Список конечных простых групп - List of finite simple groups
В математика, то классификация конечных простых групп заявляет, что каждый конечный простая группа является циклический, или же чередование, или в одной из 16 семей группы лиева типа, или один из 26 спорадические группы.
В приведенном ниже списке приведены все конечные простые группы вместе с их порядок, размер Множитель Шура, размер группа внешних автоморфизмов, обычно небольшие представления, и списки всех дубликатов.
Резюме
В следующей таблице представлен полный список 18 семейств конечных простых групп и 26 спорадических простых групп, а также их порядки. Перечисляются любые непростые члены каждой семьи, а также любые члены, дублированные внутри семьи или между семьями. (При удалении дубликатов полезно отметить, что никакие две конечные простые группы не имеют одинаковый порядок, за исключением того, что группа A8 = А3(2) и А2(4) оба имеют порядок 20160, и что группа Bп(q) имеет тот же порядок, что и Cп(q) за q странный, п > 2. Наименьшей из последних пар групп являются B3(3) и C3(3) оба имеют заказ 4585351680.)
Существует досадный конфликт между обозначениями чередующихся групп Aп и группы лиева типа Ап(q). Некоторые авторы используют разные шрифты для Aп различать их. В частности, в этой статье мы проводим различие, устанавливая знакопеременные группы Aп римским шрифтом и группами лиевского типа Ап(q) курсивом.
В дальнейшем п положительное целое число, и q положительная степень простого числа п, с указанными ограничениями. Обозначение (а,б) представляет собой наибольший общий делитель целых чисел а и б.
Учебный класс | Семья | Заказ | Исключения | Дубликаты | |
---|---|---|---|---|---|
Циклические группы | Zп | п | Никто | Никто | |
Чередующиеся группы | Ап п > 4 | Никто |
| ||
Классический Группы Шевалле | Ап(q) | А1(2), А1(3) |
| ||
Bп(q) п > 1 | B2(2) |
| |||
Cп(q) п > 2 | Никто | Cп(2м) ≃ Bп(2м) | |||
Dп(q) п > 3 | Никто | Никто | |||
Исключительный Группы Шевалле | E6(q) | Никто | Никто | ||
E7(q) | Никто | Никто | |||
E8(q) | Никто | Никто | |||
F4(q) | Никто | Никто | |||
грамм2(q) | грамм2(2) | Никто | |||
Классический Группы Штейнберга | 2Ап(q2) п > 1 | 2А2(22) | 2А3(22) ≃ B2(3) | ||
2Dп(q2) п > 3 | Никто | Никто | |||
Исключительный Группы Штейнберга | 2E6(q2) | Никто | Никто | ||
3D4(q3) | Никто | Никто | |||
Группы Suzuki | 2B2(q) q = 22п+1 п ≥ 1 | Никто | Никто | ||
Ри группы + Группа синицы | 2F4(q) q = 22п+1 п ≥ 1 | Никто | Никто | ||
2F4(2)′ | 212(26 + 1)(24 − 1)(23 + 1)(2 − 1)/2 = 17971200 | ||||
2грамм2(q) q = 32п+1 п ≥ 1 | Никто | Никто | |||
Матье группы | M11 | 7920 | |||
M12 | 95040 | ||||
M22 | 443520 | ||||
M23 | 10200960 | ||||
M24 | 244823040 | ||||
Янко группы | J1 | 175560 | |||
J2 | 604800 | ||||
J3 | 50232960 | ||||
J4 | 86775571046077562880 | ||||
Конвей группы | Co3 | 495766656000 | |||
Co2 | 42305421312000 | ||||
Co1 | 4157776806543360000 | ||||
Группы Фишера | Fi22 | 64561751654400 | |||
Fi23 | 4089470473293004800 | ||||
Fi24′ | 1255205709190661721292800 | ||||
Группа Хигмана – Симса | HS | 44352000 | |||
Группа Маклафлина | McL | 898128000 | |||
Проведенная группа | Он | 4030387200 | |||
Группа Рудвалис | RU | 145926144000 | |||
Suzuki спорадическая группа | Suz | 448345497600 | |||
О'Нан группа | НА | 460815505920 | |||
Группа Харада – Нортон | HN | 273030912000000 | |||
Лионская группа | Ly | 51765179004000000 | |||
Группа Томпсона | Чт | 90745943887872000 | |||
Группа Baby Monster | B | 4154781481226426191177580544000000 | |||
Группа монстров | M | 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 |
Циклические группы, Zп
Простота: Просто для п простое число.
Заказ: п
Множитель Шура: Тривиально.
Группа внешних автоморфизмов: Цикличность порядка п − 1.
Другие имена: Z /пZ, Cп
Примечания: Это единственные простые группы, которые не идеально.
Чередующиеся группы, Ап, п > 4
Простота: Решаемый для п <5, в остальном просто.
Заказ: п! / 2 когда п > 1.
Множитель Шура: 2 для п = 5 или п > 7, 6 для п = 6 или 7; видеть Накрывающие группы знакопеременной и симметричной групп
Группа внешних автоморфизмов: В общем 2. Исключения: для п = 1, п = 2, это тривиально, а при п = 6, она имеет порядок 4 (элементарный абелев).
Другие имена: Altп.
Изоморфизмы: А1 и А2 тривиальны. А3 цикличен порядка 3. A4 изоморфен А1(3) (разрешимо). А5 изоморфен А1(4) и к А1(5). А6 изоморфен А1(9) и производной группе B2(2) ′. А8 изоморфен А3(2).
Примечания: An индекс 2 подгруппа симметричная группа перестановок п указывает, когда п > 1.
Группы лиева типа
Обозначение: п положительное целое число, q > 1 - степень простого числа п, и это порядок некоторых базовых конечное поле. Порядок группы внешних автоморфизмов записывается как d⋅ж⋅грамм, куда d - порядок группы «диагональных автоморфизмов», ж - порядок (циклической) группы «полевых автоморфизмов» (порожденной Автоморфизм Фробениуса ), и грамм - порядок группы «автоморфизмов графов» (происходящих из автоморфизмов Диаграмма Дынкина ). Группа внешних автоморфизмов изоморфна полупрямому произведению где все эти группы циклические соответствующих порядков д, е, г, кроме типа , нечетное, где группа порядка является , и (только когда ) , симметрическая группа на трех элементах. Обозначение (а,б) представляет собой наибольший общий делитель целых чисел а и б.
Группы Шевалле, Ап(q), Bп(q) п > 1, Cп(q) п > 2, Dп(q) п > 3
Группы Шевалле, Ап(q) линейные группы | Группы Шевалле, Bп(q) п > 1 ортогональные группы | Группы Шевалле, Cп(q) п > 2 симплектические группы | Группы Шевалле, Dп(q) п > 3 ортогональные группы | |
---|---|---|---|---|
Простота | А1(2) и А1(3) разрешимы, остальные просты. | B2(2) не простая, но производная от нее группа B2(2) ′ - простая подгруппа индекса 2; остальные просты. | Все просто | Все просто |
Заказ | ||||
Множитель Шура | Для простых групп он цикличен порядка (п+1,q−1) за исключением А1(4) (заказ 2), А1(9) (заказ 6), А2(2) (заказ 2), А2(4) (порядок 48, произведение циклических групп порядков 3, 4, 4), А3(2) (заказ 2). | (2,q−1) за исключением B2(2) = S6 (заказ 2 для B2(2), заказ 6 для B2(2) ′) и B3(2) (порядок 2) и B3(3) (заказ 6). | (2,q−1) за исключением C3(2) (заказ 2). | Порядок (4,qп−1) (циклический при п нечетный, элементарный абелев для п даже) кроме D4(2) (порядок 4, элементарный абелев). |
Группа внешних автоморфизмов | (2,q−1)⋅ж⋅1 для п = 1; (п+1,q−1)⋅ж⋅2 для п > 1, где q = пж | (2,q−1)⋅ж⋅1 для q странный или п > 2; (2,q−1)⋅ж⋅2 для q даже и п = 2, где q = пж | (2,q−1)⋅ж⋅1, где q = пж | (2,q−1)2⋅ж⋅S3 за п = 4, (2,q−1)2⋅ж⋅2 для п > 4 даже, (4,qп−1)⋅ж⋅2 для п странно, где q = пж, а S3 симметрическая группа порядка 3! на 3 балла. |
Другие имена | Проективные специальные линейные группы, PSLп+1(q), Lп+1(q), PSL (п + 1,q) | О2п+1(q), Ω2п+1(q) (за q странный). | Проективная симплектическая группа, PSp2п(q), PSpп(q) (не рекомендуется), S2п(q), Абелева группа (архаическая). | О2п+(q), PΩ2п+(q). "Гипоабелева группа "- архаичное название этой группы в характеристике 2. |
Изоморфизмы | А1(2) изоморфна симметрической группе в 3 точках порядка 6. А1(3) изоморфна знакопеременной группе A4 (разрешимо). А1(4) и А1(5) оба изоморфны знакопеременной группе A5. А1(7) и А2(2) изоморфны. А1(8) изоморфна производной группе 2грамм2(3)′. А1(9) изоморфна A6 и производной группе B2(2)′. А3(2) изоморфна A8. | Bп(2м) изоморфна Cп(2м). B2(2) изоморфна симметрической группе в 6 точках, а производная группа B2(2) ′ изоморфна А1(9) и до A6. B2(3) изоморфно 2А3(22). | Cп(2м) изоморфен Bп(2м) | |
Замечания | Эти группы получены из общие линейные группы GLп+1(q), взяв элементы определителя 1 (давая специальные линейные группы SLп+1(q)) а потом выделение по центру. | Это группа, полученная из ортогональная группа в измерении 2п + 1, взяв ядро определителя и спинорная норма карты. B1(q) также существует, но совпадает с А1(q). B2(q) имеет нетривиальный графовый автоморфизм, когда q это степень двойки. | Эта группа получается из симплектическая группа через 2п размеры по выделение центр. C1(q) также существует, но совпадает с А1(q). C2(q) также существует, но совпадает с B2(q). | Это группа, полученная из расщепленная ортогональная группа в измерении 2п взяв ядро определителя (или Инвариант Диксона в характеристике 2) и спинорная норма карты, а затем убивая центр. Группы типа D4 имеют необычно большую группу диаграммных автоморфизмов порядка 6, содержащую триальность автоморфизм. D2(q) также существует, но совпадает с А1(q)×А1(q). D3(q) также существует, но совпадает с А3(q). |
Группы Шевалле, E6(q), E7(q), E8(q), F4(q), грамм2(q)
Группы Шевалле, E6(q) | Группы Шевалле, E7(q) | Группы Шевалле, E8(q) | Группы Шевалле, F4(q) | Группы Шевалле, грамм2(q) | |
---|---|---|---|---|---|
Простота | Все просто | Все просто | Все просто | Все просто | грамм2(2) не простая, но производная от нее группа грамм2(2) ′ - простая подгруппа индекса 2; остальные просты. |
Заказ | q36(q12−1)(q9−1)(q8−1)(q6−1)(q5−1)(q2−1)/(3,q−1) | q63(q18−1)(q14−1)(q12−1)(q10−1)(q8−1)(q6−1)(q2−1)/(2,q−1) | q120(q30−1)(q24−1)(q20−1)(q18−1)(q14−1)(q12−1)(q8−1)(q2−1) | q24(q12−1)(q8−1)(q6−1)(q2−1) | q6(q6−1)(q2−1) |
Множитель Шура | (3,q−1) | (2,q−1) | Банальный | Тривиально, за исключением F4(2) (заказ 2) | Тривиально для простых групп, за исключением грамм2(3) (порядок 3) и грамм2(4) (заказ 2) |
Группа внешних автоморфизмов | (3,q−1)⋅ж⋅2, где q = пж | (2,q−1)⋅ж⋅1, где q = пж | 1⋅ж⋅1, где q = пж | 1⋅ж⋅1 для q нечетный, 1⋅ж⋅2 для q даже, где q = пж | 1⋅ж⋅1 для q не степень 3, 1⋅ж⋅2 для q степень 3, где q = пж |
Другие имена | Исключительная группа Chevalley | Исключительная группа Chevalley | Исключительная группа Chevalley | Исключительная группа Chevalley | Исключительная группа Chevalley |
Изоморфизмы | Производная группа грамм2(2) ′ изоморфна 2А2(32). | ||||
Замечания | Имеет два представления размерности 27 и действует в алгебре Ли размерности 78. | Имеет представления размерности 56 и действует на соответствующей алгебре Ли размерности 133. | Он действует на соответствующей алгебре Ли размерности 248. E8(3) содержит простую группу Томпсона. | Эти группы действуют на 27-мерных исключительных Йордановы алгебры, что дает им 26-мерные представления. Они также действуют на соответствующие алгебры Ли размерности 52. F4(q) имеет нетривиальный графовый автоморфизм, когда q это степень двойки. | Эти группы являются группами автоморфизмов 8-мерных Алгебры Кэли над конечными полями, что дает им 7-мерные представления. Они также действуют на соответствующие алгебры Ли размерности 14. грамм2(q) имеет нетривиальный графовый автоморфизм, когда q является степенью 3. Более того, они появляются как группы автоморфизмов некоторых геометрий точечных линий, называемых расщепленными Кэли. обобщенные шестиугольники. |
Группы Штейнберга, 2Ап(q2) п > 1, 2Dп(q2) п > 3, 2E6(q2), 3D4(q3)
Группы Штейнберга, 2Ап(q2) п > 1 унитарные группы | Группы Штейнберга, 2Dп(q2) п > 3 ортогональные группы | Группы Штейнберга, 2E6(q2) | Группы Штейнберга, 3D4(q3) | |
---|---|---|---|---|
Простота | 2А2(22) разрешима, остальные - просты. | Все просто | Все просто | Все просто |
Заказ | q36(q12−1)(q9+1)(q8−1)(q6−1)(q5+1)(q2−1)/(3,q+1) | q12(q8+q4+1)(q6−1)(q2−1) | ||
Множитель Шура | Цикличность порядка (п+1,q+1) для простых групп, кроме 2А3(22) (порядок 2), 2А3(32) (порядок 36, произведение циклических групп порядков 3,3,4), 2А5(22) (порядок 12, произведение циклических групп порядков 2,2,3) | Цикл порядка (4,qп+1) | (3,q+1) кроме 2E6(22) (порядок 12, произведение циклических групп порядков 2,2,3). | Банальный |
Группа внешних автоморфизмов | (п+1,q+1)⋅ж⋅1, где q2 = пж | (4,qп+1)⋅ж⋅1, где q2 = пж | (3,q+1)⋅ж⋅1, где q2 = пж | 1⋅ж⋅1, где q3 = пж |
Другие имена | Скрученная группа Шевалле, проективная специальная унитарная группа, PSUп+1(q), БП (п + 1, q), Uп+1(q), 2Ап(q), 2Ап(q, q2) | 2Dп(q), O2п−(q), PΩ2п−(q), скрученная группа Шевалле. «Гипоабелева группа» - архаичное название этой группы в характеристике 2. | 2E6(q), скрученная группа Шевалле | 3D4(q), D42(q3), Скрученные группы Шевалле |
Изоморфизмы | Разрешаемая группа 2А2(22) изоморфна расширению группы кватернионов порядка 8 элементарной абелевой группой порядка 9. 2А2(32) изоморфна производной группе грамм2(2)′. 2А3(22) изоморфна B2(3). | |||
Замечания | Это получается из унитарная группа в п +1 размерности, взяв подгруппу элементов определителя 1, а затем частное в центре. | Это группа, полученная из нерасщепляемой ортогональной группы в размерности 2.п взяв ядро определителя (или Инвариант Диксона в характеристике 2) и спинорная норма карты, а затем убивая центр. 2D2(q2) также существует, но совпадает с А1(q2). 2D3(q2) также существует, но совпадает с 2А3(q2). | Одно из исключительных двойных каверов на 2E6(22) является подгруппой группы маленьких монстров, а исключительное центральное расширение элементарной абелевой группой порядка 4 является подгруппой группы монстров. | 3D4(23) действует на единственной четной 26-мерной решетке определителя 3 без корней. |
Группы Suzuki, 2B2(22п+1)
Простота: Просто для п ≥ 1. Группа2B2(2) разрешима.
Заказ:q2(q2 + 1)(q - 1), гдеq = 22п+1.
Множитель Шура: Тривиально для п 1, элементарный абелев порядка 4 для 2B2(8).
Группа внешних автоморфизмов:
- 1⋅ж⋅1,
куда ж = 2п + 1.
Другие имена: Сузь (22п+1), Sz (22п+1).
Изоморфизмы: 2B2(2) - группа Фробениуса порядка 20.
Примечания: Группа Сузуки Группы Цассенхауза действуя на наборы размера (22п+1)2 + 1, и имеют 4-мерные представления над полем с 22п+1 элементы. Это единственные нециклические простые группы, порядок которых не делится на 3. Они не имеют отношения к спорадической группе Судзуки.
Ри группы и Группа синицы, 2F4(22п+1)
Простота: Просто для п ≥ 1. Производная группа 2F4(2) ′ проста индекса 2 в 2F4(2) и называется Группа синицы, названный в честь бельгийского математика Жак Титс.
Заказ:q12(q6 + 1)(q4 − 1)(q3 + 1)(q - 1), гдеq = 22п+1.
Группа Титсов имеет порядок 17971200 = 2.11 ⋅ 33 ⋅ 52 ⋅ 13.
Множитель Шура: Тривиально для п ≥ 1 и для группы Титса.
Группа внешних автоморфизмов:
- 1⋅ж⋅1,
куда ж = 2п + 1. Заказ 2 для группы синицы.
Примечания: В отличие от других простых групп лиева типа, группа Титса не имеет Пара BN, хотя его группа автоморфизмов делает это, большинство авторов считают его своего рода почетной группой лиева типа.
Ри группы, 2грамм2(32п+1)
Простота: Просто для п ≥ 1. Группа 2грамм2(3) не простая, но ее производная группа 2грамм2(3) ′ - простая подгруппа индекса 3.
Заказ:q3(q3 + 1)(q - 1), гдеq = 32п+1
Множитель Шура: Тривиально для п ≥ 1 и для 2грамм2(3)′.
Группа внешних автоморфизмов:
- 1⋅ж⋅1,
куда ж = 2п + 1.
Другие имена: Ри (32п+1), R (32п+1), E2∗(32п+1) .
Изоморфизмы: Производная группа 2грамм2(3) ′ изоморфна А1(8).
Примечания: 2грамм2(32п+1) имеет дважды транзитивное перестановочное представление на 33(2п+1) +1 балл и действует в 7-мерном векторном пространстве над полем с 32п+1 элементы.
Спорадические группы
Матье группы, М11, М12, М22, М23, М24
Группа Матье, М11 | Группа Матье, М12 | Группа Матье, М22 | Группа Матье, М23 | Группа Матье, М24 | |
---|---|---|---|---|---|
Заказ | 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 11 = 7920 | 26 ⋅ 33 ⋅ 5 ⋅ 11 = 95040 | 27 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 443520 | 27 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 10200960 | 210 ⋅ 33 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 244823040 |
Множитель Шура | Банальный | Заказ 2 | Цикл порядка 12[а] | Банальный | Банальный |
Группа внешних автоморфизмов | Банальный | Заказ 2 | Заказ 2 | Банальный | Банальный |
Замечания | 4-транзитивный группа перестановок на 11 точках, а является точечным стабилизатором M12 (в 5-транзитивном 12-точечном перестановочном представлении M12). Группа M11 также содержится в M23. Подгруппа в M11 фиксация точки в 4-транзитивном 11-точечном представлении перестановок иногда называется M10, и имеет подгруппу индекса 2, изоморфную знакопеременной группе A6. | 5-переходный группа перестановок по 12 точкам, содержащимся в M24. | 3-транзитивный группа перестановок на 22 точках, а является точечным стабилизатором M23 (в 4-транзитивном 23-точечном перестановочном представлении M23). Подгруппа в M22 фиксацию точки в 3-транзитивном представлении перестановок из 22 точек иногда называют M21, и изоморфен PSL (3,4) (т.е. изоморфенА2(4)). | 4-транзитивный группа перестановок на 23 точках, а является точечным стабилизатором M24 (в 5-транзитивном 24-точечном перестановочном представлении M24). | 5-переходный группа перестановок на 24 балла. |
Янко группы, Дж1, Дж2, Дж3, Дж4
Янко группа, J1 | Янко группа, J2 | Янко группа, J3 | Янко группа, J4 | |
---|---|---|---|---|
Заказ | 23 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 175560 | 27 ⋅ 33 ⋅ 52 ⋅ 7 = 604800 | 27 ⋅ 35 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 19 = 50232960 | 221 ⋅ 33 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 113 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 43 = 86775571046077562880 |
Множитель Шура | Банальный | Заказ 2 | Заказ 3 | Банальный |
Группа внешних автоморфизмов | Банальный | Заказ 2 | Заказ 2 | Банальный |
Другие имена | Дж (1), Дж (11) | Холл – Янко группа, HJ | Группа Хигмана – Янко – Маккея, HJM | |
Замечания | Это подгруппа грамм2(11), и поэтому имеет 7-мерное представление над полем из 11 элементов. | Группа автоморфизмов J2: 2 из J2 группа автоморфизмов графа ранга 3 на 100 точках, называемая График Холла-Янко. Это также группа автоморфизмов регулярного около восьмиугольника называется Холл-Янко возле восьмиугольника. Группа J2 содержится вграмм2(4). | J3 кажется, не имеет отношения ни к каким другим спорадическим группам (или к чему-либо еще). Его тройная крышка имеет 9-мерное унитарное представительство над полем с 4 элементами. | Имеет 112-мерное представление над полем с 2 элементами. |
Конвей группы, Co1, Co2, Co3
Конвей группа, Ко1 | Конвей группа, Ко2 | Конвей группа, Ко3 | |
---|---|---|---|
Заказ | 221 ⋅ 39 ⋅ 54 ⋅ 72 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 23 = 4157776806543360000 | 218 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 42305421312000 | 210 ⋅ 37 ⋅ 53 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 495766656000 |
Множитель Шура | Заказ 2 | Банальный | Банальный |
Группа внешних автоморфизмов | Банальный | Банальный | Банальный |
Другие имена | ·1 | ·2 | · 3, С3 |
Замечания | Идеальное двойное покрытие Co0 Ко1 группа автоморфизмов Решетка пиявки, и иногда обозначается · 0. | Подгруппа Co0; фиксирует вектор нормы 4 в Решетка пиявки. | Подгруппа Co0; фиксирует вектор нормы 6 в Решетка пиявки. Он имеет дважды транзитивное перестановочное представление на 276 точках. |
Группы Фишера, Fi22, Fi23, Fi24′
Группа Фишера, Fi22 | Группа Фишера, Fi23 | Группа Фишера, Fi24′ | |
---|---|---|---|
Заказ | 217 ⋅ 39 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 64561751654400 | 218 ⋅ 313 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 = 4089470473293004800 | 221 ⋅ 316 ⋅ 52 ⋅ 73 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 ⋅ 29 = 1255205709190661721292800 |
Множитель Шура | Заказ 6 | Банальный | Заказ 3 |
Группа внешних автоморфизмов | Заказ 2 | Банальный | Заказ 2 |
Другие имена | M(22) | M(23) | M(24)′, F3+ |
Замечания | 3-транспозиционная группа, двойное накрытие которой содержится в Fi23. | 3-транспозиционная группа, содержащаяся в Fi24′. | Тройная крышка содержится в группе монстров. |
Группа Хигмана – Симса, HS
Заказ: 29 ⋅ 32 ⋅ 53 ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000
Множитель Шура: Заказ 2.
Группа внешних автоморфизмов: Заказ 2.
Примечания: Он действует как группа перестановок ранга 3 на графе Хигмана Симса со 100 точками и содержится в Co2 и в Co3.
Группа Маклафлина, McL
Заказ: 27 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000
Множитель Шура: Заказ 3.
Группа внешних автоморфизмов: Заказ 2.
Примечания: Действует как группа перестановок ранга 3 на графе Маклафлина с 275 точками и содержится в Co2 и в Co3.
Проведенная группа, Он
Заказ:210 ⋅ 33 ⋅ 52 ⋅ 73 ⋅ 17 = 4030387200
Множитель Шура: Тривиально.
Группа внешних автоморфизмов: Заказ 2.
Другие имена: Группа Хелда – Хигмана – Маккея, HHM, F7, HTH
Примечания: Централизует элемент порядка 7 в группе монстров.
Группа Рудвалис, RU
Заказ:214 ⋅ 33 ⋅ 53 ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000
Множитель Шура: Заказ 2.
Группа внешних автоморфизмов: Тривиально.
Примечания: Двойная крышка действует на 28-мерную решетку над Гауссовские целые числа.
Suzuki спорадическая группа, Суз
Заказ: 213 ⋅ 37 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600
Множитель Шура: Заказ 6.
Группа внешних автоморфизмов: Заказ 2.
Другие имена: Sz
Примечания: 6-кратное покрытие действует на 12-мерную решетку над Целые числа Эйзенштейна. Это не связано с группами Сузуки лиева типа.
О'Нан группа, НА
Заказ:29 ⋅ 34 ⋅ 5 ⋅ 73 ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920
Множитель Шура: Заказ 3.
Группа внешних автоморфизмов: Заказ 2.
Другие имена: Группа О'Нана – Симса, О'НС, О – С
Примечания:Тройное покрытие имеет два 45-мерных представления над полем из 7 элементов, замененных внешним автоморфизмом.
Группа Харада – Нортон, HN
Заказ:214 ⋅ 36 ⋅ 56 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000
Множитель Шура: Тривиально.
Группа внешних автоморфизмов: Заказ 2.
Другие имена: F5, D
Примечания: Централизует элемент порядка 5 в группе монстров.
Лионская группа, Ly
Заказ:28 ⋅ 37 ⋅ 56 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000
Множитель Шура: Тривиально.
Группа внешних автоморфизмов: Тривиально.
Другие имена: Lyons – Sims group, LyS
Примечания: Имеет 111-мерное представление над полем с 5 элементами.
Группа Томпсона, Чт
Заказ: 215 ⋅ 310 ⋅ 53 ⋅ 72 ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000
Множитель Шура: Тривиально.
Группа внешних автоморфизмов: Тривиально.
Другие имена: F3, E
Примечания: Централизует элемент порядка 3 в монстре и содержится в E8(3), поэтому имеет 248-мерное представление над полем с 3 элементами.
Группа Baby Monster, B
Заказ:
- 241 ⋅ 313 ⋅ 56 ⋅ 72 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47
- = 4154781481226426191177580544000000
Множитель Шура: Заказ 2.
Группа внешних автоморфизмов: Тривиально.
Другие имена: F2
Примечания: Двойная крышка содержится в группе монстров. Он имеет представление размерности 4371 над комплексными числами (без нетривиального инвариантного произведения) и представление размерности 4370 над полем с 2 элементами, сохраняющими коммутативный, но неассоциативный продукт.
Фишер – Грисс Группа монстров, М
Заказ:
- 246 ⋅ 320 ⋅ 59 ⋅ 76 ⋅ 112 ⋅ 133 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71
- = 808017424794512875886459904961710757005754368000000000
Множитель Шура: Тривиально.
Группа внешних автоморфизмов: Тривиально.
Другие имена: F1, М1, Группа монстров, Дружелюбный великан, чудовище Фишера.
Примечания: Содержит все другие спорадические группы, кроме 6, в качестве подфакторов. Относится к чудовищный самогон. Монстр - это группа автоморфизмов 196883-мерного Алгебра грисса и бесконечномерный монстр алгебра вершинных операторов, и естественно действует на монстр алгебра Ли.
Нециклические простые группы малого порядка
Заказ | Заказ с факторингом | Группа | Множитель Шура | Группа внешних автоморфизмов |
---|---|---|---|---|
60 | 22 ⋅ 3 ⋅ 5 | А5 = А1(4) = А1(5) | 2 | 2 |
168 | 23 ⋅ 3 ⋅ 7 | А1(7) = А2(2) | 2 | 2 |
360 | 23 ⋅ 32 ⋅ 5 | А6 = А1(9) = B2(2)′ | 6 | 2×2 |
504 | 23 ⋅ 32 ⋅ 7 | А1(8) = 2грамм2(3)′ | 1 | 3 |
660 | 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 | А1(11) | 2 | 2 |
1092 | 22 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13 | А1(13) | 2 | 2 |
2448 | 24 ⋅ 32 ⋅ 17 | А1(17) | 2 | 2 |
2520 | 23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 | А7 | 6 | 2 |
3420 | 22 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 19 | А1(19) | 2 | 2 |
4080 | 24 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 17 | А1(16) | 1 | 4 |
5616 | 24 ⋅ 33 ⋅ 13 | А2(3) | 1 | 2 |
6048 | 25 ⋅ 33 ⋅ 7 | 2А2(9) = грамм2(2)′ | 1 | 2 |
6072 | 23 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 23 | А1(23) | 2 | 2 |
7800 | 23 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 13 | А1(25) | 2 | 2×2 |
7920 | 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 11 | M11 | 1 | 1 |
9828 | 22 ⋅ 33 ⋅ 7 ⋅ 13 | А1(27) | 2 | 6 |
12180 | 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 29 | А1(29) | 2 | 2 |
14880 | 25 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 31 | А1(31) | 2 | 2 |
20160 | 26 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 | А3(2) = А8 | 2 | 2 |
20160 | 26 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 | А2(4) | 3×42 | D12 |
25308 | 22 ⋅ 32 ⋅ 19 ⋅ 37 | А1(37) | 2 | 2 |
25920 | 26 ⋅ 34 ⋅ 5 | 2А3(4) = B2(3) | 2 | 2 |
29120 | 26 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13 | 2B2(8) | 22 | 3 |
32736 | 25 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 31 | А1(32) | 1 | 5 |
34440 | 23 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 41 | А1(41) | 2 | 2 |
39732 | 22 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 43 | А1(43) | 2 | 2 |
51888 | 24 ⋅ 3 ⋅ 23 ⋅ 47 | А1(47) | 2 | 2 |
58800 | 24 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 72 | А1(49) | 2 | 22 |
62400 | 26 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 13 | 2А2(16) | 1 | 4 |
74412 | 22 ⋅ 33 ⋅ 13 ⋅ 53 | А1(53) | 2 | 2 |
95040 | 26 ⋅ 33 ⋅ 5 ⋅ 11 | M12 | 2 | 2 |
(Выполнено для заказов менее 100000)
Холл (1972) перечисляет 56 нециклических простых групп порядка менее миллиона.
Смотрите также
Примечания
- ^ При первоначальных расчетах множителя Шура было допущено несколько ошибок, поэтому в некоторых старых книгах и статьях указаны неверные значения. (Это вызвало ошибку в названии оригинальной статьи Янко 1976 г.[1] свидетельствующий о существовании группы J4. В то время считалось, что группа полного покрытия M22 было 6⋅M22. На самом деле J4 не имеет подгруппы 12⋅M22.)
Рекомендации
- ^ З. Янко (1976). "Новая конечная простая группа порядка 86 775 571 046 077 562 880, обладающая M24 и полная накрывающая группа M22 как подгруппы ". J. Алгебра. 42: 564–596. Дои:10.1016/0021-8693(76)90115-0.
дальнейшее чтение
- Простые группы лиева типа к Роджер В. Картер, ISBN 0-471-50683-4
- Конвей, Дж. Х.; Curtis, R.T .; Нортон, С. П.; Parker, R.A .; и Уилсон, Р.А.: "Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обыкновенные характеры простых групп."Оксфорд, Англия, 1985 год.
- Даниэль Горенштейн, Ричард Лайонс, Рональд Соломон Классификация конечных простых групп. (том 1), AMS, 1994 (том 3), АПП, 1998 г.
- Холл, Маршалл младший (1972), «Простые группы порядка менее одного миллиона», Журнал алгебры, 20: 98–102, Дои:10.1016/0021-8693(72)90090-7, ISSN 0021-8693, МИСТЕР 0285603
- Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы, Тексты для выпускников по математике 251, 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012
- Атлас представлений конечных групп: содержит представления и другие данные для многих конечных простых групп, включая спорадические группы.
- Порядки неабелевых простых групп до 1010, и далее до 1048 с ограничениями по рангу.
внешняя ссылка
- Порядки неабелевых простых групп до порядка 10 000 000 000.