Кольцо полиномов - Polynomial ring

В математика, особенно в области алгебра, а кольцо многочленов или полиномиальная алгебра это кольцо (который также является коммутативная алгебра ) сформированный из набор из многочлены в одном или нескольких неопределенный (традиционно также называют переменные ) с коэффициентами в другом кольцо, часто поле.

Часто термин «кольцо многочленов» неявно относится к частному случаю кольца многочленов от одного неопределенного над полем. Важность таких колец многочленов зависит от большого количества свойств, которые у них есть общие с кольцом целых чисел.

Кольца многочленов встречаются и часто являются фундаментальными во многих разделах математики, таких как теория чисел, коммутативная алгебра и теория колец и алгебраическая геометрия. Многие классы колец, такие как уникальные домены факторизации, обычные кольца, групповые кольца, кольца формального степенного ряда, Полиномы руды, градуированные кольца, были введены для обобщения некоторых свойств колец многочленов.

Тесно родственное понятие - понятие кольцо полиномиальных функций на векторное пространство, и, в более общем плане, кольцо регулярных функций на алгебраическое многообразие.

Определение (одномерный случай)

В кольцо многочленов, $K [Икс]$ , в $Икс$ через поле (или, в более общем смысле, коммутативное кольцо ) $K$ можно определить^[1] (есть и другие эквивалентные определения, которые обычно используются) как набор выражений, называемый многочлены в $Икс$ , формы

{ displaystyle p = p_ {0} + p_ {1} X + p_ {2} X ^ {2} + cdots + p_ {m-1} X ^ {m-1} + p_ {m} X ^ { m},}

где $п 0, п 1, ..., п м$ , то коэффициенты из $п$ , являются элементами $K$ , $п м \neq 0$ если $м > 0$ , и $Икс, Икс 2, ...,$ символы, которые рассматриваются как "силы" $Икс$ , и следуйте обычным правилам возведение в степень: $Икс 0 = 1$ , $Икс 1 = Икс$ , и ${ Displaystyle X ^ {k} , X ^ {l} = X ^ {k + l}}$ для любого неотрицательные целые числа $k$ и $л$ . Символ $Икс$ называется неопределенным^[2] или переменная.^[3] (Термин «переменная» происходит от терминологии полиномиальные функции. Однако здесь $Икс$ не имеет никакой ценности (кроме самого себя) и не может меняться, будучи постоянный в кольце многочленов.)

Два полинома равны, когда соответствующие коэффициенты каждого $Икс k$ равны.

Можно думать о кольце $K [Икс]$ как вытекающие из $K$ добавив один новый элемент $Икс$ это внешнее по отношению к $K$ , коммутирует со всеми элементами $K$ , и не имеет других специфических свойств. (Это может быть использовано для определения колец многочленов.)

Кольцо многочленов в $Икс$ над $K$ оснащен сложением, умножением и скалярное умножение что делает это коммутативная алгебра. Эти операции определяются в соответствии с обычными правилами работы с алгебраическими выражениями. В частности, если

{ displaystyle p = p_ {0} + p_ {1} X + p_ {2} X ^ {2} + cdots + p_ {m} X ^ {m},}

и

{ displaystyle q = q_ {0} + q_ {1} X + q_ {2} X ^ {2} + cdots + q_ {n} X ^ {n},}

тогда

{ displaystyle p + q = r_ {0} + r_ {1} X + r_ {2} X ^ {2} + cdots + r_ {k} X ^ {k},}

и

{ displaystyle pq = s_ {0} + s_ {1} X + s_ {2} X ^ {2} + cdots + s_ {l} X ^ {l},}

где $k = макс (м, п), л = м + п$ ,

{ displaystyle r_ {i} = p_ {i} + q_ {i}}

и

{ displaystyle s_ {i} = p_ {0} q_ {i} + p_ {1} q_ {i-1} + cdots + p_ {i} q_ {0}.}

В этих формулах многочлены $п$ и $q$ расширяются путем добавления «фиктивных членов» с нулевыми коэффициентами, так что все $п я$ и $q я$ , которые появляются в формулах, определены. В частности, если $м < п$ , тогда $п я = 0$ для $м < я \leq п$ .

Скалярное умножение - это частный случай умножения, когда $п = п 0$ сводится к его постоянный срок (термин, не зависящий от $Икс$ ); это

{ displaystyle p_ {0} left (q_ {0} + q_ {1} X + dots + q_ {n} X ^ {n} right) = p_ {0} q_ {0} + left (p_ { 0} q_ {1} right) X + cdots + left (p_ {0} q_ {n} right) X ^ {n}}

Несложно проверить, что эти три операции удовлетворяют аксиомам коммутативной алгебры над $K$ . Поэтому кольца многочленов также называют полиномиальные алгебры.

Часто предпочтительнее другое эквивалентное определение, хотя и менее интуитивное, потому что его легче сделать полностью строгим, которое состоит в определении многочлена как бесконечного последовательность $(п 0, п 1, п 2, ...)$ элементов $K$ , обладающий тем свойством, что только конечное число элементов ненулевое, или, что то же самое, последовательность, для которой существует некоторая $м$ так что п_п = 0 для $п > м$ . В таком случае, $п 0$ и $Икс$ рассматриваются как альтернативные обозначения для последовательностей $(п 0, 0, 0, ...)$ и $(0, 1, 0, 0, ...)$ соответственно. Непосредственное использование правил работы показывает, что выражение

{ displaystyle p_ {0} + p_ {1} X + p_ {2} X ^ {2} + cdots + p_ {m} X ^ {m}}

- тогда альтернативное обозначение последовательности

(п 0, п 1, п 2, ..., п м, 0, 0, ...)

.

Терминология

Позволять

{ displaystyle p = p_ {0} + p_ {1} X + p_ {2} X ^ {2} + cdots + p_ {m-1} X ^ {m-1} + p_ {m} X ^ { m},}

ненулевой многочлен с ${ displaystyle p_ {m} neq 0}$

В постоянный срок из $п$ является ${ displaystyle p_ {0}.}$ В случае нулевого многочлена он равен нулю.

В степень из $п$ , написано $град (п)$ является ${ displaystyle m,}$ самый большой $k$ такой, что коэффициент $Икс k$ не равно нулю.^[4]

В ведущий коэффициент из $п$ является ${ displaystyle p_ {m}.}$ ^[5]

В частном случае нулевого многочлена, все коэффициенты которого равны нулю, старший коэффициент не определен, а степень оставалась неопределенной по-разному,^[6] определяется как $-1$ ,^[7] или определяется как $-\infty$ .^[8]

А постоянный многочлен является либо нулевым многочленом, либо многочленом нулевой степени.

Ненулевой многочлен моник если его старший коэффициент равен ${ displaystyle 1.}$

Даны два полинома $п$ и $q$ , надо

{ Displaystyle град (п + д) Leq макс ( град (р), град (д)),}

и более поле, или в более общем смысле область целостности,^[9]

{ Displaystyle deg (pq) = deg (p) + deg (q).}

Отсюда сразу следует, что если $K$ является областью целостности, то также $K [Икс]$ .^[10]

Отсюда также следует, что если $K$ - область целостности, многочлен - это единица измерения (то есть имеет мультипликативный обратный ) тогда и только тогда, когда она постоянна и является единицей в $K$ .

Два полинома равны связанный если один из них является продуктом другого единицы.

Над полем каждому ненулевому многочлену соответствует единственный монический многочлен.

Учитывая два полинома, $п$ и $q$ , говорят, что $п$ разделяет $q$ , $п$ это делитель из $q$ , или $q$ кратно $п$ , если существует многочлен $р$ такой, что $q = пр$ .

Многочлен несводимый если он не является произведением двух непостоянных многочленов, или, что то же самое, если его делители либо являются постоянными многочленами, либо имеют одинаковую степень.

Полиномиальная оценка

Позволять $K$ быть полем или, в более общем смысле, коммутативное кольцо, и $р$ кольцо, содержащее $K$ . Для любого полинома $п$ в $K [ИКС]$ и любой элемент $а$ в $р$ , замена $Икс$ для $а$ в $п$ определяет элемент $р$ , который обозначенный $п (а)$ . Этот элемент получается продолжением в $р$ после подстановки операции, обозначенные выражением полинома. Это вычисление называется оценка из $п$ в $а$ . Например, если у нас есть

{ displaystyle P = X ^ {2} -1,}

у нас есть

{ Displaystyle { begin {align} P (3) & = 3 ^ {2} -1 = 8, P (X ^ {2} +1) & = left (X ^ {2} +1 вправо) ^ {2} -1 = X ^ {4} + 2X ^ {2} end {выравнивается}}}

(в первом примере $р = K$ , а во втором $р = K [Икс]$ ). Подстановка $Икс$ для себя приводит к

{ Displaystyle P = P (X),}

объясняя, почему предложения "Пусть $п$ - многочлен »и« Пусть $П(Икс)$ быть многочленом »эквивалентны.

В полиномиальная функция определяется полиномом $п$ функция из $K$ в $K$ что определяется ${ displaystyle x mapsto P (x).}$ Если $K$ является бесконечным полем, два разных полинома определяют разные полиномиальные функции, но это свойство неверно для конечных полей. Например, если $K$ это поле с $q$ элементов, то многочлены $0$ и $Икс q - Икс$ оба определяют нулевую функцию.

Для каждого $а$ в $р$ , оценка на $а$ , то есть карта ${ Displaystyle P mapsto P (а)}$ определяет гомоморфизм алгебр от $K [Икс]$ к $р$ , который является единственным гомоморфизмом из $K [Икс]$ к $р$ это исправляет $K$ , и карты $Икс$ к $а$ . Другими словами, $K [Икс]$ имеет следующие универсальная собственность. Для каждого кольца $р$ содержащий $K$ , и каждый элемент $а$ из $р$ , существует единственный гомоморфизм алгебр из $K [Икс]$ к $р$ это исправляет $K$ , и карты $Икс$ к $а$ . Что касается всех универсальных свойств, это определяет пару $(K [Икс], Икс)$ с точностью до единственного изоморфизма, и поэтому может использоваться как определение $K [Икс]$ .

Одномерные многочлены над полем

Если $K$ это поле, кольцо многочленов $K [Икс]$ обладает многими свойствами, аналогичными свойствам кольцо целых чисел ${ displaystyle mathbb {Z}.}$ Большинство этих сходств проистекает из сходства между деление целых чисел в столбик и деление полиномов в столбик.

Большинство свойств $K [Икс]$ перечисленные в этом разделе не остаются верными, если $K$ не является полем, или если рассматривать многочлены от нескольких неопределенностей.

Как и для целых чисел, Евклидово деление многочленов обладает свойством уникальности. То есть для двух многочленов $а$ и $б \neq 0$ в $K [Икс]$ , есть уникальная пара $(q, р)$ многочленов таких, что $а = бк + р$ , и либо $р = 0$ или $град (г) <град (Ь)$ . Это делает $K [Икс]$ а Евклидова область. Однако большинство других евклидовых областей (за исключением целых чисел) не имеют ни свойства уникальности для деления, ни простого алгоритма (например, деления в столбик) для вычисления евклидова деления.

Евклидово деление лежит в основе Евклидов алгоритм для многочленов который вычисляет полиномиальный наибольший общий делитель двух полиномов. Здесь «наибольший» означает «имеющий максимальную степень» или, что то же самое, максимальное для предзаказ определяется степенью. Дан наибольший общий делитель двух многочленов, другие наибольшие общие делители получаются умножением на ненулевую константу (то есть все наибольшие общие делители $а$ и $б$ связаны). В частности, два многочлена, которые не равны нулю, имеют единственный наибольший общий делитель, который является моническим (старший коэффициент, равный 1).

В расширенный алгоритм Евклида позволяет вычислить (и доказать) Личность Безу. На случай, если $K [Икс]$ , можно сказать следующее. Учитывая два полинома $п$ и $q$ соответствующих степеней $м$ и $п$ , если их монический наибольший общий делитель $г$ имеет степень $d$ , то существует единственная пара $(а, б)$ многочленов таких, что

{ displaystyle ap + bq = g,}

и

{ Displaystyle град (а) Leq п-г, квад град (Ь) <м-г}

(Для того, чтобы убедиться в этом в предельном случае, когда $м = d$ или $п = d$ , следует определить как отрицательную степень нулевого многочлена. Кроме того, равенство ${ Displaystyle deg (а) = п-г}$ может произойти, только если $п$ и $q$ связаны.) Свойство уникальности довольно специфично для $K [Икс]$ . В случае целых чисел то же свойство истинно, если степени заменены абсолютными значениями, но для обеспечения уникальности необходимо потребовать $а > 0$ .

Лемма евклида относится к $K [Икс]$ . То есть, если $а$ разделяет $до н.э$ , и является совмещать с участием $б$ , тогда $а$ разделяет $c$ . Вот, совмещать означает, что монический наибольший общий делитель равен 1. Доказательство: По гипотезе и тождественности Безу существуют $е$ , $п$ , и $q$ такой, что $ае = до н.э$ и $1 = ap + бк$ . Так ${ displaystyle c = c (ap + bq) = cap + aeq = a (cp + eq).}$

В уникальная факторизация свойство следует из леммы Евклида. В случае целых чисел это основная теорема арифметики. На случай, если $K [Икс]$ , это может быть указано как: каждый непостоянный многочлен может быть выражен уникальным образом как произведение константы и одного или нескольких неприводимых одночленов; это разложение уникально до порядка факторов. Другими словами $K [Икс]$ это уникальная область факторизации. Если $K$ поле комплексных чисел, основная теорема алгебры утверждает, что одномерный многочлен неприводим тогда и только тогда, когда его степень равна единице. В этом случае уникальное свойство факторизации можно переформулировать как: каждый непостоянный одномерный многочлен над комплексными числами может быть выражен уникальным образом как произведение константы и одного или нескольких многочленов вида $Икс - р$ ; это разложение уникально до порядка факторов. Для каждого фактора $р$ это корень полинома, а количество вхождений множителя равно множественность соответствующего корня.

Вывод

В (формальная) производная полинома

{ displaystyle a_ {0} + a_ {1} X + a_ {2} X ^ {2} cdots + a_ {n} X ^ {n}}

это многочлен

{ displaystyle a_ {1} + 2a_ {2} X + cdots + na_ {n} X ^ {n-1}.}

В случае многочленов с настоящий или сложный коэффициенты, это стандарт производная. Приведенная выше формула определяет производную многочлена, даже если коэффициенты принадлежат кольцу, на котором нет понятия предел определено. Производная делает кольцо многочленов a дифференциальная алгебра.

Существование производной - одно из основных свойств кольца многочленов, которое не является общим для целых чисел, и делает некоторые вычисления более легкими для кольца многочленов, чем для целых чисел.

Факторизация без квадратов

Интерполяция Лагранжа

Полиномиальное разложение

Факторизация

За исключением факторизации, все предыдущие свойства $K [Икс]$ находятся эффективный, поскольку их доказательства, как обрисовано выше, связаны с алгоритмы для проверки свойства и вычисления многочленов, существование которых утверждается. Более того, эти алгоритмы эффективны, так как их вычислительная сложность это квадратичный функция размера ввода.

Совершенно иная ситуация с факторизацией: доказательство единственности факторизации не дает никаких подсказок относительно метода факторизации. Уже для целых чисел нет известного алгоритма факторизации их в полиномиальное время. Это основа Криптосистема RSA, широко используется для безопасного Интернет-общения.

На случай, если $K [Икс]$ , факторы и методы их вычисления сильно зависят от $K$ . Над комплексными числами все неприводимые множители (те, которые не могут быть разложены на множители) имеют степень один, в то время как над действительными числами существуют неприводимые многочлены степени 2, а над множителями рациональное число, существуют неприводимые многочлены любой степени. Например, полином ${ displaystyle X ^ {4} -2}$ неприводима по рациональным числам, факторизуется как ${ displaystyle (X - { sqrt [{4}] {2}}) (X + { sqrt [{4}] {2}}) (X ^ {2} + { sqrt {2}})}$ над действительными числами и, и как ${ displaystyle (X - { sqrt [{4}] {2}}) (X + { sqrt [{4}] {2}}) (Xi { sqrt [{4}] {2}}) ( X + i { sqrt [{4}] {2}})}$ над комплексными числами.

Существование алгоритма факторизации зависит также от основного поля. В случае действительных или комплексных чисел Теорема Абеля – Руффини показывает, что корни некоторых многочленов и, следовательно, неприводимые множители не могут быть вычислены точно. Следовательно, алгоритм факторизации может вычислять только приближения факторов. Для вычисления таких приближений были разработаны различные алгоритмы, см. Нахождение корня многочленов.

Вот пример поля $K$ такие, что существуют точные алгоритмы для арифметических операций $K$ , но не может существовать никакого алгоритма определения того, является ли многочлен вида ${ displaystyle X ^ {p} -a}$ является несводимый или является произведением многочленов более низкой степени.^[11]

С другой стороны, над рациональными числами и над конечными полями ситуация лучше, чем для целочисленная факторизация, поскольку есть алгоритмы факторизации у которых есть полиномиальная сложность. Они реализованы в самых общих целях системы компьютерной алгебры.

Минимальный многочлен

Если $θ$ является элементом ассоциативный $K$ -алгебра $L$ , то полиномиальная оценка в $θ$ уникальный гомоморфизм алгебр $φ$ от $K [Икс]$ в $L$ что отображает $Икс$ к $θ$ и не влияет на элементы $K$ сам (это карта идентичности на $K$ ). Это состоит из замена $Икс$ для $θ$ в каждом полиноме. Это,

{ displaystyle varphi left (a_ {m} X ^ {m} + a_ {m-1} X ^ {m-1} + cdots + a_ {1} X + a_ {0} right) = a_ {m} theta ^ {m} + a_ {m-1} theta ^ {m-1} + cdots + a_ {1} theta + a_ {0}.}

Образ этого гомоморфизм оценок подалгебра, порожденная $Икс$ , который обязательно коммутативен. $φ$ инъективна, подалгебра, порожденная $θ$ изоморфен $K [Икс]$ . В этом случае эту подалгебру часто обозначают через $K [θ]$ . Неоднозначность обозначений обычно безвредна из-за изоморфизма.

Если гомоморфизм оценки не инъективен, это означает, что его ядро ненулевой идеальный, состоящий из всех многочленов, обращающихся в нуль при $Икс$ заменяется на $θ$ . Этот идеал состоит из всех кратных некоторого монического многочлена, который называется минимальный многочлен из $Икс$ . Период, термин минимальный мотивируется тем, что его степень минимальна среди степеней элементов идеала.

Есть два основных случая, когда рассматриваются минимальные многочлены.

В теория поля и теория чисел, элемент $θ$ из поле расширения $L$ из $K$ является алгебраический над $K$ если это корень некоторого многочлена с коэффициентами в $K$ . В минимальный многочлен над $K$ из $θ$ таким образом, монический многочлен минимальной степени, который имеет $θ$ как корень. Потому что $L$ является полем, этот минимальный многочлен обязательно несводимый над $К.$ Например, минимальный многочлен (как по действительным, так и по рациональным числам) числа комплексное число $я$ является $Х ^ 2 + 1$ . В круговые полиномы - минимальные многочлены от корни единства.

В линейная алгебра, то $п \times п$ квадратные матрицы над $K$ для мужчины ассоциативный $K$ -алгебра конечной размерности (как векторное пространство). Следовательно, гомоморфизм вычислений не может быть инъективным, и каждая матрица имеет минимальный многочлен (не обязательно неприводимый). От Теорема Кэли – Гамильтона, оценочный гомоморфизм переводит в нуль характеристический многочлен матрицы. Отсюда следует, что минимальный многочлен делит характеристический многочлен и, следовательно, степень минимального многочлена не превосходит $п$ .

Факторное кольцо

На случай, если $K [Икс]$ , то кольцо частного идеалом может быть построен, как и в общем случае, как набор классы эквивалентности. Однако, поскольку каждый класс эквивалентности содержит ровно один многочлен минимальной степени, другая конструкция часто более удобна.

Учитывая многочлен $п$ степени $d$ , то кольцо частного из $K [Икс]$ посредством идеальный Сгенерированно с помощью $п$ можно отождествить с векторное пространство полиномов степени меньше $d$ , с умножением по модулю $п$ "как умножение умножение по модулю $п$ состоящий из остатка от деления на $п$ (обычного) произведения многочленов. Это фактор-кольцо обозначается по-разному: ${ Displaystyle К [X] / pK [X],}$ ${ Displaystyle К [X] / langle p rangle,}$ ${ Displaystyle К [X] / (p),}$ или просто ${ Displaystyle К [X] / п.}$

Кольцо ${ Displaystyle К [X] / (p)}$ является полем тогда и только тогда, когда $п$ является неприводимый многочлен. Фактически, если $п$ неприводимо, любой ненулевой многочлен $q$ низшей степени взаимно прост с $п$ , и Личность Безу позволяет вычислять $р$ и $s$ такой, что $зр + qr = 1$ ; так, $р$ это мультипликативный обратный из $q$ по модулю $п$ . Наоборот, если $п$ приводимо, то существуют многочлены степени ниже $град (п)$ такой, что $ab = п \equiv 0 (мод q)$ ; так $а$ ненулевой делитель нуля по модулю $п$ , и не может быть обратимым.

Например, стандартное определение поля комплексных чисел можно резюмировать, сказав, что это кольцо частных

{ Displaystyle mathbb {C} = mathbb {R} [X] / (X ^ {2} +1),}

и что изображение $Икс$ в ${ Displaystyle mathbb {C}}$ обозначается $я$ . Фактически, согласно приведенному выше описанию, это частное состоит из всех многочленов первой степени от $я$ , которые имеют вид $а + би$ , с участием $а$ и $б$ в ${ displaystyle mathbb {R}.}$ Остаток от евклидова деления, необходимый для умножения двух элементов факторкольца, получается заменой $я 2$ от $-1$ в их произведении как полиномы (это в точности обычное определение произведения полных чисел).

Позволять $θ$ быть алгебраический элемент в $K$ -алгебра $А$ . От алгебраический, один означает, что $θ$ имеет минимальный многочлен $п$ . В первая теорема об изоморфизме колец утверждает, что гомоморфизм подстановки индуцирует изоморфизм из ${ Displaystyle К [X] / (p)}$ на изображение $K [θ]$ гомоморфизма подстановки. В частности, если $А$ это простое расширение из $K$ Сгенерированно с помощью $θ$ , это позволяет идентифицировать $А$ и ${ displaystyle K [X] / (p).}$ Эта идентификация широко используется в алгебраическая теория чисел.

Модули

В структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов относится кK[Икс], когда K это поле. Это означает, что каждый конечно порожденный модуль над K[Икс] можно разложить на прямая сумма из бесплатный модуль и конечное число модулей вида ${ Displaystyle К [X] / влево langle P ^ {k} вправо rangle}$ , где п является неприводимый многочлен над K и k положительное целое число.

Определение (многомерный случай)

Данный $п$ символы ${ displaystyle X_ {1}, dots, X_ {n},}$ называется неопределенный, а одночлен (также называется энергетический продукт)

{ Displaystyle X_ {1} ^ { alpha _ {1}} cdots X_ {n} ^ { alpha _ {n}}}

является формальным продуктом этих неопределенностей, возможно, возведенных в неотрицательную степень. Как обычно, показатели, равные единице, и множители с нулевым показателем можно не указывать. Особенно, ${ displaystyle X_ {1} ^ {0} cdots X_ {n} ^ {0} = 1.}$

В кортеж экспонентов $α = (α 1, ..., α п)$ называется разнородный или вектор экспоненты монома. Для менее громоздких обозначений сокращение

{ displaystyle X ^ { alpha} = X_ {1} ^ { alpha _ {1}} cdots X_ {n} ^ { alpha _ {n}}}

часто используется. В степень монома $Икс α$ , часто обозначаемый $град α$ или $| α |$ , - сумма его показателей:

{ displaystyle deg alpha = sum _ {i = 1} ^ {n} alpha _ {i}.}

А многочлен в этих неопределенностях с коэффициентами в поле или, в более общем смысле, кольцо, $K$ конечный линейная комбинация мономов

{ Displaystyle п = сумма _ { альфа} р _ { альфа} X ^ { альфа}}

с коэффициентами в $K$ . В степень ненулевого многочлена - это максимум степеней его одночленов с ненулевыми коэффициентами.

Набор многочленов от ${ displaystyle X_ {1}, dots, X_ {n},}$ обозначенный ${ Displaystyle К [X_ {1}, точки, X_ {n}],}$ таким образом векторное пространство (или бесплатный модуль, если $K$ кольцо), в основе которого лежат одночлены.

${ Displaystyle К [X_ {1}, точки, X_ {n}]}$ естественно снабжен (см. ниже) умножением, которое делает кольцо, и ассоциативная алгебра над $K$ , называется кольцо многочленов в $п$ неопределенный над $K$ (Определенный артикль то отражает то, что он однозначно определен с точностью до имени и порядка неопределенных. Если кольцо $K$ является коммутативный, ${ Displaystyle К [X_ {1}, точки, X_ {n}]}$ также коммутативное кольцо.

Операции в $K [Икс 1, ..., Икс п]$

Дополнение и скалярное умножение многочленов принадлежат векторное пространство или бесплатный модуль снабжена определенным базисом (здесь базис мономов). Ясно, пусть ${ displaystyle p = sum _ { alpha in I} p _ { alpha} X ^ { alpha}, quad q = sum _ { beta in J} q _ { beta} X ^ { альфа},}$ где $я$ и $J$ конечные наборы экспонентных векторов.

Скалярное умножение $п$ и скаляр ${ displaystyle c in K}$ является

{ displaystyle cp = sum _ { alpha in I} cp _ { alpha} X ^ { alpha}.}

Добавление $п$ и $q$ является

{ displaystyle p + q = sum _ { alpha in I cup J} (p _ { alpha} + q _ { alpha}) X ^ { alpha},}

где ${ displaystyle p _ { alpha} = 0}$ если ${ displaystyle alpha not in I,}$ и ${ displaystyle q _ { beta} = 0}$ если ${ displaystyle beta not in J.}$ Более того, если есть ${ displaystyle p _ { alpha} + q _ { alpha} = 0}$ для некоторых ${ displaystyle alpha in I cap J,}$ соответствующий нулевой член удаляется из результата.

Умножение

{ displaystyle pq = sum _ { gamma in I + J} left ( sum _ { alpha, beta mid alpha + beta = gamma} p _ { alpha} q _ { beta} right) X ^ { gamma},}

где ${ displaystyle I + J}$ - это набор сумм одного вектора экспоненты в $я$ и еще один в $J$ (обычная сумма векторов). В частности, произведение двух одночленов является одночленом, вектор экспоненты которого является суммой векторов показателей факторов.

Проверка аксиом ассоциативная алгебра просто.

Полиномиальное выражение

А полиномиальное выражение является выражение построены со скалярами (элементами $K$ ), неопределенности и операторы сложения, умножения и возведения в степень до целых неотрицательных степеней.

Поскольку все эти операции определены в ${ Displaystyle К [X_ {1}, точки, X_ {n}]}$ полиномиальное выражение представляет собой полином, который является элементом ${ displaystyle K [X_ {1}, dots, X_ {n}].}$ Определение полинома как линейной комбинации одночленов - это конкретное полиномиальное выражение, которое часто называют каноническая форма, нормальная форма, или Расширенная форма полинома. Учитывая полиномиальное выражение, можно вычислить расширенный форма представленного многочлена расширение с распределительный закон все продукты, у которых есть сумма факторов, а затем с помощью коммутативность (за исключением произведения двух скаляров) и ассоциативность для преобразования членов полученной суммы в произведения скаляра и монома; то можно получить каноническую форму, перегруппировав как условия.

Различие между полиномиальным выражением и полиномом, которое оно представляет, возникло сравнительно недавно и в основном мотивировано появлением компьютерная алгебра, где, например, проверка того, представляют ли два полиномиальных выражения один и тот же многочлен, может быть нетривиальным вычислением.

Категориальная характеристика

Если $K$ коммутативное кольцо, кольцо многочленов $K [Икс 1, ..., Икс п]$ имеет следующие универсальная собственность: для каждого коммутативный $K$ -алгебра $А$ , и каждый $п$ -кортеж $(Икс 1, ..., Икс п)$ элементов $А$ , есть уникальный гомоморфизм алгебр от $K [Икс 1, ..., Икс п]$ к $А$ что отображает каждый ${ displaystyle X_ {i}}$ к соответствующему ${ displaystyle x_ {i}.}$ Этот гомоморфизм является гомоморфизм оценок который заключается в замене ${ displaystyle X_ {i}}$ для ${ displaystyle x_ {i}}$ в каждом полиноме.

Как и в случае любого универсального свойства, это характеризует пару ${ displaystyle (К [X_ {1}, точки, X_ {n}], (X_ {1}, dots, X_ {n}))}$ до уникального изоморфизм.

Это также можно интерпретировать с точки зрения присоединенные функторы. Точнее, пусть $НАБОР$ и $ALG$ быть соответственно категории множеств и коммутативных $K$ -алгебры (здесь и далее морфизмы определены тривиально). Существует забывчивый функтор ${ displaystyle mathrm {F}: mathrm {ALG} to mathrm {SET}}$ который отображает алгебры в их базовые множества. С другой стороны, карта ${ Displaystyle X mapsto K [X]}$ определяет функтор ${ displaystyle mathrm {SET} to mathrm {ALG}}$ в другом направлении. (Если $Икс$ бесконечно, $K [Икс]$ множество всех многочленов от конечного числа элементов $Икс$ .)

Универсальность кольца многочленов означает, что $F$ и $POL$ находятся присоединенные функторы. То есть есть биекция

{ displaystyle operatorname {Hom} _ { mathrm {SET}} (X, operatorname {F} (A)) cong operatorname {Hom} _ { mathrm {ALG}} (K [X], A ).}

Это можно выразить также, сказав, что кольца многочленов свободные коммутативные алгебры, поскольку они бесплатные объекты в категории коммутативных алгебр. Аналогично, кольцо полиномов с целыми коэффициентами - это свободное коммутативное кольцо над своим набором переменных, поскольку коммутативные кольца и коммутативные алгебры над целыми числами - одно и то же.

Градуированная структура

Одномерные по кольцу против многомерных

Многочлен от ${ Displaystyle К [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ можно рассматривать как одномерный многочлен от неопределенного ${ displaystyle X_ {n}}$ над кольцом ${ Displaystyle К [X_ {1}, ldots, X_ {n-1}],}$ путем перегруппировки терминов, содержащих ту же степень ${ displaystyle X ^ {n},}$ то есть, используя тождество

{ displaystyle sum _ {( alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n}) in I} c _ { alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n}} X_ { 1} ^ { alpha _ {1}} cdots X_ {n} ^ { alpha _ {n}} = sum _ {i} left ( sum _ {( alpha _ {1}, ldots , alpha _ {n-1}) mid ( alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n-1}, i) in I} c _ { alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n-1}} X_ {1} ^ { alpha _ {1}} cdots X_ {n-1} ^ { alpha _ {n-1}} right) X_ {n} ^ { я},}

которое является результатом дистрибутивности и ассоциативности кольцевых операций.

Это означает, что у человека есть изоморфизм алгебры

{ Displaystyle К [X_ {1}, ldots, X_ {n}] cong (K [X_ {1}, ldots, X_ {n-1}]) [X_ {n}]}

который отображает каждое неопределенное на себя. (Этот изоморфизм часто записывают как равенство, что оправдывается тем, что кольца многочленов определены с точностью до уникальный изоморфизм.)

Другими словами, многомерное кольцо многочленов можно рассматривать как одномерный многочлен над меньшим кольцом многочленов. Это обычно используется для доказательства свойств многомерных колец многочленов с помощью индукция по количеству неопределенных.

Основные такие свойства перечислены ниже.

Свойства, которые переходят из $р$ к $р [Икс]$

В этой секции, $р$ коммутативное кольцо, $K$ это поле, $Икс$ обозначает единственное неопределенное, и, как обычно, ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ кольцо целых чисел. Вот список основных свойств кольца, которые остаются верными при переходе от $р$ к $р [Икс]$ .

Если р является область целостности то то же самое верно и для р[Икс] (поскольку старший коэффициент произведения многочленов является, если не нулем, произведением ведущих коэффициентов множителей).
- Особенно, ${ Displaystyle К [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ и ${ Displaystyle mathbb {Z} [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ являются целостными областями.
Если р это уникальная область факторизации то то же самое верно и для р[Икс]. Это результат Лемма Гаусса и уникальное свойство факторизации ${ displaystyle L [X],}$ ${ displaystyle L [X],}$ где L это поле дробей р.
- Особенно, ${ Displaystyle К [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ и ${ Displaystyle mathbb {Z} [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ являются уникальными доменами факторизации.
Если р это Кольцо Нётериана, то то же самое верно и для р[Икс].
- Особенно, ${ Displaystyle К [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ и ${ Displaystyle mathbb {Z} [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ - нётеровы кольца; это Базисная теорема Гильберта.
Если р является нётеровым кольцом, то ${ Displaystyle тусклый R [X] = 1 + тусклый R,}$ ${ Displaystyle тусклый R [X] = 1 + тусклый R,}$ где " ${ displaystyle dim}$ ${ displaystyle dim}$ "обозначает Измерение Крулля.
- Особенно, ${ Displaystyle тусклый К [X_ {1}, ldots, X_ {n}] = n}$ и ${ displaystyle dim mathbb {Z} [X_ {1}, ldots, X_ {n}] = n + 1.}$
Если $р$ это Обычное кольцо, то то же самое верно и для $р [Икс]$ ; в этом случае

{ displaystyle operatorname {gl} , dim R [X] = dim R [X] = 1 + operatorname {gl} , dim R = 1 + dim R,}

где "

{ displaystyle operatorname {gl} , dim}

"обозначает глобальное измерение.

Особенно, ${ Displaystyle К [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ и ${ Displaystyle mathbb {Z} [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ правильные кольца, ${ displaystyle operatorname {gl} , dim mathbb {Z} [X_ {1}, ldots, X_ {n}] = n + 1,}$ и ${ displaystyle operatorname {gl} , dim K [X_ {1}, ldots, X_ {n}] = n.}$ Последнее равенство Теорема Гильберта о сизигиях.

Несколько индетерминатов над полем

Кольца многочленов многих переменных над полем являются фундаментальными в теория инвариантов и алгебраическая геометрия. Некоторые из их свойств, например описанные выше, можно свести к случаю единственного неопределенного, но это не всегда так. В частности, из-за геометрических приложений многие интересные свойства должны быть инвариантными относительно аффинный или проективный трансформации неопределенностей. Это часто означает, что нельзя выбрать одну из неопределенных для повторения на неопределенных.

Теорема Безу, Nullstellensatz Гильберта и Гипотеза о якобиане являются одними из самых известных свойств, характерных для многомерных многочленов над полем.

Nullstellensatz Гильберта

Nullstellensatz (немецкий язык для «теоремы о нулевом геометрическом месте») - это теорема, впервые доказанная Дэвид Гильберт, который распространяется на многомерный случай, некоторые аспекты основная теорема алгебры. Это основа для алгебраическая геометрия, как установление сильной связи между алгебраическими свойствами ${ Displaystyle К [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ и геометрические свойства алгебраические многообразия, которые (грубо говоря) представляют собой множество точек, определяемых неявные полиномиальные уравнения.

Nullstellensatz имеет три основных версии, каждая из которых является следствием любой другой. Две из этих версий приведены ниже. По поводу третьей версии читатель отсылается к основной статье о Nullstellensatz.

Первая версия обобщает тот факт, что ненулевой одномерный многочлен имеет сложный ноль тогда и только тогда, когда он не является константой. Утверждение: набор многочленов $S$ в ${ Displaystyle К [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ имеет общий ноль в алгебраически замкнутое поле содержащий $K$ , если и только $1$ не принадлежит идеальный Сгенерированно с помощью $S$ , то есть если $1$ это не линейная комбинация элементов $S$ с полиномиальными коэффициентами.

Вторая версия обобщает тот факт, что неприводимые одномерные многочлены над комплексными числами ассоциировать к многочлену вида ${ displaystyle X- alpha.}$ Утверждение: Если $K$ алгебраически замкнуто, то максимальные идеалы из ${ Displaystyle К [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ иметь форму ${ displaystyle langle X_ {1} - alpha _ {1}, ldots, X_ {n} - alpha _ {n} rangle.}$

Теорема Безу

Теорема Безу может рассматриваться как многомерное обобщение версии основная теорема алгебры который утверждает, что одномерный многочлен степени $п$ имеет $п$ комплексные корни, если их считать с их кратностями.

На случай, если двумерные многочлены, он утверждает, что два полинома степеней $d$ и $е$ у двух переменных, не имеющих общих множителей положительной степени, имеют ровно $де$ общие нули в алгебраически замкнутое поле содержащие коэффициенты, если нули считаются с их кратностью и включают нули на бесконечности.

Чтобы сформулировать общий случай и не рассматривать «нуль на бесконечности» как особые нули, удобно работать с однородные многочлены, и рассмотрим нули в проективное пространство. В этом контексте проективный ноль однородного многочлена ${ Displaystyle P (X_ {0}, ldots, X_ {n})}$ с точностью до масштабирования $(п + 1)$ -кортеж ${ displaystyle (x_ {0}, ldots, x_ {n})}$ элементов $K$ это другая форма $(0, ..., 0)$ , и такой, что ${ Displaystyle P (x_ {0}, ldots, x_ {n}) = 0.}$ Здесь «до масштабирования» означает, что ${ displaystyle (x_ {0}, ldots, x_ {n})}$ и ${ Displaystyle ( лямбда х_ {0}, ldots, лямбда х_ {п})}$ считаются одним и тем же нулем для любых ненулевых ${ displaystyle lambda in K.}$ Другими словами, ноль - это набор однородные координаты точки в проективном пространстве размерности $п$ .

Тогда теорема Безу гласит: Учитывая $п$ однородные многочлены степеней ${ displaystyle d_ {1}, ldots, d_ {n}}$ в $п + 1$ неопределенностей, которые имеют лишь конечное число общих проективных нулей в алгебраически замкнутое расширение из $K$ , то сумма множественность из этих нулей продукт ${ displaystyle d_ {1} cdots d_ {n}.}$

Гипотеза о якобиане

Обобщения

Кольца многочленов могут быть обобщены множеством способов, включая кольца многочленов с обобщенными показателями, кольца степенных рядов, некоммутативные кольца многочленов, косые кольца многочленов, и полином буровые установки.

Бесконечно много переменных

Одно небольшое обобщение колец полиномов состоит в том, чтобы учесть бесконечное количество неопределенных. Каждый моном по-прежнему включает только конечное число неопределенностей (так что его степень остается конечной), и каждый многочлен по-прежнему является (конечной) линейной комбинацией мономов. Таким образом, любой индивидуальный многочлен включает только конечное число неопределенных, и любое конечное вычисление, включающее многочлены, остается внутри некоторого подкольца многочленов от конечного числа неопределенных. Это обобщение обладает тем же свойством обычных колец многочленов: свободная коммутативная алгебра, с той лишь разницей, что это свободный объект над бесконечным множеством.

Можно также рассматривать строго большее кольцо, определяя как обобщенный многочлен бесконечную (или конечную) формальную сумму одночленов с ограниченной степенью. Это кольцо больше, чем обычное кольцо многочленов, поскольку оно включает бесконечные суммы переменных. Однако он меньше, чем кольцо степенных рядов от бесконечного числа переменных. Такое кольцо используется для построения кольцо симметричных функций над бесконечным множеством.

Обобщенные показатели

Простое обобщение изменяет только набор, из которого взяты показатели переменной. Формулы для сложения и умножения имеют смысл, если можно складывать показатели: Икс^я · Икс^j = Икс^я+j. Множество, для которого имеет смысл сложение (замкнуто и ассоциативно), называется моноид. Набор функций из моноида N на кольцо р которые не равны нулю только в конечном числе мест, можно дать структуру кольца, известного как р[N], моноидное кольцо из N с коэффициентами в р. Добавление определяется покомпонентно, так что если c = а + б, тогда c_п = а_п + б_п для каждого п в N. Умножение определяется как произведение Коши, так что если c = а · б, то для каждого п в N, c_п это сумма всех а_яб_j где я, j диапазон по всем парам элементов N что в сумме п.

Когда N коммутативна, удобно обозначить функцию а в р[N] как формальную сумму:

{ Displaystyle сумма _ {п in N} a_ {n} X ^ {n}}

а затем формулы сложения и умножения знакомы:

{ displaystyle left ( sum _ {n in N} a_ {n} X ^ {n} right) + left ( sum _ {n in N} b_ {n} X ^ {n} справа) = sum _ {n in N} left (a_ {n} + b_ {n} right) X ^ {n}}

и

{ displaystyle left ( sum _ {n in N} a_ {n} X ^ {n} right) cdot left ( sum _ {n in N} b_ {n} X ^ {n} right) = sum _ {n in N} left ( sum _ {i + j = n} a_ {i} b_ {j} right) X ^ {n}}

где последняя сумма берется по всем я, j в N эта сумма к п.

Некоторые авторы, такие как (Lang 2002, II, §3) зашли так далеко, что взяли это определение моноида в качестве отправной точки, а регулярные многочлены от одной переменной являются частным случаем, когда N - моноид целых неотрицательных чисел. Многочлены от нескольких переменных просто принимают N быть прямым произведением нескольких копий моноида целых неотрицательных чисел.

Несколько интересных примеров колец и групп образуются путем взятия N быть аддитивным моноидом неотрицательных рациональных чисел, (Осборн 2000, §4.4). Смотрите также Серия Puiseux.

Силовая серия

Силовые ряды обобщают выбор экспоненты в другом направлении, позволяя бесконечно много ненулевых членов. Это требует различных гипотез о моноиде N используется для показателей, чтобы гарантировать, что суммы в произведении Коши являются конечными суммами. В качестве альтернативы, на кольцо можно поместить топологию, а затем ограничиться сходящимися бесконечными суммами. Для стандартного выбора N, неотрицательные целые числа, это не проблема, а кольцо формальных степенных рядов определяется как набор функций из N на кольцо р с покомпонентным сложением и умножением на произведение Коши. Кольцо степенных рядов также можно рассматривать как завершение кольца кольца многочленов относительно идеала, порожденного $Икс$ .

Некоммутативные кольца многочленов

Для колец многочленов более чем одной переменной произведения Икс·Y и Y·Икс просто определены как равные. Более общее понятие кольца многочленов получается, когда сохраняется различие между этими двумя формальными произведениями. Формально кольцо многочленов в п некоммутирующие переменные с коэффициентами в кольце р это моноидное кольцо р[N], где моноид N это свободный моноид на п буквы, также известные как набор всех строк в алфавите п символы, с умножением, полученным путем конкатенации. Ни коэффициенты, ни переменные не должны коммутировать между собой, но коэффициенты и переменные коммутируют друг с другом.

Так же, как кольцо многочленов в п переменные с коэффициентами в коммутативном кольце р свободный коммутатив р-алгебра ранга п, некоммутативное кольцо многочленов в п переменные с коэффициентами в коммутативном кольце р является свободным ассоциативным, единым р-алгебра на п генераторы, которые некоммутативны при п > 1.

Дифференциальные и косополиномиальные кольца

Другими обобщениями полиномов являются дифференциальные и косополиномиальные кольца.

А кольцо дифференциальных многочленов кольцо дифференциальные операторы сформированный из кольца р и происхождение δ из р в р. Этот вывод действует на р, и будем обозначать Икс, если рассматривать его как оператора. Элементы р также работают на р умножением. В состав операторов обозначается как обычное умножение. Отсюда следует, что соотношение δ(ab) = aδ(б) + δ(а)б может быть переписан

{ displaystyle X cdot a = a cdot X + delta (a).}

Это отношение может быть расширено, чтобы определить косое умножение между двумя многочленами от Икс с коэффициентами в р, что делает их некоммутативным кольцом.

Стандартный пример, называемый Алгебра Вейля, берет р быть (обычным) кольцом многочленов k[Y], и δ быть стандартной полиномиальной производной ${ Displaystyle { tfrac { partial} { partial Y}}}$ . Принимая а =Y в указанном выше соотношении получаем каноническое коммутационное соотношение, Икс·Y − Y·Икс = 1. Расширение этого отношения за счет ассоциативности и дистрибутивности позволяет явно построить Алгебра Вейля.(Лам 2001, §1, пр.1.9).

В кольцо косых полиномов аналогично определяется для кольца р и кольцевой эндоморфизм ж из р, продолжая умножение из соотношения Икс·р = ж(р)·Икс чтобы произвести ассоциативное умножение, которое распределяется по стандартному сложению. В более общем смысле, учитывая гомоморфизм F из моноида N натуральных чисел в кольцо эндоморфизмов р, формула Икс^п·р = F(п)(р)·Икс^п позволяет построить кольцо косополиномов. (Лам 2001, §1, пр.1.11) Косые кольца многочленов тесно связаны с скрещенный продукт алгебры.

Полиномиальные оснастки

Определение кольца многочленов можно обобщить, ослабив требование, чтобы алгебраическая структура р быть поле или кольцо к требованию, чтобы р только быть полуполе или буровая установка; полученная полиномиальная структура / расширение р[Икс] это полиномиальная оснастка. Например, множество всех многомерных многочленов с натуральное число коэффициенты - это полиномиальная оснастка.

Смотрите также

использованная литература

^ Герштейн п. 153
^ Herstein, Hall p. 73
^ Lang p. 97
^ Герштейн п. 154
^ Lang стр.100
^ Антон, Ховард; Bivens, Irl C .; Дэвис, Стивен (2012), Исчисление с одной переменной, John Wiley & Sons, стр. 31, ISBN 9780470647707.
^ Сендра, Дж. Рафаэль; Винклер, Франц; Перес-Диас, Соня (2007), Рациональные алгебраические кривые: подход компьютерной алгебры, Алгоритмы и вычисления в математике, 22, Springer, стр. 250, ISBN 9783540737247.
^ Евс, Говард Уитли (1980), Элементарная матричная теория, Дувр, стр. 183, г. ISBN 9780486150277.
^ Герштейн стр.155, 162
^ Герштейн стр.162
^ Fröhlich, A .; Шеферсон, Дж. К. (1955), "О факторизации многочленов за конечное число шагов", Mathematische Zeitschrift, 62 (1): 331–334, Дои:10.1007 / BF01180640, ISSN 0025-5874

Холл, Ф. М. (1969). «Раздел 3.6». Введение в абстрактную алгебру. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521084849.
Герштейн, И. Н. (1975). «Раздел 3.9». Темы по алгебре. Вайли. ISBN 0471010901. кольцо многочленов.
Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс в некоммутативных кольцах, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0
Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Г-Н 1878556
Осборн, М. Скотт (2000), Базовая гомологическая алгебра, Тексты для выпускников по математике, 196, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-1278-2, ISBN 978-0-387-98934-1, Г-Н 1757274

[1] Герштейн п. 153

[2] Herstein, Hall p. 73

[3] Lang p. 97

[4] Герштейн п. 154

[5] Lang стр.100

[6] Антон, Ховард; Bivens, Irl C .; Дэвис, Стивен (2012), Исчисление с одной переменной, John Wiley & Sons, стр. 31, ISBN 9780470647707.

[7] Сендра, Дж. Рафаэль; Винклер, Франц; Перес-Диас, Соня (2007), Рациональные алгебраические кривые: подход компьютерной алгебры, Алгоритмы и вычисления в математике, 22, Springer, стр. 250, ISBN 9783540737247.

[8] Евс, Говард Уитли (1980), Элементарная матричная теория, Дувр, стр. 183, г. ISBN 9780486150277.

[9] Герштейн стр.155, 162

[10] Герштейн стр.162

[11] Fröhlich, A .; Шеферсон, Дж. К. (1955), "О факторизации многочленов за конечное число шагов", Mathematische Zeitschrift, 62 (1): 331–334, Дои:10.1007 / BF01180640, ISSN 0025-5874

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]