Перенос Артина (теория групп) - Artin transfer (group theory)

В математической области теория групп, Передача Артина это определенный гомоморфизм от произвольной конечной или бесконечной группы к коммутаторная фактор-группа подгруппы конечного индекса. Первоначально такие отображения возникли как теоретико-групповые аналоги гомоморфизмы расширения классов абелевых расширений поля алгебраических чисел применяя Карты взаимности Артина группам идеальных классов и анализ полученных гомоморфизмов между факторами групп Галуа. Однако, независимо от теоретико-числовых приложений, частичный порядок на ядра и мишени переводов Artin недавно оказалось совместимым с отношениями родитель-потомок между конечными п-группы (с простым числом п), которую можно визуализировать в потомки деревьев. Следовательно, переводы Артина представляют собой ценный инструмент для классификации конечных п-группы, а также для поиска и идентификации определенных групп в дочерних деревьях путем поиска шаблонов, определенных ядрами и целями передач Artin. Эти стратегии распознавание образов полезны в чисто теоретико-групповом контексте, а также для приложений в алгебраическая теория чисел о группах Галуа высших пполя класса и Гильберта пполевые башни класса.

Трансверсали подгруппы

Позволять ${ displaystyle G}$ быть группой и ${ Displaystyle H leq G}$ - подгруппа конечного индекса ${ displaystyle n.}$

Определения.^[1] А левый поперечный из ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ упорядоченная система ${ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ представителей левых классов ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ такой, что

{ displaystyle G = bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} H.}

Аналогичным образом правый поперечный из ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ упорядоченная система ${ displaystyle (d_ {1}, ldots, d_ {n})}$ представителей правых классов ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ такой, что

{ displaystyle G = bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} Hd_ {i}.}

Замечание. Для любого пересечения ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ , существует единственный индекс ${ displaystyle 1 leq i_ {0} leq n}$ такой, что ${ displaystyle g_ {i_ {0}} in H}$ , соотв. ${ displaystyle d_ {i_ {0}} in H}$ . Конечно, этот элемент с нижним индексом ${ displaystyle i_ {0}}$ который представляет главный смежный класс (т. е. подгруппу ${ displaystyle H}$ сам) может быть, но не обязательно, заменен нейтральным элементом ${ displaystyle 1}$ .

Лемма.^[2] Позволять ${ displaystyle G}$ неабелева группа с подгруппой ${ displaystyle H}$ . Тогда обратные элементы ${ displaystyle (g_ {1} ^ {- 1}, ldots, g_ {n} ^ {- 1})}$ левой поперечной ${ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ из ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ образовывать правую трансверсию ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ . Более того, если ${ displaystyle H}$ нормальная подгруппа ${ displaystyle G}$ , то любая левая трансверсаль также является правой трансверсалью ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ .

Доказательство. Поскольку отображение

{ Displaystyle х mapsto х ^ {- 1}}

является инволюция из

{ displaystyle G}

Мы видим, что:

{ displaystyle G = G ^ {- 1} = bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} (g_ {i} H) ^ {- 1} = bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} H ^ {- 1} g_ {i} ^ {- 1} = bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} Hg_ {i} ^ {- 1}.}

Для нормальной подгруппы

{ displaystyle H}

у нас есть

{ displaystyle xH = Hx}

для каждого

{ displaystyle x in G}

.

Мы должны проверить, когда образ трансверсали при гомоморфизме также является трансверсалью.

Предложение. Позволять ${ displaystyle phi: G to K}$ - гомоморфизм групп и ${ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ - левая трансверсаль подгруппы ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ с конечным индексом ${ displaystyle n.}$ Следующие два условия эквивалентны:

${ displaystyle ( phi (g_ {1}), ldots, phi (g_ {n}))}$ - левая трансверсаль подгруппы ${ displaystyle phi (H)}$ на изображении ${ displaystyle phi (G)}$ с конечным индексом ${ Displaystyle ( фи (G): фи (Н)) = п.}$
${ displaystyle ker ( phi) leq H.}$

Доказательство. Как отображение множеств

{ displaystyle phi}

отображает объединение в другое объединение:

{ displaystyle phi (G) = phi left ( bigcup _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} H right) = bigcup _ {i = 1} ^ {n} phi ( g_ {i} H) = bigcup _ {i = 1} ^ {n} phi (g_ {i}) phi (H),}

но ослабляет равенство пересечения до тривиального включения:

{ displaystyle emptyset = phi ( emptyset) = phi (g_ {i} H cap g_ {j} H) substeq phi (g_ {i} H) cap phi (g_ {j} H) ) = phi (g_ {i}) phi (H) cap phi (g_ {j}) phi (H), qquad i neq j.}

Предположим для некоторых

{ Displaystyle 1 Leq я Leq J Leq N}

:

{ displaystyle phi (g_ {i}) phi (H) cap phi (g_ {j}) phi (H) neq emptyset}

тогда существуют элементы

{ displaystyle h_ {i}, h_ {j} in H}

такой, что

{ displaystyle phi (g_ {i}) phi (h_ {i}) = phi (g_ {j}) phi (h_ {j})}

Тогда у нас есть:

{ displaystyle { begin {align} phi (g_ {i}) phi (h_ {i}) = phi (g_ {j}) phi (h_ {j}) & Longrightarrow phi (g_ { j}) ^ {- 1} phi (g_ {i}) phi (h_ {i}) phi (h_ {j}) ^ {- 1} = 1 & Longrightarrow phi left (g_ {j} ^ {- 1} g_ {i} h_ {i} h_ {j} ^ {- 1} right) = 1 & Longrightarrow g_ {j} ^ {- 1} g_ {i} h_ { i} h_ {j} ^ {- 1} in ker ( phi) & Longrightarrow g_ {j} ^ {- 1} g_ {i} h_ {i} h_ {j} ^ {- 1} in H && ker ( phi) leq H & Longrightarrow g_ {j} ^ {- 1} g_ {i} in H && h_ {i} h_ {j} ^ {- 1} in H & Longrightarrow g_ {i} H = g_ {j} H & Longrightarrow i = j end {выровнено}}}

И наоборот, если

{ Displaystyle ker ( phi) nsubseteq H}

тогда существует

{ Displaystyle х в G setminus H}

такой, что

{ displaystyle phi (x) = 1.}

Но гомоморфизм

{ displaystyle phi}

отображает непересекающиеся классы смежности

{ Displaystyle х cdot H крышка 1 cdot H = emptyset}

равным смежным классам:

{ Displaystyle фи (Икс) фи (Н) крышка фи (1) фи (Н) = 1 CDOT фи (Н) крышка 1 CDOT фи (Н) = фи (Н) .}

Замечание. Подчеркнем важную эквивалентность предложения в формуле:

{ displaystyle (1) quad ker ( phi) leq H quad Longleftrightarrow quad { begin {cases} phi (G) = bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} phi ( g_ {i}) phi (H) ( phi (G): phi (H)) = n end {case}}}

Представление перестановки

Предполагать ${ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ левый трансверсаль подгруппы ${ displaystyle H}$ конечного индекса ${ displaystyle n}$ в группе ${ displaystyle G}$ . Фиксированный элемент ${ displaystyle x in G}$ дает начало уникальной перестановке ${ displaystyle pi _ {x} in S_ {n}}$ левых смежных классов ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ умножением слева таким, что:

{ displaystyle (2) quad forall i in {1, ldots, n }: qquad xg_ {i} H = g _ { pi _ {x} (i)} H Longrightarrow xg_ {i } in g _ { pi _ {x} (i)} H.}

Используя это, мы определяем набор элементов, называемых мономы связана с ${ displaystyle x}$ относительно ${ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ :

{ displaystyle forall i in {1, ldots, n }: qquad u_ {x} (i): = g _ { pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ {i } в H.}

Аналогично, если ${ displaystyle (d_ {1}, ldots, d_ {n})}$ является правым трансверсалом ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ , то фиксированный элемент ${ displaystyle x in G}$ дает начало уникальной перестановке ${ displaystyle rho _ {x} in S_ {n}}$ правых смежных классов ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ умножением справа таким образом, что:

{ displaystyle (3) quad forall i in {1, ldots, n }: qquad Hd_ {i} x = Hd _ { rho _ {x} (i)} Longrightarrow d_ {i} x in Hd _ { rho _ {x} (i)}.}

И мы определяем мономы связана с ${ displaystyle x}$ относительно ${ displaystyle (d_ {1}, ldots, d_ {n})}$ :

{ displaystyle forall i in {1, ldots, n }: qquad w_ {x} (i): = d_ {i} xd _ { rho _ {x} (i)} ^ {- 1 } в H.}

Определение.^[1] Отображения:

{ displaystyle { begin {cases} G to S_ {n} x mapsto pi _ {x} end {cases}} qquad { begin {cases} G to S_ {n} х mapsto rho _ {x} end {case}}}

называются перестановочное представление из ${ displaystyle G}$ в симметрической группе ${ displaystyle S_ {n}}$ относительно ${ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ и ${ displaystyle (d_ {1}, ldots, d_ {n})}$ соответственно.

Определение.^[1] Отображения:

{ displaystyle { begin {cases} G to H ^ {n} times S_ {n} x mapsto (u_ {x} (1), ldots, u_ {x} (n); pi _ {x}) end {cases}} qquad { begin {cases} G to H ^ {n} times S_ {n} x mapsto (w_ {x} (1), ldots, w_ {x} (n); rho _ {x}) end {case}}}

называются мономиальное представление из ${ displaystyle G}$ в ${ Displaystyle Н ^ {п} раз S_ {п}}$ относительно ${ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ и ${ displaystyle (d_ {1}, ldots, d_ {n})}$ соответственно.

Лемма. Для правого поперечного ${ displaystyle (g_ {1} ^ {- 1}, ldots, g_ {n} ^ {- 1})}$ связанный с левой поперечной ${ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ , имеем следующие соотношения между одночленами и перестановками, соответствующими элементу ${ displaystyle x in G}$ :

{ displaystyle (4) quad { begin {cases} w_ {x ^ {- 1}} (i) = u_ {x} (i) ^ {- 1} & 1 leq i leq n rho _ {x ^ {- 1}} = pi _ {x} end {case}}}

Доказательство. Для правого поперечного

{ displaystyle (g_ {1} ^ {- 1}, ldots, g_ {n} ^ {- 1})}

, у нас есть

{ displaystyle w_ {x} (i) = g_ {i} ^ {- 1} xg _ { rho _ {x} (i)}}

, для каждого

{ Displaystyle 1 Leq я Leq п}

. С другой стороны, для левой поперечной

{ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {n})}

, у нас есть

{ displaystyle forall i in {1, ldots, n }: qquad u_ {x} (i) ^ {- 1} = left (g _ { pi _ {x} (i)} ^ {-1} xg_ {i} right) ^ {- 1} = g_ {i} ^ {- 1} x ^ {- 1} g _ { pi _ {x} (i)} = g_ {i} ^ {-1} x ^ {- 1} g _ { rho _ {x ^ {- 1}} (i)} = w_ {x ^ {- 1}} (i).}

Это соотношение одновременно показывает, что для любого

{ displaystyle x in G}

, представления подстановок и ассоциированные одночлены связаны

{ displaystyle rho _ {x ^ {- 1}} = pi _ {x}}

и

{ Displaystyle ш_ {х ^ {- 1}} (я) = и_ {х} (я) ^ {- 1}}

для каждого

{ Displaystyle 1 Leq я Leq п}

.

Передача Артина

Определения.^[2]^[3] Позволять ${ displaystyle G}$ быть группой и ${ displaystyle H}$ подгруппа конечного индекса ${ displaystyle n.}$ Предполагать ${ displaystyle (g) = (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ это левая трансверсаль ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ с ассоциированным представлением перестановки ${ displaystyle pi _ {x}: от G до S_ {n},}$ такой, что

{ displaystyle forall i in {1, ldots, n }: qquad u_ {x} (i): = g _ { pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ {i } в H.}

Аналогично пусть ${ displaystyle (d) = (d_ {1}, ldots, d_ {n})}$ быть прямым пересечением ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ с ассоциированным представлением перестановки ${ displaystyle rho _ {x}: от G до S_ {n}}$ такой, что

{ displaystyle forall i in {1, ldots, n }: qquad w_ {x} (i): = d_ {i} xd _ { rho _ {x} (i)} ^ {- 1 } в H.}

В Передача Артина ${ displaystyle T_ {G, H} ^ {(g)}: от G до H / H '}$ относительно ${ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ определяется как:

{ displaystyle (5) quad forall x in G: qquad T_ {G, H} ^ {(g)} (x): = prod _ {i = 1} ^ {n} g _ { pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ {i} cdot H '= prod _ {i = 1} ^ {n} u_ {x} (i) cdot H'.}

Аналогичным образом мы определяем:

{ displaystyle (6) quad forall x in G: qquad T_ {G, H} ^ {(d)} (x): = prod _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} xd _ { rho _ {x} (i)} ^ {- 1} cdot H '= prod _ {i = 1} ^ {n} w_ {x} (i) cdot H'.}

Замечания. Айзекс^[4] называет отображения

{ displaystyle { begin {cases} P: G to H x mapsto prod _ {i = 1} ^ {n} u_ {x} (i) end {cases}} qquad { begin {case} P: G to H x mapsto prod _ {i = 1} ^ {n} w_ {x} (i) end {cases}}}

то предварительный перевод из ${ displaystyle G}$ к ${ displaystyle H}$ . Предварительный перенос может быть составлен с помощью гомоморфизма ${ displaystyle phi: от H до A}$ из ${ displaystyle H}$ в абелеву группу ${ displaystyle A}$ определить более общая версия перевода из ${ displaystyle G}$ к ${ displaystyle A}$ через ${ displaystyle phi}$ , которое встречается в книге Горенштейна.^[5]

{ Displaystyle { begin {case} ( phi circ P): G к A x mapsto prod _ {i = 1} ^ {n} phi (u_ {x} (i)) end {case}} qquad { begin {cases} ( phi circ P): G to A x mapsto prod _ {i = 1} ^ {n} phi (w_ {x} ( i)) end {case}}}

Принимая естественный эпиморфизм

{ displaystyle { begin {cases} phi: H to H / H ' v mapsto vH' end {case}}}

дает предыдущее определение Передача Артина ${ displaystyle T_ {G, H}}$ в первоначальном виде Шур^[2] и Эмиль Артин,^[3] который также был дублирован Verlagerung пользователя Hasse.^[6] Обратите внимание, что в общем случае предварительный перенос не зависит ни от трансверсали, ни от гомоморфизма группы.

Независимость поперечной

Предложение.^[1]^[2]^[4]^[5]^[7]^[8]^[9] Перенос Артина относительно любых двух левых трансверсалей ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ совпадают.

Доказательство. Позволять

{ Displaystyle ( ell) = ( ell _ {1}, ldots, ell _ {n})}

и

{ displaystyle (g) = (g_ {1}, ldots, g_ {n})}

быть двумя левыми трансверсали

{ displaystyle H}

в

{ displaystyle G}

. Тогда существует единственная перестановка

{ Displaystyle sigma в S_ {п}}

такой, что:

{ displaystyle forall i in {1, ldots, n }: qquad g_ {i} H = ell _ { sigma (i)} H.}

Как следствие:

{ displaystyle forall i in {1, ldots, n }, exists h_ {i} in H: qquad g_ {i} h_ {i} = ell _ { sigma (i)} .}

Для фиксированного элемента

{ displaystyle x in G}

, существует единственная перестановка

{ displaystyle lambda _ {x} in S_ {n}}

такой, что:

{ displaystyle forall i in {1, ldots, n }: qquad ell _ { lambda _ {x} ( sigma (i))} H = x ell _ { sigma (i )} H = xg_ {i} h_ {i} H = xg_ {i} H = g _ { pi _ {x} (i)} H = g _ { pi _ {x} (i)} h _ { pi _ {x} (i)} H = ell _ { sigma ( pi _ {x} (i))} H.}

Следовательно, перестановочное представление

{ displaystyle G}

относительно

{ displaystyle ( ell _ {1}, ldots, ell _ {n})}

дан кем-то

{ displaystyle lambda _ {x} circ sigma = sigma circ pi _ {x}}

что дает:

{ displaystyle lambda _ {x} = sigma circ pi _ {x} circ sigma ^ {- 1} in S_ {n}.}

Кроме того, для связи между двумя элементами:

{ displaystyle { begin {align} v_ {x} (i) &: = ell _ { lambda _ {x} (i)} ^ {- 1} x ell _ {i} in H u_ {x} (i) &: = g _ { pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ {i} in H end {выровнено}}}

у нас есть:

{ displaystyle forall i in {1, ldots, n }: qquad v_ {x} ( sigma (i)) = ell _ { lambda _ {x} ( sigma (i)) } ^ {- 1} x ell _ { sigma (i)} = ell _ { sigma ( pi _ {x} (i))} ^ {- 1} xg_ {i} h_ {i} = left (g _ { pi _ {x} (i)} h _ { pi _ {x} (i)} right) ^ {- 1} xg_ {i} h_ {i} = h _ { pi _ { x} (i)} ^ {- 1} g _ { pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ {i} h_ {i} = h _ { pi _ {x} (i)} ^ {-1} u_ {x} (i) h_ {i}.}

Наконец, поскольку

{ displaystyle H / H '}

абелева и

{ displaystyle sigma}

и

{ displaystyle pi _ {x}}

являются перестановками, перенос Артина оказывается независимым от левой трансверсали:

{ Displaystyle T_ {G, H} ^ {( ell)} (x) = prod _ {i = 1} ^ {n} v_ {x} ( sigma (i)) cdot H '= prod _ {i = 1} ^ {n} h _ { pi _ {x} (i)} ^ {- 1} u_ {x} (i) h_ {i} cdot H '= prod _ {i = 1 } ^ {n} u_ {x} (i) prod _ {i = 1} ^ {n} h _ { pi _ {x} (i)} ^ {- 1} prod _ {i = 1} ^ {n} h_ {i} cdot H '= prod _ {i = 1} ^ {n} u_ {x} (i) cdot 1 cdot H' = prod _ {i = 1} ^ {n } u_ {x} (i) cdot H '= T_ {G, H} ^ {(g)} (x),}

как определено в формуле (5).

Предложение. Перенос Артина относительно любых двух правых трансверсий ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ совпадают.

Доказательство. Аналогично предыдущему предложению.

Предложение. Переводы Artin в отношении ${ displaystyle (g ^ {- 1}) = (g_ {1} ^ {- 1}, ldots, g_ {n} ^ {- 1})}$ и ${ displaystyle (g) = (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ совпадают.

Доказательство. Используя формулу (4) и

{ displaystyle H / H '}

будучи абелевыми, мы имеем:

{ Displaystyle T_ {G, H} ^ {(g ^ {- 1})} (x) = prod _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} ^ {- 1} xg _ { rho _ {x} (i)} cdot H '= prod _ {i = 1} ^ {n} w_ {x} (i) cdot H' = prod _ {i = 1} ^ {n} u_ { x ^ {- 1}} (i) ^ {- 1} cdot H '= left ( prod _ {i = 1} ^ {n} u_ {x ^ {- 1}} (i) cdot H ' right) ^ {- 1} = left (T_ {G, H} ^ {(g)} left (x ^ {- 1} right) right) ^ {- 1} = T_ {G, H} ^ {(g)} (x).}

Последний шаг оправдан тем, что перенос Артина является гомоморфизмом. Это будет показано в следующем разделе.

Следствие. Перенос Артина не зависит от выбора трансверсалей и зависит только от ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle G}$ .

Переносы Артина как гомоморфизмы

Теорема.^[1]^[2]^[4]^[5]^[7]^[8]^[9] Позволять ${ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ быть левым трансверсалом ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ . Перенос Артина

{ displaystyle { begin {cases} T_ {G, H}: G to H / H ' x mapsto prod _ {i = 1} ^ {n} g _ { pi _ {x} (i )} ^ {- 1} xg_ {i} cdot H ' end {case}}}

и представление перестановки:

{ displaystyle { begin {cases} G to S_ {n} x mapsto pi _ {x} end {case}}}

являются гомоморфизмами групп:

{ displaystyle (7) quad forall x, y in G: qquad T_ {G, H} (xy) = T_ {G, H} (x) cdot T_ {G, H} (y) quad { text {and}} quad pi _ {xy} = pi _ {x} circ pi _ {y}.}

Доказательство

Позволять ${ displaystyle x, y in G}$ :

{ Displaystyle T_ {G, H} (x) cdot T_ {G, H} (y) = prod _ {i = 1} ^ {n} g _ { pi _ {x} (i)} ^ { -1} xg_ {i} H ' cdot prod _ {j = 1} ^ {n} g _ { pi _ {y} (j)} ^ {- 1} yg_ {j} cdot H'}

С ${ displaystyle H / H '}$ абелева и ${ displaystyle pi _ {y}}$ является перестановкой, мы можем изменить порядок факторов в продукте:

{ displaystyle { begin {align} prod _ {i = 1} ^ {n} g _ { pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ {i} H ' cdot prod _ { j = 1} ^ {n} g _ { pi _ {y} (j)} ^ {- 1} yg_ {j} cdot H '& = prod _ {j = 1} ^ {n} g _ { pi _ {x} ( pi _ {y} (j))} ^ {- 1} xg _ { pi _ {y} (j)} H ' cdot prod _ {j = 1} ^ {n} g _ { pi _ {y} (j)} ^ {- 1} yg_ {j} cdot H ' & = prod _ {j = 1} ^ {n} g _ { pi _ {x} ( pi _ {y} (j))} ^ {- 1} xg _ { pi _ {y} (j)} g _ { pi _ {y} (j)} ^ {- 1} yg_ {j} cdot H ' & = prod _ {j = 1} ^ {n} g _ {( pi _ {x} circ pi _ {y}) (j))} ^ {- 1} xyg_ {j } cdot H ' & = T_ {G, H} (xy) end {align}}}

Это соотношение одновременно показывает, что перенос Артина и перестановочное представление являются гомоморфизмами.

Полезно переформулировать свойство гомоморфизма переноса Артина в терминах мономиальное представление. Образы факторов ${ displaystyle x, y}$ даны

{ Displaystyle T_ {G, H} (x) = prod _ {i = 1} ^ {n} u_ {x} (i) cdot H ' quad { text {and}} quad T_ {G , H} (y) = prod _ {j = 1} ^ {n} u_ {y} (j) cdot H '.}

В последнем пруфе изображение продукта ${ displaystyle xy}$ Оказалось, что

{ Displaystyle T_ {G, H} (ху) = prod _ {j = 1} ^ {n} g _ { pi _ {x} ( pi _ {y} (j))} ^ {- 1} xg _ { pi _ {y} (j)} g _ { pi _ {y} (j)} ^ {- 1} yg_ {j} cdot H '= prod _ {j = 1} ^ {n} u_ {x} ( pi _ {y} (j)) cdot u_ {y} (j) cdot H '}

,

Это очень своеобразный закон композиции, который более подробно обсуждается в следующем разделе.

Закон напоминает скрещенные гомоморфизмы ${ Displaystyle х mapsto и_ {х}}$ в первой группе когомологий ${ Displaystyle mathrm {H} ^ {1} (G, M)}$ из ${ displaystyle G}$ -модуль ${ displaystyle M}$ , которые имеют свойство ${ Displaystyle и_ {ху} = и_ {х} ^ {у} cdot и_ {у}}$ за ${ displaystyle x, y in G}$ .

Сплетение из ЧАС и S(п)

Своеобразные структуры, возникшие в предыдущем разделе, также можно интерпретировать, наделив декартово произведение ${ Displaystyle Н ^ {п} раз S_ {п}}$ со специальным законом состава, известным как венок ${ displaystyle H wr S_ {n}}$ групп ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle S_ {n}}$ по множеству ${ displaystyle {1, ldots, n }.}$

Определение. За ${ displaystyle x, y in G}$ , то венок ассоциированных одночленов и перестановок задается формулой

{ displaystyle (8) quad (u_ {x} (1), ldots, u_ {x} (n); pi _ {x}) cdot (u_ {y} (1), ldots, u_ {y} (n); pi _ {y}): = (u_ {x} ( pi _ {y} (1)) cdot u_ {y} (1), ldots, u_ {x} ( pi _ {y} (n)) cdot u_ {y} (n); pi _ {x} circ pi _ {y}) = (u_ {xy} (1), ldots, u_ { xy} (n); pi _ {xy}).}

Теорема.^[1]^[7] С этим законом композиции на ${ Displaystyle Н ^ {п} раз S_ {п}}$ то мономиальное представление

{ displaystyle { begin {cases} G to H wr S_ {n} x mapsto (u_ {x} (1), ldots, u_ {x} (n); pi _ {x}) ) end {case}}}

является инъективным гомоморфизмом.

Доказательство

Свойство гомоморфизма уже было показано выше. Для того чтобы гомоморфизм был инъективным, достаточно показать тривиальность его ядра. Нейтральный элемент группы ${ Displaystyle Н ^ {п} раз S_ {п}}$ наделен сплетением дается ${ Displaystyle (1, ldots, 1; 1)}$ , где последний ${ displaystyle 1}$ означает тождественную перестановку. Если ${ displaystyle (u_ {x} (1), ldots, u_ {x} (n); pi _ {x}) = (1, ldots, 1; 1)}$ , для некоторых ${ displaystyle x in G}$ , тогда ${ displaystyle pi _ {x} = 1}$ и следовательно

{ displaystyle forall i in {1, ldots, n }: qquad 1 = u_ {x} (i) = g _ { pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ { i} = g_ {i} ^ {- 1} xg_ {i}.}

Наконец, применение обратного внутреннего автоморфизма с ${ displaystyle g_ {i}}$ дает ${ displaystyle x = 1}$ , как требуется для приемистости.

Замечание. Мономиальное представление теоремы отличается от представления подстановки, которое не может быть инъективным, если ${ displaystyle | G |> п !.}$

Замечание. Тогда как Гупперт^[1] использует мономиальное представление для определения переноса Артина, мы предпочитаем давать непосредственные определения в формулах (5) и (6) и просто иллюстрировать свойство гомоморфизма переноса Артина с помощью мономиального представления.

Состав переводов Artin

Теорема.^[1]^[7] Позволять ${ displaystyle G}$ быть группой с вложенными подгруппами ${ Displaystyle К leq H leq G}$ такой, что ${ Displaystyle (G: H) = N, (H: K) = m}$ и ${ Displaystyle (G: K) = (G: H) cdot (H: K) = нм < infty.}$ Затем передача Артина ${ displaystyle T_ {G, K}}$ это композит вынужденный перевод ${ displaystyle { tilde {T}} _ {H, K}: H / H ' to K / K'}$ и перенос Артина ${ displaystyle T_ {G, H}}$ , то есть:

{ displaystyle (9) quad T_ {G, K} = { tilde {T}} _ {H, K} circ T_ {G, H}}

.

Доказательство

Если ${ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ это левая трансверсаль ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle (h_ {1}, ldots, h_ {m})}$ это левая трансверсаль ${ displaystyle K}$ в ${ displaystyle H}$ , то есть ${ displaystyle G = sqcup _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} H}$ и ${ displaystyle H = sqcup _ {j = 1} ^ {m} h_ {j} K}$ , тогда

{ Displaystyle G = bigsqcup _ {я = 1} ^ {n} bigsqcup _ {j = 1} ^ {m} g_ {i} h_ {j} K}

является дизъюнктным левым разложением смежных классов ${ displaystyle G}$ относительно ${ displaystyle K}$ .

Учитывая два элемента ${ displaystyle x in G}$ и ${ displaystyle y in H}$ , существуют уникальные перестановки ${ displaystyle pi _ {x} in S_ {n}}$ , и ${ displaystyle sigma _ {y} in S_ {m}}$ , так что

{ displaystyle { begin {align} u_ {x} (i) &: = g _ { pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ {i} in H && { text {для всех} } 1 leq i leq n v_ {y} (j) &: = h _ { sigma _ {y} (j)} ^ {- 1} yh_ {j} in K && { text {для всех }} 1 leq j leq m end {выровнено}}}

Тогда, предваряя определение индуцированного переноса, имеем

{ Displaystyle { begin {align} T_ {G, H} (x) & = prod _ {i = 1} ^ {n} u_ {x} (i) cdot H ' { tilde {T }} _ {H, K} (y cdot H ') & = T_ {H, K} (y) = prod _ {j = 1} ^ {m} v_ {y} (j) cdot K' конец {выровнено}}}

Для каждой пары индексов ${ Displaystyle 1 Leq я Leq п}$ и ${ displaystyle 1 leq j leq m}$ , мы положили ${ displaystyle y_ {i}: = u_ {x} (i)}$ , и получаем

{ displaystyle xg_ {i} h_ {j} = g _ { pi _ {x} (i)} g _ { pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ {i} h_ {j} = g _ { pi _ {x} (i)} u_ {x} (i) h_ {j} = g _ { pi _ {x} (i)} y_ {i} h_ {j} = g _ { pi _ {x} (i)} h _ { sigma _ {y_ {i}} (j)} h _ { sigma _ {y_ {i}} (j)} ^ {- 1} y_ {i} h_ {j} = g _ { pi _ {x} (i)} h _ { sigma _ {y_ {i}} (j)} v_ {y_ {i}} (j),}

соотв.

{ displaystyle h _ { sigma _ {y_ {i}} (j)} ^ {- 1} g _ { pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ {i} h_ {j} = v_ {y_ {i}} (j).}

Следовательно, образ ${ displaystyle x}$ под переводом Артина ${ displaystyle T_ {G, K}}$ дан кем-то

{ displaystyle { begin {align} T_ {G, K} (x) & = prod _ {i = 1} ^ {n} prod _ {j = 1} ^ {m} v_ {y_ {i} } (j) cdot K ' & = prod _ {i = 1} ^ {n} prod _ {j = 1} ^ {m} h _ { sigma _ {y_ {i}} (j) } ^ {- 1} g _ { pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ {i} h_ {j} cdot K ' & = prod _ {i = 1} ^ {n } prod _ {j = 1} ^ {m} h _ { sigma _ {y_ {i}} (j)} ^ {- 1} u_ {x} (i) h_ {j} cdot K ' & = prod _ {i = 1} ^ {n} prod _ {j = 1} ^ {m} h _ { sigma _ {y_ {i}} (j)} ^ {- 1} y_ {i} h_ {j} cdot K ' & = prod _ {i = 1} ^ {n} { tilde {T}} _ {H, K} left (y_ {i} cdot H' right ) & = { tilde {T}} _ {H, K} left ( prod _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} cdot H ' right) & = { тильда {T}} _ {H, K} left ( prod _ {i = 1} ^ {n} u_ {x} (i) cdot H ' right) & = { tilde {T} } _ {H, K} (T_ {G, H} (x)) end {align}}}

Напоследок хотим подчеркнуть структурную особенность мономиальное представление

{ displaystyle { begin {cases} G to K ^ {n cdot m} times S_ {n cdot m} x mapsto (k_ {x} (1,1), ldots, k_ { x} (n, m); gamma _ {x}) end {case}}}

что соответствует совокупности переводов Артина, определяющих

{ displaystyle k_ {x} (i, j): = left ((gh) _ { gamma _ {x} (i, j)} right) ^ {- 1} x (gh) _ {(i , j)} in K}

для перестановки ${ displaystyle gamma _ {x} in S_ {n cdot m}}$ , и используя символические обозначения ${ displaystyle (gh) _ {(i, j)}: = g_ {i} h_ {j}}$ для всех пар индексов ${ Displaystyle 1 Leq я Leq п}$ , ${ displaystyle 1 leq j leq m}$ .

Предыдущее доказательство показало, что

{ displaystyle k_ {x} (i, j) = h _ { sigma _ {y_ {i}} (j)} ^ {- 1} g _ { pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ {i} h_ {j}.}

Следовательно, действие перестановки ${ displaystyle gamma _ {x}}$ на съемочной площадке ${ Displaystyle [1, п] раз [1, м]}$ дан кем-то ${ Displaystyle гамма _ {х} (я, J) = ( пи _ {х} (я), sigma _ {u_ {x} (я)} (j))}$ . Действие на второй компонент ${ displaystyle j}$ зависит от первого компонента ${ displaystyle i}$ (через перестановку ${ Displaystyle sigma _ {и_ {х} (я)} в S_ {м}}$ ), тогда как действие на первый компонент ${ displaystyle i}$ не зависит от второй компоненты ${ displaystyle j}$ . Следовательно, перестановка ${ displaystyle gamma _ {x} in S_ {n cdot m}}$ можно отождествить с мультиплетом

{ displaystyle ( pi _ {x}; sigma _ {u_ {x} (1)}, ldots, sigma _ {u_ {x} (n)}) in S_ {n} times S_ { m} ^ {n},}

который будет записан в изогнутой форме в следующем разделе.

Сплетение из S(м) и S(п)

Перестановки ${ displaystyle gamma _ {x}}$ , которые возникли как вторые компоненты мономиальное представление

{ Displaystyle { begin {case} от G до K wr S_ {n cdot m} x mapsto (k_ {x} (1,1), ldots, k_ {x} (n, m) ; gamma _ {x}) end {case}}}

в предыдущем разделе имеют особый вид. Они принадлежат к стабилизатор естественного равнораспределения множества ${ Displaystyle [1, п] раз [1, м]}$ в ${ displaystyle n}$ строки соответствующей матрицы (прямоугольный массив). Используя особенности композиции трансферов Артина в предыдущем разделе, мы показываем, что это стабилизатор изоморфен венок ${ Displaystyle S_ {m} wr S_ {n}}$ симметрических групп ${ displaystyle S_ {m}}$ и ${ displaystyle S_ {n}}$ по множеству ${ Displaystyle {1, ldots, п }}$ , чей базовый набор ${ displaystyle S_ {m} ^ {n} times S_ {n}}$ наделен следующими закон состава:

{ Displaystyle { begin {align} (10) quad forall x, z in G: qquad gamma _ {x} cdot gamma _ {z} & = ( sigma _ {u_ {x} (1)}, ldots, sigma _ {u_ {x} (n)}; pi _ {x}) cdot ( sigma _ {u_ {z} (1)}, ldots, sigma _ {u_ {z} (n)}; pi _ {z}) & = ( sigma _ {u_ {x} ( pi _ {z} (1))} circ sigma _ {u_ { z} (1)}, ldots, sigma _ {u_ {x} ( pi _ {z} (n))} circ sigma _ {u_ {z} (n)}; pi _ {x } circ pi _ {z}) & = ( sigma _ {u_ {xz} (1)}, ldots, sigma _ {u_ {xz} (n)}; pi _ {xz} ) & = gamma _ {xz} end {align}}}

Этот закон напоминает о Правило цепи ${ Displaystyle D (г circ f) (x) = D (g) (f (x)) circ D (f) (x)}$ для Производная Фреше в ${ displaystyle x in E}$ композитума дифференцируемый функции ${ displaystyle f: E to F}$ и ${ displaystyle g: F to G}$ между полные нормированные пространства.

Приведенные выше соображения устанавливают третье представление: представление стабилизатора,

{ displaystyle { begin {cases} G to S_ {m} wr S_ {n} x mapsto ( sigma _ {u_ {x} (1)}, ldots, sigma _ {u_ { x} (n)}; pi _ {x}) end {case}}}

группы ${ displaystyle G}$ в венок ${ Displaystyle S_ {m} wr S_ {n}}$ , аналогично перестановочное представление и мономиальное представление. В отличие от последнего, стабилизирующее представление, вообще говоря, не может быть инъективным. Например, конечно, нет, если ${ displaystyle G}$ бесконечно. Формула (10) доказывает следующее утверждение.

Теорема. Представление стабилизатора

{ displaystyle { begin {cases} G to S_ {m} wr S_ {n} x mapsto gamma _ {x} = ( sigma _ {u_ {x} (1)}, ldots , sigma _ {u_ {x} (n)}; pi _ {x}) end {case}}}

группы ${ displaystyle G}$ в венке ${ Displaystyle S_ {m} wr S_ {n}}$ симметрических групп является гомоморфизмом групп.

Разложение цикла

Позволять ${ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ - левая трансверсаль подгруппы ${ displaystyle H}$ конечного индекса ${ displaystyle n}$ в группе ${ displaystyle G}$ и ${ Displaystyle х mapsto pi _ {х}}$ - ассоциированное с ним перестановочное представление.

Теорема.^[1]^[3]^[4]^[5]^[8]^[9] Предположим, что перестановка ${ displaystyle pi _ {x}}$ распадается на попарно непересекающиеся (и тем самым коммутирующие) циклы ${ displaystyle zeta _ {1}, ldots, zeta _ {t} in S_ {n}}$ длины ${ displaystyle f_ {1}, ldots f_ {t},}$ который уникален с точностью до порядка циклов. Более конкретно, предположим

{ displaystyle (11) quad left (g_ {j} H, g _ { zeta _ {j} (j)} H, g _ { zeta _ {j} ^ {2} (j)} H, ldots, g _ { zeta _ {j} ^ {f_ {j} -1} (j)} H right) = left (g_ {j} H, xg_ {j} H, x ^ {2} g_ { j} H, ldots, x ^ {f_ {j} -1} g_ {j} H right),}

за ${ Displaystyle 1 Leq J Leq T}$ , и ${ displaystyle f_ {1} + cdots + f_ {t} = n.}$ Тогда образ ${ displaystyle x in G}$ по передаче Артина дается

{ displaystyle (12) quad T_ {G, H} (x) = prod _ {j = 1} ^ {t} g_ {j} ^ {- 1} x ^ {f_ {j}} g_ {j } cdot H '.}

Доказательство

Определять ${ displaystyle ell _ {j, k}: = x ^ {k} g_ {j}}$ за ${ Displaystyle 0 Leq К Leq F_ {J} -1}$ и ${ Displaystyle 1 Leq J Leq T}$ . Это левый поперечный ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ поскольку

{ displaystyle (13) quad G = bigsqcup _ {j = 1} ^ {t} bigsqcup _ {k = 0} ^ {f_ {j} -1} x ^ {k} g_ {j} H}

является дизъюнктным разложением ${ displaystyle G}$ в левые классы ${ displaystyle H}$ .

Зафиксируйте значение ${ Displaystyle 1 Leq J Leq T}$ . Потом:

{ displaystyle { begin {align} x ell _ {j, k} & = xx ^ {k} g_ {j} = x ^ {k + 1} g_ {j} = ell _ {j, k + 1} in ell _ {j, k + 1} H && forall k in {0, ldots, f_ {j} -2 } x ell _ {j, f_ {j} -1 } & = xx ^ {f_ {j} -1} g_ {j} = x ^ {f_ {j}} g_ {j} in g_ {j} H = ell _ {j, 0} H end { выровнено}}}

Определять:

{ displaystyle { begin {align} u_ {x} (j, k) &: = ell _ {j, k + 1} ^ {- 1} x ell _ {j, k} = 1 in H && forall k in {0, ldots, f_ {j} -2 } u_ {x} (j, f_ {j} -1) &: = ell _ {j, 0} ^ {- 1} x ell _ {j, f_ {j} -1} = g_ {j} ^ {- 1} x ^ {f_ {j}} g_ {j} in H end {align}}}

Как следствие,

{ Displaystyle T_ {G, H} (x) = prod _ {j = 1} ^ {t} prod _ {k = 0} ^ {f_ {j} -1} u_ {x} (j, k ) cdot H '= prod _ {j = 1} ^ {t} left ( prod _ {k = 0} ^ {f_ {j} -2} 1 right) cdot u_ {x} (j , f_ {j} -1) cdot H '= prod _ {j = 1} ^ {t} g_ {j} ^ {- 1} x ^ {f_ {j}} g_ {j} cdot H' .}

Разложение цикла соответствует ${ displaystyle ( langle x rangle, H)}$ двойной смежный класс разложение ${ displaystyle G}$ :

{ Displaystyle G = bigsqcup _ {j = 1} ^ {t} langle x rangle g_ {j} H}

Именно эта форма циклической декомпозиции гомоморфизма переноса была дана Э. Артином в его оригинальной статье 1929 года.^[3]

Переход в нормальную подгруппу

Позволять ${ displaystyle H}$ - нормальная подгруппа конечного индекса ${ displaystyle n}$ в группе ${ displaystyle G}$ . Тогда у нас есть ${ displaystyle xH = Hx}$ , для всех ${ displaystyle x in G}$ , и существует фактор-группа ${ displaystyle G / H}$ порядка ${ displaystyle n}$ . Для элемента ${ displaystyle x in G}$ , мы позволяем ${ displaystyle f: = mathrm {ord} (xH)}$ обозначим порядок смежного класса ${ displaystyle xH}$ в ${ displaystyle G / H}$ , и мы позволяем ${ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {t})}$ - левая трансверсаль подгруппы ${ displaystyle langle x, H rangle}$ в ${ displaystyle G}$ , куда ${ Displaystyle т = п / е}$ .

Теорема. Тогда образ ${ displaystyle x in G}$ под переводом Артина ${ displaystyle T_ {G, H}}$ дан кем-то:

{ displaystyle (14) quad T_ {G, H} (x) = prod _ {j = 1} ^ {t} g_ {j} ^ {- 1} x ^ {f} g_ {j} cdot ЧАС'}

.

Доказательство

${ displaystyle langle xH rangle}$ - циклическая подгруппа порядка ${ displaystyle f}$ в ${ displaystyle G / H}$ , и левый поперечный ${ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {t})}$ подгруппы ${ displaystyle langle x, H rangle}$ в ${ displaystyle G}$ , куда ${ Displaystyle т = п / е}$ и ${ Displaystyle G = sqcup _ {j = 1} ^ {t} g_ {j} langle x, H rangle}$ - соответствующее дизъюнктное левое разложение смежных классов, может быть уточнено до левой трансверсали ${ Displaystyle г_ {J} Икс ^ {К} (1 Leq J Leq T, 0 Leq K Leq F-1)}$ с дизъюнктным левым разложением смежных классов:

{ displaystyle (15) quad G = sqcup _ {j = 1} ^ {t} sqcup _ {k = 0} ^ {f-1} g_ {j} x ^ {k} H}

из ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ . Следовательно, формула для образа ${ displaystyle x}$ под переводом Артина ${ displaystyle T_ {G, H}}$ в предыдущем разделе принимает особую форму

{ Displaystyle T_ {G, H} (x) = prod _ {j = 1} ^ {t} g_ {j} ^ {- 1} x ^ {f} g_ {j} cdot H '}

с показателем ${ displaystyle f}$ независим от ${ displaystyle j}$ .

Следствие. В частности, внутренний перенос элемента ${ displaystyle x in H}$ дается как символическая сила:

{ displaystyle (16) quad T_ {G, H} (x) = x ^ { mathrm {Tr} _ {G} (H)} cdot H '}

с микроэлемент

{ displaystyle (17) quad mathrm {Tr} _ {G} (H) = sum _ {j = 1} ^ {t} g_ {j} in mathbb {Z} [G]}

из ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ как символический показатель.

Другая крайность - это внешний перенос элемента ${ Displaystyle х в G setminus H}$ который порождает ${ displaystyle G / H}$ , то есть ${ Displaystyle G = langle x, H rangle}$ .

Это просто ${ displaystyle n}$ я сила

{ displaystyle (18) quad T_ {G, H} (x) = x ^ {n} cdot H '}

.

Доказательство

Внутренний перенос элемента ${ displaystyle x in H}$ , смежный класс ${ displaystyle xH = H}$ главный набор в ${ displaystyle G / H}$ порядка ${ displaystyle f = 1}$ , дается как символическая сила

{ Displaystyle T_ {G, H} (x) = prod _ {j = 1} ^ {t} g_ {j} ^ {- 1} xg_ {j} cdot H '= prod _ {j = 1 } ^ {t} x ^ {g_ {j}} cdot H '= x ^ { sum _ {j = 1} ^ {t} g_ {j}} cdot H'}

с микроэлементом

{ displaystyle mathrm {Tr} _ {G} (H) = sum _ {j = 1} ^ {t} g_ {j} in mathbb {Z} [G]}

из ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ как символический показатель.

Внешний перенос элемента ${ Displaystyle х в G setminus H}$ который порождает ${ displaystyle G / H}$ , то есть ${ Displaystyle G = langle x, H rangle}$ , откуда смежный класс ${ displaystyle xH}$ является генератором ${ displaystyle G / H}$ с заказом ${ displaystyle f = n}$ , задается как ${ displaystyle n}$ я сила

{ Displaystyle T_ {G, H} (x) = prod _ {j = 1} ^ {1} 1 ^ {- 1} cdot x ^ {n} cdot 1 cdot H '= x ^ {n } cdot H '.}

Переносы в нормальные подгруппы будут наиболее важными случаями в дальнейшем, поскольку центральная концепция данной статьи - Артин шаблон, который наделяет потомки деревьев с дополнительной структурой, состоит из мишеней и ядер передач Артина из группы ${ displaystyle G}$ промежуточным группам ${ Displaystyle G ' leq H leq G}$ между ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle G '}$ . Для этих промежуточных групп справедлива следующая лемма.

Лемма. Все подгруппы, содержащие коммутаторную подгруппу, нормальны.

Доказательство

Позволять ${ Displaystyle G ' leq H leq G}$ . Если ${ displaystyle H}$ не были нормальной подгруппой ${ displaystyle G}$ , то у нас было ${ displaystyle x ^ {- 1} Hx not substeq H}$ для какого-то элемента ${ Displaystyle х в G setminus H}$ . Это означало бы наличие элементов ${ displaystyle h in H}$ и ${ displaystyle y in G setminus H}$ такой, что ${ displaystyle x ^ {- 1} hx = y}$ , и, следовательно, коммутатор ${ displaystyle [h, x] = h ^ {- 1} x ^ {- 1} hx = h ^ {- 1} y}$ будет элементом в ${ Displaystyle G setminus H}$ в противоречие с ${ Displaystyle G ' leq H}$ .

Явные реализации переводов Артина в простейших ситуациях представлены в следующем разделе.

Вычислительная реализация

Абелианизация типа (п,п)

Позволять ${ displaystyle G}$ быть п-группа с абелианизацией ${ displaystyle G / G '}$ элементарного абелева типа ${ displaystyle (p, p)}$ . потом ${ displaystyle G}$ имеет ${ displaystyle p + 1}$ максимальные подгруппы ${ Displaystyle H_ {1}, ldots, H_ {p + 1}}$ индекса ${ displaystyle p.}$

Лемма. В этом частном случае подгруппа Фраттини, которая определяется как пересечение всех максимальных подгрупп, совпадает с коммутаторной подгруппой.

Доказательство. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что из-за абелевого типа ${ displaystyle G / G '}$ коммутаторная подгруппа содержит все п-ые степени ${ Displaystyle G ' supset G ^ {p},}$ и таким образом у нас есть ${ Displaystyle Phi (G) = G ^ {p} cdot G '= G'}$ .

Для каждого ${ Displaystyle 1 Leq я Leq p + 1}$ , позволять ${ displaystyle T_ {i}: G to H_ {i} / H_ {i} '}$ - гомоморфизм переноса Артина. В соответствии с Теорема Бернсайда о базисе группа ${ displaystyle G}$ поэтому может быть порожден двумя элементами ${ displaystyle x, y}$ такой, что ${ displaystyle x ^ {p}, y ^ {p} in G '.}$ Для каждой из максимальных подгрупп ${ displaystyle H_ {i}}$ , что тоже нормально нам нужен генератор ${ displaystyle h_ {i}}$ относительно ${ displaystyle G '}$ , и генератор ${ displaystyle t_ {i}}$ из поперечный ${ displaystyle (1, t_ {i}, t_ {i} ^ {2}, ldots, t_ {i} ^ {p-1})}$ такой, что

{ displaystyle { begin {align} H_ {i} & = langle h_ {i}, G ' rangle G & = langle t_ {i}, H_ {i} rangle = bigsqcup _ {j = 0} ^ {p-1} t_ {i} ^ {j} H_ {i} end {выровнено}}}

Удобный выбор дает

{ displaystyle (19) quad { begin {cases} h_ {1} = y t_ {1} = x h_ {i} = xy ^ {i-2} & 2 leq i leq p + 1 t_ {i} = y & 2 leq i leq p + 1 end {case}}}

Затем для каждого ${ Displaystyle 1 Leq я Leq p + 1}$ мы используем уравнения (16) и (18) для реализации внутреннего и внешнего переноса:

{ Displaystyle { begin {align} (20) quad T_ {i} (h_ {i}) & = h_ {i} ^ { mathrm {Tr} _ {G} (H_ {i})} cdot H_ {i} '= h_ {i} ^ {1 + t_ {i} + t_ {i} ^ {2} + cdots + t_ {i} ^ {p-1}} cdot H_ {i}' = h_ {i} cdot left (t_ {i} ^ {- 1} h_ {i} t_ {i} right) cdot left (t_ {i} ^ {- 2} h_ {i} t_ {i } ^ {2} right) cdots left (t_ {i} ^ {- p + 1} h_ {i} t_ {i} ^ {p-1} right) cdot H_ {i} '= left (h_ {i} t_ {i} ^ {- 1} right) ^ {p} t_ {i} ^ {p} cdot H_ {i} ' (21) quad T_ {i} (t_ {i}) & = t_ {i} ^ {p} cdot H_ {i} ' end {align}}}

,

Причина в том, что в ${ displaystyle G / H_ {i},}$ ${ Displaystyle mathrm {ord} (ч_ {я} Н_ {я}) = 1}$ и ${ displaystyle mathrm {ord} (t_ {i} H_ {i}) = p.}$

Полная спецификация трансферов Artin ${ displaystyle T_ {i}}$ также требует явного знания производных подгрупп ${ displaystyle H_ {i} '}$ . С ${ displaystyle G '}$ нормальная подгруппа индекса ${ displaystyle p}$ в ${ displaystyle H_ {i}}$ , возможна некоторая общая редукция ${ displaystyle H_ {i} '= [H_ {i}, H_ {i}] = [G', H_ {i}] = (G ') ^ {h_ {i} -1},}$ ^[10] но презентация ${ displaystyle G}$ должны быть известны для определения генераторов ${ displaystyle G '= langle s_ {1}, ldots, s_ {n} rangle}$ откуда

{ displaystyle (22) quad H_ {i} '= (G') ^ {h_ {i} -1} = langle [s_ {1}, h_ {i}], ldots, [s_ {n} , h_ {i}] rangle.}

Абелианизация типа (п²,п)

Позволять ${ displaystyle G}$ быть п-группа с абелианизацией ${ displaystyle G / G '}$ неэлементарного абелева типа ${ displaystyle (p ^ {2}, p)}$ . потом ${ displaystyle G}$ имеет ${ displaystyle p + 1}$ максимальные подгруппы ${ Displaystyle H_ {1}, ldots, H_ {p + 1}}$ индекса ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle p + 1}$ подгруппы ${ Displaystyle U_ {1}, ldots, U_ {p + 1}}$ индекса ${ displaystyle p ^ {2}.}$ Для каждого ${ Displaystyle я в {1, ldots, p + 1 }}$ позволять

{ displaystyle { begin {align} T_ {1, i}: G & to H_ {i} / H_ {i} ' T_ {2, i}: G & to U_ {i} / U_ {i} ' конец {выровнено}}}

- гомоморфизмы переноса Артина. Теорема Бернсайда о базисе утверждает, что группа ${ displaystyle G}$ может быть порожден двумя элементами ${ displaystyle x, y}$ такой, что ${ displaystyle x ^ {p ^ {2}}, y ^ {p} in G '.}$

Начнем с рассмотрения первый слой подгрупп. Для каждой из нормальных подгрупп ${ displaystyle H_ {i}}$ , выбираем генератор

{ Displaystyle (23) quad h_ {я} = ху ^ {я-1}}

такой, что ${ displaystyle H_ {i} = langle h_ {i}, G ' rangle}$ . Это случаи, когда факторная группа ${ displaystyle H_ {i} / G '}$ цикличен по порядку ${ displaystyle p ^ {2}}$ . Однако для выделенная максимальная подгруппа ${ displaystyle H_ {p + 1}}$ , для которого факторная группа ${ displaystyle H_ {p + 1} / G '}$ бициклический типа ${ displaystyle (p, p)}$ , нам понадобится два генератора:

{ displaystyle (24) quad { begin {cases} h_ {p + 1} = y h_ {0} = x ^ {p} end {cases}}}

такой, что ${ displaystyle H_ {p + 1} = langle h_ {p + 1}, h_ {0}, G ' rangle}$ . Далее генератор ${ displaystyle t_ {i}}$ трансверсали должно быть задано так, чтобы ${ displaystyle G = langle t_ {i}, H_ {i} rangle}$ , для каждого ${ Displaystyle 1 Leq я Leq p + 1}$ . Удобно определить

{ displaystyle (25) quad { begin {cases} t_ {i} = y & 1 leq i leq p t_ {p + 1} = x end {cases}}}

Затем для каждого ${ Displaystyle 1 Leq я Leq p + 1}$ , у нас есть внутренние и внешние переводы:

{ displaystyle { begin {align} (26) quad T_ {1, i} (h_ {i}) & = h_ {i} ^ { mathrm {Tr} _ {G} (H_ {i})} cdot H_ {i} '= h_ {i} ^ {1 + t_ {i} + t_ {i} ^ {2} + ldots + t_ {i} ^ {p-1}} cdot H_ {i} '= left (h_ {i} t_ {i} ^ {- 1} right) ^ {p} t_ {i} ^ {p} cdot H_ {i}' (27) quad T_ {1 , i} (t_ {i}) & = t_ {i} ^ {p} cdot H_ {i} ' end {выровнено}}}

поскольку ${ Displaystyle mathrm {ord} (ч_ {я} Н_ {я}) = 1}$ и ${ displaystyle mathrm {ord} (t_ {i} H_ {i}) = p}$ .

Теперь продолжим рассмотрение второй слой подгрупп. Для каждой из нормальных подгрупп ${ displaystyle U_ {i}}$ , выбираем генератор

{ displaystyle (28) quad { begin {cases} u_ {1} = y u_ {i} = x ^ {p} y ^ {i-1} & 2 leq i leq p u_ { p + 1} = x ^ {p} end {case}}}

такой, что ${ displaystyle U_ {i} = langle u_ {i}, G ' rangle}$ . Среди этих подгрупп подгруппа Фраттини ${ Displaystyle U_ {p + 1} = langle x ^ {p}, G ' rangle = G ^ {p} cdot G'}$ особенно выделяется. Единый способ определения генераторов ${ displaystyle t_ {i}, w_ {i}}$ трансверсали такой, что ${ displaystyle G = langle t_ {i}, w_ {i}, U_ {i} rangle}$ , установить

{ displaystyle (29) quad { begin {case} t_ {i} = x & 1 leq i leq p w_ {i} = x ^ {p} & 1 leq i leq p t_ {p +1} = x w_ {p + 1} = y end {case}}}

С ${ Displaystyle mathrm {ord} (и_ {я} U_ {я}) = 1}$ , но с другой стороны ${ displaystyle mathrm {ord} (t_ {i} U_ {i}) = p ^ {2}}$ и ${ displaystyle mathrm {ord} (w_ {i} U_ {i}) = p}$ , за ${ Displaystyle 1 Leq я Leq p + 1}$ , за единственным исключением, что ${ Displaystyle mathrm {ord} (t_ {p + 1} U_ {p + 1}) = p}$ , получаем следующие выражения для внутреннего и внешнего переносов

{ displaystyle { begin {align} (30) quad T_ {2, i} (u_ {i}) & = u_ {i} ^ { mathrm {Tr} _ {G} (U_ {i})} cdot U_ {i} '= u_ {i} ^ { sum _ {j = 0} ^ {p-1} sum _ {k = 0} ^ {p-1} w_ {i} ^ {j} t_ {i} ^ {k}} cdot U_ {i} '= prod _ {j = 0} ^ {p-1} prod _ {k = 0} ^ {p-1} (w_ {i} ^ {j} t_ {i} ^ {k}) ^ {- 1} u_ {i} w_ {i} ^ {j} t_ {i} ^ {k} cdot U_ {i} ' (31) quad T_ {2, i} (t_ {i}) & = t_ {i} ^ {p ^ {2}} cdot U_ {i} ' end {выровнено}}}

исключительно

{ Displaystyle { begin {align} & (32) quad T_ {2, p + 1} left (t_ {p + 1} right) = left (t_ {p + 1} ^ {p} справа) ^ {1 + w_ {p + 1} + w_ {p + 1} ^ {2} + ldots + w_ {p + 1} ^ {p-1}} cdot U_ {p + 1} ' & (33) quad T_ {2, i} (w_ {i}) = left (w_ {i} ^ {p} right) ^ {1 + t_ {i} + t_ {i} ^ {2 } + ldots + t_ {i} ^ {p-1}} cdot U_ {i} '&& 1 leq i leq p + 1 end {выровнено}}}

Строение производных подгрупп ${ displaystyle H_ {i} '}$ и ${ displaystyle U_ {i} '}$ должны быть известны, чтобы полностью указать действие переводов Artin.

Перенести ядра и цели

Позволять ${ displaystyle G}$ - группа с конечной абелианизацией ${ displaystyle G / G '}$ . Предположим, что ${ displaystyle (H_ {я}) _ {я in I}}$ обозначает семейство всех подгрупп, содержащих ${ displaystyle G '}$ и поэтому обязательно нормальны, нумеруются конечным индексным множеством ${ displaystyle I}$ . Для каждого ${ displaystyle i in I}$ , позволять ${ displaystyle T_ {i}: = T_ {G, H_ {i}}}$ быть переводом Артина из ${ displaystyle G}$ к абелианизации ${ displaystyle H_ {i} / H_ {i} '}$ .

Определение.^[11] Семейство нормальных подгрупп ${ Displaystyle varkappa _ {H} (G) = ( ker (T_ {i})) _ {я in I}}$ называется передать тип ядра (ТКТ) из ${ displaystyle G}$ относительно ${ displaystyle (H_ {я}) _ {я in I}}$ , и семейство абелианизаций (соответственно их инвариантов абелевого типа) ${ Displaystyle тау _ {H} (G) = (H_ {i} / H_ {i} ') _ {я in I}}$ называется тип цели передачи (TTT) из ${ displaystyle G}$ относительно ${ displaystyle (H_ {я}) _ {я in I}}$ . Обе семьи также называют мультиплеты тогда как отдельный компонент будет называться сингулет.

Важные примеры этих концепций приведены в следующих двух разделах.

Абелианизация типа (п,п)

Позволять ${ displaystyle G}$ быть п-группа с абелианизацией ${ displaystyle G / G '}$ элементарного абелева типа ${ displaystyle (p, p)}$ . потом ${ displaystyle G}$ имеет ${ displaystyle p + 1}$ максимальные подгруппы ${ Displaystyle H_ {1}, ldots, H_ {p + 1}}$ индекса ${ displaystyle p}$ . За ${ Displaystyle я в {1, ldots, p + 1 }}$ позволять ${ displaystyle T_ {i}: от G до H_ {i} / H_ {i} '}$ обозначают гомоморфизм переноса Артина.

Определение. Семейство нормальных подгрупп ${ Displaystyle varkappa _ {H} (G) = ( ker (T_ {i})) _ {1 Leq я Leq p + 1}}$ называется передать тип ядра (ТКТ) из ${ displaystyle G}$ относительно ${ Displaystyle H_ {1}, ldots, H_ {p + 1}}$ .

Замечание. Для краткости TKT отождествляется с мультиплетом ${ Displaystyle ( varkappa (я)) _ {1 Leq я Leq p + 1}}$ , целочисленные компоненты которого имеют вид

{ Displaystyle varkappa (я) = { begin {case} 0 & ker (T_ {i}) = G j & ker (T_ {i}) = H_ {j} { text {для некоторых}} 1 leq j leq p + 1 end {case}}}

Здесь мы учтем, что каждое ядро передачи ${ displaystyle ker (T_ {i})}$ должен содержать коммутаторную подгруппу ${ displaystyle G '}$ из ${ displaystyle G}$ , так как цель передачи ${ displaystyle H_ {i} / H_ {i} '}$ абелева. Однако минимальный случай ${ displaystyle ker (T_ {i}) = G '}$ не может произойти.

Замечание. А вознаграждение максимальных подгрупп ${ Displaystyle К_ {я} = Н _ { пи (я)}}$ и переводов ${ Displaystyle V_ {я} = Т _ { пи (я)}}$ с помощью перестановки ${ displaystyle pi in S_ {p + 1}}$ рождает новый ТКТ ${ displaystyle lambda _ {K} (G) = ( ker (V_ {i})) _ {1 leq i leq p + 1}}$ относительно ${ displaystyle K_ {1}, ldots, K_ {p + 1}}$ , идентифицированный с ${ Displaystyle ( лямбда (я)) _ {1 Leq я Leq p + 1}}$ , куда

{ displaystyle lambda (i) = { begin {case} 0 & ker (V_ {i}) = G j & ker (V_ {i}) = K_ {j} { text {для некоторых}} 1 leq j leq p + 1 end {case}}}

Адекватно посмотреть ТКЦ ${ displaystyle lambda _ {K} (G) sim varkappa _ {H} (G)}$ в качестве эквивалент. Поскольку у нас есть

{ displaystyle K _ { lambda (i)} = ker (V_ {i}) = ker (T _ { pi (i)}) = H _ { varkappa ( pi (i))} = K _ {{ tilde { pi}} ^ {- 1} ( varkappa ( pi (i)))},}

отношения между ${ displaystyle lambda}$ и ${ Displaystyle varkappa}$ дан кем-то ${ displaystyle lambda = { тильда { pi}} ^ {- 1} circ varkappa circ pi}$ . Следовательно, ${ displaystyle lambda}$ еще один представитель орбиты ${ Displaystyle varkappa ^ {S_ {p + 1}}}$ из ${ Displaystyle varkappa}$ под действием ${ displaystyle ( pi, mu) mapsto { tilde { pi}} ^ {- 1} circ mu circ pi}$ симметрической группы ${ displaystyle S_ {p + 1}}$ на множестве всех отображений из ${ Displaystyle {1, ldots, p + 1 } к {0,1, ldots, p + 1 },}$ где расширение ${ displaystyle { tilde { pi}} in S_ {p + 2}}$ перестановки ${ displaystyle pi in S_ {p + 1}}$ определяется ${ Displaystyle { тильда { pi}} (0) = 0,}$ и формально ${ displaystyle H_ {0} = G, K_ {0} = G.}$

Определение. Орбита ${ Displaystyle varkappa (G) = varkappa ^ {S_ {p + 1}}}$ любого представителя ${ Displaystyle varkappa}$ является инвариантом п-группа ${ displaystyle G}$ и называется его передать тип ядраКратко ТКТ.

Замечание. Позволять ${ displaystyle # { mathcal {H}} _ {0} (G): = # {1 leq i leq p + 1 mid varkappa (i) = 0 }}$ обозначить счетчик общее количество ядер переноса ${ displaystyle ker (T_ {i}) = G}$ , который является инвариантом группы ${ displaystyle G}$ . В 1980 г. С. М. Чанг и Р. Фут^[12] доказал, что для любого нечетного простого ${ displaystyle p}$ и для любого целого ${ Displaystyle 0 Leq п Leq p + 1}$ , существуют метабелевы п-группы ${ displaystyle G}$ имеющий абелианизацию ${ displaystyle G / G '}$ типа ${ displaystyle (p, p)}$ такой, что ${ Displaystyle # { mathcal {H}} _ {0} (G) = п}$ . Однако для ${ displaystyle p = 2}$ , неабелевых ${ displaystyle 2}$ -группы ${ displaystyle G}$ с ${ Displaystyle G / G ' simeq (2,2)}$ , которые должны быть метабелевыми максимального класса, такие что ${ Displaystyle # { mathcal {H}} _ {0} (G) geq 2}$ . Только элементарный абелев ${ displaystyle 2}$ -группа ${ Displaystyle G = C_ {2} times C_ {2}}$ имеет ${ displaystyle # { mathcal {H}} _ {0} (G) = 3}$ . См. Рисунок 5.

В следующих конкретных примерах счетчиков ${ displaystyle # { mathcal {H}} _ {0} (G)}$ , а также в оставшейся части этой статьи мы используем идентификаторы конечных п-группы в библиотеке SmallGroups Х. У. Беше, Б. Эйка и Э. А. О'Брайена.^[13]^[14]

За ${ displaystyle p = 3}$ , у нас есть

${ Displaystyle # { mathcal {H}} _ {0} (G) = 0}$ для особой группы ${ Displaystyle G = langle 27,4 rangle}$ экспоненты ${ displaystyle 9}$ с ТКТ ${ Displaystyle varkappa = (1111)}$ (Рисунок 6),

${ Displaystyle # { mathcal {H}} _ {0} (G) = 1}$ для двух групп ${ Displaystyle G в { langle 243,6 rangle, langle 243,8 rangle }}$ с ТКЦ ${ Displaystyle varkappa in {(0122), (2034) }}$ (Рисунки 8 и 9),

${ Displaystyle # { mathcal {H}} _ {0} (G) = 2}$ для группы ${ Displaystyle G = langle 243,3 rangle}$ с ТКТ ${ Displaystyle varkappa = (0043)}$ (Рисунок 4 в статье о потомки деревьев ),

${ displaystyle # { mathcal {H}} _ {0} (G) = 3}$ для группы ${ Displaystyle G = langle 81,7 rangle}$ с ТКТ ${ Displaystyle varkappa = (2000)}$ (Рисунок 6),

${ displaystyle # { mathcal {H}} _ {0} (G) = 4}$ для особой группы ${ Displaystyle G = langle 27,3 rangle}$ экспоненты ${ displaystyle 3}$ с ТКТ ${ Displaystyle varkappa = (0000)}$ (Рисунок 6).

Абелианизация типа (п²,п)

Позволять ${ displaystyle G}$ быть п-группа с абелианизацией ${ displaystyle G / G '}$ неэлементарного абелева типа ${ displaystyle (p ^ {2}, p).}$ потом ${ displaystyle G}$ обладает ${ displaystyle p + 1}$ максимальные подгруппы ${ Displaystyle H_ {1}, ldots, H_ {p + 1}}$ индекса ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle p + 1}$ подгруппы ${ Displaystyle U_ {1}, ldots, U_ {p + 1}}$ индекса ${ displaystyle p ^ {2}.}$

Предположение. Предполагать

{ Displaystyle H_ {p + 1} = prod _ {j = 1} ^ {p + 1} U_ {j}}

это выделенная максимальная подгруппа и

{ Displaystyle U_ {p + 1} = bigcap _ {j = 1} ^ {p + 1} H_ {j}}

выделенная подгруппа индекса ${ displaystyle p ^ {2}}$ который как пересечение всех максимальных подгрупп является Подгруппа Фраттини ${ Displaystyle Phi (G)}$ из ${ displaystyle G}$ .

Первый слой

Для каждого ${ Displaystyle 1 Leq я Leq p + 1}$ , позволять ${ Displaystyle T_ {1, i}: от G до H_ {i} / H_ {i} '}$ обозначают гомоморфизм переноса Артина.

Определение. Семья ${ displaystyle varkappa _ {1, H, U} (G) = ( ker (T_ {1, i})) _ {i = 1} ^ {p + 1}}$ называется тип ядра передачи первого уровня из ${ displaystyle G}$ относительно ${ Displaystyle H_ {1}, ldots, H_ {p + 1}}$ и ${ Displaystyle U_ {1}, ldots, U_ {p + 1}}$ , и отождествляется с ${ Displaystyle ( varkappa _ {1} (я)) _ {я = 1} ^ {р + 1}}$ , куда

{ Displaystyle varkappa _ {1} (я) = { begin {case} 0 & ker (T_ {1, i}) = H_ {p + 1}, j & ker (T_ {1, i} ) = U_ {j} { text {для некоторых}} 1 leq j leq p + 1. End {cases}}}

Замечание. Здесь мы видим, что каждое ядро переноса первого уровня имеет показатель степени ${ displaystyle p}$ относительно ${ displaystyle G '}$ и, следовательно, не может совпадать с ${ displaystyle H_ {j}}$ для любого ${ displaystyle 1 leq j leq p}$ , поскольку ${ displaystyle H_ {j} / G '}$ цикличен по порядку ${ displaystyle p ^ {2}}$ , в то время как ${ displaystyle H_ {p + 1} / G '}$ бициклический типа ${ displaystyle (p, p)}$ .

Второй слой

Для каждого ${ Displaystyle 1 Leq я Leq p + 1}$ , позволять ${ displaystyle T_ {2, i}: G to U_ {i} / U_ {i} '}$ - гомоморфизм переноса Артина из ${ displaystyle G}$ к абелианизации ${ displaystyle U_ {i}}$ .

Определение. Семья ${ Displaystyle varkappa _ {2, U, H} (G) = ( ker (T_ {2, i})) _ {i = 1} ^ {p + 1}}$ называется тип ядра передачи второго уровня из ${ displaystyle G}$ относительно ${ Displaystyle U_ {1}, ldots, U_ {p + 1}}$ и ${ Displaystyle H_ {1}, ldots, H_ {p + 1}}$ , и отождествляется с ${ Displaystyle ( varkappa _ {2} (я)) _ {я = 1} ^ {р + 1},}$ куда

{ Displaystyle varkappa _ {2} (я) = { begin {case} 0 & ker (T_ {2, i}) = G, j & ker (T_ {2, i}) = H_ {j } { text {для некоторых}} 1 leq j leq p + 1. end {case}}}

Тип передачи ядра

Комбинируя информацию о двух слоях, мы получаем (полный) передать тип ядра ${ Displaystyle varkappa _ {H, U} (G) = ( varkappa _ {1, H, U} (G); varkappa _ {2, U, H} (G))}$ из п-группа ${ displaystyle G}$ относительно ${ Displaystyle H_ {1}, ldots, H_ {p + 1}}$ и ${ Displaystyle U_ {1}, ldots, U_ {p + 1}}$ .

Замечание. Выделенные подгруппы ${ displaystyle H_ {p + 1}}$ и ${ Displaystyle U_ {p + 1} = Phi (G)}$ являются уникальными инвариантами ${ displaystyle G}$ и не подлежат вознаграждению. Тем не мение, независимое вознаграждение оставшихся максимальных подгрупп ${ Displaystyle К_ {я} = Н _ { тау (я)} (1 Leq я Leq p)}$ и переводы ${ Displaystyle V_ {1, я} = Т_ {1, тау (я)}}$ с помощью перестановки ${ Displaystyle тау в S_ {p}}$ , а остальных подгрупп ${ Displaystyle W_ {я} = U _ { sigma (я)} (1 Leq я Leq p)}$ индекса ${ displaystyle p ^ {2}}$ и переводы ${ Displaystyle V_ {2, я} = T_ {2, sigma (я)}}$ с помощью перестановки ${ displaystyle sigma in S_ {p}}$ , рождают новые ТКЦ ${ displaystyle lambda _ {1, K, W} (G) = ( ker (V_ {1, i})) _ {i = 1} ^ {p + 1}}$ относительно ${ displaystyle K_ {1}, ldots, K_ {p + 1}}$ и ${ Displaystyle W_ {1}, ldots, W_ {p + 1}}$ , идентифицированный с ${ Displaystyle ( лямбда _ {1} (я)) _ {я = 1} ^ {р + 1}}$ , куда

{ displaystyle lambda _ {1} (i) = { begin {cases} 0 & ker (V_ {1, i}) = K_ {p + 1}, j & ker (V_ {1, i} ) = W_ {j} { text {для некоторых}} 1 leq j leq p + 1, end {cases}}}

и ${ displaystyle lambda _ {2, W, K} (G) = ( ker (V_ {2, i})) _ {i = 1} ^ {p + 1}}$ относительно ${ Displaystyle W_ {1}, ldots, W_ {p + 1}}$ и ${ displaystyle K_ {1}, ldots, K_ {p + 1}}$ , идентифицированный с ${ Displaystyle ( лямбда _ {2} (я)) _ {я = 1} ^ {р + 1},}$ куда

{ displaystyle lambda _ {2} (i) = { begin {cases} 0 & ker (V_ {2, i}) = G, j & ker (V_ {2, i}) = K_ {j } { text {для некоторых}} 1 leq j leq p + 1. end {case}}}

Адекватно посмотреть ТКЦ ${ displaystyle lambda _ {1, K, W} (G) sim varkappa _ {1, H, U} (G)}$ и ${ displaystyle lambda _ {2, W, K} (G) sim varkappa _ {2, U, H} (G)}$ в качестве эквивалент. Поскольку у нас есть

{ displaystyle { begin {align} W _ { lambda _ {1} (i)} & = ker (V_ {1, i}) = ker (T_ {1, { hat { tau}} ( i)}) = U _ { varkappa _ {1} ({ hat { tau}} (i))} = W _ {{ tilde { sigma}} ^ {- 1} ( varkappa _ {1} ({ hat { tau}} (i)))} K _ { lambda _ {2} (i)} & = ker (V_ {2, i}) = ker (T_ {2, { hat { sigma}} (i)}) = H _ { varkappa _ {2} ({ hat { sigma}} (i))} = K _ {{ tilde { tau}} ^ {- 1 } ( varkappa _ {2} ({ hat { sigma}} (i)))} end {align}}}

отношения между ${ displaystyle lambda _ {1}}$ и ${ displaystyle varkappa _ {1}}$ , и ${ displaystyle lambda _ {2}}$ и ${ displaystyle varkappa _ {2}}$ , даются

{ displaystyle lambda _ {1} = { tilde { sigma}} ^ {- 1} circ varkappa _ {1} circ { hat { tau}}}

{ displaystyle lambda _ {2} = { tilde { tau}} ^ {- 1} circ varkappa _ {2} circ { hat { sigma}}}

Следовательно, ${ displaystyle lambda = ( lambda _ {1}, lambda _ {2})}$ еще один представитель орбиты ${ Displaystyle varkappa ^ {S_ {p} times S_ {p}}}$ из ${ Displaystyle varkappa = ( varkappa _ {1}, varkappa _ {2})}$ под действием:

{ displaystyle (( sigma, tau), ( mu _ {1}, mu _ {2})) mapsto left ({ tilde { sigma}} ^ {- 1} circ mu _ {1} circ { hat { tau}}, { tilde { tau}} ^ {- 1} circ mu _ {2} circ { hat { sigma}} right)}

произведения двух симметрических групп ${ displaystyle S_ {p} times S_ {p}}$ на множестве всех пар отображений ${ Displaystyle {1, ldots, p + 1 } к {0,1, ldots, p + 1 }}$ , где расширения ${ displaystyle { hat { pi}} in S_ {p + 1}}$ и ${ displaystyle { tilde { pi}} in S_ {p + 2}}$ перестановки ${ displaystyle pi in S_ {p}}$ определены ${ Displaystyle { шляпа { пи}} (п + 1) = { тильда { пи}} (р + 1) = р + 1}$ и ${ Displaystyle { тильда { pi}} (0) = 0}$ , а формально ${ displaystyle H_ {0} = K_ {0} = G, K_ {p + 1} = H_ {p + 1}, U_ {0} = W_ {0} = H_ {p + 1},}$ и ${ Displaystyle W_ {p + 1} = U_ {p + 1} = Phi (G).}$

Определение. Орбита ${ Displaystyle varkappa (G) = varkappa ^ {S_ {p} times S_ {p}}}$ любого представителя ${ Displaystyle varkappa = ( varkappa _ {1}, varkappa _ {2})}$ инвариант п-группа ${ displaystyle G}$ и называется его передать тип ядраКратко ТКТ.

Связи между слоями

Перенос Артина ${ displaystyle T_ {2, i}: G to U_ {i} / U_ {i} '}$ состав ${ displaystyle T_ {2, i} = { tilde {T}} _ {H_ {j}, U_ {i}} circ T_ {1, j}}$ из вынужденный перевод ${ displaystyle { tilde {T}} _ {H_ {j}, U_ {i}}: H_ {j} / H_ {j} ' to U_ {i} / U_ {i}'}$ из ${ displaystyle H_ {j}}$ к ${ displaystyle U_ {i}}$ и перенос Артина ${ displaystyle T_ {1, j}: G to H_ {j} / H_ {j} '.}$

Есть два варианта относительно промежуточных подгрупп.

Для подгрупп ${ Displaystyle U_ {1}, ldots, U_ {p}}$ только выделенная максимальная подгруппа ${ displaystyle H_ {p + 1}}$ является промежуточной подгруппой.

Для подгруппы Фраттини ${ Displaystyle U_ {p + 1} = Phi (G)}$ все максимальные подгруппы ${ Displaystyle H_ {1}, ldots, H_ {p + 1}}$ являются промежуточными подгруппами.

Это вызывает ограничения для типа ядра передачи

{ Displaystyle varkappa _ {2} (G)}

второго слоя, поскольку

{ displaystyle ker (T_ {2, i}) = ker ({ tilde {T}} _ {H_ {j}, U_ {i}} circ T_ {1, j}) supset ker ( T_ {1, j}),}

и поэтому

{ displaystyle forall i in {1, ldots, p }: qquad ker (T_ {2, i}) supset ker (T_ {1, p + 1}).}

Но даже

{ Displaystyle ker (T_ {2, p + 1}) supset left langle bigcup _ {j = 1} ^ {p + 1} ker (T_ {1, j}) right rangle. }

Кроме того, когда

{ displaystyle G = langle x, y rangle}

с

{ displaystyle x ^ {p} notin G ', y ^ {p} in G',}

элемент

{ Displaystyle ху ^ {к-1} (1 leq к leq p)}

порядка

{ displaystyle p ^ {2}}

относительно

{ displaystyle G '}

, может принадлежать

{ displaystyle ker (T_ {2, i})}

только если это

{ displaystyle p}

-я мощность содержится в

{ displaystyle ker (T_ {1, j})}

, для всех промежуточных подгрупп

{ Displaystyle U_ {я}

, и поэтому:

{ displaystyle xy ^ {k-1} in ker (T_ {2, i})}

, для некоторых

{ Displaystyle 1 Leq я, к Leq р}

, применяет сингулет TKT первого слоя

{ Displaystyle varkappa _ {1} (р + 1) = р + 1}

, но

{ displaystyle xy ^ {k-1} in ker (T_ {2, p + 1})}

, для некоторых

{ displaystyle 1 leq k leq p}

, даже указывает полный мультиплет TKT первого слоя

{ Displaystyle varkappa _ {1} = ((p + 1) ^ {p + 1})}

, то есть

{ Displaystyle varkappa _ {1} (j) = p + 1}

, для всех

{ Displaystyle 1 Leq J Leq p + 1}

.

Рисунок 1: Факторинг через абелианизацию.

Наследование от частных

Общая черта всех отношения родитель-потомок между конечным п-groups - родительский ${ Displaystyle pi (G)}$ является частным ${ Displaystyle G / N}$ потомка ${ displaystyle G}$ подходящей нормальной подгруппой ${ displaystyle N.}$ Таким образом, можно дать эквивалентное определение, выбрав эпиморфизм ${ displaystyle phi: G to { tilde {G}}}$ с ${ Displaystyle ker ( phi) = N.}$ Тогда группа ${ Displaystyle { тильда {G}} = phi (G)}$ можно рассматривать как родителя потомка ${ displaystyle G}$ .

В следующих разделах эта точка зрения будет принята, как правило, для произвольных групп, а не только для конечных п-группы.

Проходя абелианизацию

Предложение. Предполагать

{ displaystyle A}

абелева группа и

{ displaystyle phi: G to A}

является гомоморфизмом. Позволять

{ displaystyle omega: G to G / G '}

обозначим каноническое проекционное отображение. Тогда существует единственный гомоморфизм

{ displaystyle { tilde { phi}}: от G / G ' до A}

такой, что

{ Displaystyle phi = { тильда { phi}} circ omega}

и

{ Displaystyle ker ({ тильда { phi}}) = ker ( phi) / G '}

(См. Рисунок 1).

Доказательство. Это утверждение является следствием второго следствия из статьи о индуцированный гомоморфизм. Тем не менее, мы даем независимое доказательство для данной ситуации: единственность ${ displaystyle { tilde { phi}}}$ является следствием условия ${ displaystyle phi = { тильда { phi}} circ omega,}$ что означает для любого ${ displaystyle x in G}$ у нас есть:

{ Displaystyle { тильда { phi}} (xG ') = { тильда { phi}} ( omega (x)) = ({ тильда { phi}} circ omega) (x) = phi (x),}

${ displaystyle { tilde { phi}}}$ является гомоморфизмом, пусть ${ displaystyle x, y in G}$ быть произвольным, то:

{ displaystyle { begin {align} { tilde { phi}} left (xG ' cdot yG' right) & = { tilde { phi}} ((xy) G ') = phi ( xy) = phi (x) cdot phi (y) = { tilde { phi}} (xG ') cdot { tilde { phi}} (xG') phi ([x, y]) & = phi left (x ^ {- 1} y ^ {- 1} xy right) = phi (x ^ {- 1}) phi (y ^ {- 1}) phi ( x) phi (y) = [ phi (x), phi (y)] = 1 && A { text {абелева.}} end {выравнивается}}}

Таким образом, коммутаторная подгруппа ${ Displaystyle G ' подмножество ker ( phi)}$ , и это, наконец, показывает, что определение ${ displaystyle { tilde { phi}}}$ не зависит от представителя смежного класса,

{ displaystyle { begin {align} xG '= yG' & Longrightarrow y ^ {- 1} x in G ' subset ker ( phi) & Longrightarrow 1 = phi (y ^ {- 1} x) = { tilde { phi}} (y ​​^ {- 1} xG ') = { tilde { phi}} (yG') ^ {- 1} cdot { tilde { phi} } (xG ') & Longrightarrow { tilde { phi}} (xG') = { tilde { phi}} (yG ') end {выравнивается}}}

Рисунок 2: Эпиморфизмы и производные факторы.

Синглеты ТТТ

Предложение. Предполагать

{ displaystyle G, { tilde {G}}, phi}

как указано выше и

{ Displaystyle { тильда {H}} = phi (H)}

является образом подгруппы

{ displaystyle H.}

Коммутаторная подгруппа группы

{ displaystyle { tilde {H}}}

- образ коммутаторной подгруппы группы

{ displaystyle H.}

Следовательно,

{ displaystyle phi}

индуцирует уникальный эпиморфизм

{ displaystyle { tilde { phi}}: H / H ' to { tilde {H}} / { tilde {H}}'}

, и поэтому

{ displaystyle { tilde {H}} / { tilde {H}} '}

является частным от

{ displaystyle H / H '.}

Более того, если

{ displaystyle ker ( phi) leq H '}

, то карта

{ displaystyle { tilde { phi}}}

является изоморфизмом (см. рисунок 2).

Доказательство. Это утверждение является следствием основной теоремы из статьи о индуцированный гомоморфизм. Тем не менее, независимое доказательство дается следующим образом: во-первых, образ коммутаторной подгруппы есть

{ displaystyle phi (H ') = phi ([H, H]) = phi ( langle [u, v] | u, v in H rangle) = langle [ phi (u), phi (v)] mid u, v in H rangle = [ phi (H), phi (H)] = phi (H) '= { tilde {H}}'.}

Во-вторых, эпиморфизм ${ displaystyle phi}$ можно ограничить до эпиморфизма ${ displaystyle phi | _ {H}: от H до { tilde {H}}}$ . Согласно предыдущему разделу, составной эпиморфизм ${ displaystyle ( omega _ { tilde {H}} circ phi | _ {H}): от H to { tilde {H}} / { tilde {H}} '}$ факторы через ${ displaystyle H / H '}$ посредством однозначно определенного эпиморфизма ${ displaystyle { tilde { phi}}: H / H ' to { tilde {H}} / { tilde {H}}'}$ такой, что ${ displaystyle { tilde { phi}} circ omega _ {H} = omega _ { tilde {H}} circ phi | _ {H}}$ . Следовательно, мы имеем ${ Displaystyle { тильда {H}} / { тильда {H}} ' simeq (H / H') / ker ({ тильда { phi}})}$ . Кроме того, ядро ${ displaystyle { tilde { phi}}}$ дается явно ${ Displaystyle ker ({ тильда { phi}}) = (H ' cdot ker ( phi)) / H'}$ .

Наконец, если ${ Displaystyle ker ( phi) leq H '}$ , тогда ${ displaystyle { tilde { phi}}}$ является изоморфизмом, поскольку ${ Displaystyle ker ({ тильда { phi}}) = H '/ H' = 1}$ .

Определение.^[15] Благодаря результатам, приведенным в настоящем разделе, имеет смысл определить частичный заказ на множестве инвариантов абелевого типа, положив ${ displaystyle { tilde {H}} / { tilde {H}} ' prevq H / H'}$ , когда ${ displaystyle { tilde {H}} / { tilde {H}} ' simeq (H / H') / ker ({ tilde { phi}})}$ , и ${ displaystyle { tilde {H}} / { tilde {H}} '= H / H'}$ , когда ${ displaystyle { tilde {H}} / { tilde {H}} ' simeq H / H'}$ .

Рисунок 3: Эпиморфизмы и переносы Артина.

Сингулеты ТКТ

Предложение. Предполагать

{ displaystyle G, { tilde {G}}, phi}

как указано выше и

{ Displaystyle { тильда {H}} = phi (H)}

является образом подгруппы конечного индекса

{ displaystyle n.}

Позволять

{ displaystyle T_ {G, H}: от G до H / H '}

и

{ displaystyle T _ {{ tilde {G}}, { tilde {H}}}: { tilde {G}} to { tilde {H}} / { tilde {H}} '}

be Artin переводы. Если

{ Displaystyle кер ( фи) leq H}

, то изображение левой трансверсали

{ displaystyle H}

в

{ displaystyle G}

это левая трансверсаль

{ displaystyle { tilde {H}}}

в

{ displaystyle { tilde {G}}}

, и

{ displaystyle phi ( ker (T_ {G, H})) subset ker (T _ {{ tilde {G}}, { tilde {H}}}).}

Более того, если

{ Displaystyle ker ( phi) leq H '}

тогда

{ displaystyle phi ( ker (T_ {G, H})) = ker (T _ {{ tilde {G}}, { tilde {H}}})}

(См. Рисунок 3).

Доказательство. Позволять ${ displaystyle (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ быть левым трансверсалом ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle G}$ . Тогда у нас есть несвязное объединение:

{ displaystyle G = bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} H.}

Рассмотрим образ этого непересекающегося союза, который не обязательно не пересекается,

{ displaystyle phi (G) = bigcup _ {i = 1} ^ {n} phi (g_ {i}) phi (H),}

и разреши ${ displaystyle j, k in {1, ldots, n }.}$ У нас есть:

{ Displaystyle { begin {align} phi (g_ {j}) phi (H) = phi (g_ {k}) phi (H) & Longleftrightarrow phi (H) = phi (g_ { j}) ^ {- 1} phi (g_ {k}) phi (H) = phi (g_ {j} ^ {- 1} g_ {k}) phi (H) & Longleftrightarrow phi (g_ {j} ^ {- 1} g_ {k}) = phi (h) && { text {для некоторых}} h in H & Longleftrightarrow phi (h ^ {- 1} g_ {j} ^ {- 1} g_ {k}) = 1 & Longleftrightarrow h ^ {- 1} g_ {j} ^ {- 1} g_ {k} in ker ( phi) subset H & Longleftrightarrow g_ {j} ^ {- 1} g_ {k} in H & Longleftrightarrow j = k конец {выровнено}}}

Позволять ${ displaystyle { tilde { phi}}: H / H ' to { tilde {H}} / { tilde {H}}'}$ - эпиморфизм из предыдущего предложения. У нас есть:

{ displaystyle { tilde { phi}} (T_ {G, H} (x)) = { tilde { phi}} left ( prod _ {i = 1} ^ {n} g _ { pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ {i} cdot H ' right) = prod _ {i = 1} ^ {n} phi left (g _ { pi _ {x} (i)} right) ^ {- 1} phi (x) phi (g_ {i}) cdot phi (H ').}

С ${ Displaystyle phi (H ') = phi (H)' = { tilde {H}} '}$ , правая часть равна ${ Displaystyle Т _ {{ тильда {G}}, { тильда {H}}} ( phi (x))}$ , если ${ displaystyle ( phi (g_ {1}), ldots, phi (g_ {n}))}$ это левая трансверсаль ${ displaystyle { tilde {H}}}$ в ${ displaystyle { tilde {G}}}$ , что верно, когда ${ Displaystyle ker ( phi) подмножество H.}$ Следовательно, ${ displaystyle { tilde { phi}} circ T_ {G, H} = T _ {{ tilde {G}}, { tilde {H}}} circ phi.}$ Как следствие, ${ Displaystyle ker ( phi) подмножество H}$ следует включение

{ displaystyle phi ( ker (T_ {G, H})) subset ker (T _ {{ tilde {G}}, { tilde {H}}}).}

Наконец, если ${ Displaystyle ker ( phi) подмножество H '}$ , то по предыдущему предложению ${ displaystyle { tilde { phi}}}$ является изоморфизмом. Используя обратное, получаем ${ displaystyle T_ {G, H} = { tilde { phi}} ^ {- 1} circ T _ {{ tilde {G}}, { tilde {H}}} circ phi}$ , что доказывает

{ displaystyle phi ^ {- 1} left ( ker (T _ { tilde {G}}, { tilde {H}}}) right) subset ker (T_ {G, H}) .}

Объединяя включения, мы получаем:

{ displaystyle { begin {align} { begin {case} phi ( ker (T_ {G, H})) subset ker (T _ {{ tilde {G}}, { tilde {H}) }}) phi ^ {- 1} left ( ker (T _ {{ tilde {G}}, { tilde {H}}}) right) subset ker (T_ {G, H }) end {cases}} & Longrightarrow { begin {cases} phi ( ker (T_ {G, H})) subset ker (T _ {{ tilde {G}}, { tilde { H}}}) phi left ( phi ^ {- 1} left ( ker (T _ {{ tilde {G}}, { tilde {H}}}) right) right) subset phi ( ker (T_ {G, H})) end {case}} [8pt] & Longrightarrow phi left ( phi ^ {- 1} left ( ker (T_ { { tilde {G}}, { tilde {H}}}) right) right) subset phi ( ker (T_ {G, H})) subset ker (T _ {{ tilde { G}}, { tilde {H}}}) [8pt] & Longrightarrow ker (T _ {{ tilde {G}}, { tilde {H}}}) subset phi ( ker (T_ {G, H})) subset ker (T _ {{ tilde {G}}, { tilde {H}}}) [8pt] & Longrightarrow phi ( ker (T_ {G , H})) = ker (T _ {{ tilde {G}}, { tilde {H}}}) end {align}}}

Определение.^[15] Принимая во внимание результаты, представленные в настоящем разделе, мы можем определить частичный заказ ядер передачи, установив ${ Displaystyle ker (T_ {G, H}) prevq ker (T _ {{ tilde {G}}, { tilde {H}}})}$ , когда ${ displaystyle phi ( ker (T_ {G, H})) subset ker (T _ {{ tilde {G}}, { tilde {H}}}).}$

Мультиплеты ТТТ и ТКТ

Предполагать ${ displaystyle G, { tilde {G}}, phi}$ такие же, как указано выше, и это ${ displaystyle G / G '}$ и ${ displaystyle { tilde {G}} / { tilde {G}} '}$ изоморфны и конечны. Позволять ${ displaystyle (H_ {я}) _ {я in I}}$ обозначим семейство всех подгрупп, содержащих ${ displaystyle G '}$ (что делает его конечным семейством нормальных подгрупп). Для каждого ${ displaystyle i in I}$ позволять:

{ displaystyle { begin {align} { tilde {H_ {i}}} &: = phi (H_ {i}) T_ {i} &: = T_ {G, H_ {i}}: G to H_ {i} / H_ {i} ' { tilde {T_ {i}}} &: = T _ {{ tilde {G}}, { tilde {H_ {i}}}}: { tilde {G}} to { tilde {H_ {i}}} / { tilde {H_ {i}}} ' end {выровнено}}}

Брать ${ displaystyle J}$ быть любым непустым подмножеством ${ displaystyle I}$ . Тогда удобно определить ${ Displaystyle varkappa _ {H} (G) = ( ker (T_ {j})) _ {j in J}}$ , называется (частичный) перенос типа ядра (ТКТ) из ${ displaystyle G}$ относительно ${ displaystyle (H_ {j}) _ {j in J}}$ , и ${ Displaystyle тау _ {H} (G) = (H_ {j} / H_ {j} ') _ {j in J},}$ называется (частичная) передача целевого типа (TTT) из ${ displaystyle G}$ относительно ${ displaystyle (H_ {j}) _ {j in J}}$ .

В соответствии с правилами для синглетов, установленными в предыдущих двух разделах, эти мультиплеты TTT и TKT подчиняются следующим фундаментальным законы о наследовании:

Закон о наследстве I. Если

{ Displaystyle ker ( phi) leq cap _ {j in J} H_ {j}}

, тогда

{ Displaystyle тау _ { тильда {Н}} ({ тильда {G}}) prevq тау _ {Н} (G)}

, в том смысле, что

{ displaystyle { tilde {H_ {j}}} / { tilde {H_ {j}}} ' prevq H_ {j} / H_ {j}'}

, для каждого

{ displaystyle j in J}

, и

{ Displaystyle varkappa _ {H} (G) Preq varkappa _ { tilde {H}} ({ tilde {G}})}

, в том смысле, что

{ Displaystyle ker (T_ {j}) prevq ker ({ tilde {T_ {j}}})}

, для каждого

{ displaystyle j in J}

.

Закон о наследстве II. Если

{ Displaystyle ker ( phi) leq cap _ {j in J} H_ {j} '}

, тогда

{ Displaystyle тау _ { тильда {Н}} ({ тильда {G}}) = тау _ {Н} (G)}

, в том смысле, что

{ displaystyle { tilde {H_ {j}}} / { tilde {H_ {j}}} '= H_ {j} / H_ {j}'}

, для каждого

{ displaystyle j in J}

, и

{ Displaystyle varkappa _ {H} (G) = varkappa _ { tilde {H}} ({ tilde {G}})}

, в том смысле, что

{ Displaystyle ker (T_ {j}) = ker ({ тильда {T_ {j}}})}

, для каждого

{ displaystyle j in J}

.

Унаследованные автоморфизмы

Еще одно свойство наследования не касается непосредственно передачи Артина, но окажется полезным в приложениях к дочерним деревьям.

Закон о наследстве III. Предполагать

{ displaystyle G, { tilde {G}}, phi}

как указано выше и

{ displaystyle sigma in mathrm {Aut} (G).}

Если

{ Displaystyle сигма ( кер ( фи)) подмножество кер ( фи)}

то существует единственный эпиморфизм

{ displaystyle { tilde { sigma}}: { tilde {G}} to { tilde {G}}}

такой, что

{ Displaystyle phi circ sigma = { тильда { sigma}} circ phi}

. Если

{ Displaystyle сигма ( кер ( фи)) = кер ( фи),}

тогда

{ displaystyle { tilde { sigma}} in mathrm {Aut} ({ tilde {G}}).}

Доказательство. Используя изоморфизм ${ Displaystyle { тильда {G}} = phi (G) simeq G / ker ( phi)}$ мы определяем:

{ displaystyle { begin {cases} { tilde { sigma}}: { tilde {G}} to { tilde {G}} { tilde { sigma}} (g ker ( phi)): = sigma (g) ker ( phi) end {case}}}

Сначала покажем, что эта карта четко определена:

{ displaystyle { begin {align} g ker ( phi) = h ker ( phi) & Longrightarrow h ^ {- 1} g in ker ( phi) & Longrightarrow sigma ( h ^ {- 1} g) in sigma ( ker ( phi)) & Longrightarrow sigma (h ^ {- 1} g) in ker ( phi) && sigma ( ker ( phi)) subset ker ( phi) & Longrightarrow sigma (h ^ {- 1}) sigma (g) in ker ( phi) & Longrightarrow sigma (g ) ker ( phi) = sigma (h) ker ( phi) конец {выровнено}}}

Дело в том, что ${ displaystyle { tilde { sigma}}}$ сюръективен, является гомоморфизмом и удовлетворяет ${ Displaystyle phi circ sigma = { тильда { sigma}} circ phi}$ легко проверяются.

И если ${ Displaystyle сигма ( кер ( фи)) = кер ( фи)}$ , то инъективность ${ displaystyle { tilde { sigma}}}$ является следствием

{ Displaystyle { begin {align} { tilde { sigma}} (g ker ( phi)) = ker ( phi) & Longrightarrow sigma (g) ker ( phi) = ker ( phi) & Longrightarrow sigma (g) in ker ( phi) & Longrightarrow sigma ^ {- 1} ( sigma (g)) in sigma ^ {- 1} ( ker ( phi)) & Longrightarrow g in sigma ^ {- 1} ( ker ( phi)) & Longrightarrow g in ker ( phi) && sigma ^ { -1} ( ker ( phi)) subset ker ( phi) & Longrightarrow g ker ( phi) = ker ( phi) end {выравнивается}}}

Позволять ${ displaystyle omega: G to G / G '}$ - каноническая проекция, то существует единственная индуцированный автоморфизм ${ displaystyle { bar { sigma}} in mathrm {Aut} (G / G ')}$ такой, что ${ Displaystyle omega circ sigma = { bar { sigma}} circ omega}$ , то есть,

{ displaystyle forall g in G: qquad { bar { sigma}} (gG ') = { bar { sigma}} ( omega (g)) = omega ( sigma (g)) = sigma (g) G ',}

Причина инъективности ${ displaystyle { bar { sigma}}}$ в том, что

{ displaystyle sigma (g) G '= { bar { sigma}} (gG') = G ' Rightarrow sigma (g) in G' Rightarrow g = sigma ^ {- 1} ( sigma (g)) in G ',}

поскольку ${ displaystyle G '}$ является характеристической подгруппой ${ displaystyle G}$ .

Определение. ${ displaystyle G}$ называется σ−group, если существует ${ displaystyle sigma in mathrm {Aut} (G)}$ такой, что индуцированный автоморфизм действует как инверсия на ${ displaystyle G / G '}$ , то есть для всех

{ displaystyle g in G: qquad sigma (g) G '= { bar { sigma}} (gG') = g ^ {- 1} G ' Longleftrightarrow sigma (g) g in G '.}

Закон о наследовании III утверждает, что если ${ displaystyle G}$ это σ−group и ${ Displaystyle сигма ( кер ( фи)) = кер ( фи)}$ , тогда ${ displaystyle { tilde {G}}}$ также σ−group, требуемый автоморфизм ${ displaystyle { tilde { sigma}}}$ . В этом можно убедиться, применив эпиморфизм ${ displaystyle phi}$ к уравнению ${ displaystyle sigma (g) G '= { bar { sigma}} (gG') = g ^ {- 1} G '}$ что дает

{ displaystyle forall x = phi (g) in phi (G) = { tilde {G}}: qquad { tilde { sigma}} (x) { tilde {G}} '= { tilde { sigma}} ( phi (g)) { tilde {G}} '= phi ( sigma (g)) phi (G') = phi (g ^ {- 1}) phi (G ') = phi (g) ^ {- 1} { tilde {G}}' = x ^ {- 1} { tilde {G}} '.}

Критерии стабилизации

В этом разделе результаты, касающиеся наследование ТТТ и ТКТ из частных в предыдущем разделе применяются к простейшему случаю, который характеризуется следующим

Предположение. Родитель ${ Displaystyle pi (G)}$ группы ${ displaystyle G}$ частное ${ Displaystyle pi (G) = G / N}$ из ${ displaystyle G}$ по последнему нетривиальному члену ${ Displaystyle N = gamma _ {c} (G) треугольникleft G}$ нижнего центрального ряда ${ displaystyle G}$ , куда ${ displaystyle c}$ обозначает класс нильпотентности ${ displaystyle G}$ . Соответствующий эпиморфизм ${ displaystyle pi}$ из ${ displaystyle G}$ на ${ Displaystyle pi (G) = G / gamma _ {c} (G)}$ каноническая проекция, ядро которой задается формулой ${ displaystyle ker ( pi) = gamma _ {c} (G)}$ .

При таком предположении ядра и цели переводов Артина оказываются совместимый с отношениями родитель-потомок между конечными п-группы.

Критерий совместимости. Позволять ${ displaystyle p}$ быть простым числом. Предположим, что ${ displaystyle G}$ неабелева конечная п-группа класса нильпотентности ${ Displaystyle с = mathrm {cl} (G) geq 2}$ . Затем ТТТ и ТКТ ${ displaystyle G}$ и его родителя ${ Displaystyle pi (G)}$ находятся сопоставимый в том смысле, что ${ Displaystyle тау ( пи (G)) prevq тау (G)}$ и ${ Displaystyle varkappa (G) prevq varkappa ( pi (G))}$ .

Простая причина этого в том, что для любой подгруппы ${ Displaystyle G ' leq H leq G}$ , у нас есть ${ Displaystyle ker ( pi) = gamma _ {c} (G) leq gamma _ {2} (G) = G ' leq H}$ , поскольку ${ displaystyle c geq 2}$ .

В оставшейся части этого раздела исследуемые группы предполагаются конечными метабелевыми. п-группы ${ displaystyle G}$ с элементарной абелианизацией ${ displaystyle G / G '}$ ранга ${ displaystyle 2}$ , то есть типа ${ displaystyle (p, p)}$ .

Частичная стабилизация для максимального класса. Метабелиец п-группа ${ displaystyle G}$ кокласса ${ Displaystyle mathrm {cc} (G) = 1}$ и класса нильпотентности ${ Displaystyle с = mathrm {cl} (G) geq 3}$ разделяет последний ${ displaystyle p}$ компоненты ТТТ ${ Displaystyle тау (G)}$ и ТКТ ${ Displaystyle varkappa (G)}$ со своим родителем ${ Displaystyle pi (G)}$ . Более точно, для нечетных простых чисел ${ displaystyle p geq 3}$ , у нас есть ${ Displaystyle тау (G) _ {я} = (р, р)}$ и ${ Displaystyle varkappa (G) _ {я} = 0}$ за ${ Displaystyle 2 Leq я Leq p + 1}$ .^[16]

Этот критерий обусловлен тем, что ${ displaystyle c geq 3}$ подразумевает ${ displaystyle ker ( pi) = gamma _ {c} (G) leq gamma _ {3} (G) = H_ {i} '}$ ,^[17]за последние ${ displaystyle p}$ максимальные подгруппы ${ Displaystyle H_ {2}, ldots, H_ {p + 1}}$ из ${ displaystyle G}$ .

Условие ${ displaystyle c geq 3}$ действительно необходимо для критерия частичной стабилизации. Для нечетных простых чисел ${ displaystyle p geq 3}$ , дополнительные специальные ${ displaystyle p}$ -группа ${ Displaystyle G = G_ {0} ^ {3} (0,1)}$ порядка ${ displaystyle p ^ {3}}$ и экспонента ${ displaystyle p ^ {2}}$ имеет класс нильпотентности ${ displaystyle c = 2}$ только и последний ${ displaystyle p}$ компоненты своего ТКТ ${ Displaystyle varkappa = (1 ^ {p + 1})}$ строго меньше, чем соответствующие компоненты ТКТ ${ Displaystyle varkappa = (0 ^ {p + 1})}$ своего родителя ${ Displaystyle pi (G)}$ который является элементарным абелевым ${ displaystyle p}$ -группа типа ${ displaystyle (p, p)}$ .^[16]За ${ displaystyle p = 2}$ , оба особо специальные ${ displaystyle 2}$ -группы кокласса ${ displaystyle 1}$ и класс ${ displaystyle c = 2}$ , обычная группа кватернионов ${ Displaystyle G = G_ {0} ^ {3} (0,1)}$ с ТКТ ${ Displaystyle varkappa = (123)}$ и диэдральная группа ${ Displaystyle G = G_ {0} ^ {3} (0,0)}$ с ТКТ ${ Displaystyle varkappa = (023)}$ , имеют последние два компонента своих TKT строго меньшего размера, чем их общий родитель ${ displaystyle pi (G) = C_ {2} times C_ {2}}$ с ТКТ ${ Displaystyle varkappa = (000)}$ .

Полная стабилизация для максимального класса и положительного дефекта.

Метабелиец п-группа ${ displaystyle G}$ кокласса ${ Displaystyle mathrm {cc} (G) = 1}$ и класса нильпотентности ${ Displaystyle с = м-1 = mathrm {cl} (G) geq 4}$ , то есть с индексом нильпотентности ${ displaystyle m geq 5}$ , разделяет все ${ displaystyle p + 1}$ компоненты ТТТ ${ Displaystyle тау (G)}$ и ТКТ ${ Displaystyle varkappa (G)}$ со своим родителем ${ Displaystyle pi (G)}$ при наличии положительного дефекта коммутативности ${ Displaystyle к = к (G) geq 1}$ .^[11]Обратите внимание, что ${ Displaystyle к geq 1}$ подразумевает ${ displaystyle p geq 3}$ , и у нас есть ${ Displaystyle varkappa (G) _ {я} = 0}$ для всех ${ Displaystyle 1 Leq я Leq p + 1}$ .^[16]

Это утверждение можно увидеть, заметив, что условия ${ displaystyle m geq 5}$ и ${ Displaystyle к geq 1}$ подразумевать ${ displaystyle ker ( pi) = gamma _ {m-1} (G) leq gamma _ {m-k} (G) leq H_ {i} '}$ ,^[17]для всех ${ displaystyle p + 1}$ максимальные подгруппы ${ Displaystyle H_ {1}, ldots, H_ {p + 1}}$ из ${ displaystyle G}$ .

Условие ${ Displaystyle к geq 1}$ действительно необходимо для полной стабилизации. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть только первую составляющую ТКТ. Для каждого класса нильпотентности ${ displaystyle c geq 4}$ , существует (как минимум) две группы ${ Displaystyle G = G_ {0} ^ {c + 1} (0,1)}$ с ТКТ ${ Displaystyle varkappa = (10 ^ {p})}$ и ${ Displaystyle G = G_ {0} ^ {c + 1} (1,0)}$ с ТКТ ${ Displaystyle varkappa = (20 ^ {p})}$ , оба с дефектом ${ displaystyle k = 0}$ , где первая составляющая их ТКТ строго меньше, чем первая составляющая ТКТ ${ Displaystyle varkappa = (0 ^ {p + 1})}$ их общего родителя ${ Displaystyle pi (G) = G_ {0} ^ {c} (0,0)}$ .

Частичная стабилизация для немаксимального класса.

Позволять ${ displaystyle p = 3}$ быть исправленным. Метабелева 3-группа ${ displaystyle G}$ с абелианизацией ${ Displaystyle G / G ' simeq (3,3)}$ , кокласс ${ Displaystyle mathrm {cc} (G) geq 2}$ и класс нильпотентности ${ Displaystyle с = mathrm {cl} (G) geq 4}$ разделяет два последних (среди четырех) компонентов ТТТ ${ Displaystyle тау (G)}$ и ТКТ ${ Displaystyle varkappa (G)}$ со своим родителем ${ Displaystyle pi (G)}$ .

Этот критерий оправдан следующим соображением. Если ${ displaystyle c geq 4}$ , тогда ${ displaystyle ker ( pi) = gamma _ {c} (G) leq gamma _ {4} (G) leq H_ {i} '}$ ^[17]для последних двух максимальных подгрупп ${ displaystyle H_ {3}, H_ {4}}$ из ${ displaystyle G}$ .

Условие ${ displaystyle c geq 4}$ действительно неизбежен для частичной стабилизации, так как существует несколько ${ displaystyle 3}$ -группы класса ${ displaystyle c = 3}$ , например, с SmallGroups идентификаторы ${ Displaystyle G in { langle 243,3 rangle, langle 243,6 rangle, langle 243,8 rangle }}$ , так что последние два компонента их ТКЦ ${ Displaystyle varkappa in {(0043), (0122), (2034) }}$ строго меньше двух последних компонентов ТКТ ${ Displaystyle varkappa = (0000)}$ их общего родителя ${ Displaystyle pi (G) = G_ {0} ^ {3} (0,0)}$ .

Полная стабилизация для немаксимального класса и циклического центра.

Опять же, пусть ${ displaystyle p = 3}$ быть фиксированным. метабелева 3-группа ${ displaystyle G}$ с абелианизацией ${ Displaystyle G / G ' simeq (3,3)}$ , кокласс ${ Displaystyle mathrm {cc} (G) geq 2}$ , класс нильпотентности ${ Displaystyle с = mathrm {cl} (G) geq 4}$ и циклический центр ${ Displaystyle zeta _ {1} (G)}$ разделяет все четыре компонента TTT ${ Displaystyle тау (G)}$ и ТКТ ${ Displaystyle varkappa (G)}$ со своим родителем ${ Displaystyle pi (G)}$ .

Причина в том, что благодаря циклическому центру мы имеем ${ Displaystyle ker ( pi) = гамма _ {c} (G) = zeta _ {1} (G) leq H_ {i} '}$ ^[17]для всех четырех максимальных подгрупп ${ Displaystyle H_ {1}, ldots, H_ {4}}$ из ${ displaystyle G}$ .

Условие циклического центра действительно необходимо для полной стабилизации, поскольку для группы с бициклическим центром возможны две возможности. ${ Displaystyle гамма _ {с} (G) = zeta _ {1} (G)}$ также бициклический, откуда ${ displaystyle gamma _ {c} (G)}$ никогда не содержится в ${ displaystyle H_ {2} '}$ ,или же ${ Displaystyle гамма _ {с} (G) < zeta _ {1} (G)}$ является циклическим, но никогда не содержится в ${ displaystyle H_ {1} '}$ .

Подводя итог, можно сказать, что последние четыре критерия подтверждают тот факт, что трансферы Артина предоставляют прекрасный инструмент для классификации конечных п-группы.

В следующих разделах будет показано, как эти идеи можно применить для пожертвований. потомки деревьев с дополнительная структура, а также для поиска определенных групп в дочерних деревьях путем поиска шаблонов, определенных ядрами и целями передач Artin. Эти стратегии распознавание образов полезны в чистом виде теория групп И в алгебраическая теория чисел.

Рисунок 4: Наделение дерева потомков информацией о передачах Артина.

Структурированные деревья потомков (SDT)

В этом разделе используется терминология потомки деревьев в теории конечных пНа рисунке 4 в качестве примера выбрано дерево-потомок с умеренной сложностью, чтобы продемонстрировать, как передачи Артина обеспечивают дополнительную структуру для каждой вершины дерева. Точнее, лежащее в основе простое число - это ${ displaystyle p = 3}$ , и выбранное дерево потомков на самом деле коклассовое дерево имеющий уникальную бесконечную магистраль, ветви глубины ${ displaystyle 3}$ , и строгая периодичность длины ${ displaystyle 2}$ установка с веткой ${ Displaystyle { mathcal {B}} (7)}$ . начальный пре-период состоит из ветвей ${ Displaystyle { mathcal {B}} (5)}$ и ${ Displaystyle { mathcal {B}} (6)}$ с исключительной структурой. ${ Displaystyle { mathcal {B}} (7)}$ и ${ Displaystyle { mathcal {B}} (8)}$ сформировать первобытный период такой, что ${ Displaystyle { mathcal {B}} (j) simeq { mathcal {B}} (7)}$ , для нечетных ${ displaystyle j geq 9}$ , и ${ Displaystyle { mathcal {B}} (j) simeq { mathcal {B}} (8)}$ , даже для ${ displaystyle j geq 10}$ . корень дерева - метабелев ${ displaystyle 3}$ -группа с идентификатор ${ Displaystyle R = langle 243,6 rangle}$ , то есть группа порядка ${ Displaystyle | R | = 3 ^ {5} = 243}$ и с подсчетом числа ${ displaystyle 6}$ . Этот корень не кокласс осел, откуда все его дочернее дерево ${ Displaystyle { mathcal {T}} (R)}$ имеет значительно более высокую сложность, чем кокласс- ${ displaystyle 2}$ поддерево ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} (R)}$ , первые шесть ветвей которого показаны на диаграмме рис. дополнительная структура можно рассматривать как своего рода систему координат, в которую вложено дерево. Горизонтальный абсцисса помечен передать тип ядра (ТКТ) ${ Displaystyle varkappa}$ , а вертикальный ордината помечен одним компонентом ${ Displaystyle тау (1)}$ из тип цели передачи (ТТТ). Вершины дерева нарисованы таким образом, что члены периодические бесконечные последовательности сформировать вертикальный столбец, разделяющий общий ТКТ. С другой стороны, метабелевский группы фиксированного порядка, представленные вершинами глубина не больше ${ displaystyle 1}$ , сформируйте горизонтальный ряд, разделяя общий первый компонент ТТТ. (Чтобы предотвратить любые неверные интерпретации, мы явно указываем, что первый компонент TTT неметабелевых групп или метабелевых групп, представленных вершинами глубины ${ displaystyle 2}$ , обычно меньше ожидаемого из-за явления стабилизации!) TTT всех групп в этом дереве, представленных большим полным диском, который указывает на бициклический центр типа ${ Displaystyle (3,3)}$ , дан кем-то ${ Displaystyle тау = [А (3, с), (3,3,3), (9,3), (9,3)]}$ с переменным первым компонентом ${ Displaystyle тау (1) = А (3, с)}$ , то почти гомоциклический абелевский ${ displaystyle 3}$ -группа заказа ${ displaystyle 3 ^ {c}}$ , и исправили другие компоненты ${ Displaystyle тау (2) = (3,3,3) { шляпа {=}} (1 ^ {3})}$ и ${ Displaystyle тау (3) = тау (4) = (9,3) { шляпа {=}} (21)}$ , где инварианты абелевых типов записываются либо в виде порядков циклических компонентов, либо в виде их ${ displaystyle 3}$ -логарифмы с показателями степени, указывающими итерацию. (Последнее обозначение используется на рисунке 4.) Поскольку кокласс всех групп в этом дереве равен ${ displaystyle 2}$ , связь между порядком ${ displaystyle 3 ^ {n}}$ а класс нильпотентности равен ${ displaystyle c = n-2}$ .

Распознавание образов

За поиск определенную группу в дереве потомков, ища узоры определяется ядрами и целями передач Артина, часто бывает достаточно уменьшить количество вершин в ветвях плотного дерева с высокой сложностью, отсеивая группы с желаемыми специальными свойствами, например

фильтрация ${ displaystyle sigma}$ -группы,
исключение набора определенных типов ядра передачи,
отбрасывая все неметабелевы группы (обозначенные маленькими контурными квадратами на рис. 4),
удаление метабелевых групп с циклическим центром (обозначенных полными маленькими дисками на рис.4),
отсечение вершин, удаленных от основной линии (глубина ) превышает некоторую нижнюю границу,
сочетание нескольких различных критериев просеивания.

Результат такой процедуры просеивания называется обрезанное потомственное дерево по отношению к желаемому набору свойств.Однако в любом случае следует избегать исключения основной линии коклассового дерева, поскольку результатом будет несвязный бесконечный набор конечных графов вместо дерева. не рекомендуется устранять все ${ displaystyle sigma}$ -группы на рисунке 4, а также исключить все группы с помощью TKT ${ Displaystyle varkappa = (0122)}$ На рисунке 4 большой прямоугольник с двойным контуром окружает обрезанное коклассовое дерево. ${ Displaystyle { mathcal {T}} _ { ast} ^ {2} (R)}$ , где многочисленные вершины с TKT ${ Displaystyle varkappa = (2122)}$ полностью устранены. Это, например, было бы полезно для поиска ${ displaystyle sigma}$ -группа с ТКТ ${ Displaystyle varkappa = (1122)}$ и первый компонент ${ Displaystyle тау (1) = (43)}$ ТТТ. В этом случае результатом поиска будет даже уникальная группа. Мы расширим эту идею дальше в следующем подробном обсуждении важного примера.

Исторический пример

Самый старый пример поиска конечного п-группа по стратегия распознавания образов через переводы Артина восходит к 1934 году, когда А. Шольц и О. Таусский^[18]пытался определить группу Галуа ${ Displaystyle G = mathrm {G} _ {3} ^ { infty} (K) = mathrm {Gal} ( mathrm {F} _ {3} ^ { infty} (K) | K)}$ Гильберта ${ displaystyle 3}$ -классовая полевая башня, то есть максимальная неразветвленная про- ${ displaystyle 3}$ расширение ${ Displaystyle mathrm {F} _ {3} ^ { infty} (К)}$ поля комплексных квадратичных чисел ${ displaystyle K = mathbb {Q} ({ sqrt {-9748}}).}$ Им действительно удалось найти максимальный метабелев фактор ${ Displaystyle Q = G / G '' = mathrm {G} _ {3} ^ {2} (K) = mathrm {Gal} ( mathrm {F} _ {3} ^ {2} (K) | K)}$ из ${ displaystyle G}$ , то есть группа Галуа второго гильбертова ${ displaystyle 3}$ поле -класс ${ Displaystyle mathrm {F} _ {3} ^ {2} (К)}$ из ${ displaystyle K}$ Однако для этого потребовалось ${ displaystyle 78}$ лет до тех пор, пока М. Р. Буш и Д. К. Майер в 2012 г. не представили первое строгое доказательство^[15]что (потенциально бесконечное) ${ displaystyle 3}$ группа башни ${ Displaystyle G = mathrm {G} _ {3} ^ { infty} (К)}$ совпадает с конечным ${ displaystyle 3}$ -группа ${ Displaystyle mathrm {G} _ {3} ^ {3} (K) = mathrm {Gal} ( mathrm {F} _ {3} ^ {3} (K) | K)}$ производной длины ${ Displaystyle mathrm {dl} (G) = 3}$ , и, следовательно, ${ displaystyle 3}$ -башня ${ displaystyle K}$ имеет ровно три ступени, останавливаясь на третьей Гильбертовой ${ displaystyle 3}$ поле -класс ${ Displaystyle mathrm {F} _ {3} ^ {3} (К)}$ из ${ displaystyle K}$ .

Таблица 1: Возможные коэффициенты P_c трехбашенной группы G группы K ^[15]
c	порядок из P_c	Малые группы идентификатор P_c	ТКТ ${ Displaystyle varkappa}$ из P_c	TTT ${ Displaystyle тау}$ из P_c	ν	μ	потомок числа P_c
${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 9}$	${ Displaystyle langle 9,2 rangle}$	${ displaystyle (0000)}$	${ Displaystyle [(1) (1) (1) (1)]}$	${ displaystyle 3}$	${ displaystyle 3}$	${ Displaystyle 3/2; 3/3; 1/1}$
${ displaystyle 2}$	${ displaystyle 27}$	${ displaystyle langle 27,3 rangle}$	${ displaystyle (0000)}$	${ displaystyle [(1 ^ {2}) (1 ^ {2}) (1 ^ {2}) (1 ^ {2})]}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle 4}$	${ displaystyle 4/1; 7/5}$
${ displaystyle 3}$	${ displaystyle 243}$	${ Displaystyle langle 243,8 rangle}$	${ displaystyle (2034)}$	${ Displaystyle [(21) (21) (21) (21)]}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 3}$	${ displaystyle 4/4}$
${ displaystyle 4}$	${ displaystyle 729}$	${ Displaystyle langle 729,54 rangle}$	${ displaystyle (2034)}$	${ Displaystyle [(21) (2 ^ {2}) (21) (21)]}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle 4}$	${ displaystyle 8/3; 6/3}$
${ displaystyle 5}$	${ displaystyle 2187}$	${ displaystyle langle 2187,302 rangle}$	${ displaystyle (2334)}$	${ Displaystyle [(21) (32) (21) (21)]}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 3}$	${ displaystyle 0/0}$
${ displaystyle 5}$	${ displaystyle 2187}$	${ displaystyle langle 2187,306 rangle}$	${ displaystyle (2434)}$	${ Displaystyle [(21) (32) (21) (21)]}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 3}$	${ displaystyle 0/0}$
${ displaystyle 5}$	${ displaystyle 2187}$	${ Displaystyle langle 2187,303 rangle}$	${ displaystyle (2034)}$	${ Displaystyle [(21) (32) (21) (21)]}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 4}$	${ displaystyle 5/2}$
${ displaystyle 5}$	${ displaystyle 6561}$	${ Displaystyle langle 729,54 rangle - # 2; 2}$	${ displaystyle (2334)}$	${ Displaystyle [(21) (32) (21) (21)]}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle 0/0}$
${ displaystyle 5}$	${ displaystyle 6561}$	${ Displaystyle langle 729,54 rangle - # 2; 6}$	${ displaystyle (2434)}$	${ Displaystyle [(21) (32) (21) (21)]}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle 0/0}$
${ displaystyle 5}$	${ displaystyle 6561}$	${ Displaystyle langle 729,54 rangle - # 2; 3}$	${ displaystyle (2034)}$	${ Displaystyle [(21) (32) (21) (21)]}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 3}$	${ displaystyle 4/4}$
${ displaystyle 6}$	${ displaystyle 6561}$	${ Displaystyle langle 2187,303 rangle - # 1; 1}$	${ displaystyle (2034)}$	${ Displaystyle [(21) (3 ^ {2}) (21) (21)]}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 4}$	${ displaystyle 7/3}$
${ displaystyle 6}$	${ displaystyle 19683}$	${ Displaystyle langle 729,54 rangle - # 2; 3 - # 1; 1}$	${ displaystyle (2034)}$	${ Displaystyle [(21) (3 ^ {2}) (21) (21)]}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle 4}$	${ displaystyle 8/3; 6/3}$

Поиск осуществляется с помощью палгоритм генерации группы М. Ф. Ньюман^[19]и Э. А. О'Брайен.^[20]Для инициализации алгоритма необходимо определить два основных инварианта. Во-первых, ранг генератора ${ displaystyle d}$ из п-группы, которые нужно построить. Здесь у нас есть ${ displaystyle p = 3}$ и ${ displaystyle d = r_ {3} (K) = d ( mathrm {Cl} _ {3} (K))}$ дается ${ displaystyle 3}$ -классовый ранг квадратичного поля ${ displaystyle K}$ . Во-вторых, инварианты абелевого типа ${ displaystyle 3}$ -классовая группа ${ Displaystyle mathrm {Cl} _ {3} (К) simeq (1 ^ {2})}$ из ${ displaystyle K}$ . Эти два инварианта указывают на корень дерева потомков, которое будет построено последовательно. Хотя п-Алгоритм генерации группы предназначен для использования определения родитель-потомок с помощью младшего показателя.п центральный ряд, его можно подогнать под определение с помощью обычного нижнего центрального ряда. В случае элементарного абелева п-группа как root, разница не очень большая. Итак, мы должны начать с элементарного абелева ${ displaystyle 3}$ -группа ранга два, имеющая малые группы идентификатор ${ Displaystyle langle 9,2 rangle}$ , и построить дерево потомков ${ Displaystyle { mathcal {T}} ( langle 9,2 rangle)}$ . Мы делаем это, повторяя п- алгоритм генерации группы, использующий подходящих способных потомков предыдущего корня в качестве следующего корня, всегда выполняющий приращение класса нильпотентности на единицу.

Как объяснялось в начале раздела Распознавание образов, мы должны обрезать дерево потомков относительно инвариантов TKT и TTT ${ displaystyle 3}$ группа башен ${ displaystyle G}$ , которые определяются арифметикой поля ${ displaystyle K}$ в качестве ${ Displaystyle varkappa in {(2334), (2434) }}$ (ровно две неподвижные точки и без транспонирования) и ${ Displaystyle тау = [(21) (32) (21) (21)]}$ . Далее, любое частное от ${ displaystyle G}$ должен быть ${ displaystyle sigma}$ -группа, обусловленная теоретико-числовыми требованиями для квадратичного поля ${ displaystyle K}$ .

Корень ${ Displaystyle langle 9,2 rangle}$ имеет только одного способного потомка ${ displaystyle langle 27,3 rangle}$ типа ${ displaystyle (1 ^ {2})}$ . По классу нильпотентности ${ Displaystyle langle 9,2 rangle}$ класс- ${ displaystyle 1}$ частное ${ Displaystyle G / gamma _ {2} (G)}$ из ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle langle 27,3 rangle}$ класс- ${ displaystyle 2}$ частное ${ Displaystyle G / gamma _ {3} (G)}$ из ${ displaystyle G}$ . Поскольку последний имеет ядерный ранг два, возникает бифуркация ${ Displaystyle { mathcal {T}} ( langle 27,3 rangle) = { mathcal {T}} ^ {1} ( langle 27,3 rangle) sqcup { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 27,3 rangle)}$ , где бывший компонент ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {1} ( langle 27,3 rangle)}$ может быть устранено критерий стабилизации ${ Displaystyle varkappa = ( ast 000)}$ для ТКТ всех ${ displaystyle 3}$ -группы максимального класса.

Из-за свойства наследования TKT только один способный потомок ${ Displaystyle langle 243,8 rangle}$ квалифицируется как класс- ${ displaystyle 3}$ частное ${ Displaystyle G / gamma _ {4} (G)}$ из ${ displaystyle G}$ . Есть только один способный ${ displaystyle sigma}$ -группа ${ Displaystyle langle 729,54 rangle}$ среди потомков ${ Displaystyle langle 243,8 rangle}$ . Это класс- ${ displaystyle 4}$ частное ${ Displaystyle G / gamma _ {5} (G)}$ из ${ displaystyle G}$ и имеет ядерный ранг два.

Это вызывает существенные бифуркация ${ Displaystyle { mathcal {T}} ( langle 729,54 rangle) = { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 729,54 rangle) sqcup { mathcal {T}} ^ {3} ( langle 729,54 rangle)}$ в двух поддеревьях, принадлежащих разным графам кокласса ${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,2)}$ и ${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,3)}$ . Первый содержит метабелев фактор ${ Displaystyle Q = G / G ''}$ из ${ displaystyle G}$ с двумя возможностями ${ displaystyle Q in { langle 2187,302 rangle, langle 2187,306 rangle }}$ , которые не сбалансирован с рангом отношения ${ displaystyle r = 3> 2 = d}$ больше, чем ранг генератора. Последняя полностью состоит из неметабелевых групп и дает желаемое. ${ displaystyle 3}$ группа башен ${ displaystyle G}$ как один из двух Schur ${ displaystyle sigma}$ -группы ${ Displaystyle langle 729,54 rangle - # 2; 2}$ и ${ Displaystyle langle 729,54 rangle - # 2; 6}$ с ${ displaystyle r = 2 = d}$ .

Наконец критерий прекращения достигается в способных вершинах ${ Displaystyle langle 2187,303 rangle - # 1; 1 in { mathcal {G}} (3,2)}$ и ${ Displaystyle langle 729,54 rangle - # 2; 3 - # 1; 1 in { mathcal {G}} (3,3)}$ , поскольку ТТТ ${ Displaystyle тау = [(21) (3 ^ {2}) (21) (21)]> [(21) (32) (21) (21)]}$ слишком большой и будет даже увеличиваться, никогда не возвращаясь к ${ Displaystyle [(21) (32) (21) (21)]}$ . Полный процесс поиска визуализирован в Таблице 1, где для каждого из возможных последовательных п-квотенты ${ Displaystyle P_ {c} = G / gamma _ {c + 1} (G)}$ из ${ displaystyle 3}$ группа башен ${ Displaystyle G = mathrm {G} _ {3} ^ { infty} (К)}$ из ${ Displaystyle К = mathbb {Q} ({ sqrt {-9748}})}$ , класс нильпотентности обозначается через ${ displaystyle c = mathrm {cl} (P_ {c})}$ , ядерный ранг ${ displaystyle nu = nu (P_ {c})}$ , а п-множитель ранга по ${ Displaystyle му = му (P_ {c})}$ .

Коммутаторное исчисление

В этом разделе в качестве примера показано, как коммутаторное исчисление может использоваться для явного определения ядер и целей передачи Артина. В качестве конкретного примера возьмем метабелевский ${ displaystyle 3}$ -группы с бициклическим центром, которые представлены большими полными дисками в качестве вершин диаграммы коклассового дерева на рисунке 4. Они образуют десять периодические бесконечные последовательности, четыре, соотв. шесть, для четных, соответственно. нечетный, класс нильпотентности ${ displaystyle c}$ , и может быть охарактеризована с помощью параметризованное представление полициклического коммутатора мощности:

1 ${ displaystyle { begin {align} G ^ {c, n} (z, w) = & langle x, y, s_ {2}, t_ {3}, s_ {3}, ldots, s_ {c } mid {} & x ^ {3} = s_ {c} ^ {w}, y ^ {3} = s_ {3} ^ {2} s_ {4} s_ {c} ^ {z}, s_ {j} ^ {3} = s_ {j + 2} ^ {2} s_ {j + 3} { text {for}} 2 leq j leq c-3, s_ {c-2} ^ {3} = s_ {c} ^ {2}, t_ {3} ^ {3} = 1, & s_ {2} = [y, x], t_ {3} = [s_ {2} , y], s_ {j} = [s_ {j-1}, x] { text {for}} 3 leq j leq c rangle, end {align}}}$

куда ${ displaystyle c geq 5}$ - класс нильпотентности, ${ displaystyle 3 ^ {n}}$ с ${ Displaystyle п = с + 2}$ это порядок, и ${ Displaystyle 0 Leq ш Leq 1, -1 Leq Z Leq 1}$ параметры.

В тип цели передачи (TTT) группы ${ Displaystyle G = G ^ {с, п} (г, ш)}$ зависит только от класса нильпотентности ${ displaystyle c}$ , не зависит от параметров ${ displaystyle w, z}$ , и равномерно задается формулой ${ Displaystyle тау = [А (3, с), (3,3,3), (9,3), (9,3)]}$ . Это явление называется поляризация, точнее униполяризация,^[11] на первом компоненте.

В передать тип ядра (ТКТ) группы ${ Displaystyle G = G ^ {с, п} (г, ш)}$ не зависит от класса нильпотентности ${ displaystyle c}$ , но зависит от параметров ${ displaystyle w, z}$ , и дается с.18, ${ Displaystyle varkappa = (0122)}$ , за ${ Displaystyle ш = г = 0}$ (основная группа), H.4, ${ Displaystyle varkappa = (2122)}$ , за ${ displaystyle w = 0, z = pm 1}$ (две способные группы), E.6, ${ Displaystyle varkappa = (1122)}$ , за ${ displaystyle w = 1, z = 0}$ (терминальная группа) и E.14, ${ Displaystyle varkappa in {(4122), (3122) }}$ , за ${ displaystyle w = 1, z = pm 1}$ (две клеммные группы). Для четного класса нильпотентности две группы типов H.4 и E.14, которые различаются знаком параметра ${ displaystyle z}$ только изоморфны.

Эти утверждения могут быть выведены с помощью следующих соображений.

В качестве подготовки полезно составить список некоторых коммутаторных соотношений, начиная с приведенных в презентации, ${ Displaystyle [а, х] = 1}$ за ${ Displaystyle а ин {s_ {c}, t_ {3} }}$ и ${ Displaystyle [а, у] = 1}$ за ${ Displaystyle а ин {s_ {3}, ldots, s_ {c}, t_ {3} }}$ , что показывает, что бициклический центр задается формулой ${ displaystyle zeta _ {1} (G) = langle s_ {c}, t_ {3} rangle}$ . С помощью Правило правильного продукта ${ displaystyle [a, xy] = [a, y] cdot [a, x] cdot [[a, x], y]}$ и Правило правильной власти ${ Displaystyle [а, у ^ {2}] = [а, у] ^ {1 + у}}$ ,мы получаем ${ displaystyle [s_ {2}, xy] = s_ {3} t_ {3}}$ , ${ displaystyle [s_ {2}, xy ^ {2}] = s_ {3} t_ {3} ^ {2}}$ , и ${ displaystyle [s_ {j}, xy] = [s_ {j}, xy ^ {2}] = [s_ {j}, x] = s_ {j + 1}}$ , за ${ displaystyle j geq 3}$ .

Максимальные подгруппы группы ${ displaystyle G}$ принимаются аналогично тому, как в разделе о вычислительная реализация, а именно

{ displaystyle { begin {align} H_ {1} & = langle y, G ' rangle H_ {2} & = langle x, G' rangle H_ {3} & = langle xy , G ' rangle H_ {4} & = langle xy ^ {2}, G' rangle конец {выровнено}}}

Их производные подгруппы имеют решающее значение для поведения переносов Артина. Используя общую формулу ${ displaystyle H_ {i} '= (G') ^ {h_ {i} -1}}$ , куда ${ displaystyle H_ {i} = langle h_ {i}, G ' rangle}$ , и откуда мы это знаем ${ displaystyle G '= langle s_ {2}, t_ {3}, s_ {3}, ldots, s_ {c} rangle}$ в данной ситуации следует, что

{ displaystyle { begin {align} H_ {1} '& = left langle s_ {2} ^ {y-1} right rangle = left langle t_ {3} right rangle H_ {2} '& = left langle s_ {2} ^ {x-1}, ldots, s_ {c-1} ^ {x-1} right rangle = left langle s_ {3}, ldots, s_ {c} right rangle H_ {3} '& = left langle s_ {2} ^ {xy-1}, ldots, s_ {c-1} ^ {xy-1} right rangle = left langle s_ {3} t_ {3}, s_ {4}, ldots, s_ {c} right rangle H_ {4} '& = left langle s_ {2 } ^ {xy ^ {2} -1}, ldots, s_ {c-1} ^ {xy ^ {2} -1} right rangle = left langle s_ {3} t_ {3} ^ { 2}, s_ {4}, ldots, s_ {c} right rangle end {align}}}

Обратите внимание, что ${ displaystyle H_ {1}}$ недалеко от абелева, поскольку ${ Displaystyle H_ {1} '= langle t_ {3} rangle}$ содержится в центре ${ displaystyle zeta _ {1} (G) = langle s_ {c}, t_ {3} rangle}$ .

В качестве первого основного результата мы теперь можем определить инварианты абелевых типов производных частных:

{ displaystyle H_ {1} / H_ {1} '= langle y, s_ {2}, ldots, s_ {c} rangle H_ {1}' / H_ {1} ' simeq A (3, c ),}

уникальный коэффициент, который растет с увеличением класса нильпотентности ${ displaystyle c}$ , поскольку ${ Displaystyle mathrm {ord} (y) = mathrm {ord} (s_ {2}) = 3 ^ {m}}$ даже для ${ displaystyle c = 2m}$ и ${ displaystyle mathrm {ord} (y) = 3 ^ {m + 1}, mathrm {ord} (s_ {2}) = 3 ^ {m}}$ для нечетных ${ displaystyle c = 2m + 1}$ ,

{ displaystyle { begin {align} H_ {2} / H_ {2} '& = langle x, s_ {2}, t_ {3} rangle H_ {2}' / H_ {2} ' simeq ( 3,3,3) H_ {3} / H_ {3} '& = langle xy, s_ {2}, t_ {3} rangle H_ {3}' / H_ {3} ' simeq (9 , 3) H_ {4} / H_ {4} '& = langle xy ^ {2}, s_ {2}, t_ {3} rangle H_ {4}' / H_ {4} ' simeq ( 9,3) конец {выровнено}}}

так как обычно ${ Displaystyle mathrm {ord} (s_ {2}) = mathrm {ord} (t_ {3}) = 3}$ , но ${ Displaystyle mathrm {ord} (х) = 3}$ за ${ displaystyle H_ {2}}$ , в то время как ${ Displaystyle mathrm {ord} (ху) = mathrm {ord} (ху ^ {2}) = 9}$ за ${ displaystyle H_ {3}}$ и ${ displaystyle H_ {4}}$ .

Теперь перейдем к ядрам гомоморфизмов переноса Артина ${ displaystyle T_ {i}: от G до H_ {i} / H_ {i} '}$ . Достаточно исследовать индуцированные переводы ${ displaystyle { tilde {T}} _ {i}: G / G ' to H_ {i} / H_ {i}'}$ и начать с поиска выражений для изображений ${ displaystyle { tilde {T}} _ {i} (gG ')}$ элементов ${ displaystyle gG ' in G / G'}$ , который можно выразить в виде

{ displaystyle g Equiv x ^ {j} y ^ { ell} { pmod {G '}}, qquad j, ell in {- 1,0,1 }.}

Во-первых, мы используем внешние переводы как можно больше:

{ displaystyle { begin {align} x notin H_ {1} & Rightarrow { tilde {T}} _ {1} (xG ') = x ^ {3} H_ {1}' = s_ {c} ^ {w} H_ {1} ' y notin H_ {2} & Rightarrow { tilde {T}} _ {2} (yG') = y ^ {3} H_ {2} '= s_ { 3} ^ {2} s_ {4} s_ {c} ^ {z} H_ {2} '= 1 cdot H_ {2}' x, y notin H_ {3}, H_ {4} & Стрелка вправо { begin {cases} { tilde {T}} _ {i} (xG ') = x ^ {3} H_ {i}' = s_ {c} ^ {w} H_ {i} '= 1 cdot H_ {i} ' { tilde {T}} _ {i} (yG') = y ^ {3} H_ {i} '= s_ {3} ^ {2} s_ {4} s_ {c } ^ {z} H_ {i} '= s_ {3} ^ {2} H_ {i}' end {case}} && 3 leq i leq 4 end {выровнено}}}

Далее мы лечим неизбежные внутренние переводы, которые более сложные. Для этого воспользуемся полиномиальным тождеством

{ Displaystyle X ^ {2} + X + 1 = (X-1) ^ {2} +3 (X-1) +3}

чтобы получить:

{ displaystyle { begin {align} y in H_ {1} & Rightarrow { tilde {T}} _ {1} (yG ') = y ^ {1 + x + x ^ {2}} H_ { 1} '= y ^ {3 + 3 (x-1) + (x-1) ^ {2}} H_ {1}' = y ^ {3} cdot [y, x] ^ {3} cdot [[y, x], x] H_ {1} '= s_ {3} ^ {2} s_ {4} s_ {c} ^ {z} s_ {2} ^ {3} s_ {3} H_ {1 } '= s_ {2} ^ {3} s_ {3} ^ {3} s_ {4} s_ {c} ^ {z} H_ {1}' = s_ {c} ^ {z} H_ {1} ' x in H_ {2} & Rightarrow { tilde {T}} _ {2} (xG ') = x ^ {1 + y + y ^ {2}} H_ {2}' = x ^ { 3 + 3 (y-1) + (y-1) ^ {2}} H_ {2} '= x ^ {3} cdot [x, y] ^ {3} cdot [[x, y], y] H_ {2} '= s_ {c} ^ {w} s_ {2} ^ {- 3} t_ {3} ^ {- 1} H_ {2}' = t_ {3} ^ {- 1} H_ {2} ' end {выровнено}}}

Наконец, объединяем результаты: обычно

{ displaystyle { tilde {T}} _ {i} (gG ') = { tilde {T}} _ {i} (xG') ^ {j} { tilde {T}} _ {i} ( yG ') ^ { ell},}

и, в частности,

{ displaystyle { begin {align} { tilde {T}} _ {1} (gG ') & = s_ {c} ^ {wj + z ell} H_ {1}' { tilde {T }} _ {2} (gG ') & = t_ {3} ^ {- j} H_ {2}' { tilde {T}} _ {i} (gG ') & = s_ {3} ^ {2 ell} H_ {i} '&& 3 leq i leq 4 end {выровнено}}}

Для определения ядер осталось решить уравнения:

{ displaystyle { begin {align} s_ {c} ^ {wj + z ell} H_ {1} '= H_ {1}' & Rightarrow { begin {cases} { text {random}} j, ell { text {and}} w = z = 0 ell = 0, { text {произвольно}} j { text {и}} w = 0, z = pm 1 j = 0 , { text {произвольно}} ell { text {and}} w = 1, z = 0 j = mp ell, w = 1, z = pm 1 end {cases}} t_ {3} ^ {- j} H_ {2} '= H_ {2}' & Rightarrow j = 0 { text {с произвольным}} ell s_ {3} ^ {2 ell} H_ { i} '= H_ {i}' & Rightarrow ell = 0 { text {с произвольным}} j && 3 leq i leq 4 end {выровнено}}}

Следующие эквивалентности для любых ${ Displaystyle 1 Leq я Leq 4}$ , закончим обоснование утверждений:

${ displaystyle j, ell}$ оба произвольные ${ Displaystyle Leftrightarrow ker (T_ {i}) = langle x, y, G ' rangle = G Leftrightarrow varkappa (i) = 0}$ .

${ displaystyle j = 0}$ с произвольным ${ displaystyle ell Leftrightarrow ker (T_ {i}) = langle y, G ' rangle = H_ {1} Leftrightarrow varkappa (i) = 1}$ ,

${ displaystyle ell = 0}$ с произвольным ${ displaystyle j Leftrightarrow ker (T_ {i}) = langle x, G ' rangle = H_ {2} Leftrightarrow varkappa (i) = 2}$ ,

${ displaystyle j = ell Leftrightarrow ker (T_ {i}) = langle xy, G ' rangle = H_ {3} Leftrightarrow varkappa (i) = 3}$ ,

${ displaystyle j = - ell Leftrightarrow ker (T_ {i}) = langle xy ^ {- 1}, G ' rangle = H_ {4} Leftrightarrow varkappa (i) = 4}$

Следовательно, последние три компонента TKT не зависят от параметров ${ displaystyle w, z,}$ Это означает, что и TTT, и TKT обнаруживают однополяризацию на первом компоненте.

Систематическая библиотека SDT

Цель этого раздела - представить коллекцию структурированные коклассовые деревья (SCT) конечных п-группы с параметризованные презентации и краткое изложение инвариантов. ${ displaystyle p}$ ограничивается небольшими значениями ${ displaystyle p in {2,3,5 }}$ . Деревья расположены в соответствии с возрастающим классом. ${ displaystyle r geq 1}$ и различные абелианизации внутри каждого кокласса. Чтобы сохранить управляемость числа потомков, деревья обрезанный удаляя вершины глубиной больше единицы, а также опускаем деревья, в которых критерии стабилизации обеспечить общий TKT для всех вершин, поскольку мы больше не считаем такие деревья структурированными. инварианты перечисленные включают

предпериод и продолжительность периода,
глубина и ширина веток,
однополяризация, ТТТ и ТКТ,
${ displaystyle sigma}$ -группы.

Мы воздерживаемся от обоснования инвариантов, поскольку способ получения инвариантов из представлений был в качестве примера продемонстрирован в разделе, посвященном коммутаторное исчисление

Рисунок 5: Структурированное дерево потомков 2-групп с коклассом 1.

Кокласс 1

Для каждого прайма ${ displaystyle p in {2,3,5 }}$ , уникальное дерево п-группы максимального класса наделены информацией о ТТТ и ТКТ, т. е. ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {1} ( langle 4,2 rangle)}$ за ${ displaystyle p = 2, { mathcal {T}} ^ {1} ( langle 9,2 rangle)}$ за ${ displaystyle p = 3}$ , и ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {1} ( langle 25,2 rangle)}$ за ${ displaystyle p = 5}$ . В последнем случае дерево ограничивается метабелевыми ${ displaystyle 5}$ -группы.

В ${ displaystyle 2}$ -группы кокласса ${ displaystyle 1}$ на рисунке 5 может быть определен следующим параметризованным полициклическим ПК-представлением, сильно отличающимся от представления Блэкберна.^[10]

2 ${ displaystyle { begin {align} G ^ {c, n} (z, w) = & langle x, y, s_ {2}, ldots, s_ {c} mid {} & x ^ { 2} = s_ {c} ^ {w}, y ^ {2} = s_ {c} ^ {z}, s_ {j} ^ {2} = s_ {j + 1} s_ {j + 2} { text {for}} 2 leq j leq c-2, s_ {c-1} ^ {2} = s_ {c}, & s_ {2} = [y, x], s_ { j} = [s_ {j-1}, x] = [s_ {j-1}, y] { text {for}} 3 leq j leq c rangle, end {выравнивается}}}$

где класс нильпотентности ${ displaystyle c geq 3}$ , порядок ${ Displaystyle 2 ^ {п}}$ с ${ Displaystyle п = с + 1}$ , и ${ displaystyle w, z}$ параметры. Филиалы строго периодические с предпериодом ${ displaystyle 1}$ и продолжительность периода ${ displaystyle 1}$ , и иметь глубину ${ displaystyle 1}$ и ширина ${ displaystyle 3}$ .Поляризация происходит для третьего компонента, и TTT ${ Displaystyle тау = [(1 ^ {2}), (1 ^ {2}), A (2, c)]}$ , зависит только от ${ displaystyle c}$ и с циклическим ${ Displaystyle А (2, с)}$ . TKT зависит от параметров и составляет ${ Displaystyle varkappa = (210)}$ для вершин двугранной основной линии с ${ Displaystyle ш = г = 0}$ , ${ Displaystyle varkappa = (213)}$ для терминальных обобщенных групп кватернионов с ${ Displaystyle ш = г = 1}$ , и ${ Displaystyle varkappa = (211)}$ для терминальных полудиэдральных групп с ${ displaystyle w = 1, z = 0}$ . Есть два исключения: абелев корень с ${ Displaystyle тау = [(1), (1), (1)]}$ и ${ Displaystyle varkappa = (000)}$ , а обычная группа кватернионов с ${ Displaystyle тау = [(2), (2), (2)]}$ и ${ Displaystyle varkappa = (123)}$ .

Рисунок 6: Структурированное дерево потомков 3-групп с коклассом 1.

В ${ displaystyle 3}$ -группы кокласса ${ displaystyle 1}$ на рисунке 6 может быть определен следующим параметризованным полициклическим ПК-представлением, немного отличающимся от представления Блэкберна.^[10]

3 ${ displaystyle { begin {align} G_ {a} ^ {c, n} (z, w) = & langle x, y, s_ {2}, t_ {3}, s_ {3}, ldots, s_ {c} mid {} & x ^ {3} = s_ {c} ^ {w}, y ^ {3} = s_ {3} ^ {2} s_ {4} s_ {c} ^ { z}, t_ {3} = s_ {c} ^ {a}, s_ {j} ^ {3} = s_ {j + 2} ^ {2} s_ {j + 3} { text {for} } 2 leq j leq c-3, s_ {c-2} ^ {3} = s_ {c} ^ {2}, & s_ {2} = [y, x], t_ {3} = [s_ {2}, y], s_ {j} = [s_ {j-1}, x] { text {for}} 3 leq j leq c rangle, end {align}}}$

где класс нильпотентности ${ displaystyle c geq 5}$ , порядок ${ displaystyle 3 ^ {n}}$ с ${ Displaystyle п = с + 1}$ , и ${ displaystyle a, w, z}$ параметры. Филиалы строго периодические с предпериодом ${ displaystyle 2}$ и продолжительность периода ${ displaystyle 2}$ , и иметь глубину ${ displaystyle 1}$ и ширина ${ displaystyle 7}$ . Поляризация происходит для первого компонента, и TTT ${ Displaystyle тау = [А (3, с-а), (1 ^ {2}), (1 ^ {2}), (1 ^ {2})]}$ , зависит только от ${ displaystyle c}$ и ${ displaystyle a}$ . TKT зависит от параметров и составляет ${ Displaystyle varkappa = (0000)}$ для вершин магистрали с ${ Displaystyle а = вес = Z = 0, varkappa = (1000)}$ для конечных вершин с ${ displaystyle a = 0, w = 1, z = 0, varkappa = (2000)}$ для конечных вершин с ${ displaystyle a = w = 0, z = pm 1}$ , и ${ Displaystyle varkappa = (0000)}$ для конечных вершин с ${ displaystyle a = 1, w in {- 1,0,1 }, z = 0}$ . Существует три исключения: абелев корень с ${ Displaystyle тау = [(1), (1), (1), (1)]}$ , дополнительная специальная группа экспоненты ${ displaystyle 9}$ с ${ Displaystyle тау = [(1 ^ {2}), (2), (2), (2)]}$ и ${ Displaystyle varkappa = (1111)}$ , и силовский ${ displaystyle 3}$ -подгруппа знакопеременной группы ${ displaystyle A_ {9}}$ с ${ Displaystyle тау = [(1 ^ {3}), (1 ^ {2}), (1 ^ {2}), (1 ^ {2})]}$ . Вершины главной линии и вершины на нечетных ветвях ${ displaystyle sigma}$ -группы.

Рисунок 7: Структурированное дерево потомков метабелевых 5-групп с коклассом 1.

В метабелевский ${ displaystyle 5}$ -группы кокласса ${ displaystyle 1}$ на рисунке 7 может быть определена следующей параметризованной полициклической презентацией ПК, немного отличающейся от презентации Миха.^[21]

4 ${ displaystyle { begin {align} G_ {a} ^ {c, n} (z, w) = & langle x, y, s_ {2}, t_ {3}, s_ {3}, ldots, s_ {c} mid {} & x ^ {5} = s_ {c} ^ {w}, y ^ {5} = s_ {c} ^ {z}, t_ {3} = s_ {c } ^ {a}, & s_ {2} = [y, x], t_ {3} = [s_ {2}, y], s_ {j} = [s_ {j-1}, x] { text {for}} 3 leq j leq c rangle, end {align}}}$

где класс нильпотентности ${ displaystyle c geq 3}$ , порядок ${ displaystyle 5 ^ {n}}$ с ${ Displaystyle п = с + 1}$ , и ${ displaystyle a, w, z}$ параметры. (Метабелевы!) Ветви строго периодичны с предпериодом ${ displaystyle 3}$ и продолжительность периода ${ displaystyle 4}$ , и иметь глубину ${ displaystyle 3}$ и ширина ${ displaystyle 67}$ . (Ветви полного дерева, включая неметабелевы группы, только виртуально периодичны и имеют ограниченную ширину, но неограниченную глубину!) Поляризация происходит для первого компонента, и TTT имеет вид ${ Displaystyle тау = [A (5, c-k), (1 ^ {2}) ^ {5}]}$ , зависит только от ${ displaystyle c}$ и дефект коммутативности ${ displaystyle k}$ . TKT зависит от параметров и составляет ${ Displaystyle varkappa = (0 ^ {6})}$ для вершин магистрали с ${ Displaystyle а = вес = Z = 0, varkappa = (10 ^ {5})}$ для конечных вершин с ${ displaystyle a = 0, w = 1, z = 0, varkappa = (20 ^ {5})}$ для конечных вершин с ${ Displaystyle а = вес = 0, г neq 0}$ , и ${ Displaystyle varkappa = (0 ^ {6})}$ для вершин с ${ displaystyle a neq 0}$ . Есть три исключения: абелев корень с ${ Displaystyle тау = [(1) ^ {6}]}$ , дополнительная специальная группа экспоненты ${ displaystyle 25}$ с ${ Displaystyle тау = [(1 ^ {2}), (2) ^ {5}]}$ и ${ Displaystyle varkappa = (1 ^ {6})}$ , а группа ${ Displaystyle langle 15625,631 rangle}$ с ${ Displaystyle тау = [(1 ^ {5}), (1 ^ {2}) ^ {5}]}$ . Вершины главной линии и вершины на нечетных ветвях ${ displaystyle sigma}$ -группы.

Coclass 2

Абелианизация типа (п,п)

Три коклассовых дерева, ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 243,6 rangle)}$ , ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 243,8 rangle)}$ и ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 729,40 rangle)}$ за ${ displaystyle p = 3}$ , снабжены информацией о ТТТ и ТКТ.

Рисунок 8: Первое структурированное дерево потомков 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

На дереве ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 243,6 rangle)}$ , то ${ displaystyle 3}$ -группы кокласса ${ displaystyle 2}$ с бициклический центр на рисунке 8 можно определить следующим параметризованным полициклическим ПК-представлением.^[11]

5 ${ displaystyle { begin {align} G ^ {c, n} (z, w) = & langle x, y, s_ {2}, t_ {3}, s_ {3}, ldots, s_ {c } mid {} & x ^ {3} = s_ {c} ^ {w}, y ^ {3} = s_ {3} ^ {2} s_ {4} s_ {c} ^ {z}, s_ {j} ^ {3} = s_ {j + 2} ^ {2} s_ {j + 3} { text {for}} 2 leq j leq c-3, s_ {c-2} ^ {3} = s_ {c} ^ {2}, t_ {3} ^ {3} = 1, & s_ {2} = [y, x], t_ {3} = [s_ {2} , y], s_ {j} = [s_ {j-1}, x] { text {for}} 3 leq j leq c rangle, end {align}}}$

где класс нильпотентности ${ displaystyle c geq 5}$ , порядок ${ displaystyle 3 ^ {n}}$ с ${ Displaystyle п = с + 2}$ , и ${ displaystyle w, z}$ параметры. Ветви строго периодические с предпериодом. ${ displaystyle 2}$ и продолжительность периода ${ displaystyle 2}$ , и иметь глубину ${ displaystyle 3}$ и ширина ${ displaystyle 18}$ .Поляризация возникает для первого компонента, и TTT ${ Displaystyle тау = [А (3, с), (1 ^ {3}), (21), (21)]}$ , зависит только от ${ displaystyle c}$ .TKT зависит от параметров и ${ Displaystyle varkappa = (0122)}$ для вершин магистрали с ${ Displaystyle ш = г = 0}$ , ${ Displaystyle varkappa = (2122)}$ для способных вершин с ${ displaystyle w = 0, z = pm 1}$ , ${ Displaystyle varkappa = (1122)}$ для конечных вершин с ${ displaystyle w = 1, z = 0}$ ,и ${ Displaystyle varkappa = (3122)}$ для конечных вершин с ${ displaystyle w = 1, z = pm 1}$ .Основные вершины и вершины четных ветвей ${ displaystyle sigma}$ -группы.

Рисунок 9: Второе структурированное дерево потомков 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

На дереве ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 243,8 rangle)}$ , то ${ displaystyle 3}$ -группы кокласса ${ displaystyle 2}$ с бициклический центр на рисунке 9 может быть определена следующим параметризованным полициклическим pc-представлением.^[11]

6 ${ displaystyle { begin {align} G ^ {c, n} (z, w) = & langle x, y, t_ {2}, s_ {3}, t_ {3}, ldots, t_ {c } mid {} & y ^ {3} = s_ {3} t_ {c} ^ {w}, x ^ {3} = t_ {3} t_ {4} ^ {2} t_ {5} t_ {c} ^ {z}, t_ {j} ^ {3} = t_ {j + 2} ^ {2} t_ {j + 3} { text {for}} 2 leq j leq c-3 , t_ {c-2} ^ {3} = t_ {c} ^ {2}, s_ {3} ^ {3} = 1, & t_ {2} = [y, x], s_ { 3} = [t_ {2}, x], t_ {j} = [t_ {j-1}, y] { text {for}} 3 leq j leq c rangle, end {выровнено} }}$

где класс нильпотентности ${ displaystyle c geq 6}$ , порядок ${ displaystyle 3 ^ {n}}$ с ${ Displaystyle п = с + 2}$ , и ${ displaystyle w, z}$ параметры. Ветви строго периодические с предпериодом. ${ displaystyle 2}$ и продолжительность периода ${ displaystyle 2}$ , и иметь глубину ${ displaystyle 3}$ и ширина ${ displaystyle 16}$ .Поляризация происходит для второго компонента, и TTT ${ Displaystyle тау = [(21), А (3, с), (21), (21)]}$ , зависит только от ${ displaystyle c}$ .TKT зависит от параметров и ${ Displaystyle varkappa = (2034)}$ для вершин магистрали с ${ Displaystyle ш = г = 0}$ , ${ Displaystyle varkappa = (2134)}$ для способных вершин с ${ displaystyle w = 0, z = pm 1}$ , ${ Displaystyle varkappa = (2234)}$ для конечных вершин с ${ displaystyle w = 1, z = 0}$ ,и ${ Displaystyle varkappa = (2334)}$ для конечных вершин с ${ displaystyle w = 1, z = pm 1}$ .Основные вершины и вершины четных ветвей ${ displaystyle sigma}$ -группы.

Абелианизация типа (п²,п)

${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 16,3 rangle)}$ и ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 16,4 rangle)}$ за ${ displaystyle p = 2}$ , ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 243,15 rangle)}$ и ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 243,17 rangle)}$ за ${ displaystyle p = 3}$ .

Абелианизация типа (п,п,п)

${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 16,11 rangle)}$ за ${ displaystyle p = 2}$ , и ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 81,12 rangle)}$ за ${ displaystyle p = 3}$ .

Coclass 3

Абелианизация типа (п²,п)

${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {3} ( langle 729,13 rangle)}$ , ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {3} ( langle 729,18 rangle)}$ и ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {3} ( langle 729,21 rangle)}$ за ${ displaystyle p = 3}$ .

Абелианизация типа (п,п,п)

${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {3} ( langle 32,35 rangle)}$ и ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {3} ( langle 64,181 rangle)}$ за ${ displaystyle p = 2}$ , ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {3} ( langle 243,38 rangle)}$ и ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {3} ( langle 243,41 rangle)}$ за ${ displaystyle p = 3}$ .

Рисунок 10: Минимальные дискриминанты для первого ASCT 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

Арифметические приложения

В алгебраическая теория чисел и теория поля классов, структурированные деревья потомков (SDT) конечных п-группы предоставляют отличный инструмент для

визуализируя место расположения различных неабелевых п-группы ${ Displaystyle G (K)}$ связанные с полями алгебраических чисел ${ displaystyle K}$ ,
отображение Дополнительная информация о группах ${ Displaystyle G (K)}$ в метках, прикрепленных к соответствующим вершинам, и
подчеркивая периодичность вхождений групп ${ Displaystyle G (K)}$ на ветвях коклассовых деревьев.

Например, пусть ${ displaystyle p}$ - простое число, и предположим, что ${ Displaystyle F_ {p} ^ {2} (К)}$ обозначает второй Гильберт пполе -класс поля алгебраических чисел ${ displaystyle K}$ , то есть максимальное метабелево неразветвленное расширение ${ displaystyle K}$ степени степень ${ displaystyle p}$ . Тогда второй п-классовая группа ${ Displaystyle G_ {p} ^ {2} (K) = mathrm {Gal} (F_ {p} ^ {2} (K) | K)}$ из ${ displaystyle K}$ обычно неабелева п-группа производной длины ${ displaystyle 2}$ и часто позволяет делать выводы обо всем п-классовая полевая башня из ${ displaystyle K}$ , то есть группа Галуа ${ Displaystyle G_ {p} ^ { infty} (K) = mathrm {Gal} (F_ {p} ^ { infty} (K) | K)}$ максимальной неразветвленной про-п расширение ${ Displaystyle F_ {p} ^ { infty} (К)}$ из ${ displaystyle K}$ .

Дана последовательность полей алгебраических чисел ${ displaystyle K}$ с фиксированной подписью ${ displaystyle (r_ {1}, r_ {2})}$ , упорядоченные по абсолютным значениям их дискриминантов ${ displaystyle d = d (K)}$ , подходящее структурированное коклассовое дерево (SCT) ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ , или также конечная спорадическая часть ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {0} (p, r)}$ коклассового графа ${ Displaystyle { mathcal {G}} (п, г)}$ , вершины которого полностью или частично реализуются вторым п-классовые группы ${ Displaystyle G_ {p} ^ {2} (К)}$ полей ${ displaystyle K}$ является наделены дополнительный арифметическая структура когда каждый осуществленный вершина ${ displaystyle V in { mathcal {T}}}$ , соотв. ${ displaystyle V in { mathcal {G}} _ {0} (p, r)}$ , отображается на данные о полях ${ displaystyle K}$ такой, что ${ Displaystyle V = G_ {p} ^ {2} (K)}$ .

Рисунок 11: Минимальные дискриминанты для второго ASCT 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

Пример

Чтобы быть конкретным, пусть ${ displaystyle p = 3}$ и рассмотреть комплексные квадратичные поля ${ Displaystyle К (д) = mathbb {Q} ({ sqrt {d}})}$ с фиксированной подписью ${ displaystyle (0,1)}$ имея ${ displaystyle 3}$ группы классов с инвариантами типов ${ Displaystyle (3,3)}$ . См. OEIS A242863 [1]. Их второй ${ displaystyle 3}$ -классовые группы ${ Displaystyle G_ {3} ^ {2} (К)}$ были определены Д. К. Майером^[17] для диапазона ${ displaystyle -10 ^ {6}$ , а совсем недавно - Н. Бостон, М. Р. Буш и Ф. Хаджир.^[22] для расширенного диапазона ${ displaystyle -10 ^ {8}$ .

Давайте сначала выберем два структурированных коклассовых дерева (SCT) ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 243,6 rangle)}$ и ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 243,8 rangle)}$ , которые уже известны из рисунков 8 и 9, и наделяют эти деревья дополнительными арифметическая структура окружая реализованную вершину ${ displaystyle V}$ кружком и прикрепив рядом подчеркнутое полужирное целое число ${ Displaystyle мин {| d | середина V = G_ {3} ^ {2} (К (д)) }}$ что дает минимальный абсолютный дискриминант такой, что ${ displaystyle V}$ реализуется вторым ${ displaystyle 3}$ -классовая группа ${ Displaystyle G_ {3} ^ {2} (К (д))}$ . Тогда получаем арифметически структурированные коклассовые деревья (ASCT) на рисунках 10 и 11, которые, в частности, дают представление о фактическое распределение второй ${ displaystyle 3}$ -классовые группы.^[11] См. OEIS A242878 [2].

Таблица 2: Минимальные абсолютные дискриминанты для состояний шести последовательностей
Состояние ${ displaystyle uparrow ^ {n}}$	TKT E.14 ${ Displaystyle varkappa = (3122)}$	TKT E.6 ${ Displaystyle varkappa = (1122)}$	ТКТ H.4 ${ Displaystyle varkappa = (2122)}$	TKT E.9 ${ Displaystyle varkappa = (2334)}$	TKT E.8 ${ Displaystyle varkappa = (2234)}$	ТКТ G.16 ${ Displaystyle varkappa = (2134)}$
GS ${ displaystyle uparrow ^ {0}}$	${ displaystyle 16627}$	${ displaystyle 15544}$	${ displaystyle 21668}$	${ displaystyle 9748}$	${ displaystyle 34867}$	${ displaystyle 17131}$
ES1 ${ displaystyle uparrow ^ {1}}$	${ displaystyle 262744}$	${ displaystyle 268040}$	${ displaystyle 446788}$	${ displaystyle 297079}$	${ displaystyle 370740}$	${ displaystyle 819743}$
ES2 ${ displaystyle uparrow ^ {2}}$	${ displaystyle 4776071}$	${ displaystyle 1062708}$	${ displaystyle 3843907}$	${ displaystyle 1088808}$	${ displaystyle 4087295}$	${ displaystyle 2244399}$
ES3 ${ displaystyle uparrow ^ {3}}$	${ displaystyle 40059363}$	${ displaystyle 27629107}$	${ displaystyle 52505588}$	${ displaystyle 11091140}$	${ displaystyle 19027947}$	${ displaystyle 30224744}$
ES4 ${ displaystyle uparrow ^ {4}}$				${ displaystyle 94880548}$

Касательно периодичность появления второго ${ displaystyle 3}$ -классовые группы ${ Displaystyle G_ {3} ^ {2} (К (д))}$ комплексных квадратичных полей доказано^[17] что только каждая другая ветвь деревьев на рисунках 10 и 11 может быть заселена этими метабелевыми ${ displaystyle 3}$ -группы и что распределение устанавливается с основное состояние (GS) на филиале ${ Displaystyle { mathcal {B}} (6)}$ и продолжается с более высоким возбужденные состояния (ES) на ветках ${ displaystyle { mathcal {B}} (j)}$ с даже ${ displaystyle j geq 8}$ . Это явление периодичности поддерживается тремя последовательностями с фиксированными TKT.^[16]

E.14 ${ Displaystyle varkappa = (3122)}$ , OEIS A247693 [3],
E.6 ${ Displaystyle varkappa = (1122)}$ , OEIS A247692 [4],
H.4 ${ Displaystyle varkappa = (2122)}$ , OEIS A247694 [5]

на ASCT ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 243,6 rangle)}$ , и тремя последовательностями с фиксированными TKT^[16]

E.9 ${ Displaystyle varkappa = (2334)}$ , OEIS A247696 [6],
E.8 ${ Displaystyle varkappa = (2234)}$ , OEIS A247695 [7],
G.16 ${ Displaystyle varkappa = (2134)}$ , OEIS A247697 [8]

на ASCT ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {2} ( langle 243,8 rangle)}$ . До сих пор,^[22] основное состояние и три возбужденных состояния известны для каждой из шести последовательностей, а для TKT E.9 ${ Displaystyle varkappa = (2334)}$ даже четвертое возбужденное состояние уже произошло. Минимальные абсолютные дискриминанты различных состояний каждой из шести периодических последовательностей представлены в таблице 2. Данные для основных состояний (GS) и первых возбужденных состояний (ES1) были взяты из D. C. Mayer,^[17] Самая последняя информация о втором, третьем и четвертом возбужденных состояниях (ES2, ES3, ES4) принадлежит Н. Бостону, М. Р. Бушу и Ф. Хаджиру.^[22]

Рисунок 12: Частота спорадических 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

Таблица 3: Абсолютные и относительные частоты четырех спорадических ${ displaystyle 3}$ -группы
${ displaystyle \| d \|}$ <	Общий ${ displaystyle #}$	ТКТ Д.10 ${ Displaystyle varkappa = (3144)}$ ${ Displaystyle тау = [(21) (1 ^ {3}) (21) (21)]}$ ${ Displaystyle G = langle 243,5 rangle}$	ТКТ Д.5 ${ Displaystyle varkappa = (1133)}$ ${ Displaystyle тау = [(21) (1 ^ {3}) (21) (1 ^ {3})]}$ ${ Displaystyle G = langle 243,7 rangle}$	ТКТ H.4 ${ Displaystyle varkappa = (4111)}$ ${ Displaystyle тау = [(1 ^ {3}) (1 ^ {3}) (1 ^ {3}) (21)]}$ ${ Displaystyle G = langle 729,45 rangle}$	ТКТ G.19 ${ Displaystyle varkappa = (2143)}$ ${ Displaystyle тау = [(21) (21) (21) (21)]}$ ${ Displaystyle G = langle 729,57 rangle}$
${ displaystyle b = 10 ^ {6}}$	${ displaystyle 2020}$	${ displaystyle 667 (33,0 \%)}$	${ displaystyle 269 (13,3 \%)}$	${ Displaystyle 297 (14,7 \%)}$	${ displaystyle 94 (4,7 \%)}$
${ displaystyle b = 10 ^ {7}}$	${ displaystyle 24476}$	${ displaystyle 7622 (31,14 \%)}$	${ Displaystyle 3625 (14,81 \%)}$	${ Displaystyle 3619 (14,79 \%)}$	${ displaystyle 1019 (4.163 \%)}$
${ displaystyle b = 10 ^ {8}}$	${ displaystyle 276375}$	${ displaystyle 83353 (30,159 \%)}$	${ displaystyle 41398 (14,979 \%)}$	${ displaystyle 40968 (14,823 \%)}$	${ displaystyle 10426 (3.7724 \%)}$

Напротив, давайте во-вторых, выберем спорадическую часть ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {0} (3,2)}$ коклассового графа ${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,2)}$ для демонстрации того, что еще один способ прикрепления дополнительных арифметическая структура потомкам - это отображать прилавок ${ Displaystyle # {| d |$ попаданий реализованной вершины ${ displaystyle V}$ ко второму ${ displaystyle 3}$ -классовая группа ${ Displaystyle G_ {3} ^ {2} (К (д))}$ полей с абсолютными дискриминантами ниже заданной верхней границы ${ displaystyle b}$ , например ${ displaystyle b = 10 ^ {8}}$ . С уважением к общий счетчик ${ displaystyle 276375}$ всех комплексных квадратичных полей с ${ displaystyle 3}$ -классовая группа типа ${ Displaystyle (3,3)}$ и дискриминант ${ displaystyle -b$ , это дает относительную частоту как приближение к асимптотической плотности популяции на рис. 12 и в таблице 3. Ровно четыре вершины конечной спорадической части ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {0} (3,2)}$ из ${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,2)}$ заселены вторыми ${ displaystyle 3}$ -классовые группы ${ Displaystyle G_ {3} ^ {2} (К (д))}$ :

${ Displaystyle langle 243,5 rangle}$ , OEIS A247689 [9],
${ Displaystyle langle 243,7 rangle}$ , OEIS A247690 [10],
${ Displaystyle langle 729,45 rangle}$ , OEIS A242873 [11],
${ Displaystyle langle 729,57 rangle}$ , OEIS A247688 [12].

Рисунок 13: Минимальные абсолютные дискриминанты спорадических 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

Рисунок 14: Минимальные абсолютные дискриминанты спорадических 5-групп с коклассом 2 и абелианизацией (5,5).

Рисунок 15: Минимальные абсолютные дискриминанты спорадических 7-групп с коклассом 2 и абелианизацией (7,7).

Сравнение различных простых чисел

Теперь позвольте ${ displaystyle p in {3,5,7 }}$ и рассмотрим комплексные квадратичные поля ${ Displaystyle К (д) = mathbb {Q} ({ sqrt {d}})}$ с фиксированной подписью ${ displaystyle (0,1)}$ и п-классовые группы типа ${ displaystyle (p, p)}$ . Доминирующая часть второй п-class группы этих полей заполняет верхние вершины порядка ${ displaystyle p ^ {5}}$ спорадической части ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {0} (p, 2)}$ коклассового графа ${ Displaystyle { mathcal {G}} (р, 2)}$ , которые принадлежат корень П. Холла семья изоклинизма ${ displaystyle Phi _ {6}}$ , или их непосредственные потомки порядка ${ displaystyle p ^ {6}}$ . Для простых чисел ${ displaystyle p> 3}$ , основа ${ displaystyle Phi _ {6}}$ состоит из ${ displaystyle p + 7}$ обычный п-группирует и обнаруживает довольно однородное поведение по отношению к TKT и TTT, но семь ${ displaystyle 3}$ -группы в основе ${ displaystyle Phi _ {6}}$ находятся нерегулярный. Подчеркнем, что существует также несколько ( ${ displaystyle 3}$ за ${ displaystyle p = 3}$ и ${ displaystyle 4}$ за ${ displaystyle p> 3}$ ) бесконечно способный вершины в основе ${ displaystyle Phi _ {6}}$ которые частично являются корнями коклассовых деревьев. Однако здесь мы сосредоточимся на спорадических вершинах, которые либо изолированный Шур ${ displaystyle sigma}$ -группы ( ${ displaystyle 2}$ за ${ displaystyle p = 3}$ и ${ displaystyle p + 1}$ за ${ displaystyle p> 3}$ ) или корни конечных деревьев внутри ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {0} (p, 2)}$ ( ${ displaystyle 2}$ для каждого ${ displaystyle p geq 3}$ ). За ${ displaystyle p> 3}$ , ТКТ Шура ${ displaystyle sigma}$ -группы - это перестановка чья циклическая декомпозиция не содержит транспозиций, тогда как TKT корней конечных деревьев является композитом непересекающихся транспозиции имея четное число ( ${ displaystyle 0}$ или же ${ displaystyle 2}$ ) неподвижных точек.

Мы наделяем лес ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {0} (p, 2)}$ (конечное объединение деревьев-потомков) с дополнительными арифметическая структура прикрепив минимальный абсолютный дискриминант ${ Displaystyle мин {| d | середина V = G_ {p} ^ {2} (K (d)) }}$ для каждого осуществленный вершина ${ displaystyle V in { mathcal {G}} _ {0} (p, 2)}$ . Результирующий структурированный спорадический коклассовый граф показан на рисунке 13 для ${ displaystyle p = 3}$ , на рисунке 14 для ${ displaystyle p = 5}$ , а на рисунке 15 для ${ displaystyle p = 7}$ .

Перенос Артина (теория групп) - Artin transfer (group theory)

Трансверсали подгруппы

Представление перестановки

Передача Артина

Независимость поперечной

Переносы Артина как гомоморфизмы

Сплетение из ЧАС и S(п)

Состав переводов Artin

Сплетение из S(м) и S(п)

Разложение цикла

Переход в нормальную подгруппу

Вычислительная реализация

Абелианизация типа (п,п)

Абелианизация типа (п2,п)

Перенести ядра и цели

Абелианизация типа (п,п)

Абелианизация типа (п2,п)

Первый слой

Второй слой

Тип передачи ядра

Связи между слоями

Наследование от частных

Проходя абелианизацию

Синглеты ТТТ

Сингулеты ТКТ

Мультиплеты ТТТ и ТКТ

Унаследованные автоморфизмы

Критерии стабилизации

Структурированные деревья потомков (SDT)

Распознавание образов

Исторический пример

Коммутаторное исчисление

Систематическая библиотека SDT

Кокласс 1

Coclass 2

Абелианизация типа (п,п)

Абелианизация типа (п2,п)

Абелианизация типа (п,п,п)

Coclass 3

Абелианизация типа (п2,п)

Абелианизация типа (п,п,п)

Арифметические приложения

Пример

Сравнение различных простых чисел

Рекомендации

Абелианизация типа (п²,п)

Абелианизация типа (п²,п)

Абелианизация типа (п²,п)

Абелианизация типа (п²,п)