Теорема о сизигиях Гильберта - Википедия - Hilberts syzygy theorem

В математика, Теорема Гильберта о сизигиях одна из трех фундаментальных теорем о кольца многочленов над поля, впервые доказано Дэвид Гильберт в 1890 г., которые были введены для решения важных открытых вопросов в теория инвариантов, и лежат в основе современных алгебраическая геометрия. Две другие теоремы Базисная теорема Гильберта что утверждает, что все идеалы колец многочленов над полем конечно порождены, и Nullstellensatz Гильберта, который устанавливает биективное соответствие между аффинные алгебраические многообразия и главные идеалы колец многочленов.

Теорема Гильберта о сизигиях касается связи, или же сизигии в терминологии Гильберта, между генераторы из идеальный, или, в более общем смысле, модуль. Поскольку отношения образуют модуль, можно рассматривать отношения между отношениями; Теорема Гильберта о сизигиях утверждает, что если продолжить таким образом, начиная с модуля над кольцом многочленов в $п$ неопределен по полю, в конце концов найдется нулевой модуль отношений, самое большее после $п$ шаги.

Теорема Гильберта о сизигии теперь считается ранним результатом гомологическая алгебра. Это отправная точка использования гомологических методов в коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия.

История

Теорема сизигий впервые появилась в основополагающей статье Гильберта «Über die Theorie der algebraischen Formen» (1890).^[1] Статья разбита на пять частей: в части I доказывается базисная теорема Гильберта над полем, а в части II - над целыми числами. Часть III содержит теорему о сизигии (теорема III), которая используется в части IV для обсуждения полинома Гильберта. Последняя часть, часть V, доказывает конечное порождение некоторых кольца инвариантов. Между прочим, часть III также содержит частный случай Теорема Гильберта – Берча.

Сизигии (отношения)

Первоначально Гильберт определил сизигии для идеалы в кольца многочленов, но концепция тривиально обобщается на (слева) модули по любому звенеть.

Учитывая генераторная установка ${ displaystyle g_ {1}, ldots, g_ {k}}$ модуля $M$ над кольцом $р$ , а связь или сначала сизигия между генераторами находится $k$ пара ${ Displaystyle (а_ {1}, ldots, а_ {к})}$ элементов $р$ такой, что^[2]

{ displaystyle a_ {1} g_ {1} + cdots + a_ {k} g_ {k} = 0.}

Позволять ${ displaystyle L_ {0}}$ быть бесплатный модуль с основанием ${ displaystyle (G_ {1}, ldots, G_ {k}),}$ Соотношение ${ Displaystyle (а_ {1}, ldots, а_ {к})}$ может быть отождествлен с элементом

{ displaystyle a_ {1} G_ {1} + cdots + a_ {k} G_ {k},}

и отношения образуют ядро ${ displaystyle R_ {1}}$ из линейная карта ${ displaystyle L_ {0} to M}$ определяется ${ displaystyle G_ {i} mapsto g_ {i}.}$ Другими словами, есть точная последовательность

{ displaystyle 0 to R_ {1} to L_ {0} to M to 0.}

Этот первый модуль сизигий ${ displaystyle R_ {1}}$ зависит от выбора генераторной установки, но, если ${ displaystyle S_ {1}}$ - модуль, полученный с другой генераторной установкой, существуют два свободных модуля ${ displaystyle F_ {1}}$ и ${ displaystyle F_ {2}}$ такой, что

{ Displaystyle R_ {1} oplus F_ {1} cong S_ {1} oplus F_ {2}}

куда ${ displaystyle oplus}$ обозначить прямая сумма модулей.

В вторая сизигия module - это модуль отношений между генераторами первого модуля сизигий. Продолжая таким образом, можно определить $k$ й модуль сизигий для каждого положительного целого числа $k$ .

Если $k$ модуль сизигий бесплатен для некоторых $k$ , то, взяв базис в качестве генератора, следующий модуль сизигий (и каждый последующий) будет нулевой модуль. Если не брать базы как генераторные, то все последующие модули сизигий бесплатны.

Позволять $п$ - наименьшее целое число, если оно есть, такое, что $п$ -й сизигийный модуль модуля $M$ бесплатно или проективный. Из указанного выше свойства инвариантности с точностью до суммы, прямой со свободными модулями, следует, что $п$ не зависит от выбора генераторных установок. В проективное измерение из $M$ это целое число, если оно существует, или $\infty$ если не. Это эквивалентно существованию точной последовательности

{ displaystyle 0 longrightarrow R_ {n} longrightarrow L_ {n-1} longrightarrow cdots longrightarrow L_ {0} longrightarrow M longrightarrow 0,}

где модули ${ displaystyle L_ {i}}$ свободны и ${ displaystyle R_ {n}}$ проективно. Можно показать, что всегда можно выбрать генераторные установки для ${ displaystyle R_ {n}}$ быть свободным, то есть для указанной выше точной последовательности быть бесплатное разрешение.

Заявление

Теорема Гильберта о сизигиях утверждает, что если $M$ является конечно порожденным модулем над кольцо многочленов ${ Displaystyle к [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ в $п$ неопределенный через поле $k$ , то $п$ й модуль сизигий $M$ всегда бесплатный модуль.

Говоря современным языком, это означает, что проективное измерение из $M$ самое большее $п$ , а значит, существует бесплатное разрешение

{ displaystyle 0 longrightarrow L_ {k} longrightarrow L_ {k-1} longrightarrow cdots longrightarrow L_ {0} longrightarrow M longrightarrow 0}

длины $k \leq п$ .

Эта верхняя граница проективной размерности точна, т.е. есть модули проективной размерности в точности $п$ . Стандартный пример - поле $k$ , который можно рассматривать как ${ Displaystyle к [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ -модуль, установив ${ displaystyle x_ {i} c = 0}$ для каждого $я$ и каждый $c \in k$ . Для этого модуля $п$ модуль сизигий бесплатен, но не $(п - 1)$ й (доказательство см. § Комплекс Кошуля, ниже).

Теорема верна и для неконечно порожденных модулей. Поскольку глобальное измерение кольца является супремумом проективных размерностей всех модулей, теорема Гильберта о сизигии может быть переформулирована следующим образом: глобальное измерение ${ Displaystyle к [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ является $п$ .

Низкая размерность

В случае нулевых неопределенностей теорема Гильберта о сизигии - это просто факт, что каждое векторное пространство имеет основа.

В случае единственного неопределенного, теорема Гильберта о сизигии является примером теоремы, утверждающей, что над кольцо главных идеалов, каждый подмодуль свободного модуля сам свободен.

Кошульский комплекс

В Кошульский комплекс, также называемый «комплексом внешней алгебры», позволяет в некоторых случаях явное описание всех модулей сизигий.

Позволять ${ displaystyle g_ {1}, ldots, g_ {k}}$ быть порождающей системой идеального $я$ в кольце многочленов ${ Displaystyle R = К [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ , и разреши ${ displaystyle L_ {1}}$ быть бесплатный модуль основы ${ displaystyle G_ {1}, ldots, G_ {k}.}$ В внешняя алгебра из ${ displaystyle L_ {1}}$ это прямая сумма

{ displaystyle Lambda (L_ {1}) = bigoplus _ {t = 0} ^ {k} L_ {t},}

куда ${ displaystyle L_ {t}}$ - бесплатный модуль, в основе которого внешние продукты

{ Displaystyle G_ {i_ {1}} клин cdots клин G_ {i_ {t}},}

такой, что ${ displaystyle i_ {1}$ В частности, есть ${ displaystyle L_ {0} = R}$ (из-за определения пустой продукт ), два определения ${ displaystyle L_ {1}}$ совпадают, и ${ displaystyle L_ {t} = 0}$ за $т > k$ . Для каждого положительного $т$ , можно определить линейное отображение ${ displaystyle L_ {t} to L_ {t-1}}$ к

{ Displaystyle G_ {i_ {1}} клин cdots клин G_ {i_ {t}} mapsto sum _ {j = 1} ^ {t} (- 1) ^ {j + 1} g_ {i_ {j}} G_ {i_ {1}} wedge cdots wedge { widehat {G}} _ {i_ {j}} wedge cdots wedge G_ {i_ {t}},}

где шляпа означает, что множитель опущен. Непосредственное вычисление показывает, что композиция двух последовательных таких отображений равна нулю, и, таким образом, одна имеет сложный

{ displaystyle 0 to L_ {t} to L_ {t-1} to cdots to L_ {1} to L_ {0} to R / I.}

Это Кошульский комплекс. В целом комплекс Кошул не точная последовательность, но это точная последовательность, если работать с кольцом многочленов ${ Displaystyle R = К [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ и идеал, порожденный регулярная последовательность из однородные многочлены.

В частности, последовательность ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ является регулярным, и комплекс Кошуля, таким образом, является проективной резольвентой ${ displaystyle k = R / langle x_ {1}, ldots, x_ {n} rangle.}$ В этом случае $п$ -й модуль сизигии свободен от измерения один (генерируется произведением всех ${ displaystyle G_ {i}}$ ); то $(п - 1)$ -й модуль сизигии, таким образом, является частным свободного модуля размерности $п$ подмодулем, порожденным ${ displaystyle (x_ {1}, - x_ {2}, ldots, pm x_ {n}).}$ Это частное не может быть проективный модуль, иначе существовали бы многочлены ${ displaystyle p_ {i}}$ такой, что ${ displaystyle p_ {1} x_ {1} + cdots + p_ {n} x_ {n} = 1,}$ что невозможно (подставив ${ displaystyle x_ {i}}$ на 0 в последнем равенстве дает $1 = 0$ ). Это доказывает, что проективная размерность ${ Displaystyle к = R / langle x_ {1}, ldots, x_ {n} rangle}$ точно $п$ .

То же самое доказательство применяется для доказательства того, что проективная размерность ${ Displaystyle к [x_ {1}, ldots, x_ {n}] / langle g_ {1}, ldots, g_ {t} rangle}$ точно $т$ если ${ displaystyle g_ {i}}$ образуют регулярную последовательность однородных многочленов.

Вычисление

Во времена Гильберта не существовало метода вычисления сизигий. Было известно только, что алгоритм может быть выведен из любой верхней границы степень генераторов модуля сизигий. Фактически, коэффициенты сизигий - неизвестные полиномы. Если степень этих многочленов ограничена, то количество их мономы также ограничен. Выражение сизигии дает система линейных уравнений неизвестными являются коэффициенты при этих одночленах. Следовательно, любой алгоритм для линейных систем подразумевает алгоритм для сизигий, как только известна граница степеней.

Первая оценка сизигий (а также проблема идеального членства ) был предоставлен в 1926 г. Грета Германн:^[3] Позволять $M$ подмодуль бесплатного модуля $L$ измерения $т$ над ${ Displaystyle к [x_ {1}, ldots, x_ {n}];}$ если коэффициенты на основе $L$ генерирующей системы $M$ иметь высшую степень $d$ , то существует постоянная $c$ такие, что степени, встречающиеся в системе порождения первого модуля сизигии, не превышают ${ displaystyle (td) ^ {2 ^ {cn}}.}$ То же самое относится и к тестированию членства в $M$ элемента $L$ .^[4]

С другой стороны, есть примеры, когда двойная экспонента степень обязательно наступает. Однако такие примеры чрезвычайно редки, и это ставит вопрос об алгоритме, который был бы эффективным, когда выход не слишком велик. В настоящее время лучшими алгоритмами вычисления сизигий являются: Основа Грёбнера алгоритмы. Они позволяют вычислить первый модуль сизигий, а также, почти без дополнительных затрат, все модули сизигий.

Сизигии и регулярность

Можно задаться вопросом, какое теоретико-кольцевое свойство ${ Displaystyle А = К [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ приводит к выполнению теоремы Гильберта о сизигии. Оказывается, это регулярность, которая является алгебраической формулировкой того факта, что аффинная $п$ -пространство - это разнообразие без особенности. На самом деле имеет место следующее обобщение: пусть ${ displaystyle A}$ быть нётеровым кольцом. потом ${ displaystyle A}$ имеет конечную глобальную размерность тогда и только тогда, когда ${ displaystyle A}$ регулярна, а размерность Крулля ${ displaystyle A}$ конечно; в этом случае глобальное измерение ${ displaystyle A}$ равна размерности Крулля. Этот результат можно доказать, используя Теорема Серра о регулярных локальных кольцах.