Идеальная группа - Perfect group

В математика, а точнее в области абстрактная алгебра известный как теория групп, а группа как говорят идеально если он равен своему собственному коммутаторная подгруппа, или, что то же самое, если в группе нет нетривиальных абелевский частные (эквивалентно, его абелианизация, являющееся универсальным абелевым фактором, тривиально). В символах идеальная группа - это такая, что грамм⁽¹⁾ = грамм (коммутатор равен группе) или, что то же самое, такое, что грамм^ab = {1} (его абелианизация тривиальна).

Примеры

Наименьшей (нетривиальной) совершенной группой является переменная группа А₅. В общем, любые неабелевский, простая группа совершенен, поскольку коммутаторная подгруппа является нормальная подгруппа с абелевым фактором. И наоборот, идеальная группа не обязательно должна быть простой; например, специальная линейная группа над полем с 5 элементами SL (2,5) (или бинарная группа икосаэдра который изоморфен ему) совершенен, но не прост (имеет нетривиальный центр содержащий ${ displaystyle left ({ begin {smallmatrix} -1 & 0 0 & -1 end {smallmatrix}} right) = left ({ begin {smallmatrix} 4 & 0 0 & 4 end {smallmatrix}} right )}$ ).

В прямой продукт любых 2-х простых групп отлично, но не просто; коммутатор двух элементов [(a, b), (c, d)] = ([a, c], [b, d]). Поскольку коммутаторы в каждой простой группе образуют порождающий набор, пары коммутаторов образуют порождающий набор прямого произведения.

В более общем плане квазипростая группа (идеально центральное расширение простой группы), которая является нетривиальным расширением (и, следовательно, не является простой группой), совершенна, но не проста; сюда входят все неразрешимые непростые конечные специальные линейные группы SL (п,q) как продолжение проективная специальная линейная группа PSL (п,q) (SL (2,5) - расширение PSL (2,5), изоморфное А₅). Точно так же специальная линейная группа над действительными и комплексными числами совершенна, но общая линейная группа GL никогда не бывает совершенна (кроме случаев, когда она тривиальна или больше ${ displaystyle mathbb {F} _ {2}}$ , где он равен специальной линейной группе), поскольку детерминант дает нетривиальную абелианизацию, и действительно, коммутаторная подгруппа SL.

Однако нетривиальная совершенная группа не обязательно разрешимый; и 4 делит свой порядок (если конечный), более того, если 8 не делит порядок, то 3 делает.^[1]

Каждый ациклическая группа идеально, но обратное неверно: А₅ идеально, но не ациклично (фактически, даже не суперсовершенный ), видеть (Беррик и Хиллман, 2003 г. ). Фактически, для ${ displaystyle n geq 5}$ переменная группа ${ displaystyle A_ {n}}$ идеально, но не супер, с ${ Displaystyle Н_ {2} (А_ {п}, mathbb {Z}) = mathbb {Z} / 2}$ за ${ displaystyle n geq 8}$ .

Любой частное идеальной группы идеально. Нетривиальная конечная совершенная группа, которая не является простой, тогда должна быть расширением по крайней мере одной меньшей простой неабелевой группы. Но это может быть расширение более чем одной простой группы. Фактически, прямое произведение идеальных групп также идеально.

Каждая идеальная группа грамм определяет другую идеальную группу E (это универсальное центральное расширение ) вместе с сюръекцией f: E → грамм ядро которого находится в центре E,такой, что ж универсален с этим свойством. Ядро ж называется Множитель Шура из грамм потому что он был впервые изучен Иссай Шур в 1904 г .; она изоморфна группе гомологий ${ displaystyle H_ {2} (G)}$ .

в плюс строительство из алгебраическая K-теория, если рассматривать группу ${ displaystyle operatorname {GL} (A) = { text {colim}} operatorname {GL} _ {n} (A)}$ для коммутативного кольца ${ displaystyle A}$ , то подгруппа элементарных матриц ${ Displaystyle E (R)}$ образует идеальную подгруппу.

Гипотеза Оре

Поскольку коммутаторная подгруппа генерируется коммутаторами совершенная группа может содержать элементы, которые являются произведениями коммутаторов, но не сами коммутаторы. Øystein Ore В 1951 году доказал, что знакопеременные группы из пяти или более элементов содержат только коммутаторы, и высказал гипотезу, что это верно для всех конечных неабелевых простых групп. Гипотеза Оре была окончательно доказана в 2008 году. Доказательство опирается на классификационная теорема.^[2]

Лемма Грюна

Основной факт об идеальных группах: Лемма Грюна из (Грюн 1935, Сатц 4,^{[примечание 1]} п. 3): частное идеальной группы по ее центр не имеет центра (имеет тривиальный центр).

Доказательство: Если грамм идеальная группа, пусть Z₁ и Z₂ обозначим первые два члена верхний центральный ряд из грамм (т.е. Z₁ это центр грамм, и Z₂/Z₁ это центр грамм/Z₁). Если ЧАС и K являются подгруппами грамм, обозначим коммутатор из ЧАС и K к [ЧАС, K] и обратите внимание, что [Z₁, грамм] = 1 и [Z₂, грамм] ⊆ Z₁, и, следовательно (соглашение о том, что [Икс, Y, Z] = [[Икс, Y], Z] следует):
${ Displaystyle [Z_ {2}, G, G] = [[Z_ {2}, G], G] substeq [Z_ {1}, G] = 1}$
${ Displaystyle [G, Z_ {2}, G] = [[G, Z_ {2}], G] = [[Z_ {2}, G], G] substeq [Z_ {1}, G] = 1.}$
Посредством лемма о трех подгруппах (или, что то же самое, Идентичность Холла-Витта ), следует, что [грамм, Z₂] = [[грамм, грамм], Z₂] = [грамм, грамм, Z₂] = {1}. Следовательно, Z₂ ⊆ Z₁ = Z(грамм), а центр фактор-группы грамм ⁄ Z(грамм) это тривиальная группа.

Как следствие, все высшие центры (то есть более высокие члены в верхний центральный ряд ) совершенной группы равны центру.

Групповая гомология

С точки зрения групповая гомология, совершенная группа - это в точности такая, первая группа гомологий которой равна нулю: ЧАС₁(грамм, Z) = 0, так как первая группа гомологий группы в точности является абелианизацией группы, а совершенная означает тривиальную абелианизацию. Преимущество этого определения в том, что оно допускает усиление:

А суперсовершенная группа это та, у которой первые две группы гомологии обращаются в нуль: ${ displaystyle H_ {1} (G, mathbb {Z}) = H_ {2} (G, mathbb {Z}) = 0}$ .
An ациклическая группа является одним все группы гомологий которых обращаются в нуль ${ displaystyle { tilde {H}} _ {i} (G; mathbb {Z}) = 0.}$ (Это эквивалентно всем группам гомологий, кроме ${ displaystyle H_ {0}}$ исчезают.)

Квази-совершенная группа

Особенно в области алгебраическая K-теория, группа называется квази-совершенный если его коммутаторная подгруппа совершенна; в символах квази-совершенная группа - это такая, что грамм⁽¹⁾ = грамм⁽²⁾ (коммутатор коммутаторной подгруппы - это коммутаторная подгруппа), а совершенная группа - такая, что грамм⁽¹⁾ = грамм (коммутант - это вся группа). Видеть (Каруби 1973, pp. 301–411) и (Инассаридзе 1995, п. 76).

Примечания

^ Satz по-немецки «теорема».

внешняя ссылка

[3] Satz по-немецки «теорема».

[1] "ответ". Mathoverflow. 7 июля 2015 г.. Получено 7 июля 2015.

[2] Либек, Мартин; Шалев, Анер (2010). "Гипотеза Оре" (PDF). J. European Math. Soc. 12: 939–1008.

[1]

[2]

[примечание 1]