Норма поля - Field norm

В математика, то (поле) норма конкретное отображение, определенное в теория поля, который отображает элементы большего поля в подполе.

Формальное определение

Позволять K быть поле и L конечный расширение (и, следовательно, алгебраическое расширение ) из K.

Поле L является конечномерным векторное пространство над K.

Умножение на α, элемент L,

{ displaystyle m _ { alpha} двоеточие от L до L}

{ Displaystyle м _ { альфа} (х) = альфа х}

,

это K-линейное преобразование этого векторное пространство в себя.

В норма, N_L/K(α), определяется как детерминант этого линейное преобразование.^[1]

Если L/K это Расширение Галуа, можно вычислить норму α ∈ L как продукт всех Конъюгаты Галуа из α:

{ Displaystyle OperatorName {N} _ {L / K} ( alpha) = prod _ { sigma in operatorname {Gal} (L / K)} sigma ( alpha),}

где Gal (L/K) обозначает Группа Галуа из L/K.^[2] (Обратите внимание, что в терминах продукта могут быть повторения)

Для генерала расширение поля L/K, и ненулевое α в L,

позволять σ₁(α), ..., σ_п(α) быть корнями минимальный многочлен α над K (корни перечислены с кратностью и лежат в некотором поле расширения L); тогда

{ displaystyle operatorname {N} _ {L / K} ( alpha) = left ( prod _ {j = 1} ^ {n} sigma _ {j} ( alpha) right) ^ {[ L: K ( alpha)]}}

.

Если L/K является отделяемый, то каждый корень появляется в произведении только один раз (хотя показатель степени, степень [L:K(α)], все еще может быть больше 1).

Примеры

Квадратичные расширения поля

Один из основных примеров норм исходит от квадратичное поле расширения ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {a}}) / mathbb {Q}}$ куда ${ displaystyle a}$ является целым числом без квадратов.

Тогда карта умножения на ${ displaystyle { sqrt {a}}}$ на элементе ${ Displaystyle х + у cdot { sqrt {а}}}$ является

{ displaystyle { sqrt {a}} cdot (x + y cdot { sqrt {a}}) = y cdot a + x cdot { sqrt {a}}.}

Элемент ${ Displaystyle х + у cdot { sqrt {а}}}$ можно представить вектором

{ displaystyle { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}},}

поскольку существует разложение в прямую сумму ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {a}}) = mathbb {Q} oplus mathbb {Q} cdot { sqrt {a}}}$ как ${ displaystyle mathbb {Q}}$ -векторное пространство.

В матрица из ${ displaystyle m _ { sqrt {a}}}$ затем

{ displaystyle m _ { sqrt {a}} = { begin {bmatrix} 0 & a 1 & 0 end {bmatrix}}}

и норма ${ displaystyle N _ { mathbb {Q} ({ sqrt {a}}) / mathbb {Q}} = - a}$ , так как это детерминант этого матрица.

Норма Q (√2)

В этом примере нормой был квадрат обычная евклидова норма расстояния в ${ Displaystyle mathbb {C}}$ .

В общем, норма поля сильно отличается от обычная норма расстояния.

Мы проиллюстрируем это на примере, где норма поля может быть отрицательной.

Рассмотрим числовое поле ${ Displaystyle К = mathbb {Q} ({ sqrt {2}})}$ .

В Группа Галуа из ${ displaystyle K}$ над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ есть заказ ${ displaystyle d = 2}$ и создается элементом, который отправляет ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ к ${ displaystyle - { sqrt {2}}}$ .

Так что норма ${ displaystyle 1 + { sqrt {2}}}$ является:

{ displaystyle (1 + { sqrt {2}}) (1 - { sqrt {2}}) = - 1.}

Норму поля также можно получить без Группа Галуа.

Исправить ${ displaystyle mathbb {Q}}$ -базис ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {2}})}$ , сказать:

{ displaystyle {1, { sqrt {2}} }}

.

Тогда умножение на число ${ displaystyle 1 + { sqrt {2}}}$ отправляет

1 к

{ displaystyle 1 + { sqrt {2}}}

и

{ displaystyle { sqrt {2}}}

к

{ displaystyle 2 + { sqrt {2}}}

.

Итак детерминант "умножения на ${ displaystyle 1 + { sqrt {2}}}$ " это детерминант из матрица который отправляет вектор

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix}}}

(соответствует первому базисному элементу, т.е. 1) на

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 1 end {bmatrix}}}

,

{ displaystyle { begin {bmatrix} 0 1 end {bmatrix}}}

(соответствует второму базисному элементу, т. е.

{ displaystyle { sqrt {2}}}

) к

{ displaystyle { begin {bmatrix} 2 1 end {bmatrix}}}

,

а именно:

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 2 1 & 1 end {bmatrix}}.}

В детерминант этого матрица равно -1.

Kрасширения корневого поля

Другой простой класс примеров взят из расширения полей формы ${ Displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{p}] {a}}) / mathbb {Q}}$ где разложение на простые множители ${ Displaystyle а в mathbb {Q}}$ не содержит ${ displaystyle p}$ -ые степени.

Карта умножения на ${ displaystyle { sqrt [{p}] {a}}}$ элемента

${ displaystyle { begin {align} m _ { sqrt [{p}] {a}} (x) & = { sqrt [{p}] {a}} cdot (a_ {1} + a_ {2 } { sqrt [{p}] {a}} + a_ {3} { sqrt [{p}] {a ^ {2}}} + cdots + a_ {p-1} { sqrt [{p }] {a ^ {p-1}}}) & = a_ {1} { sqrt [{p}] {a}} + a_ {2} { sqrt [{p}] {a ^ { 2}}} + a_ {3} { sqrt [{p}] {a ^ {3}}} + cdots + a_ {p-1} a end {выровнено}}}$

давая матрица

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 0 & cdots & 0 & a 1 & 0 & cdots & 0 & 0 0 & 1 & cdots & 0 & 0 vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & cdots & 1 & 0 end { bmatrix}}}$

В детерминант дает норму

{ displaystyle N _ { mathbb {Q} ({ sqrt [{p}] {a}}) / mathbb {Q}} ({ sqrt [{p}] {a}}) = (- 1) ^ {p-1} a = a.}

Комплексные числа над реалами

Норма поля из сложные числа к действительные числа отправляет

Икс + иу

к

Икс² + у²,

поскольку Группа Галуа из ${ Displaystyle mathbb {C}}$ над ${ Displaystyle mathbb {R}}$ имеет два элемента,

элемент идентичности и
комплексное сопряжение,

и принимая выход продукта (Икс + иу)(Икс − иу) = Икс² + у².

Конечные поля

Позволять L = GF (q^п) быть конечным расширение из конечное поле K = GF (q).

С L/K это Расширение Галуа, если α находится в L, то норма α - произведение всех Конъюгаты Галуа α, т. е.^[3]

{ displaystyle operatorname {N} _ {L / K} ( alpha) = alpha cdot alpha ^ {q} cdot alpha ^ {q ^ {2}} cdots alpha ^ {q ^ { n-1}} = alpha ^ {(q ^ {n} -1) / (q-1)}.}

В этом параметре у нас есть дополнительные свойства,^[4]

${ Displaystyle forall alpha in L, quad OperatorName {N} _ {L / K} ( alpha ^ {q}) = operatorname {N} _ {L / K} ( alpha)}$
${ displaystyle forall a in K, quad operatorname {N} _ {L / K} (a) = a ^ {n}.}$

Свойства нормы

Некоторые свойства функции нормы верны для любого конечного расширения.^[5]^[6]

Групповой гомоморфизм

Норма N_L/K : L* → K* это групповой гомоморфизм из мультипликативной группы L в мультипликативную группу K, то есть

{ displaystyle operatorname {N} _ {L / K} ( alpha beta) = operatorname {N} _ {L / K} ( alpha) operatorname {N} _ {L / K} ( beta ) { text {для всех}} alpha, beta in L ^ {*}.}

Кроме того, если а в K:

{ displaystyle operatorname {N} _ {L / K} (a alpha) = a ^ {[L: K]} operatorname {N} _ {L / K} ( alpha) { text {для всех }} alpha in L.}

Если а ∈ K тогда ${ displaystyle operatorname {N} _ {L / K} (a) = a ^ {[L: K]}.}$

Композиция с расширениями полей

К тому же норма ведет себя хорошо в башни полей:

если M является конечным расширением L, то норма из M к K это просто композиция нормы из M к L с нормой от L к K, т.е.

{ displaystyle operatorname {N} _ {M / K} = operatorname {N} _ {L / K} circ operatorname {N} _ {M / L}.}

Снижение нормы

Норма элемента в произвольной расширение поля можно свести к более простому вычислению, если степень расширение поля уже известно. Это

${ Displaystyle N_ {L / K} ( альфа) = N_ {K ( alpha) / K} ( alpha) ^ {[L: K ( alpha)]}}$ ^[6]

Например, для ${ displaystyle alpha = { sqrt {2}}}$ в расширение поля ${ displaystyle L = mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, zeta _ {3}), K = mathbb {Q}}$ , норма ${ displaystyle alpha}$ является

${ displaystyle { begin {align} N _ { mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, zeta _ {3}) / mathbb {Q}} ({ sqrt {2}}) & = N _ { mathbb {Q} ({ sqrt {2}}) / mathbb {Q}} ({ sqrt {2}}) ^ {[ mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, zeta _ {3}): mathbb {Q} ({ sqrt {2}})]} & = (- 2) ^ {2} & = 4 end {выравнивается}}}$

поскольку степень расширение поля ${ Displaystyle L / К ( альфа)}$ является ${ displaystyle 2}$ .

Обнаружение юнитов

Элемент ${ displaystyle alpha in { mathcal {O}} _ {K}}$ является единицей тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle N_ {К / mathbb {Q}} ( альфа) = pm 1}$ .

Например

{ Displaystyle N _ { mathbb {Q} ( zeta _ {3}) / mathbb {Q}} ( zeta _ {3}) = 1}

куда

{ displaystyle zeta _ {3} ^ {3} = 1}

.

Тогда любое числовое поле ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ содержащий ${ displaystyle zeta _ {3}}$ имеет это как единое целое.

Другие свойства

Норма алгебраическое целое число снова является целым числом, потому что оно равно (с точностью до знака) постоянному члену характеристического полинома.

В алгебраическая теория чисел определяются также нормы для идеалы.

Это делается таким образом, что если я ненулевой идеал О_K, то кольцо целых чисел из числовое поле K, N(я) - количество классов вычетов в ${ displaystyle O_ {K} / I}$ - т.е. мощность этого конечное кольцо.

Следовательно, это идеальная норма всегда положительное целое число.

Когда я это главный идеал αО_K тогда N(я) равно абсолютная величина нормы до Q α, для α и алгебраическое целое число.

Смотрите также

Примечания

^ Ротман 2002, п. 940
^ Ротман 2002, п. 943
^ Lidl & Niederreiter 1997, п. 57
^ Mullen & Panario 2013, п. 21 год
^ Роман 1995, п. 151 (1-е изд.)
^ ^а ^б Огье. Введение в алгебраическую теорию чисел (PDF). п. 15.