Забывчивый функтор - Forgetful functor

В математика, в районе теория категорий, а забывчивый функтор (также известный как убирающий функтор) «забывает» или отбрасывает некоторые или все входные структуры или свойства «перед» отображением на выход. Для алгебраическая структура данного подпись, это может быть выражено сокращением подписи: новая подпись представляет собой отредактированную форму старой. Если подпись остается пустым списком, функтор просто принимает базовый набор конструкции. Поскольку многие структуры в математике состоят из набора с дополнительной добавленной структурой, наиболее распространенным случаем является забывчивый функтор, который отображается на базовый набор.

Обзор

Например, есть несколько забывчивых функторов из категория коммутативных колец. А (единый ) звенеть, описанный на языке универсальная алгебра, является упорядоченным кортежем (р, +, ×, а, 0, 1) удовлетворяющие некоторым аксиомам, где «+» и «×» - бинарные функции на множестве р, а - это унарная операция, соответствующая аддитивному обратному, а 0 и 1 - нулевые операции, задающие тождества двух двоичных операций. Удаление 1 дает забывчивый функтор в категорию кольца без единицы; он просто «забывает» единицу. Удаление «×» и 1 дает функтор категории абелевы группы, который присваивает каждому кольцу р основная аддитивная абелева группа р. Для каждого морфизм колец присваивается одинаковое функция рассматривается просто как морфизм сложения между основными группами. Удаление всех операций дает функтор базовому набору р.

Полезно различать забывчивые функторы, которые «забывают структуру», и те, которые «забывают свойства». Например, в приведенном выше примере коммутативных колец, помимо тех функторов, которые удаляют некоторые операции, есть функторы, которые забывают некоторые аксиомы. Есть функтор из категории CRing к Звенеть это забывает аксиому коммутативности, но сохраняет все операции. Иногда объект может включать дополнительные наборы, не определенные строго в терминах базового набора (в этом случае, какую часть рассматривать базовый набор - дело вкуса, хотя на практике это редко бывает двусмысленным). Для этих объектов существуют забывчивые функторы, которые забывают дополнительные множества, более общие.

Наиболее распространенные объекты, изучаемые в математике, строятся как базовые множества вместе с дополнительными наборами структуры этих множеств (операции с базовым набором, привилегированные подмножества базового набора и т. Д.), Которые могут удовлетворять некоторым аксиомам. Для этих объектов обычно считается забывчивым функтором. ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ быть любой категорией на основе наборы, например группы - наборы элементов; или топологические пространства - наборы «точек». Как обычно пишем ${ displaystyle operatorname {Ob} ({ mathcal {C}})}$ для объекты из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ и писать ${ displaystyle operatorname {Fl} ({ mathcal {C}})}$ для морфизмов того же самого. Рассмотрим правило:

Для всех ${ displaystyle A}$ в ${ Displaystyle OperatorName {Ob} ({ mathcal {C}}), A mapsto | A | =}$ базовый набор ${ displaystyle A,}$

Для всех ${ displaystyle u}$ в ${ Displaystyle OperatorName {Fl} ({ mathcal {C}}), и mapsto | u | =}$ морфизм, ${ displaystyle u}$, как карту множеств.

Функтор ${ displaystyle | cdot |}$ тогда забывчивый функтор из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ к Набор, то категория наборов.

Забывчивые функторы почти всегда верный. Бетонные категории имеют забывчивые функторы в категории множеств - действительно, они могут быть определенный как категории, допускающие точный функтор в эту категорию.

Забывчивые функторы, которые забывают только аксиомы, всегда полностью верный, поскольку каждый морфизм, который уважает структуру между объектами, которые удовлетворяют аксиомам, автоматически также соблюдает аксиомы. Забывчивые функторы, забывающие структуры, не обязательно должны быть полными; некоторые морфизмы не соблюдают структуру. Однако эти функторы остаются верными, потому что различные морфизмы, которые действительно учитывают структуру, остаются различными, даже если структура забыта. Функторы, которые забывают дополнительные наборы, не обязательно должны быть точными, поскольку различные морфизмы, соответствующие структуре этих дополнительных наборов, могут быть неразличимы на нижележащем наборе.

На языке формальной логики функтор первого рода удаляет аксиомы, функтор второго рода удаляет предикаты, а функтор третьего рода удаляет типы^{[требуется разъяснение ]}. Примером первого типа является забывчивый функтор Ab → Grp. Один из вторых - это функтор забывчивости Ab → Набор. Функтором третьего рода является функтор Мод → Ab, куда Мод это волокнистая категория всех модулей над произвольными кольцами. Чтобы увидеть это, просто выберите гомоморфизм колец между лежащими в основе кольцами, который не изменяет действие кольца. При использовании функтора забывчивости этот морфизм дает тождество. Обратите внимание, что объект в Мод представляет собой кортеж, который включает кольцо и абелеву группу, так что забыть о нем - дело вкуса.

Левые сопряженные к забывчивым функторам

Забывчивые функторы, как правило, имеют слева примыкает, которые 'свободный 'конструкции. Например:

• бесплатный модуль: забывчивый функтор из ${ displaystyle mathbf {Mod} (R)}$ (категория ${ displaystyle R}$-модули ) к ${ displaystyle mathbf {Set}}$ покинул прилегающий ${ displaystyle operatorname {бесплатно} _ {R}}$, с ${ displaystyle X mapsto operatorname {Free} _ {R} (X)}$, Свобода ${ displaystyle R}$-модуль с основа ${ displaystyle X}$.
• свободная группа
• свободная решетка
• тензорная алгебра
• свободная категория, сопряженный с забывчивым функтором из категорий в колчаны
• универсальная обертывающая алгебра

Более подробный список см. В (Mac Lane 1997).

Поскольку это фундаментальный пример присоединения, мы поясняем его: присоединение означает, что данный набор Икс и объект (скажем, р-модуль) M, карты наборов ${ Displaystyle X к | M |}$ соответствуют картам модулей ${ displaystyle operatorname {Free} _ {R} (X) to M}$: каждая карта множеств дает карту модулей, а каждая карта модулей получается из карты множеств.

В случае векторных пространств это кратко описывается следующим образом: «Карта между векторными пространствами определяется тем, куда она отправляет базис, и базис может быть отображен на что угодно».

Символически:

${ displaystyle operatorname {Hom} _ { mathbf {Mod} _ {R}} ( operatorname {Free} _ {R} (X), M) = operatorname {Hom} _ { mathbf {Set}} (X, operatorname {Забыть} (M)).}$

В единица свободно-забывчивого присоединения это «включение основы»: ${ displaystyle X to operatorname {Free} _ {R} (X)}$.

Fld, категория полей, дает пример незабываемого функтора без присоединения. Не существует поля, удовлетворяющего свободному универсальному свойству для данного множества.

Смотрите также

• Присоединенные функторы
• Функторы

Рекомендации

• Мак-Лейн, Сондерс. Категории для рабочего математика, Тексты для выпускников по математике 5, Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк, 1997. ISBN  0-387-98403-8
• Забывчивый функтор в nLab