Однородный полином - Homogeneous polynomial

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июль 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, а однородный многочлениногда называют количественный в старых текстах это многочлен чьи ненулевые члены имеют одинаковые степень.^[1] Например, ${ displaystyle x ^ {5} + 2x ^ {3} y ^ {2} + 9xy ^ {4}}$ - однородный многочлен степени 5 от двух переменных; сумма показателей в каждом члене всегда равна 5. Многочлен ${ displaystyle x ^ {3} + 3x ^ {2} y + z ^ {7}}$ не является однородным, потому что сумма показателей не совпадает от члена к члену. Многочлен однороден тогда и только тогда, когда он определяет однородная функция. An алгебраическая форма, или просто форма, это функция определяется однородным многочленом.^[2] А двоичная форма это форма от двух переменных. А форма также является функцией, определенной на векторное пространство, которая может быть выражена как однородная функция координат по любому основа.

Многочлен степени 0 всегда однороден; это просто элемент поле или же звенеть коэффициентов, обычно называемых константой или скаляром. Форма степени 1 - это линейная форма.^[3] Форма степени 2 - это квадратичная форма. В геометрия, то Евклидово расстояние это квадратный корень квадратичной формы.

Однородные полиномы повсеместно используются в математике и физике.^[4] Они играют фундаментальную роль в алгебраической геометрии как проективное алгебраическое многообразие определяется как множество общих нулей набора однородных многочленов.

Характеристики

Однородный многочлен определяет однородная функция. Это означает, что если многомерный полином п однороден по степени d, тогда

${ Displaystyle P ( lambda x_ {1}, ldots, lambda x_ {n}) = lambda ^ {d} , P (x_ {1}, ldots, x_ {n}) ,,}$

для каждого ${ displaystyle lambda}$ в любом поле содержащий коэффициенты из п. Наоборот, если указанное выше соотношение верно для бесконечного числа ${ displaystyle lambda}$ то многочлен однороден степени d.

В частности, если п однородно, то

${ Displaystyle P (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 0 quad Rightarrow quad P ( lambda x_ {1}, ldots, lambda x_ {n}) = 0,}$

для каждого ${ displaystyle lambda.}$ Это свойство является основополагающим в определении проективное разнообразие.

Любой ненулевой многочлен может быть разложен единственным способом в сумму однородных многочленов разных степеней, которые называются однородные компоненты полинома.

Учитывая кольцо многочленов ${ Displaystyle R = К [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ через поле (или, в более общем смысле, звенеть ) K, однородные полиномы степени d форма векторное пространство (или модуль ), обычно обозначаемый ${ displaystyle R_ {d}.}$ Указанное выше единственное разложение означает, что ${ displaystyle R}$ это прямая сумма из ${ displaystyle R_ {d}}$ (сумма по всем неотрицательные целые числа ).

Размерность векторного пространства (или бесплатный модуль ) ${ displaystyle R_ {d}}$ - количество различных одночленов степени d в п переменных (то есть максимальное количество ненулевых членов в однородном полиноме степени d в п переменные). Он равен биномиальный коэффициент

${ displaystyle { binom {d + n-1} {n-1}} = { binom {d + n-1} {d}} = { frac {(d + n-1)!} {d ! (n-1)!}}.}$

Однородный полином удовлетворяет Тождество Эйлера для однородных функций. То есть, если п является однородным многочленом степени d в неопределенности ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n},}$ есть, в зависимости от того, что коммутативное кольцо коэффициентов,

${ displaystyle dP = sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} { frac { partial P} { partial x_ {i}}},}$

куда ${ displaystyle textstyle { frac { partial P} { partial x_ {i}}}}$ обозначает формальная частная производная из п относительно ${ displaystyle x_ {i}.}$

Гомогенизация

Неоднородный многочлен п(Икс₁,...,Икс_п) можно усреднить, введя дополнительную переменную Икс₀ и определяя однородный многочлен, иногда обозначаемый ^часп:^[5]

${ displaystyle {^ {h} ! P} (x_ {0}, x_ {1}, dots, x_ {n}) = x_ {0} ^ {d} P left ({ frac {x_ { 1}} {x_ {0}}}, dots, { frac {x_ {n}} {x_ {0}}} right),}$

куда d это степень из п. Например, если

${ displaystyle P = x_ {3} ^ {3} + x_ {1} x_ {2} +7,}$

тогда

${ displaystyle ^ {h} ! P = x_ {3} ^ {3} + x_ {0} x_ {1} x_ {2} + 7x_ {0} ^ {3}.}$

Усредненный многочлен можно дегомогенизировать, задав дополнительную переменную Икс₀ = 1. То есть

${ displaystyle P (x_ {1}, dots, x_ {n}) = {^ {h} ! P} (1, x_ {1}, dots, x_ {n}).}$

Смотрите также

• Мультиоднородный полином
• Квазиоднородный полином
• Диагональная форма
• Градуированная алгебра
• Ряд Гильберта и многочлен Гильберта
• Многолинейная форма
• Многолинейная карта
• Поляризация алгебраической формы
• Полином Шура
• Символ дифференциального оператора

Рекомендации

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Однородные многочлены в Wikimedia Commons
• Вайсштейн, Эрик В. «Однородный многочлен». MathWorld.