Идеальная классная группа - Википедия - Ideal class group

В теория чисел, то группа идеального класса (или же классная группа) из поле алгебраических чисел $K$ фактор-группа $J K / п K$ куда $J K$ это группа фракционные идеалы из кольцо целых чисел из $K$ , и $п K$ его подгруппа главные идеалы. Группа классов - это мера того, в какой степени уникальная факторизация терпит неудачу в кольце целых чисел $K$ . В порядок группы, которая конечна, называется номер класса из $K$ .

Теория распространяется на Дедекиндовские домены и их поле дробей, для которого мультипликативные свойства тесно связаны со структурой группы классов. Например, группа классов дедекиндовской области тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо является уникальная область факторизации.

История и происхождение идеальной классовой группы

Группы идеальных классов (или, скорее, то, что фактически было группами идеальных классов) изучались задолго до появления идеи идеальный был сформулирован. Эти группы появились в теории квадратичные формы: в случае двоичных целочисленных квадратичных форм, приведенных в нечто вроде окончательной формы Гаусс определен закон композиции на некоторых классах эквивалентности форм. Это дало конечный абелева группа, как это было признано в то время.

Потом Куммер работал над теорией циклотомические поля. Было осознано (вероятно, несколькими людьми), что неполнота доказательств в общем случае Последняя теорема Ферма путем факторизации с использованием корни единства была по очень веской причине: неудача уникальной факторизации, т.е. основная теорема арифметики, держать в кольца порожденное этими корнями единства было главным препятствием. Из работ Куммера впервые вышло исследование препятствий факторизации. Теперь мы признаем это как часть идеальной группы классов: фактически Куммер выделил п-кручение в этой группе для области п-корни из единицы для любого простого числа п, как причину неудачи стандартного метода атаки на проблему Ферма (см. обычный прайм ).

Немного позже снова Дедекинд сформулировал концепцию идеальный Куммер работал по-другому. На этом этапе существующие примеры могут быть унифицированы. Было показано, что в то время как кольца алгебраические целые числа не всегда имеют уникальную факторизацию в простые числа (потому что они не обязательно области главных идеалов ), они обладают тем свойством, что каждый собственный идеал допускает уникальную факторизацию как произведение главные идеалы (то есть каждое кольцо целых алгебраических чисел является Дедекиндский домен ). Размер идеальной группы классов можно рассматривать как меру отклонения кольца от главной идеальной области; кольцо является главной областью тогда и только тогда, когда оно имеет тривиальную группу классов идеалов.

Определение

Если р является область целостности, определим связь ~ на ненулевом фракционные идеалы из р к я ~ J когда существуют ненулевые элементы а и б из р такой, что (а)я = (б)J. (Здесь обозначение (а) означает главный идеал из р состоящий из всех кратных а.) Легко показать, что это отношение эквивалентности. В классы эквивалентности называются идеальные классы из р.Идеальные классы можно умножать: если [я] обозначает класс эквивалентности идеала я, то умножение [я][J] = [IJ] хорошо определен и коммутативный. Главные идеалы образуют идеальный класс [р], который служит элемент идентичности для этого умножения. Таким образом, класс [я] имеет обратный [J] тогда и только тогда, когда существует идеал J такой, что IJ главный идеал. В общем, такая J может не существовать и, следовательно, множество идеальных классов р может быть только моноид.

Однако если р кольцо алгебраические целые числа в поле алгебраических чисел, или в более общем смысле Дедекиндский домен, определенное выше умножение превращает множество классов дробных идеалов в абелева группа, то группа идеального класса из р. Групповое свойство существования обратные элементы легко следует из того факта, что в дедекиндовской области любой ненулевой идеал (кроме р) является продуктом главные идеалы.

Характеристики

Группа классов идеалов тривиальна (т.е. имеет только один элемент) тогда и только тогда, когда все идеалы р являются основными. В этом смысле группа идеальных классов измеряет, насколько далеко р от того, чтобы быть главная идеальная область, и, следовательно, из удовлетворения единственной простой факторизации (дедекиндовы области уникальные домены факторизации тогда и только тогда, когда они являются областями главных идеалов).

Количество идеальных классов ( номер класса из р) вообще может быть бесконечным. Фактически, каждая абелева группа изоморфна группе классов идеалов некоторой дедекиндовской области.^[1] Но если р на самом деле кольцо целых алгебраических чисел, то номер класса всегда конечный. Это один из основных результатов классической алгебраической теории чисел.

Вычисление группы классов, в общем, затруднено; это можно сделать вручную для кольца целых чисел в поле алгебраических чисел малых дискриминант, с помощью Связь Минковского. Этот результат дает оценку, зависящую от кольца, так что каждый класс идеалов содержит идеальная норма меньше предела. В целом оценка недостаточно точна, чтобы сделать вычисления практичными для полей с большим дискриминантом, но компьютеры хорошо подходят для этой задачи.

Отображение из колец целых чисел р к их соответствующим группам классов является функториальной, и группа классов может быть отнесена под заголовок алгебраическая K-теория, с K₀(р) являющийся функтором, присваивающим р его идеальная классовая группа; точнее, K₀(р) = Z×C(р), куда C(р) - группа классов. Высшие группы K также могут использоваться и интерпретироваться арифметически в связи с кольцами целых чисел.

Связь с группой единиц

Выше было отмечено, что группа классов идеалов дает часть ответа на вопрос о том, сколько идеалов в Дедекиндский домен вести себя как элементы. Другая часть ответа обеспечивается мультипликативным группа из единицы области Дедекинда, поскольку переход от главных идеалов к их образующим требует использования единиц (и это также остальная причина для введения концепции дробного идеала):

Определить карту из р^× множеству всех ненулевых дробных идеалов р отправляя каждый элемент в главный (дробный) идеал, который он генерирует. Это групповой гомоморфизм; это ядро группа единиц р, а его коядро - идеальная группа классов р. Неспособность этих групп быть тривиальной - это мера того, что отображение не может быть изоморфизмом: то есть неспособность идеалов действовать как элементы кольца, то есть как числа.

Примеры идеальных групп классов

Кольца Z, Z[ω], и Z[я], где ω - кубический корень из 1 и я является корнем четвертой степени из 1 (т. е. квадратным корнем из −1), все области главных идеалов (а на самом деле все Евклидовы области ), а значит, имеют класс номер 1: то есть они имеют тривиальные группы классов идеалов.
Если k поле, то кольцо многочленов k[Икс₁, Икс₂, Икс₃, ...] является областью целостности. У него есть счетное бесконечное множество идеальных классов.

Числа классов квадратичных полей

Если d это целое число без квадратов (произведение различных простых чисел) кроме 1, то Q(√d) это квадратичное продолжение Q. Если d <0, то номер класса кольца р алгебраических целых чисел Q(√d) равен 1 ровно для следующих значений d: d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67 и −163. Этот результат был впервые высказан Гаусс и доказано Курт Хегнер, хотя доказательству Хегнера не поверили, пока Гарольд Старк дал более позднее доказательство в 1967 г. (см. Теорема Штарка-Хегнера.) Это частный случай знаменитого проблема номера класса.

Если же, с другой стороны, d > 0, то неизвестно, бесконечно ли много полей Q(√d) с классом номер 1. Результаты расчетов показывают, что таких полей очень много. Однако неизвестно даже, бесконечно ли много числовые поля с классом №1.^[2]^[3]

За d <0, идеальная группа классов Q(√d) изоморфна группе классов целых бинарные квадратичные формы из дискриминант равный дискриминанту Q(√d). За d > 0, группа классов идеалов может быть вдвое меньше, поскольку группа классов целочисленных бинарных квадратичных форм изоморфна группе классов узкоклассная группа из Q(√d).^[4]

Для вещественных квадратичных целочисленных колец номер класса указан в OEIS A003649; для мнимого случая они приведены в OEIS A000924.

Пример нетривиальной группы классов

В квадратичное целое число звенеть р = Z[√−5] - кольцо целых чисел Q(√−5). Оно делает нет обладают уникальной факторизацией; на самом деле классная группа р цикличен порядка 2. Действительно, идеал

J = (2, 1 + √−5)

не является главным, что доказывается от противного. ${ displaystyle R}$ имеет норма функция ${ displaystyle N (a + b { sqrt {-5}}) = a ^ {2} + 5b ^ {2}}$ , что удовлетворяет ${ Displaystyle N (УФ) = N (u) N (v)}$ , и ${ Displaystyle N (и) = 1}$ если и только если ${ displaystyle u}$ единица в ${ displaystyle R}$ . Прежде всего, ${ Displaystyle J neq R}$ , поскольку факторкольцо ${ displaystyle R}$ по модулю идеального ${ displaystyle (1 + { sqrt {-5}})}$ изоморфен ${ Displaystyle mathbf {Z} / 6 mathbf {Z}}$ , таким образом кольцо частного из ${ displaystyle R}$ по модулю ${ displaystyle J}$ изоморфен ${ Displaystyle mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}}$ . Если J были созданы элементом Икс из р, тогда Икс разделит и 2, и 1 + √−5. Тогда норма ${ Displaystyle N (х)}$ разделил бы оба ${ Displaystyle N (2) = 4}$ и ${ Displaystyle N (1 + { sqrt {-5}}) = 6}$ , так N(x) делит 2. Если ${ Displaystyle N (х) = 1}$ , тогда ${ displaystyle x}$ единица, а ${ Displaystyle J = R}$ , противоречие. Но ${ Displaystyle N (х)}$ тоже не может быть 2, потому что р не имеет элементов нормы 2, так как Диофантово уравнение ${ displaystyle b ^ {2} + 5c ^ {2} = 2}$ не имеет решений в целых числах, так как не имеет решений по модулю 5.

Также можно вычислить, что J² = (2), что является главным, поэтому класс J в идеальном классе группа имеет второй порядок. Показывая, что нет никаких Другой идеальные занятия требуют больше усилий.

Тот факт, что это J не является главным, также связано с тем, что элемент 6 имеет две различные факторизации на неприводимые:

6 = 2 × 3 = (1 + √−5) × (1 − √−5).

Связь с теорией поля классов

Теория поля классов это филиал алгебраическая теория чисел который стремится классифицировать все абелевы расширения данного поля алгебраических чисел, имея в виду расширения Галуа с абелевыми Группа Галуа. Особенно красивый пример можно найти в Поле классов Гильберта числового поля, которое можно определить как максимальное неразветвленный абелево расширение такого поля. Поле классов Гильберта L числового поля K уникален и обладает следующими свойствами:

Каждый идеал кольца целых чисел K становится главным в L, т.е. если я интегральный идеал K затем изображение я главный идеал в L.
L является расширением Галуа K с группой Галуа, изоморфной группе классов идеалов K.

Ни одно из этих свойств не так легко доказать.

Смотрите также

Формула номера класса
Проблема с номером класса
Теорема Брауэра – Зигеля —Ан асимптотический формула для номера класса
Список числовых полей с классом номер один
Основная идеальная область
Алгебраическая K-теория
Теория Галуа
Последняя теорема Ферма
Узкая классная группа
Группа Пикард - обобщение группы классов, входящей в алгебраическая геометрия
Классная группа Аракелова