Подгруппа коммутаторов - Википедия - Commutator subgroup

В математика, более конкретно в абстрактная алгебра, то коммутаторная подгруппа или же производная подгруппа из группа это подгруппа генерируется всеми коммутаторы группы.^[1][2]

Коммутаторная подгруппа важна, потому что это самый маленький нормальная подгруппа так что факторгруппа исходной группы по этой подгруппе абелевский. Другими словами, ${ Displaystyle G / N}$ абелева если и только если ${ displaystyle N}$ содержит коммутаторную подгруппу группы ${ displaystyle G}$. Так что в некотором смысле это дает меру того, насколько группа далека от абелевой; чем больше коммутатор, тем «менее абелева» группа.

Коммутаторы

Для элементов ${ displaystyle g}$ и ${ displaystyle h}$ группы грамм, то коммутатор из ${ displaystyle g}$ и ${ displaystyle h}$ является ${ displaystyle [g, h] = g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh}$. Коммутатор ${ displaystyle [g, h]}$ равно элемент идентичности е если и только если ${ displaystyle gh = hg}$ , то есть тогда и только тогда, когда ${ displaystyle g}$ и ${ displaystyle h}$ ездить. В целом, ${ displaystyle gh = hg [g, h]}$.

Однако обозначения несколько произвольны, и существует неэквивалентное определение варианта для коммутатора, у которого есть обратные в правой части уравнения: ${ displaystyle [g, h] = ghg ​​^ {- 1} h ^ {- 1}}$ в таком случае ${ displaystyle gh neq hg [g, h]}$ но вместо ${ displaystyle gh = [g, h] hg}$.

Элемент грамм формы ${ displaystyle [g, h]}$ для некоторых грамм и час называется коммутатором. Элемент идентичности е = [е,е] всегда является коммутатором, и он является единственным коммутатором тогда и только тогда, когда грамм абелева.

Вот несколько простых, но полезных тождеств коммутатора, верных для любых элементов s, грамм, час группы грамм:

• ${ Displaystyle [г, ч] ^ {- 1} = [ч, г],}$
• ${ displaystyle [g, h] ^ {s} = [g ^ {s}, h ^ {s}],}$ куда ${ displaystyle g ^ {s} = s ^ {- 1} gs}$ (или, соответственно, ${ displaystyle g ^ {s} = sgs ^ {- 1}}$) это сопрягать из ${ displaystyle g}$ к ${ displaystyle s,}$
• для любого гомоморфизм ${ displaystyle f: G to H}$, ${ displaystyle f ([g, h]) = [f (g), f (h)].}$

Первое и второе тождества означают, что набор коммутаторов в грамм замкнуто относительно обращения и сопряжения. Если в третьем тождестве взять ЧАС = грамм, получаем, что множество коммутаторов устойчиво при любых эндоморфизм из грамм. Фактически это обобщение второго тождества, поскольку мы можем взять ж быть спряжением автоморфизм на грамм, ${ Displaystyle х mapsto х ^ {s}}$, чтобы получить вторую личность.

Однако произведение двух или более коммутаторов не обязательно должно быть коммутатором. Общий пример: [а,б][c,d] в свободная группа на а,б,c,d. Известно, что наименьший порядок конечной группы, для которой существуют два коммутатора, произведение которых не является коммутатором, равен 96; фактически существуют две неизоморфные группы порядка 96 с этим свойством.^[3]

Определение

Это мотивирует определение коммутаторная подгруппа ${ displaystyle [G, G]}$ (также называемый производная подгруппа, и обозначил ${ displaystyle G '}$ или же ${ Displaystyle G ^ {(1)}}$) из грамм: это подгруппа генерируется всеми коммутаторами.

Из свойств коммутаторов следует, что любой элемент из ${ displaystyle [G, G]}$ имеет форму

${ displaystyle [g_ {1}, h_ {1}] cdots [g_ {n}, h_ {n}]}$

для некоторых натуральное число ${ displaystyle n}$, где грамм_я и час_я являются элементами грамм. Более того, поскольку для любого s в грамм у нас есть ${ displaystyle ([g_ {1}, h_ {1}] cdots [g_ {n}, h_ {n}]) ^ {s} = [g_ {1} ^ {s}, h_ {1} ^ { s}] cdots [g_ {n} ^ {s}, h_ {n} ^ {s}]}$, коммутатор нормален в грамм. Для любого гомоморфизма ж: грамм → ЧАС,

${ displaystyle f ([g_ {1}, h_ {1}] cdots [g_ {n}, h_ {n}]) = [f (g_ {1}), f (h_ {1})] cdots [f (g_ {n}), f (h_ {n})]}$,

так что ${ Displaystyle е ([G, G]) leq [H, H]}$.

Это показывает, что коммутаторную подгруппу можно рассматривать как функтор на категория групп, некоторые последствия которых рассматриваются ниже. Более того, принимая грамм = ЧАС он показывает, что коммутаторная подгруппа устойчива относительно любого эндоморфизма группы грамм: то есть, [грамм,грамм] это полностью характеристическая подгруппа из грамм, свойство значительно более сильное, чем нормальное.

Коммутаторную подгруппу также можно определить как набор элементов грамм группы, имеющей выражение как продукт грамм = грамм₁ грамм₂ ... грамм_k которые можно переставить, чтобы придать индивидуальность.

Производная серия

Эту конструкцию можно повторять:

${ displaystyle G ^ {(0)}: = G}$

${ displaystyle G ^ {(n)}: = [G ^ {(n-1)}, G ^ {(n-1)}] quad n in mathbf {N}}$

Группы ${ Displaystyle G ^ {(2)}, G ^ {(3)}, ldots}$ называются вторая производная подгруппа, третья производная подгруппа, и так далее, и нисходящая нормальная серия

${ Displaystyle cdots треугольникleft G ^ {(2)} треугольникleft G ^ {(1)} треугольникleft G ^ {(0)} = G}$

называется производный ряд. Это не следует путать с нижний центральный ряд, условия которого ${ displaystyle G_ {n}: = [G_ {n-1}, G]}$.

Для конечной группы производный ряд заканчивается идеальная группа, что может быть тривиальным, а может и нет. Для бесконечной группы производный ряд не обязательно заканчивается на конечном этапе, и его можно продолжить до бесконечности. порядковые номера через трансфинитная рекурсия, тем самым получив трансфинитный производный ряд, который в конечном итоге заканчивается на идеальное ядро группы.

Абелианизация

Учитывая группу ${ displaystyle G}$, а факторгруппа ${ Displaystyle G / N}$ абелева тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle [G, G] leq N}$.

Частное ${ displaystyle G / [G, G]}$ абелева группа, называемая абелианизация из ${ displaystyle G}$ или же ${ displaystyle G}$ сделал абелевский.^[4] Обычно обозначается как ${ displaystyle G ^ { operatorname {ab}}}$ или же ${ displaystyle G _ { operatorname {ab}}}$.

Есть полезная категориальная трактовка карты. ${ displaystyle varphi: G rightarrow G ^ { operatorname {ab}}}$. А именно ${ displaystyle varphi}$ универсален для гомоморфизмов из ${ displaystyle G}$ абелевой группе ${ displaystyle H}$: для любой абелевой группы ${ displaystyle H}$ и гомоморфизм групп ${ displaystyle f: G to H}$ существует единственный гомоморфизм ${ displaystyle F: G ^ { operatorname {ab}} to H}$ такой, что ${ displaystyle f = F circ varphi}$. Как обычно для объектов, определяемых универсальными свойствами отображения, это показывает уникальность абелианизации ${ displaystyle G ^ { operatorname {ab}}}$ с точностью до канонического изоморфизма, а явная конструкция ${ Displaystyle G в G / [G, G]}$ показывает существование.

Функтором абелианизации является левый смежный функтора включения из категория абелевых групп в категорию групп. Существование функтора абелианизации Grp → Ab делает категорию Ab а отражающая подкатегория категории групп, определяемой как полная подкатегория, функтор включения которой имеет левое сопряжение.

Еще одно важное толкование ${ displaystyle G ^ { operatorname {ab}}}$ как есть ${ displaystyle H_ {1} (G, mathbb {Z})}$, первый группа гомологии из ${ displaystyle G}$ с интегральными коэффициентами.

Классы групп

Группа ${ displaystyle G}$ является абелева группа тогда и только тогда, когда производная группа тривиальна: [грамм,грамм] = {е}. Эквивалентно, если и только если группа равняется своей абелианизации. См. Выше определение абелианизации группы.

Группа ${ displaystyle G}$ это идеальная группа тогда и только тогда, когда производная группа равна самой группе: [грамм,грамм] = грамм. Эквивалентно, если и только если абелианизация группы тривиальна. Это «противоположно» абелеву.

Группа с ${ Displaystyle G ^ {(п)} = {е }}$ для некоторых п в N называется разрешимая группа; это слабее, чем абелева, что верно п = 1.

Группа с ${ Displaystyle G ^ {(п)} neq {е }}$ для всех п в N называется неразрешимая группа.

Группа с ${ Displaystyle G ^ {( альфа)} = {е }}$ для некоторых порядковый номер, возможно, бесконечное, называется гипоабелева группа; это слабее, чем разрешимый, как в случае α конечно (натуральное число).

Идеальная группа

Всякий раз, когда группа ${ displaystyle G}$ имеет производную подгруппу, равную себе, ${ Displaystyle G ^ {(1)} = G}$, это называется идеальная группа. Сюда входят неабелевы простые группы и специальные линейные группы ${ displaystyle operatorname {SL} _ {n} (k)}$ для фиксированного поля ${ displaystyle k}$.

Примеры

• Коммутаторная подгруппа любой абелева группа является банальный.
• Коммутаторная подгруппа группы общая линейная группа ${ displaystyle operatorname {GL} _ {n} (k)}$ через поле или делительное кольцо k равно специальная линейная группа ${ displaystyle operatorname {SL} _ {n} (k)}$ при условии, что ${ Displaystyle п neq 2}$ или же k это не поле с двумя элементами.^[5]
• Коммутаторная подгруппа группы переменная группа А₄ это Кляйн четыре группы.
• Коммутаторная подгруппа группы симметричная группа S_п это переменная группа А_п.
• Коммутаторная подгруппа группы группа кватернионов Q = {1, −1, я, −я, j, −j, k, −k} является [Q,Q] = {1, −1}.
• Коммутаторная подгруппа группы фундаментальная группа π₁(Икс) из соединенный путём топологическое пространство Икс это ядро естественного гомоморфизма на первую особую группа гомологии ЧАС₁(Икс).

Карта из Out

Поскольку производная подгруппа характеристика, любой автоморфизм грамм индуцирует автоморфизм абелианизации. Поскольку абелианизация абелева, внутренние автоморфизмы действуют тривиально, отсюда получается отображение

${ displaystyle operatorname {Out} (G) to operatorname {Aut} (G ^ { mbox {ab}})}$

Смотрите также

• Решаемая группа
• Нильпотентная группа
• Абелианизация ЧАС/ЧАС'подгруппы ЧАС < грамм конечных индекс (грамм:ЧАС) это цель передачи Артина  Т(грамм,ЧАС).

Примечания

Рекомендации

• Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Джон Уайли и сыновья, ISBN  0-471-43334-9
• Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Литература: Эддисон-Уэсли, ISBN  0-201-01984-1
• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, Springer, ISBN  0-387-95385-X
• Суарес-Альварес, Мариано. «Производные подгруппы и коммутаторы».CS1 maint: ref = harv (связь)

внешняя ссылка

• «Подгруппа коммутаторов», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]