.
²B₂(2) = Suz (2) Разрешаемая порядка 20 (группа Фробениуса)
²F₄(2) Не идеально, но производная группа имеет индекс 2 и является простой Группа синицы.
грамм₂(2) Не идеально, но производная группа имеет индекс 2 и проста порядка 6048.
²грамм₂(3) Не идеально, но производная группа имеет индекс 3 и является простой группой порядка 504.

Некоторые случаи, когда группа идеальна, но множитель Шура больше ожидаемого, включают:

А₁(4) Множитель Шура имеет дополнительную Z/2Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
А₁(9) Множитель Шура имеет дополнительную Z/3Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 6 вместо 2.
А₂(2) Множитель Шура имеет дополнительную Z/2Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
А₂(4) Множитель Шура имеет дополнительную Z/4Z × Z/4Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 48 вместо 3.
А₃(2) Множитель Шура имеет дополнительную Z/2Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
B₃(2) = С₃(2) Множитель Шура имеет дополнительную Z/2Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
B₃(3) Множитель Шура имеет дополнительную Z/3Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 6 вместо 2.
D₄(2) Множитель Шура имеет дополнительную Z/2Z × Z/2Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 4 вместо 1.
F₄(2) Множитель Шура имеет дополнительную Z/2Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
грамм₂(3) Множитель Шура имеет дополнительную Z/3Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 3 вместо 1.
грамм₂(4) Множитель Шура имеет дополнительную Z/2Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
²А₃(4) Множитель Шура имеет дополнительную Z/2Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
²А₃(9) Множитель Шура имеет дополнительную Z/3Z × Z/3Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 36 вместо 4.
²А₅(4) Множитель Шура имеет дополнительную Z/2Z × Z/2Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 12 вместо 3.
²E₆(4) Множитель Шура имеет дополнительную Z/2Z × Z/2Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 12 вместо 3.
²B₂(8) Множитель Шура имеет дополнительную Z/2Z × Z/2Z, поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 4 вместо 1.

Существует поразительное количество «случайных» изоморфизмов между различными малыми группами лиева типа (и знакопеременными группами). Например, группы SL (2, 4), PSL (2, 5) и знакопеременная группа в 5 точках изоморфны.

Полный список этих исключений см. список конечных простых групп. Многие из этих особых свойств связаны с некоторыми спорадическими простыми группами.

Чередующиеся группы иногда ведут себя так, как если бы они были группами лиева типа над поле с одним элементом. Некоторые из малых переменных групп также обладают исключительными свойствами. Чередующиеся группы обычно имеют группа внешних автоморфизмов порядка 2, но переменная группа на 6 точках имеет группа внешних автоморфизмов порядка 4. Чередующиеся группы обычно имеют множитель Шура порядка 2, но группы с 6 или 7 точками имеют Множитель Шура порядка 6.

Проблемы с обозначениями

Стандартных обозначений для конечных групп лиева типа не существует, а в литературе есть десятки несовместимых и запутанных систем обозначений для них.

Простая группа PSL (п, q) обычно не совпадает с группой PSL (п, F_q) из F_q-значные точки алгебраической группы PSL (п). Проблема в том, что сюръективное отображение алгебраических групп, таких как SL (п) → PSL (п) не обязательно индуцирует сюръективное отображение соответствующих групп со значениями в некотором (не алгебраически замкнутом) поле. Аналогичные проблемы возникают с точками других алгебраических групп со значениями в конечных полях.
Группы типа A_п−1 иногда обозначают PSL (п, q) (проективная специальная линейная группа) или L(п, q).
Группы типа C_п иногда обозначают Sp (2п, q) (симплектическая группа) или (что сбивает с толку) на Sp (п, q).
Обозначения для групп типа D_п ("ортогональные" группы) особенно сбивает с толку. Некоторые используемые символы: O (п, q), О⁻(п, q), PSO (п, q), Ω_п(q), но существует так много соглашений, что невозможно точно сказать, каким группам они соответствуют, если это не указано явно. Источник проблемы в том, что простая группа не является ортогональной группой O и не является проективная специальная ортогональная группа PSO, а скорее подгруппа PSO,^[2] который, соответственно, не имеет классических обозначений. Особенно неприятная ловушка состоит в том, что некоторые авторы, такие как АТЛАС, используйте O (п, q) для группы, которая нет ортогональная группа, но соответствующая простая группа. Обозначения Ω, PΩ были введены Жан Дьедонне, хотя его определение непросто для п ≤ 4 и, таким образом, то же обозначение может использоваться для немного другой группы, что согласуется с п ≥ 5, но не в нижнем измерении.^[2]
Для групп Штейнберга некоторые авторы пишут ²А_п(q²) (и т. д.) для группы, которую другие авторы обозначают через ²А_п(q). Проблема в том, что задействованы два поля, одно из которых q², и его фиксированное поле порядка q, и у людей есть разные идеи, которые должны быть включены в обозначения. "²А_п(q²) "условность более логична и последовательна, но"²А_п(q) "соглашение гораздо более распространено и ближе к соглашению для алгебраические группы.
Авторы расходятся во мнениях относительно того, являются ли такие группы, как A_п(q) - группы точек со значениями в простой или односвязной алгебраической группе. Например, A_п(q) может означать либо специальную линейную группу SL (п+1, q) или проективной специальной линейной группы PSL (п+1, q). Так ²А₂(4) может быть любой из 4 различных групп, в зависимости от автора.

Группа лиева типа - Group of Lie type

Содержание