Идеальная норма - Ideal norm

В коммутативная алгебра, то норма идеала является обобщением норма элемента в расширение поля. Это особенно важно в теория чисел поскольку он измеряет размер идеальный сложного номер кольцо с точки зрения идеальный в менее сложном звенеть. Когда за менее сложное числовое кольцо берется кольцо целых чисел, Z, то норма ненулевого идеала я номерного кольца р просто размер конечного кольцо частного р/я.

Относительная норма

Позволять А быть Дедекиндский домен с поле дробей K и целостное закрытие из B в конечном отделяемое расширение L из K. (это означает, что B также является дедекиндовской областью.) Пусть ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {A}}$ и ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {B}}$ быть идеальные группы из А и Bсоответственно (т.е. множества ненулевых фракционные идеалы.) Следуя методике, разработанной Жан-Пьер Серр, то карта норм

${ Displaystyle N_ {B / A} двоеточие { mathcal {I}} _ {B} to { mathcal {I}} _ {A}}$

уникальный групповой гомоморфизм это удовлетворяет

${ Displaystyle N_ {B / A} ({ mathfrak {q}}) = { mathfrak {p}} ^ {[B / { mathfrak {q}}: A / { mathfrak {p}}]} }$

для всех ненулевых главные идеалы ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ из B, куда ${ displaystyle { mathfrak {p}} = { mathfrak {q}} cap A}$ это главный идеал из А лежащий ниже ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$.

В качестве альтернативы для любого ${ displaystyle { mathfrak {b}} in { mathcal {I}} _ {B}}$ можно эквивалентно определить ${ Displaystyle N_ {B / A} ({ mathfrak {b}})}$ быть дробный идеал из А генерируется множеством ${ displaystyle {N_ {L / K} (x) | x in { mathfrak {b}} }}$ из полевые нормы элементов B.^[1]

За ${ displaystyle { mathfrak {a}} in { mathcal {I}} _ {A}}$, надо ${ Displaystyle N_ {B / A} ({ mathfrak {a}} B) = { mathfrak {a}} ^ {n}}$, куда ${ Displaystyle п = [L: K]}$.

Идеальная норма главный идеал таким образом, совместим с полевой нормой элемента:

${ Displaystyle N_ {B / A} (xB) = N_ {L / K} (x) A.}$^[2]

Позволять ${ displaystyle L / K}$ быть Расширение Галуа из числовые поля с кольца целых чисел ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {K} subset { mathcal {O}} _ {L}}$.

Тогда предыдущее применяется с ${ displaystyle A = { mathcal {O}} _ {K}, B = { mathcal {O}} _ {L}}$, и для любого ${ displaystyle { mathfrak {b}} in { mathcal {I}} _ {{ mathcal {O}} _ {L}}}$ у нас есть

${ Displaystyle N _ {{ mathcal {O}} _ {L} / { mathcal {O}} _ {K}} ({ mathfrak {b}}) = K cap prod _ { sigma in operatorname {Gal} (L / K)} sigma ({ mathfrak {b}}),}$

который является элементом ${ Displaystyle { mathcal {I}} _ {{ mathcal {O}} _ {K}}}$.

Обозначение ${ Displaystyle N _ {{ mathcal {O}} _ {L} / { mathcal {O}} _ {K}}}$ иногда сокращается до ${ displaystyle N_ {L / K}}$, злоупотребление обозначениями это совместимо с написанием ${ displaystyle N_ {L / K}}$ для нормы поля, как указано выше.

В случае ${ Displaystyle К = mathbb {Q}}$, разумно использовать положительные рациональное число как диапазон для ${ Displaystyle N _ {{ mathcal {O}} _ {L} / mathbb {Z}} ,}$ поскольку ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ имеет тривиальный группа идеального класса и группа единиц ${ displaystyle { pm 1 }}$, поэтому каждое ненулевое дробный идеал из ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ порождается однозначно определенным положительным Рациональное число.По этому соглашению относительная норма из ${ displaystyle L}$ вплоть до ${ Displaystyle К = mathbb {Q}}$ совпадает с абсолютная норма определено ниже.

Абсолютная норма

Позволять ${ displaystyle L}$ быть числовое поле с кольцо целых чисел ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$, и ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$ ненулевой (интегральный) идеальный из ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$.

Абсолютная норма ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$ является

${ Displaystyle N ({ mathfrak {a}}): = left [{ mathcal {O}} _ {L}: { mathfrak {a}} right] = left | { mathcal {O} } _ {L} / { mathfrak {a}} right |. ,}$

По соглашению норма нулевого идеала принимается равной нулю.

Если ${ Displaystyle { mathfrak {а}} = (а)}$ это главный идеал, тогда

${ Displaystyle N ({ mathfrak {a}}) = left | N_ {L / mathbb {Q}} (а) right |}$.^[3]

Норма полностью мультипликативный: если ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$ и ${ displaystyle { mathfrak {b}}}$ идеалы ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$, тогда

${ Displaystyle N ({ mathfrak {a}} cdot { mathfrak {b}}) = N ({ mathfrak {a}}) N ({ mathfrak {b}})}$.^[3]

Таким образом, абсолютная норма однозначно продолжается до групповой гомоморфизм

${ Displaystyle N двоеточие { mathcal {I}} _ {{ mathcal {O}} _ {L}} to mathbb {Q} _ {> 0} ^ { times},}$

определен для всех ненулевых фракционные идеалы из ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$.

Норма идеальный ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$ может использоваться для определения верхней границы нормы поля наименьшего ненулевого элемента, который он содержит:

всегда существует ненулевой ${ Displaystyle а ин { mathfrak {а}}}$ для которого

${ displaystyle left | N_ {L / mathbb {Q}} (a) right | leq left ({ frac {2} { pi}} right) ^ {s} { sqrt { left | Delta _ {L} right |}} N ({ mathfrak {a}}),}$

куда

• ${ displaystyle Delta _ {L}}$ это дискриминант из ${ displaystyle L}$ и
• ${ displaystyle s}$ количество пар (не действительных) комплексных вложения из L в ${ Displaystyle mathbb {C}}$ (количество сложных мест L).^[4]

Смотрите также

• Норма поля
• Дзета-функция Дедекинда

Рекомендации