Теория поля классов - Class field theory

В математика, теория поля классов это филиал алгебраическая теория чисел озабочен абелевы расширения из числовые поля, глобальные поля положительной характеристики, и местные поля. Теория возникла в доказательстве квадратичная взаимность к Гаусс в конце 18 века. Эти идеи были развиты в течение следующего столетия, вызвав ряд предположений Гильберта что впоследствии было доказано Такаги и Артин. Эти гипотезы и их доказательства составляют основную часть теории полей классов.

Один из основных результатов гласит, что для числового поля F, и написание K для максимальный абелев неразветвленный расширение F, группа Галуа K над F канонически изоморфна группа идеального класса из F. Это утверждение можно обобщить на Закон взаимности Артина; письмо C_F для группа классов иделей из F, и принимая L быть любым конечным абелевым расширением F, этот закон дает канонический изоморфизм

{ displaystyle theta _ {L / F}: C_ {F} / {N_ {L / F} (C_ {L})} to operatorname {Gal} (L / F),}

куда ${ displaystyle N_ {L / F}}$ обозначает отображение идеальной нормы из L к F. Тогда этот изоморфизм называется карта взаимности. В теорема существования утверждает, что карту взаимности можно использовать, чтобы дать биекцию между множеством абелевых расширений F и множество замкнутых подгрупп конечного индекса группы ${ displaystyle C_ {F}.}$

Стандартным методом разработки глобальной теории поля классов с 1930-х годов является разработка теория поля локальных классов, который описывает абелевы расширения локальных полей, а затем использует его для построения глобальной теории полей классов. Впервые это сделали Артин и Тейт используя теорию групповые когомологии и, в частности, развивая понятие классовых формаций. Позже Нойкирх нашел доказательство основных утверждений глобальной теории полей классов без использования когомологических идей.

Теория полей классов также включает явное построение максимальных абелевых расширений числовых полей в тех немногих случаях, когда такие конструкции известны. В настоящее время эта часть теории состоит из Теорема Кронекера-Вебера, который может быть использован для построения абелевых расширений ${ displaystyle mathbb {Q}}$ и теорию комплексного умножения, с помощью которой можно построить абелевы расширения CM-поля.

В Программа Langlands дает один подход для обобщения теории полей классов на неабелевы расширения. Это обобщение по большей части остается предположительным. Для числовых полей теория полей классов и результаты, относящиеся к теорема модульности являются единственными известными случаями.

Формулировка на современном языке

На современном математическом языке теорию поля классов можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим максимальный абелево расширение А местного или глобальное поле K. Это бесконечная степень над K; группа Галуа грамм A над K - бесконечная проконечная группа, так что компактная топологическая группа, и это абелева. Основные цели теории поля классов: описать грамм в терминах определенных подходящих топологических объектов, связанных с K, чтобы описать конечные абелевы расширения K в терминах открытых подгрупп конечного индекса в топологическом объекте, ассоциированном с K. В частности, нужно установить взаимно однозначное соответствие между конечными абелевыми расширениями K и их группы норм в этом топологическом объекте для K. Этот топологический объект является мультипликативная группа в случае локальных полей с конечным полем вычетов и группы классов идеелей в случае глобальных полей. Конечное абелево расширение, соответствующее открытой подгруппе конечного индекса, называется полем классов для той подгруппы, которая дала название теории.

Фундаментальный результат общей теории полей классов утверждает, что группа грамм естественно изоморфен бесконечное завершение из C_K, мультипликативная группа локального поля или группа классов идеелей глобального поля, относительно естественной топологии на C_K связанные с конкретной структурой поля K. Эквивалентно, для любого конечного расширения Галуа L из K, существует изоморфизм ( Карта взаимности Артина )

{ displaystyle operatorname {Gal} (L / K) ^ { operatorname {ab}} to C_ {K} / N_ {L / K} (C_ {L})}

из абелианизация группы Галуа расширения с факторгруппой классов идеелей K по образу норма группы классов иделей L.

Для некоторых небольших полей, например для поля рациональных чисел ${ displaystyle mathbb {Q}}$ или его квадратичные мнимые расширения есть более подробная очень явный, но слишком конкретный теория, которая дает больше информации. Например, абелианизированная абсолютная группа Галуа грамм из ${ displaystyle mathbb {Q}}$ является (естественно изоморфным) бесконечным произведением группы единиц p-адические целые числа взял на себя все простые числа п, а соответствующее максимальное абелево расширение рациональных чисел - это поле, порожденное всеми корнями из единицы. Это известно как Теорема Кронекера – Вебера., первоначально предположил Леопольд Кронекер. В этом случае изоморфизм взаимности теории полей классов (или отображение взаимности Артина) также допускает явное описание из-за Теорема Кронекера – Вебера.. Однако основные конструкции таких более подробных теорий для полей малых алгебраических чисел не распространяются на общий случай полей алгебраических чисел, и в общей теории полей классов используются различные концептуальные принципы.

Стандартный метод построения гомоморфизма взаимности состоит в том, чтобы сначала построить локальный изоморфизм взаимности от мультипликативной группы пополнения глобального поля до группы Галуа его максимального абелевого расширения (это делается внутри локальной теории полей классов), а затем доказать, что произведение всех таких локальных карт взаимности, когда они определены на Idele группа глобального поля тривиальна на образе мультипликативной группы глобального поля. Последнее свойство называется глобальный закон взаимности и является далеко идущим обобщением теории Гаусса квадратичный закон взаимности.

Один из методов построения гомоморфизма взаимности использует формирование класса который выводит теорию полей классов из аксиом теории полей классов. Этот вывод является чисто топологическим теоретико-групповым, в то время как для установления аксиом необходимо использовать кольцевую структуру основного поля.^[1]

Есть методы, которые используют группы когомологий, в частности группу Брауэра, а есть методы, которые не используют группы когомологий и очень явны и плодотворны для приложений.

История

Истоки теории полей классов лежат в квадратичном законе взаимности, доказанном Гауссом. Обобщение происходило как долгосрочный исторический проект, вовлекающий квадратичные формы и их 'теория родов ', работа Эрнст Куммер и Леопольд Кронекер /Курт Хенсель по идеалам и дополнениям, теории круговорота и Куммер расширения.

Первые две теории поля классов были очень явными теориями поля классов кругового и комплексного умножения. Они использовали дополнительные структуры: в случае поля рациональных чисел они использовали корни из единицы, в случае мнимых квадратичных расширений поля рациональных чисел они использовали эллиптические кривые с комплексным умножением и их точки конечного порядка. Много позже теория Шимура предоставил другую очень явную теорию полей классов для класса полей алгебраических чисел. Все эти очень явные теории нельзя распространить на произвольное числовое поле. В положительной характеристике ${ displaystyle p}$ Кавада и Сатаке использовал двойственность Витта, чтобы получить очень простое описание ${ displaystyle p}$ -часть гомоморфизма взаимности.

Однако в общей теории полей классов используются разные концепции, и ее конструкции работают для каждого глобального поля.

Знаменитые проблемы Дэвид Гильберт стимулировали дальнейшее развитие, что привело к законы взаимности, и доказательства Тейджи Такаги, Филипп Фуртвенглер, Эмиль Артин, Хельмут Хассе и много других. Решающий Теорема существования Такаги был известен к 1920 г., а все основные результаты - примерно к 1930 г. Одной из последних классических гипотез, которые требовалось доказать, была собственность принципала. Первые доказательства теории полей классов использовали субстанциональные аналитические методы. В 1930-х годах и впоследствии использование бесконечных расширений и теория Вольфганг Круль их групп Галуа оказалось все более и более полезным. Он сочетается с Понтрягинская двойственность чтобы дать более четкую и абстрактную формулировку основного результата, Закон взаимности Артина. Важным шагом стало введение иделей Клод Шевалле в 1930-е гг. Их использование заменило классы идеалов и существенно прояснило и упростило структуры, описывающие абелевы расширения глобальных полей. К 1940 году большинство основных результатов было доказано.

Позже результаты были переформулированы в терминах групповые когомологии, который стал стандартным способом изучения теории поля классов для нескольких поколений теоретиков чисел. Недостатком когомологического метода является его относительная неясность. В результате местных взносов Бернард Дворк, Джон Тейт, Мишель Хазевинкель и местное и глобальное переосмысление Юрген Нойкирх а также в связи с работой многих математиков над явными формулами взаимности, очень явное и свободное от когомологий представление теории полей классов было установлено в девяностых годах, см., например, книга Нойкирха.

Приложения

Теория поля классов используется для доказательства Двойственность Артина-Вердье.^[2] Очень явная теория полей классов используется во многих областях алгебраической теории чисел, таких как Теория Ивасавы и теория модулей Галуа.

Самые главные достижения в Переписка Ленглендса для числовых полей Гипотеза BSD для числовых полей и теория Ивасавы для числовых полей используют очень явные, но узкие методы теории полей классов или их обобщения. Поэтому открытый вопрос состоит в том, чтобы использовать обобщения общей теории полей классов в этих трех направлениях.

Обобщения теории полей классов

Есть три основных обобщения, каждое из которых само по себе представляет большой интерес. Они Программа Langlands, анабелева геометрия, и теория поля высшего класса.

Часто соответствие Ленглендса рассматривается как неабелева теория поля классов. Если / когда он будет полностью установлен, он будет содержать определенную теорию неабелевых расширений Галуа глобальных полей. Однако соответствие Ленглендса не содержит столько арифметической информации о конечных расширениях Галуа, сколько теория полей классов делает в абелевом случае. Он также не включает аналог теоремы существования в теории полей классов, т.е. понятие полей классов отсутствует в соответствии Ленглендса. Существует несколько других неабелевых теорий, локальных и глобальных, которые предлагают альтернативу точке зрения соответствия Ленглендса.

Другое обобщение теории полей классов - анабелева геометрия, которая изучает алгоритмы восстановления исходного объекта (например, числового поля или гиперболической кривой над ним) на основе знания его полной абсолютной группы Галуа алгебраическая фундаментальная группа.^[3]

Другое естественное обобщение - теория поля высших классов. Он описывает абелевы расширения более высокие местные поля и более высокие глобальные поля. Последние приходят как функциональные поля схемы конечного типа над целыми числами и их соответствующие локализации и пополнения. Теория упоминается как теория поля высших локальных классов и теория поля высших глобальных классов. Оно использует алгебраическая K-теория и подходящие K-группы Милнора заменяют ${ displaystyle K_ {1}}$ которая используется в одномерной теории полей классов.

Примечания

^ Взаимность и IUT, доклад на семинаре RIMS на IUT Summit, июль 2016 г., Иван Фесенко
^ Милн, Дж. С. Арифметические теоремы двойственности. Чарлстон, Южная Каролина: BookSurge, LLC 2006
^ Фесенко, Иван (2015), Теория арифметической деформации с помощью арифметических фундаментальных групп и неархимедовых тета-функций, примечания к работе Shinichi Mochizuki, Eur. J. Math., 2015 (PDF)