Подгруппа коммутаторов - Википедия - Commutator subgroup

В математика, более конкретно в абстрактная алгебра, то коммутаторная подгруппа или же производная подгруппа из группа это подгруппа генерируется всеми коммутаторы группы.[1][2]

Коммутаторная подгруппа важна, потому что это самый маленький нормальная подгруппа так что факторгруппа исходной группы по этой подгруппе абелевский. Другими словами, абелева если и только если содержит коммутаторную подгруппу группы . Так что в некотором смысле это дает меру того, насколько группа далека от абелевой; чем больше коммутатор, тем «менее абелева» группа.

Коммутаторы

Для элементов и группы грамм, то коммутатор из и является . Коммутатор равно элемент идентичности е если и только если , то есть тогда и только тогда, когда и ездить. В целом, .

Однако обозначения несколько произвольны, и существует неэквивалентное определение варианта для коммутатора, у которого есть обратные в правой части уравнения: в таком случае но вместо .

Элемент грамм формы для некоторых грамм и час называется коммутатором. Элемент идентичности е = [е,е] всегда является коммутатором, и он является единственным коммутатором тогда и только тогда, когда грамм абелева.

Вот несколько простых, но полезных тождеств коммутатора, верных для любых элементов s, грамм, час группы грамм:

  • куда (или, соответственно, ) это сопрягать из к
  • для любого гомоморфизм ,

Первое и второе тождества означают, что набор коммутаторов в грамм замкнуто относительно обращения и сопряжения. Если в третьем тождестве взять ЧАС = грамм, получаем, что множество коммутаторов устойчиво при любых эндоморфизм из грамм. Фактически это обобщение второго тождества, поскольку мы можем взять ж быть спряжением автоморфизм на грамм, , чтобы получить вторую личность.

Однако произведение двух или более коммутаторов не обязательно должно быть коммутатором. Общий пример: [а,б][c,d] в свободная группа на а,б,c,d. Известно, что наименьший порядок конечной группы, для которой существуют два коммутатора, произведение которых не является коммутатором, равен 96; фактически существуют две неизоморфные группы порядка 96 с этим свойством.[3]

Определение

Это мотивирует определение коммутаторная подгруппа (также называемый производная подгруппа, и обозначил или же ) из грамм: это подгруппа генерируется всеми коммутаторами.

Из свойств коммутаторов следует, что любой элемент из имеет форму

для некоторых натуральное число , где граммя и чася являются элементами грамм. Более того, поскольку для любого s в грамм у нас есть , коммутатор нормален в грамм. Для любого гомоморфизма ж: граммЧАС,

,

так что .

Это показывает, что коммутаторную подгруппу можно рассматривать как функтор на категория групп, некоторые последствия которых рассматриваются ниже. Более того, принимая грамм = ЧАС он показывает, что коммутаторная подгруппа устойчива относительно любого эндоморфизма группы грамм: то есть, [грамм,грамм] это полностью характеристическая подгруппа из грамм, свойство значительно более сильное, чем нормальное.

Коммутаторную подгруппу также можно определить как набор элементов грамм группы, имеющей выражение как продукт грамм = грамм1 грамм2 ... граммk которые можно переставить, чтобы придать индивидуальность.

Производная серия

Эту конструкцию можно повторять:

Группы называются вторая производная подгруппа, третья производная подгруппа, и так далее, и нисходящая нормальная серия

называется производный ряд. Это не следует путать с нижний центральный ряд, условия которого .

Для конечной группы производный ряд заканчивается идеальная группа, что может быть тривиальным, а может и нет. Для бесконечной группы производный ряд не обязательно заканчивается на конечном этапе, и его можно продолжить до бесконечности. порядковые номера через трансфинитная рекурсия, тем самым получив трансфинитный производный ряд, который в конечном итоге заканчивается на идеальное ядро группы.

Абелианизация

Учитывая группу , а факторгруппа абелева тогда и только тогда, когда .

Частное абелева группа, называемая абелианизация из или же сделал абелевский.[4] Обычно обозначается как или же .

Есть полезная категориальная трактовка карты. . А именно универсален для гомоморфизмов из абелевой группе : для любой абелевой группы и гомоморфизм групп существует единственный гомоморфизм такой, что . Как обычно для объектов, определяемых универсальными свойствами отображения, это показывает уникальность абелианизации с точностью до канонического изоморфизма, а явная конструкция показывает существование.

Функтором абелианизации является левый смежный функтора включения из категория абелевых групп в категорию групп. Существование функтора абелианизации GrpAb делает категорию Ab а отражающая подкатегория категории групп, определяемой как полная подкатегория, функтор включения которой имеет левое сопряжение.

Еще одно важное толкование как есть , первый группа гомологии из с интегральными коэффициентами.

Классы групп

Группа является абелева группа тогда и только тогда, когда производная группа тривиальна: [грамм,грамм] = {е}. Эквивалентно, если и только если группа равняется своей абелианизации. См. Выше определение абелианизации группы.

Группа это идеальная группа тогда и только тогда, когда производная группа равна самой группе: [грамм,грамм] = грамм. Эквивалентно, если и только если абелианизация группы тривиальна. Это «противоположно» абелеву.

Группа с для некоторых п в N называется разрешимая группа; это слабее, чем абелева, что верно п = 1.

Группа с для всех п в N называется неразрешимая группа.

Группа с для некоторых порядковый номер, возможно, бесконечное, называется гипоабелева группа; это слабее, чем разрешимый, как в случае α конечно (натуральное число).

Идеальная группа

Всякий раз, когда группа имеет производную подгруппу, равную себе, , это называется идеальная группа. Сюда входят неабелевы простые группы и специальные линейные группы для фиксированного поля .

Примеры

Карта из Out

Поскольку производная подгруппа характеристика, любой автоморфизм грамм индуцирует автоморфизм абелианизации. Поскольку абелианизация абелева, внутренние автоморфизмы действуют тривиально, отсюда получается отображение

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Даммит и Фут (2004)
  2. ^ Ланг (2002)
  3. ^ Суарес-Альварес
  4. ^ Фрали (1976), п. 108)
  5. ^ Супруненко, Д.А. (1976), Матричные группы, Переводы математических монографий, Американское математическое общество, Теорема II.9.4

Рекомендации

внешняя ссылка