Бесплатный модуль - Википедия - Free module

В математика, а бесплатный модуль это модуль что есть основа - это генераторная установка состоящий из линейно независимый элементы. Каждый векторное пространство это бесплатный модуль,^[1] но, если звенеть коэффициентов не является делительное кольцо (не поле в коммутативный case), то существуют несвободные модули.

Учитывая любые набор $S$ и кольцо $р$ , есть бесплатный $р$ -модуль с базой $S$ , который называется бесплатный модуль на $S$ или же модуль формального $р$ -линейные комбинации элементов $S$ .

А свободная абелева группа является в точности свободным модулем над кольцом $Z$ из целые числа.

Определение

Для звенеть ${ displaystyle R}$ и ${ displaystyle R}$ -модуль ${ displaystyle M}$ , набор ${ Displaystyle E substeq M}$ это основа для ${ displaystyle M}$ если:

${ displaystyle E}$ это генераторная установка за ${ displaystyle M}$ ; то есть каждый элемент ${ displaystyle M}$ является конечной суммой элементов ${ displaystyle E}$ умноженный на коэффициенты в ${ displaystyle R}$ ; и
${ displaystyle E}$ является линейно независимый, то есть для каждого подмножества ${ displaystyle {e_ {1}, e_ {2}, ldots, e_ {n} }}$ отдельных элементов ${ displaystyle E}$ , ${ displaystyle r_ {1} e_ {1} + r_ {2} e_ {2} + cdots + r_ {n} e_ {n} = 0_ {M}}$ подразумевает, что ${ displaystyle r_ {1} = r_ {2} = cdots = r_ {n} = 0_ {R}}$ (куда ${ displaystyle 0_ {M}}$ нулевой элемент ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle 0_ {R}}$ нулевой элемент ${ displaystyle R}$ ).

Бесплатный модуль - это модуль с базой.^[2]

Непосредственным следствием второй половины определения является то, что коэффициенты в первой половине уникальны для каждого элемента M.

Если ${ displaystyle R}$ имеет инвариантный базисный номер, то по определению любые две базы имеют одинаковую мощность. Мощность любого (а значит, и любого) базиса называется классифицировать бесплатного модуля ${ displaystyle M}$ . Если эта мощность конечна, свободный модуль называется без ранга n, или просто без конечного ранга.

Примеры

Позволять р несущий.

р является свободным модулем ранга один над собой (как левый, так и правый модуль); любой единичный элемент является основой.
В более общем смысле, если р коммутативен, ненулевой идеал я из р свободен тогда и только тогда, когда он является главным идеалом, порожденным ненулевым делителем, в основе которого лежит образующая.^[3]
Если р коммутативно, кольцо многочленов ${ Displaystyle R [X]}$ в неопределенном Икс - бесплатный модуль с возможным базисом 1, Икс, Икс², ....
Позволять ${ Displaystyle А [т]}$ - кольцо многочленов над коммутативным кольцом А, ж монический многочлен степени d там, ${ Displaystyle В = А [т] / (е)}$ и ${ Displaystyle xi}$ образ т в B. потом B содержит А как подкольцо и бесплатно как А-модуль с основой ${ Displaystyle 1, xi, точки, xi ^ {d-1}}$ .
Для любого неотрицательного целого числа п, ${ Displaystyle R ^ {N} = R times cdots times R}$ , то декартово произведение из п копии р как левый р-модуль, бесплатно. Если р имеет инвариантный базисный номер (что верно для коммутативных р), то его классифицировать является п.
Прямая сумма свободных модулей свободна, в то время как бесконечное декартово произведение свободных модулей обычно нет бесплатно (ср. Группа Бэра – Спекера.)
Теорема Капланского утверждает, что проективный модуль над локальным кольцом свободен.

Формальные линейные комбинации

Учитывая набор $E$ и кольцо $р$ , есть бесплатный $р$ -модуль, имеющий $E$ в качестве основы: а именно прямая сумма копий р проиндексировано E

{ Displaystyle R ^ {(E)} = bigoplus _ {е in E} R}

.

В явном виде это подмодуль декартово произведение ${ displaystyle prod _ {E} R}$ (р рассматривается как, скажем, левый модуль), который состоит из элементов, которые имеют только конечное число ненулевых компонентов. Можно вставлять E в $р (E)$ как подмножество путем идентификации элемента е с этим из $р (E)$ чей е-й компонент равен 1 (единство р), а все остальные компоненты равны нулю. Тогда каждый элемент $р (E)$ можно записать однозначно как

{ displaystyle sum _ {е in E} c_ {e} e,}

где только конечное количество ${ displaystyle c_ {e}}$ ненулевые. Это называется формальная линейная комбинация элементов $E$ .

Аналогичное рассуждение показывает, что каждая свободная левая (соответственно правая) р-модуль изоморфен прямой сумме копий р как левый (соответственно правый) модуль.

Другая конструкция

Бесплатный модуль $р (E)$ также могут быть построены следующим эквивалентным способом.

Учитывая кольцо р и набор E, сначала в качестве набора положим

{ displaystyle R ^ {(E)} = {f: E to R mid f (x) = 0 { text {для всех, кроме конечного числа}} x in E }.}

Мы снабдим его структурой левого модуля, так что сложение определяется следующим образом: для Икс в E,

{ Displaystyle (е + г) (х) = е (х) + г (х)}

и скалярное умножение на: для р в р и Икс в E,

{ Displaystyle (рф) (х) = г (е (х))}

Теперь, как р-значен функция на E, каждый ж в ${ Displaystyle R ^ {(E)}}$ можно записать однозначно как

{ displaystyle f = sum _ {e in E} c_ {e} delta _ {e}}

куда ${ displaystyle c_ {e}}$ находятся в р и только конечное число из них отличны от нуля и ${ displaystyle delta _ {e}}$ дается как

{ displaystyle delta _ {e} (x) = { begin {cases} 1_ {R} quad { mbox {if}} x = e 0_ {R} quad { mbox {if}} x neq e end {case}}}

(это вариант Дельта Кронекера.) Сказанное выше означает, что подмножество ${ displaystyle { delta _ {e} mid e in E }}$ из ${ Displaystyle R ^ {(E)}}$ является основой ${ Displaystyle R ^ {(E)}}$ . Отображение ${ displaystyle e mapsto delta _ {e}}$ это биекция между $E$ и это основа. Через это взаимное соответствие ${ Displaystyle R ^ {(E)}}$ это бесплатный модуль с базой E.

Универсальная собственность

Отображение включения ${ displaystyle iota: E to R ^ {(E)}}$ определено выше универсальный в следующем смысле. Для произвольной функции ${ displaystyle f: E to N}$ из набора $E$ налево $р$ -модуль $N$ , существует единственный модульный гомоморфизм ${ displaystyle { overline {f}}: R ^ {(E)} to N}$ такой, что ${ displaystyle f = { overline {f}} circ iota}$ ; а именно, ${ displaystyle { overline {f}}}$ определяется формулой:

{ displaystyle { overline {f}} left ( sum _ {e in E} r_ {e} e right) = sum _ {e in E} r_ {e} f (e)}

и ${ displaystyle { overline {f}}}$ считается полученным расширение ${ displaystyle f}$ по линейности. Уникальность означает, что каждый р-линейная карта ${ Displaystyle R ^ {(E)} к N}$ однозначно определяется своим ограничение к E.

Как обычно для универсальных свойств, это определяет $р (E)$ вплоть до а канонический изоморфизм. Также формирование ${ displaystyle iota: E to R ^ {(E)}}$ для каждого набора E определяет функтор

{ Displaystyle R ^ {(-)}: { textbf {Set}} к R - { mathsf {Mod}}, , E mapsto R ^ {(E)}}

,

от категория наборов в категорию левых $р$ -модули. Это называется свободный функтор и удовлетворяет естественному соотношению: для каждого набора E и левый модуль N,

{ displaystyle operatorname {Hom} _ { textbf {Set}} (E, U (N)) simeq operatorname {Hom} _ {R} (R ^ {(E)}, N), , f mapsto { overline {f}}}

куда ${ displaystyle U: R - { mathsf {Mod}} to { textbf {Set}}}$ это забывчивый функтор, смысл ${ Displaystyle R ^ {(-)}}$ это левый смежный забывчивого функтора.

Обобщения

Многие утверждения о свободных модулях, которые неверны для общих модулей над кольцами, по-прежнему верны для некоторых обобщений свободных модулей. Проективные модули являются прямыми слагаемыми свободных модулей, поэтому можно выбрать инъекция в свободный модуль и используйте его, чтобы доказать что-то для проективного модуля. Даже более слабые обобщения плоские модули, которые все еще обладают тем свойством, что тензор с их помощью сохраняет точные последовательности, и модули без кручения. Если кольцо обладает особыми свойствами, эта иерархия может разрушиться, например, для любого совершенного локального дедекиндова кольца каждый модуль без кручения также является плоским, проективным и свободным. Конечно порожденный модуль без кручения коммутативного ПИД свободен. Конечно порожденный Z-модуль является бесплатным тогда и только тогда, когда он плоский.

Видеть местное кольцо, идеальное кольцо и Кольцо дедекинда.

Смотрите также

Примечания

^ Кеун (1975). Введение в теорию представления групп. п. 24.
^ Хазевинкель (1989). Энциклопедия математики, том 4. п. 110.
^ Доказательство: предположим ${ displaystyle I}$ бесплатно с основой ${ displaystyle {x_ {j} | j }}$ . За ${ displaystyle j neq k}$ , ${ displaystyle x_ {j} x_ {k}}$ должна иметь уникальную линейную комбинацию с точки зрения ${ displaystyle x_ {j}}$ и ${ displaystyle x_ {k}}$ , что неверно. Таким образом, поскольку ${ displaystyle I neq 0}$ , есть только один базисный элемент, который должен быть ненулевым делителем. Обратное очевидно. ${ displaystyle square}$