Универсальная обертывающая алгебра - Википедия - Universal enveloping algebra

В математика, а универсальная обертывающая алгебра самый общий (единый, ассоциативный ) алгебра, содержащая все представления из Алгебра Ли.

Универсальные обертывающие алгебры используются в теория представлений групп Ли и алгебр Ли. Например, Модули Verma могут быть построены как факторы универсальной обертывающей алгебры.^[1] Кроме того, обертывающая алгебра дает точное определение Операторы Казимира. Поскольку операторы Казимира коммутируют со всеми элементами алгебры Ли, их можно использовать для классификации представлений. Точное определение также позволяет импортировать операторы Казимира в другие области математики, в частности, те, которые имеют дифференциальная алгебра. Они также играют центральную роль в некоторых недавних достижениях в математике. В частности, их двойной дает коммутативный пример изучаемых в некоммутативная геометрия, то квантовые группы. Этот дуал может быть показан с помощью Теорема Гельфанда – Наймарка., чтобы содержать C * алгебра соответствующей группы Ли. Это отношение обобщает идею Двойственность Таннаки – Крейна между компактные топологические группы и их представления.

С аналитической точки зрения универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли группы Ли может быть отождествлена ​​с алгеброй левоинвариантных дифференциальных операторов на группе.

Неформальное строительство

Идея универсальной обертывающей алгебры состоит в том, чтобы вложить алгебру Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ в ассоциативную алгебру ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ с идентичностью таким образом, что операция абстрактной скобки в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ соответствует коммутатору ${ displaystyle xy-yx}$ в ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ и алгебра ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ порождается элементами ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Может быть много способов сделать такое вложение, но есть уникальный «самый большой» такой ${ displaystyle { mathcal {A}}}$, называемая универсальной обертывающей алгеброй ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Генераторы и отношения

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - алгебра Ли, предполагаемая для простоты конечномерной, с базисом ${ Displaystyle X_ {1}, ldots X_ {n}}$. Позволять ${ displaystyle c_ {ijk}}$ быть структурные константы для этого основания, так что

${ displaystyle [X_ {i}, X_ {j}] = sum _ {k = 1} ^ {n} c_ {ijk} X_ {k}.}$

Тогда универсальная обертывающая алгебра - это ассоциативная алгебра (с единицей), порожденная элементами ${ displaystyle x_ {1}, ldots x_ {n}}$ при условии отношений

${ displaystyle x_ {i} x_ {j} -x_ {j} x_ {i} = sum _ {k = 1} ^ {n} c_ {ijk} x_ {k}}$

и никаких других отношений. Ниже мы уточним эту конструкцию «образующих и соотношений», построив универсальную обертывающую алгебру как фактор тензорной алгебры над ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Рассмотрим, например, алгебру Ли sl (2, С), натянутая на матрицы

$${ displaystyle X = { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}} qquad Y = { begin {pmatrix} 0 & 0 1 & 0 end {pmatrix}} qquad H = { begin {pmatrix } 1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}} ~,}$$

которые удовлетворяют коммутационным соотношениям ${ displaystyle [H, X] = 2X}$, ${ displaystyle [H, Y] = - 2Y}$, и ${ displaystyle [X, Y] = H}$. Универсальная обертывающая алгебра алгебры sl (2, C) тогда является алгеброй, порожденной тремя элементами ${ displaystyle x, y, h}$ при условии отношений

${ Displaystyle hx-xh = 2x, quad hy-yh = -2y, quad xy-yx = h,}$

и никаких других отношений. Подчеркнем, что универсальная обертывающая алгебра не является то же самое, что (или содержащееся в) алгебре ${ displaystyle 2 times 2}$ матрицы. Например, ${ displaystyle 2 times 2}$ матрица ${ displaystyle X}$ удовлетворяет ${ displaystyle X ^ {2} = 0}$, в чем легко убедиться. Но в универсальной обертывающей алгебре элемент ${ displaystyle x}$ не удовлетворяет ${ displaystyle x ^ {2} = 0}$- потому что мы не навязываем это соотношение при построении обертывающей алгебры. Действительно, из теоремы Пуанкаре – Биркгофа – Витта (обсуждаемой ниже) следует, что элементы ${ Displaystyle 1, х, х ^ {2}, х ^ {3}, ldots}$ все линейно независимы в универсальной обертывающей алгебре.

Поиск основы

В общем случае элементы универсальной обертывающей алгебры представляют собой линейные комбинации произведений образующих во всех возможных порядках. Используя определяющие соотношения универсальной обертывающей алгебры, мы всегда можем переупорядочить эти продукты в определенном порядке, скажем, со всеми факторами ${ displaystyle x_ {1}}$ сначала факторы ${ displaystyle x_ {2}}$и т. д. Например, если у нас есть термин, содержащий ${ displaystyle x_ {2} x_ {1}}$ (в «неправильном» порядке), мы можем использовать отношения, чтобы переписать это как ${ displaystyle x_ {1} x_ {2}}$ плюс линейная комбинация из ${ displaystyle x_ {j}}$с. Повторение подобных действий в конечном итоге преобразует любой элемент в линейную комбинацию терминов в возрастающем порядке. Таким образом, элементы формы

${ displaystyle x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} cdots x_ {n} ^ {k_ {n}}}$

с ${ displaystyle k_ {j}}$являются неотрицательными целыми числами, охватывающими алгебру. (Мы разрешаем ${ displaystyle k_ {j} = 0}$, что означает, что мы допускаем условия, в которых отсутствуют факторы ${ displaystyle x_ {j}}$ происходят.) Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта., обсуждаемое ниже, утверждает, что эти элементы линейно независимы и, таким образом, составляют основу универсальной обертывающей алгебры. В частности, универсальная обертывающая алгебра всегда бесконечномерна.

Из теоремы Пуанкаре – Биркгофа – Витта следует, в частности, что элементы ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ сами по себе линейно независимы. Поэтому обычно - если это потенциально сбивает с толку - определение ${ displaystyle x_ {j}}$с генераторами ${ displaystyle X_ {j}}$ исходной алгебры Ли. Иными словами, мы идентифицируем исходную алгебру Ли как подпространство ее универсальной обертывающей алгебры, натянутой на образующие. Несмотря на то что ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ может быть алгеброй ${ Displaystyle п раз п}$ матрицы, универсальное обертывание ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ не состоит из (конечномерных) матриц. В частности, не существует конечномерной алгебры, содержащей универсальную оболочку ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$; универсальная обертывающая алгебра всегда бесконечномерна. Таким образом, в случае sl (2, C), если мы идентифицируем нашу алгебру Ли как подпространство ее универсальной обертывающей алгебры, мы не должны интерпретировать ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle Y}$ и ${ displaystyle H}$ в качестве ${ displaystyle 2 times 2}$ матрицы, а как символы без дополнительных свойств (кроме коммутационных соотношений).

Формальности

Формальная конструкция универсальной обертывающей алгебры берет вышеупомянутые идеи и обертывает их обозначениями и терминологией, что делает ее более удобной для работы. Наиболее важное отличие состоит в том, что свободная ассоциативная алгебра, использованная выше, сужена до тензорная алгебра, так что произведение символов понимается как тензорное произведение. Коммутационные соотношения устанавливаются путем построения факторное пространство тензорной алгебры, дифференцированной самый маленький двусторонний идеал содержащие элементы формы ${ displaystyle x_ {i} x_ {j} -x_ {j} x_ {i} - Sigma c_ {ijk} x_ {k}}$. Универсальная обертывающая алгебра - самая "большая" унитальная ассоциативная алгебра генерируется элементами ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ с Кронштейн лжи совместим с исходной алгеброй Ли.

Формальное определение

Напомним, что каждая алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ в частности векторное пространство. Таким образом, можно свободно построить тензорная алгебра ${ Displaystyle Т ({ mathfrak {g}})}$ от него. Тензорная алгебра - это свободная алгебра: он просто содержит все возможные тензорные произведения всех возможных векторов в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, без каких-либо ограничений на эти продукты.

То есть строится пространство

${ displaystyle T ({ mathfrak {g}}) = K , oplus , { mathfrak {g}} , oplus , ({ mathfrak {g}} otimes { mathfrak {g}) }) , oplus , ({ mathfrak {g}} otimes { mathfrak {g}} otimes { mathfrak {g}}) , oplus , cdots}$

куда ${ displaystyle otimes}$ - тензорное произведение, а ${ displaystyle oplus}$ это прямая сумма векторных пространств. Здесь, K - поле, над которым определена алгебра Ли. Отсюда и до конца этой статьи тензорное произведение всегда отображается явно. Многие авторы опускают его, поскольку на практике его местонахождение обычно можно вывести из контекста. Здесь используется очень явный подход, чтобы свести к минимуму любую возможную путаницу в значениях выражений.

Первый шаг в построении - «поднять» скобку Ли с алгебры Ли (где она определена) до тензорной алгебры (где это не так), так что можно когерентно работать со скобкой Ли двух тензоров. Подъем осуществляется следующим образом. Во-первых, напомним, что операция скобок на алгебре Ли - это билинейное отображение ${ displaystyle { mathfrak {g}} times { mathfrak {g}} to { mathfrak {g}}}$ то есть билинейный, кососимметричный и удовлетворяет Личность Якоби. Мы хотим определить скобку Ли [-, -], которая является отображением ${ Displaystyle T ({ mathfrak {g}}) otimes T ({ mathfrak {g}}) to T ({ mathfrak {g}})}$ который также является билинейным, кососимметричным и подчиняется тождеству Якоби.

Подъем можно выполнять поэтапно. Начать с определение скоба на ${ displaystyle { mathfrak {g}} otimes { mathfrak {g}} to { mathfrak {g}}}$ в качестве

${ displaystyle a otimes b-b otimes a = [a, b]}$

Это последовательное, связное определение, потому что обе стороны билинейны, а обе стороны кососимметричны (тождество Якоби будет следовать вскоре). Вышеуказанное определяет скобку на ${ displaystyle T ^ {2} ({ mathfrak {g}}) = { mathfrak {g}} otimes { mathfrak {g}}}$; теперь его нужно поднять до ${ Displaystyle Т ^ {п} ({ mathfrak {g}})}$ для произвольных ${ displaystyle n.}$ Это делается рекурсивно, определение

${ displaystyle [a otimes b, c] = a otimes [b, c] + [a, c] otimes b}$

и аналогично

${ displaystyle [a, b otimes c] = [a, b] otimes c + b otimes [a, c]}$

Несложно проверить, что приведенное выше определение является билинейным и кососимметричным; можно также показать, что он подчиняется тождеству Якоби. Конечный результат состоит в том, что у нас есть скобка Ли, которая последовательно определена на всех ${ Displaystyle Т ({ mathfrak {g}});}$ один говорит, что он был «поднят» ко всем ${ Displaystyle Т ({ mathfrak {g}})}$ в обычном смысле «подъема» с базового пространства (здесь алгебры Ли) на покрывающее пространство (здесь тензорная алгебра).

Результатом этого подъема явно является Алгебра Пуассона. Это унитальная ассоциативная алгебра со скобкой Ли, согласованной со скобкой алгебры Ли; совместим по конструкции. Это не самый маленький такая алгебра, однако; он содержит гораздо больше элементов, чем нужно. Можно получить что-то меньшее, спроецировав назад. Универсальная обертывающая алгебра ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ определяется как факторное пространство

${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}}) = T ({ mathfrak {g}}) / sim}$

где отношение эквивалентности ${ displaystyle sim}$ дан кем-то

${ displaystyle a otimes b-b otimes a = [a, b]}$

То есть скобка Ли определяет отношение эквивалентности, используемое для выполнения факторизации. Результатом остается ассоциативная алгебра с единицей, и можно взять скобку Ли любых двух членов. Вычислить результат несложно, если иметь в виду, что каждый элемент ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ можно понимать как смежный: one просто берет скобку, как обычно, и ищет смежный класс, содержащий результат. Это самый маленький такая алгебра; невозможно найти ничего меньшего, что все еще подчиняется аксиомам ассоциативной алгебры.

Универсальная обертывающая алгебра - это то, что осталось от тензорной алгебры после модификации Алгебра Пуассона структура. (Это нетривиальное утверждение; тензорная алгебра имеет довольно сложную структуру: это, помимо прочего, Алгебра Хопфа; алгебра Пуассона также довольно сложна со многими своеобразными свойствами. Он совместим с тензорной алгеброй, поэтому моддинг может быть выполнен. Структура алгебры Хопфа сохраняется; это то, что приводит к его многочисленным новым приложениям, например в теория струн. Однако для целей формального определения это не имеет особого значения.)

Конструкция может быть выполнена немного другим (но в конечном итоге эквивалентным) способом. Забудьте на мгновение о вышеупомянутом подъеме и вместо этого рассмотрите двусторонний идеал я генерируется элементами формы

${ displaystyle a otimes b-b otimes a- [a, b]}$

Этот генератор является элементом

${ Displaystyle { mathfrak {g}} oplus ({ mathfrak {g}} otimes { mathfrak {g}}) подмножество T ({ mathfrak {g}})}$

Общий член идеала я будет иметь форму

${ displaystyle c otimes d otimes cdots otimes (a otimes b-b otimes a- [a, b]) otimes f otimes g cdots}$

для некоторых ${ displaystyle a, b, c, d, f, g in { mathfrak {g}}.}$ Все элементы я получаются как линейные комбинации элементов этой формы. Четко, ${ Displaystyle I подмножество Т ({ mathfrak {g}})}$ является подпространством. Это идеальный вариант, если ${ displaystyle j in I}$ и ${ Displaystyle х в Т ({ mathfrak {g}}),}$ тогда ${ displaystyle j otimes x in I}$ и ${ displaystyle x otimes j in I.}$ Установление того, что это идеал, важно, потому что идеалы - это именно те вещи, с которыми можно соотноситься; идеалы лежат в ядро факторной карты. То есть есть короткая точная последовательность

${ displaystyle 0 к I to T ({ mathfrak {g}}) to T ({ mathfrak {g}}) / I to 0}$

где каждая стрелка является линейной картой, а ядро ​​этой карты задается изображением предыдущей карты. Тогда универсальную обертывающую алгебру можно определить как^[2]

${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}}) = T ({ mathfrak {g}}) / I}$

Супералгебры и другие обобщения

Приведенная выше конструкция фокусируется на алгебрах Ли и скобке Ли, а также на ее асимметрии и антисимметрии. В какой-то степени эти свойства присущи конструкции. Вместо этого рассмотрим некоторую (произвольную) алгебру (не алгебру Ли) над векторным пространством, то есть векторное пространство ${ displaystyle V}$ наделен умножением ${ displaystyle m: V times V to V}$ это требует элементов ${ displaystyle a times b mapsto m (a, b).}$ Если умножение является билинейным, тогда можно использовать ту же конструкцию и определения. Каждый начинается с подъема ${ displaystyle m}$ вплоть до ${ Displaystyle T (V)}$ так что поднял ${ displaystyle m}$ подчиняется всем тем же свойствам, что и базовый ${ displaystyle m}$ делает - симметрия или антисимметрия или что-то еще. Лифтинг сделан точно как и раньше, начиная с

${ displaystyle { begin {align} m: V otimes V & to V a otimes b & mapsto m (a, b) end {align}}}$

Это согласовано именно потому, что тензорное произведение билинейно, а умножение билинейно. Остальная часть подъема выполняется так, чтобы умножение сохранялось как гомоморфизм. По определению, один пишет

${ Displaystyle m (a otimes b, c) = a otimes m (b, c) + m (a, c) otimes b}$

а также что

${ Displaystyle m (a, b otimes c) = m (a, b) otimes c + b otimes m (a, c)}$

Это расширение совместимо благодаря апелляции к лемме о бесплатные объекты: поскольку тензорная алгебра является свободная алгебра, любой гомоморфизм на его образующем множестве продолжается на всю алгебру. Все остальное происходит так, как описано выше: по завершении мы получаем ассоциативную алгебру с единицей; можно взять частное любым из двух способов, описанных выше.

Вышесказанное - это именно то, как универсальная обертывающая алгебра для Супералгебры Ли построен. Нужно только внимательно следить за знаком при перестановке элементов. В этом случае (анти) коммутатор супералгебры поднимается до (анти) коммутирующей скобки Пуассона.

Другая возможность - использовать в качестве накрывающей алгебры нечто иное, чем тензорную алгебру. Одна из таких возможностей - использовать внешняя алгебра; то есть заменить каждое вхождение тензорного произведения на внешний продукт. Если базовая алгебра является алгеброй Ли, то результатом будет Алгебра Герстенхабера; это внешняя алгебра соответствующей группы Ли. Как и раньше, имеет градацию естественно исходя из оценок по внешней алгебре. (Алгебру Герстенхабера не следует путать с Супералгебра Пуассона; оба вызывают антикоммутацию, но по-разному.)

Конструкция также была обобщена для Алгебры Мальцева,^[3] Алгебры Бола ^[4] и левые альтернативные алгебры.^{[нужна цитата ]}

Универсальная собственность

Универсальная обертывающая алгебра, а точнее универсальная обертывающая алгебра вместе с каноническим отображением ${ displaystyle h: { mathfrak {g}} to U ({ mathfrak {g}})}$, обладает универсальная собственность.^[5] Предположим, у нас есть любое отображение алгебры Ли

${ displaystyle varphi: { mathfrak {g}} to A}$

к единственной ассоциативной алгебре А (со скобкой Ли в А задается коммутатором). Более явно это означает, что мы предполагаем

${ Displaystyle varphi ([X, Y]) = varphi (X) varphi (Y) - varphi (Y) varphi (X)}$

для всех ${ displaystyle X, Y in { mathfrak {g}}}$. Тогда существует уникальный единый гомоморфизм алгебр

${ displaystyle { widehat { varphi}}: от U ({ mathfrak {g}}) до A}$

такой, что

${ displaystyle varphi = { widehat { varphi}} circ h}$

куда ${ displaystyle h: { mathfrak {g}} to U ({ mathfrak {g}})}$ каноническое отображение. (Карта ${ displaystyle h}$ получается вложением ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ в его тензорная алгебра а затем сочиняя карта частных к универсальной обертывающей алгебре. Это отображение является вложением по теореме Пуанкаре – Биркгофа – Витта.)

Другими словами, если ${ displaystyle varphi: { mathfrak {g}} rightarrow A}$ является линейным отображением в унитальную алгебру ${ displaystyle A}$ удовлетворение ${ Displaystyle varphi ([X, Y]) = varphi (X) varphi (Y) - varphi (Y) varphi (X)}$, тогда ${ displaystyle varphi}$ продолжается до гомоморфизма алгебр ${ displaystyle { widehat { varphi}}: от U ({ mathfrak {g}}) до A}$. С ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ порождается элементами ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, карта ${ displaystyle { widehat { varphi}}}$ должно быть однозначно определено требованием, чтобы

${ displaystyle { widehat { varphi}} (X_ {i_ {1}} cdots X_ {i_ {N}}) = varphi (X_ {i_ {1}}) cdots varphi (X_ {i_ { N}}), quad X_ {i_ {j}} in { mathfrak {g}}}$.

Дело в том, что поскольку в универсальной обертывающей алгебре нет других соотношений, кроме тех, которые происходят из коммутационных соотношений ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, карта ${ displaystyle { widehat { varphi}}}$ хорошо определено, независимо от того, как записывать данный элемент ${ Displaystyle х в U ({ mathfrak {g}})}$ как линейную комбинацию произведений элементов алгебры Ли.

Из универсального свойства обертывающей алгебры сразу следует, что каждое представление ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ действуя в векторном пространстве ${ displaystyle V}$ распространяется однозначно на представление ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$. (Брать ${ Displaystyle А = mathrm {Конец} (V)}$.) Это наблюдение важно, потому что оно позволяет (как обсуждается ниже) элементам Казимира воздействовать на ${ displaystyle V}$. Эти операторы (из центра ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$) действуют как скаляры и предоставляют важную информацию о представлениях. В квадратичный элемент Казимира имеет особое значение в этом отношении.

Другие алгебры

Хотя приведенная выше каноническая конструкция может быть применена к другим алгебрам, результат, в общем случае, не обладает универсальным свойством. Так, например, когда конструкция применяется к Йордановы алгебры, полученная обертывающая алгебра содержит специальные йордановы алгебры, но не исключительные: то есть не охватывает Алгебры Альберта. Точно так же теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта, приведенная ниже, строит базис для обертывающей алгебры; это просто не будет универсальным. Аналогичные замечания справедливы для Супералгебры Ли.

Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта.

Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта дает точное описание ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$. Это можно сделать одним из двух способов: либо путем ссылки на явный векторный базис на алгебре Ли или в безкоординатный мода.

Использование базовых элементов

Один из способов - предположить, что алгебре Ли может быть задана полностью заказанный основа, то есть это свободное векторное пространство полностью заказанного набора. Напомним, что свободное векторное пространство определяется как пространство всех конечных поддерживаемых функций из множества Икс в поле K (с конечной опорой означает, что только конечное число значений ненулевое); можно дать основу ${ displaystyle e_ {a}: от X до K}$ такой, что ${ displaystyle e_ {a} (b) = delta _ {ab}}$ это индикаторная функция за ${ displaystyle a, b in X}$. Позволять ${ displaystyle h: { mathfrak {g}} to T ({ mathfrak {g}})}$ - инъекция в тензорную алгебру; это также используется, чтобы дать тензорной алгебре основу. Это делается путем подъема: заданной произвольной последовательности ${ displaystyle e_ {a}}$, определяется расширение ${ displaystyle h}$ быть

${ displaystyle h (e_ {a} otimes e_ {b} otimes cdots otimes e_ {c}) = h (e_ {a}) otimes h (e_ {b}) otimes cdots otimes h (e_ {c})}$

Затем теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта утверждает, что можно получить базис для ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ из вышеизложенного, путем обеспечения полного порядка Икс на алгебру. То есть, ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ имеет основу

${ displaystyle e_ {a} otimes e_ {b} otimes cdots otimes e_ {c}}$

куда ${ Displaystyle а leq b leq cdots leq c}$, порядок - это общий порядок на множестве Икс.^[6] Доказательство теоремы включает в себя отметку, что если начать с неупорядоченных базисных элементов, их всегда можно поменять местами с помощью коммутатора (вместе с структурные константы ).Сложная часть доказательства состоит в том, чтобы установить, что конечный результат уникален и не зависит от порядка, в котором были выполнены перестановки.

Эту основу следует легко распознать как основу симметрическая алгебра. То есть базовые векторные пространства ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ и симметрическая алгебра изоморфны, и именно теорема PBW показывает, что это так. См., Однако, раздел об алгебре символов ниже для более точного определения природы изоморфизма.

Возможно, полезно разделить процесс на два этапа. На первом этапе строится свободная алгебра Ли: вот что получается, если модифицируется всеми коммутаторами, без указания значений коммутаторов. Второй шаг - применить определенные коммутационные соотношения из ${ displaystyle { mathfrak {g}}.}$ Первый шаг универсален и не зависит от конкретного ${ displaystyle { mathfrak {g}}.}$ Его также можно точно определить: базисные элементы задаются Слова зала, частным случаем которых являются Слова Линдона; они явно построены так, чтобы вести себя соответствующим образом как коммутаторы.

Без координат

Можно также сформулировать теорему безкоординатным образом, избегая использования полных порядков и базисных элементов. Это удобно, когда есть трудности с определением базисных векторов, как это может быть для бесконечномерных алгебр Ли. Это также дает более естественную форму, которую легче распространить на другие виды алгебр. Это достигается путем построения фильтрация ${ displaystyle U_ {m} { mathfrak {g}}}$ пределом которой является универсальная обертывающая алгебра ${ displaystyle U ({ mathfrak {g}}).}$

Во-первых, необходимо обозначить возрастающую последовательность подпространств тензорной алгебры. Позволять

${ displaystyle T_ {m} { mathfrak {g}} = K oplus { mathfrak {g}} oplus T ^ {2} { mathfrak {g}} oplus cdots oplus T ^ {m} { mathfrak {g}}}$

куда

${ displaystyle T ^ {m} { mathfrak {g}} = T ^ { otimes m} { mathfrak {g}} = { mathfrak {g}} otimes cdots otimes { mathfrak {g} }}$

это мтензорное произведение ${ displaystyle { mathfrak {g}}.}$ В ${ displaystyle T_ {m} { mathfrak {g}}}$ сформировать фильтрация:

${ displaystyle K subset { mathfrak {g}} subset T_ {2} { mathfrak {g}} subset cdots subset T_ {m} { mathfrak {g}} subset cdots}$

Точнее, это фильтрованная алгебра, поскольку фильтрация сохраняет алгебраические свойства подпространств. Обратите внимание, что предел этой фильтрации - тензорная алгебра ${ displaystyle T ({ mathfrak {g}}).}$

Выше уже было установлено, что факторизация по идеалу естественная трансформация это берет один из ${ Displaystyle Т ({ mathfrak {g}})}$ к ${ displaystyle U ({ mathfrak {g}}).}$ Это также естественно работает на подпространствах, так что получается фильтрация ${ displaystyle U_ {m} { mathfrak {g}}}$ пределом которой является универсальная обертывающая алгебра ${ displaystyle U ({ mathfrak {g}}).}$

Затем определите пространство

${ Displaystyle G_ {m} { mathfrak {g}} = U_ {m} { mathfrak {g}} / U_ {m-1} { mathfrak {g}}}$

Это пространство ${ displaystyle U_ {m} { mathfrak {g}}}$ по модулю всех подпространств ${ Displaystyle U_ {п} { mathfrak {g}}}$ строго меньшей степени фильтрации. Обратите внимание, что ${ displaystyle G_ {m} { mathfrak {g}}}$ является нисколько то же самое, что и главный термин ${ displaystyle U ^ {m} { mathfrak {g}}}$ фильтрации, как можно было бы наивно предположить. Он не создается с помощью механизма вычитания множества, связанного с фильтрацией.

Quotienting ${ displaystyle U_ {m} { mathfrak {g}}}$ к ${ Displaystyle U_ {м-1} { mathfrak {g}}}$ имеет эффект установки всех коммутаторов Ли, определенных в ${ displaystyle U_ {m} { mathfrak {g}}}$ до нуля. В этом можно убедиться, заметив, что коммутатор пары элементов, произведения которых лежат в ${ displaystyle U_ {m} { mathfrak {g}}}$ фактически дает элемент в ${ Displaystyle U_ {м-1} { mathfrak {g}}}$. Возможно, это не сразу очевидно: чтобы получить этот результат, нужно многократно применять коммутационные соотношения и крутить рукоятку. Суть теоремы Пуанкаре – Биркгофа – Витта заключается в том, что это всегда можно сделать и что результат уникален.

Поскольку коммутаторы элементов, произведения которых определены в ${ displaystyle U_ {m} { mathfrak {g}}}$ роды ${ displaystyle U_ {m-1} { mathfrak {g}}}$, фактор, определяющий ${ displaystyle G_ {m} { mathfrak {g}}}$ имеет эффект обнуления всех коммутаторов. PBW утверждает, что коммутатор элементов в ${ displaystyle G_ {m} { mathfrak {g}}}$ обязательно равно нулю. Остались элементы, которые нельзя выразить как коммутаторы.

Таким образом, вы сразу попадаете в симметрическая алгебра. Это алгебра, в которой все коммутаторы обращаются в нуль. Его можно определить как фильтрацию ${ displaystyle S_ {m} { mathfrak {g}}}$ симметричных тензорных произведений ${ displaystyle operatorname {Sym} ^ {m} { mathfrak {g}}}$. Ее предел - симметрическая алгебра ${ Displaystyle S ({ mathfrak {g}})}$. Он построен на апелляции к тому же понятию естественности, что и раньше. Каждый начинает с той же тензорной алгебры и просто использует другой идеал, идеал, который заставляет все элементы коммутировать:

${ Displaystyle S ({ mathfrak {g}}) = T ({ mathfrak {g}}) / (a ​​ otimes b-b otimes a)}$

Таким образом, можно рассматривать теорему Пуанкаре – Биркгофа – Витта как утверждающую, что ${ Displaystyle G ({ mathfrak {g}})}$ изоморфна симметрической алгебре ${ Displaystyle S ({ mathfrak {g}})}$, как векторное пространство и как коммутативная алгебра.

В ${ displaystyle G_ {m} { mathfrak {g}}}$ также формируют фильтрованную алгебру; его предел ${ displaystyle G ({ mathfrak {g}}).}$ Это ассоциированная градуированная алгебра фильтрации.

Вышеупомянутая конструкция, благодаря использованию факторизации, подразумевает, что предел ${ Displaystyle G ({ mathfrak {g}})}$ изоморфен ${ displaystyle U ({ mathfrak {g}}).}$ В более общих условиях, с ослабленными условиями, обнаруживается, что ${ Displaystyle S ({ mathfrak {g}}) to G ({ mathfrak {g}})}$ является проекцией, и тогда получаются теоремы типа PBW для ассоциированной градуированной алгебры фильтрованная алгебра. Чтобы подчеркнуть это, обозначения ${ displaystyle operatorname {gr} U ({ mathfrak {g}})}$ иногда используется для ${ Displaystyle G ({ mathfrak {g}}),}$ служит для напоминания о том, что это фильтрованная алгебра.

Другие алгебры

Теорема, примененная к Йордановы алгебры, дает внешняя алгебра, а не симметрическую алгебру. По сути, конструкция обнуляет антикоммутаторы. В результате алгебра ан охватывающая алгебра, но не универсальна. Как упоминалось выше, он не может охватывать исключительные йордановы алгебры.

Левоинвариантные дифференциальные операторы

Предполагать ${ displaystyle G}$ является вещественной группой Ли с алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Следуя современному подходу, можно выделить ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ с пространством левоинвариантных векторных полей (т.е. левоинвариантных дифференциальных операторов первого порядка). В частности, если мы изначально думаем о ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ как касательное пространство к ${ displaystyle G}$ в единице, то каждый вектор в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ имеет единственное левоинвариантное расширение. Затем мы отождествляем вектор в касательном пространстве с соответствующим левоинвариантным векторным полем. Теперь коммутатор (как дифференциальные операторы) двух левоинвариантных векторных полей снова является векторным полем и снова левоинвариантным. Затем мы можем определить операцию скобок на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ как коммутатор на ассоциированных левоинвариантных векторных полях.^[7] Это определение согласуется с любым другим стандартным определением структуры скобок на алгебре Ли группы Ли.

Затем мы можем рассматривать левоинвариантные дифференциальные операторы произвольного порядка. Каждый такой оператор ${ displaystyle A}$ может быть выражена (не однозначно) как линейная комбинация произведений левоинвариантных векторных полей. Набор всех левоинвариантных дифференциальных операторов на ${ displaystyle G}$ образует алгебру, обозначаемую ${ Displaystyle D (G)}$. Можно показать, что ${ Displaystyle D (G)}$ изоморфна универсальной обертывающей алгебре ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$.^[8]

В случае, если ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ возникает как алгебра Ли действительной группы Ли, можно использовать левоинвариантные дифференциальные операторы, чтобы дать аналитическое доказательство Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта.. В частности, алгебра ${ Displaystyle D (G)}$ левоинвариантных дифференциальных операторов порождается элементами (левоинвариантными векторными полями), удовлетворяющими коммутационным соотношениям ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Таким образом, по универсальному свойству обертывающей алгебры ${ Displaystyle D (G)}$ является частным от ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$. Таким образом, если базисные элементы PBW линейно независимы в ${ Displaystyle D (G)}$- что можно установить аналитически - они обязательно должны быть линейно независимыми в ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$. (И здесь изоморфизм ${ Displaystyle D (G)}$ с ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ очевидно.)

Алгебра символов

Основное векторное пространство ${ Displaystyle S ({ mathfrak {g}})}$ можно дать новую структуру алгебры так, чтобы ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ и ${ Displaystyle S ({ mathfrak {g}})}$ изоморфны как ассоциативные алгебры. Это приводит к концепции алгебра символов ${ Displaystyle звезда ({ mathfrak {g}})}$: пространство симметричные многочлены, наделенный продуктом, ${ displaystyle star}$, который помещает алгебраическую структуру алгебры Ли на то, что иначе является стандартной ассоциативной алгеброй. То есть то, что затмевает теорема PBW (коммутационные соотношения), алгебра символов возвращает в центр внимания.

Алгебра получается взятием элементов из ${ Displaystyle S ({ mathfrak {g}})}$ и замена каждого генератора ${ displaystyle e_ {i}}$ неопределенной коммутирующей переменной ${ displaystyle t_ {i}}$ чтобы получить пространство симметричных многочленов ${ Displaystyle К [t_ {i}]}$ над полем ${ displaystyle K}$. Действительно, соответствие тривиально: просто подставляем символ ${ displaystyle t_ {i}}$ за ${ displaystyle e_ {i}}$. Полученный многочлен называется символ соответствующего элемента ${ Displaystyle S ({ mathfrak {g}})}$. Обратное отображение

${ Displaystyle ш: звезда ({ mathfrak {g}}) к U ({ mathfrak {g}})}$

который заменяет каждый символ ${ displaystyle t_ {i}}$ к ${ displaystyle e_ {i}}$. Алгебраическая структура получается, требуя, чтобы произведение ${ displaystyle star}$ действовать как изоморфизм, то есть так, чтобы

${ Displaystyle вес (п звезда q) = вес (р) otimes w (q)}$

для многочленов ${ displaystyle p, q in star ({ mathfrak {g}}).}$

Основная проблема этой конструкции заключается в том, что ${ displaystyle w (p) otimes w (q)}$ нетривиально, по своей сути является членом ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$, как написано, и что сначала нужно выполнить утомительную перестановку базовых элементов (применяя структурные константы по мере необходимости), чтобы получить элемент ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ в правильно упорядоченной основе. Для этого продукта можно дать явное выражение: это Формула Березина.^[9] По существу это следует из Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа для произведения двух элементов группы Ли.

Выражение в закрытой форме дается формулой^[10]

${ displaystyle p (t) star q (t) = left. exp left (t_ {i} m ^ {i} left ({ frac { partial} { partial u}}, { frac { partial} { partial v}} right) right) p (u) q (v) right vert _ {u = v = t}}$

куда

${ displaystyle m (A, B) = log left (e ^ {A} e ^ {B} right) -A-B}$

и ${ Displaystyle м ^ {я}}$ просто ${ displaystyle m}$ в выбранной основе.

Универсальная обертывающая алгебра Алгебра Гейзенберга это Алгебра Вейля (по модулю отношения, что центр является единицей); здесь ${ displaystyle star}$ продукт называется Мойял продукт.

Теория представлений

Универсальная обертывающая алгебра сохраняет теорию представлений: представления из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ взаимно однозначно соответствуют модули над ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$. Говоря более абстрактно, абелева категория из всех представления из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ является изоморфный в абелеву категорию всех левых модулей над ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$.

Теория представлений полупростые алгебры Ли основан на наблюдении, что существует изоморфизм, известный как Кронекер продукт:

${ displaystyle U ({ mathfrak {g}} _ {1} oplus { mathfrak {g}} _ {2}) cong U ({ mathfrak {g}} _ {1}) otimes U ( { mathfrak {g}} _ {2})}$

для алгебр Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1}, { mathfrak {g}} _ {2}}$. Изоморфизм следует из подъема вложения

${ displaystyle i ({ mathfrak {g}} _ {1} oplus { mathfrak {g}} _ {2}) = i_ {1} ({ mathfrak {g}} _ {1}) otimes 1 oplus 1 otimes i_ {2} ({ mathfrak {g}} _ {2})}$

куда

${ displaystyle i: { mathfrak {g}} to U ({ mathfrak {g}})}$

- это просто каноническое вложение (с индексами соответственно для алгебр один и два). Легко проверить, что это вложение поднимается, учитывая приведенный выше рецепт. См., Однако, обсуждение структуры биалгебры в статье о тензорные алгебры для обзора некоторых тонкостей этого: в частности, перемешать продукт используемые там соответствуют коэффициентам Вигнера-Рака, т.е. 6j и 9j-символы, так далее.

Также важно, что универсальная обертывающая алгебра свободная алгебра Ли изоморфен свободная ассоциативная алгебра.

Построение представлений обычно происходит путем построения Модули Verma из самые высокие веса.

В типичном контексте, когда ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ действует бесконечно малые преобразования, элементы ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ вести себя как дифференциальные операторы, всех заказов. (См., Например, реализацию универсальной обертывающей алгебры как левоинвариантных дифференциальных операторов на ассоциированной группе, как обсуждалось выше.)

Операторы Казимира

В центр из ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ является ${ Displaystyle Z (U ({ mathfrak {g}}))}$ и может быть отождествлен с централизатором ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ в ${ displaystyle U ({ mathfrak {g}}).}$ Любой элемент ${ Displaystyle Z (U ({ mathfrak {g}}))}$ должен ездить со всеми ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}}),}$ и, в частности, с каноническим вложением ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ в ${ displaystyle U ({ mathfrak {g}}).}$ Из-за этого центр непосредственно полезен для классификации представлений ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Для конечномерного полупростая алгебра Ли, то Операторы Казимира образуют отличную основу от центра ${ Displaystyle Z (U ({ mathfrak {g}}))}$. Их можно построить следующим образом.

Центр ${ Displaystyle Z (U ({ mathfrak {g}}))}$ соответствует линейным комбинациям всех элементов ${ displaystyle z = v otimes w otimes cdots otimes u in U ({ mathfrak {g}})}$ что коммутируют со всеми элементами ${ Displaystyle х in { mathfrak {g}};}$ то есть для которого ${ displaystyle [z, x] = { mbox {ad}} _ {x} (z) = 0.}$ То есть они в ядре ${ displaystyle { mbox {ad}} _ { mathfrak {g}}.}$ Таким образом, необходима технология для вычисления этого ядра. У нас есть действие присоединенное представительство на ${ displaystyle { mathfrak {g}};}$ нам это нужно на ${ displaystyle U ({ mathfrak {g}}).}$ Самый простой способ - отметить, что ${ displaystyle { mbox {ad}} _ { mathfrak {g}}}$ это происхождение, и что пространство выводов можно поднять до ${ Displaystyle Т ({ mathfrak {g}})}$ и таким образом ${ displaystyle U ({ mathfrak {g}}).}$ Это означает, что оба они дифференциальные алгебры.

По определению, ${ displaystyle delta: { mathfrak {g}} to { mathfrak {g}}}$ вывод на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ если он подчиняется Закон Лейбница:

${ displaystyle delta ([v, w]) = [ delta (v), w] + [v, delta (w)]}$

(Не будет шуткой отметить, что скобка Ли становится Производная Ли при воздействии на коллектор; выше - намек на то, как это происходит.) Подъем выполняется определение

${ displaystyle { begin {align} delta (v otimes w otimes cdots otimes u) = & , delta (v) otimes w otimes cdots otimes u & + v otimes delta (w) otimes cdots otimes u & + cdots + v otimes w otimes cdots otimes delta (u). end {align}}}$

С ${ displaystyle { mbox {ad}} _ {x}}$ является выводом для любого ${ displaystyle x in { mathfrak {g}},}$ вышеупомянутое определяет ${ displaystyle { mbox {ad}} _ {x}}$ действующий на ${ Displaystyle Т ({ mathfrak {g}})}$ и ${ displaystyle U ({ mathfrak {g}}).}$

Из теоремы PBW ясно, что все центральные элементы являются линейными комбинациями симметричных однородные полиномы в базовых элементах ${ displaystyle e_ {a}}$ алгебры Ли. В Инварианты Казимира - неприводимые однородные многочлены заданной фиксированной степени. То есть с учетом основы ${ displaystyle e_ {a}}$, оператор Казимира порядка ${ displaystyle m}$ имеет форму

${ Displaystyle C _ {(m)} = kappa ^ {ab cdots c} e_ {a} otimes e_ {b} otimes cdots otimes e_ {c}}$

где есть ${ displaystyle m}$ в тензорном произведении, и ${ displaystyle kappa ^ {ab cdots c}}$ полностью симметричный тензор порядка ${ displaystyle m}$ принадлежащий присоединенному представлению. То есть, ${ displaystyle kappa ^ {ab cdots c}}$ можно (следует) рассматривать как элемент ${ displaystyle left ( operatorname {ad} _ { mathfrak {g}} right) ^ { otimes m}.}$ Напомним, что присоединенное представление задается непосредственно структурные константы, и, таким образом, может быть дана явная индексированная форма вышеуказанных уравнений в терминах базиса алгебры Ли; это изначально теорема Исраэль Гельфанд. То есть из ${ Displaystyle [х, С _ {(м)}] = 0}$, следует, что

${ displaystyle f_ {ij} ^ {; ; k} kappa ^ {jl cdots m} + f_ {ij} ^ {; ; l} kappa ^ {kj cdots m} + cdots + f_ {ij} ^ {; ; m} kappa ^ {kl cdots j} = 0}$

где структурные константы

${ Displaystyle [е_ {я}, е_ {j}] = f_ {ij} ^ {; ; k} e_ {k}}$

Например, квадратичный оператор Казимира имеет вид

${ displaystyle C _ {(2)} = kappa ^ {ij} e_ {i} otimes e_ {j}}$

куда ${ displaystyle kappa ^ {ij}}$ - обратная матрица Форма убийства ${ displaystyle kappa _ {ij}.}$ Оператор Казимира ${ displaystyle C _ {(2)}}$ принадлежит центру ${ Displaystyle Z (U ({ mathfrak {g}}))}$ следует из того, что форма Киллинга инвариантна относительно присоединенного действия.

Центр универсальной обертывающей алгебры простой алгебры Ли подробно описывается формулой Изоморфизм Хариш-Чандры.

Классифицировать

Число алгебраически независимых операторов Казимира конечномерного полупростая алгебра Ли равен рангу этой алгебры, т.е. равен рангу Базис Картана – Вейля. Это можно увидеть следующим образом. Для d-мерное векторное пространство Vнапомним, что детерминант это полностью антисимметричный тензор на ${ displaystyle V ^ { otimes d}}$. Учитывая матрицу Mможно написать характеристический многочлен из M в качестве

${ displaystyle det (tI-M) = sum _ {n = 0} ^ {d} p_ {n} t ^ {n}}$

Для d-мерная алгебра Ли, т. е. алгебра, присоединенное представительство является d-мерный, линейный оператор

${ displaystyle operatorname {ad}: { mathfrak {g}} to operatorname {End} ({ mathfrak {g}})}$

подразумевает, что ${ displaystyle operatorname {ad} _ {x}}$ это d-мерный эндоморфизм, и, значит, имеется характеристическое уравнение

${ displaystyle det (tI- operatorname {ad} _ {x}) = sum _ {n = 0} ^ {d} p_ {n} (x) t ^ {n}}$

для элементов ${ displaystyle x in { mathfrak {g}}.}$ Ненулевые корни этого характеристического многочлена (которые являются корнями для всех Икс) образуют корневая система алгебры. В общем, есть только р такие корни; это ранг алгебры. Это означает, что наибольшее значение п для чего ${ Displaystyle p_ {п} (х)}$ не исчезает р.

В ${ Displaystyle p_ {п} (х)}$ находятся однородные многочлены степени d − п. Это можно увидеть по-разному: Учитывая константу ${ displaystyle k in K}$, ad линейно, так что ${ displaystyle operatorname {ad} _ {kx} = k , operatorname {ad} _ {x}.}$ К засорение и пыхтение из вышеизложенного получается, что

${ displaystyle p_ {n} (kx) = k ^ {d-n} p_ {n} (x).}$

По линейности, если разложить по базису,

${ Displaystyle х = сумма _ {я = 1} ^ {d} х_ {я} е_ {я}}$

то многочлен имеет вид

${ displaystyle p_ {n} (x) = x_ {a} x_ {b} cdots x_ {c} kappa ^ {ab cdots c}}$

это ${ displaystyle kappa}$ тензор ранга ${ Displaystyle м = д-п}$. По линейности и коммутативности сложения, т.е. ${ displaystyle operatorname {ad} _ {x + y} = operatorname {ad} _ {y + x},}$, приходим к выводу, что этот тензор должен быть полностью симметричным. Этот тензор и есть инвариант Казимира порядка м.

Центр ${ Displaystyle Z ({ mathfrak {g}})}$ соответствовали этим элементам ${ Displaystyle г в Z ({ mathfrak {g}})}$ для которого ${ displaystyle operatorname {ad} _ {x} (z) = 0}$ для всех Икс; согласно вышесказанному, они явно соответствуют корням характеристического уравнения. Делается вывод, что корни образуют пространство ранга р и что инварианты Казимира покрывают это пространство. То есть инварианты Казимира порождают центр ${ displaystyle Z (U ({ mathfrak {g}})).}$

Пример: группа вращения SO (3)

В группа вращения SO (3) имеет ранг один и, следовательно, имеет один оператор Казимира. Он трехмерен, и поэтому оператор Казимира должен иметь порядок (3-1) = 2, т.е. быть квадратичным. Конечно, это алгебра Ли ${ displaystyle A_ {1}.}$ В качестве элементарного упражнения это можно вычислить напрямую. Изменение обозначения на ${ displaystyle e_ {i} = L_ {i},}$ с ${ displaystyle L_ {i}}$ принадлежащий присоединенному представлению, элемент общей алгебры ${ displaystyle xL_ {1} + yL_ {2} + zL_ {3}}$ и прямое вычисление дает

${ displaystyle det left (xL_ {1} + yL_ {2} + zL_ {3} -tI right) = - t ^ {3} - (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) t + 2xyz}$

Квадратичный член можно прочитать как ${ Displaystyle каппа ^ {ij} = delta ^ {ij}}$, так что квадрат оператор углового момента для группы вращения - это оператор Казимира. То есть,

${ displaystyle C _ {(2)} = L ^ {2} = e_ {1} otimes e_ {1} + e_ {2} otimes e_ {2} + e_ {3} otimes e_ {3}}$

и явный расчет показывает, что

${ displaystyle [L ^ {2}, e_ {k}] = 0}$

после использования структурные константы

${ Displaystyle [е_ {я}, е_ {j}] = varepsilon _ {ij} ^ {; ; k} e_ {k}}$

Пример: псевдодифференциальные операторы

Ключевое наблюдение при строительстве ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ выше было то, что это была дифференциальная алгебра, в силу того факта, что любой вывод на алгебре Ли можно поднять до ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$. Таким образом, мы попадаем в кольцо псевдодифференциальные операторы, из которого можно построить инварианты Казимира.

Если алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ действует в пространстве линейных операторов, например в Теория Фредгольма, то можно построить инварианты Казимира на соответствующем пространстве операторов. Квадратичный оператор Казимира соответствует эллиптический оператор.

Если алгебра Ли действует на дифференцируемом многообразии, то каждому оператору Казимира соответствует дифференциал высшего порядка на кокасательном многообразии, причем дифференциал второго порядка является наиболее распространенным и наиболее важным.

Если действие алгебры изометрический, как и в случае Риманов или же псевдоримановы многообразия с метрикой и группами симметрии СЫН) и SO (P, Q) соответственно, затем можно сжать верхний и нижний индексы (с метрическим тензором), чтобы получить более интересные структуры. Для квадратичного инварианта Казимира это Лапласиан. Операторы Казимира четвертого порядка позволяют возвести в квадрат тензор энергии-импульса, порождая Действие Янга-Миллса. В Теорема Коулмана – Мандулы ограничивает форму, которую они могут принимать при рассмотрении обычных алгебр Ли. Тем не менее Супералгебры Ли способны уклоняться от посылок теоремы Коулмана – Мандулы и могут использоваться для смешивания пространственной и внутренней симметрии.

Примеры в частных случаях

Если ${ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {sl}} _ {2}}$, то он имеет базис из матриц

${ displaystyle h = { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}, { text {}} g = { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}}, { текст {}} f = { begin {pmatrix} 0 & 0 1 & 0 end {pmatrix}}}$

которые удовлетворяют следующим тождествам под стандартной скобкой:

${ displaystyle [h, g] = - 2g}$, ${ displaystyle [h, f] = - 2f}$, и ${ displaystyle [g, f] = - h}$

это показывает нам, что универсальная обертывающая алгебра имеет представление

${ Displaystyle U ({ mathfrak {sl}} _ {2}) = { frac { mathbb {C} langle x, y, z rangle} {(xy-yx + 2y, xz-zx + 2z , yz-zy + x)}}}$

как некоммутативное кольцо.

Если ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ является абелевский (то есть скобка всегда 0), тогда ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ коммутативен; и если основа из векторное пространство ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ был выбран, то ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ можно отождествить с многочлен алгебра над K, с одной переменной на базовый элемент.

Если ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - алгебра Ли, соответствующая Группа Ли грамм, тогда ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ можно отождествить с алгеброй левоинвариантных дифференциальные операторы (всех заказов) на грамм; с ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ лежащий внутри него как левоинвариантный векторные поля как дифференциальные операторы первого порядка.

Чтобы связать два вышеупомянутых случая: если ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ это векторное пространство V как абелева алгебра Ли, левоинвариантные дифференциальные операторы являются операторами с постоянными коэффициентами, которые действительно являются алгеброй полиномов в частные производные первого порядка.

Центр ${ Displaystyle Z ({ mathfrak {g}})}$ состоит из лево- и правоинвариантных дифференциальных операторов; это, в случае грамм не коммутативен, часто не генерируется операторами первого порядка (см., например, Оператор Казимира полупростой алгебры Ли).

Другая характеристика в теории групп Ли - это ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ как свертка алгебра распределения поддержанный только на элемент идентичности е из грамм.

Алгебра дифференциальных операторов в п переменные с полиномиальными коэффициентами могут быть получены, исходя из алгебры Ли Группа Гейзенберга. Видеть Алгебра Вейля за это; нужно взять факторное, чтобы центральные элементы алгебры Ли действовали как предписанные скаляры.

Универсальная обертывающая алгебра конечномерной алгебры Ли является фильтрованной квадратичная алгебра.

Алгебры Хопфа и квантовые группы

Строительство групповая алгебра для данного группа во многом аналогично построению универсальной обертывающей алгебры для данной алгебры Ли. Обе конструкции универсальны и переводят теорию представлений в теорию модулей. Кроме того, как групповые алгебры, так и универсальные обертывающие алгебры обладают естественным коумножения которые превращают их в Алгебры Хопфа. Это уточняется в статье о тензорная алгебра: тензорная алгебра имеет структуру алгебры Хопфа, и, поскольку скобка Ли согласована с этой структурой Хопфа (удовлетворяет условиям согласованности), она наследуется универсальной обертывающей алгеброй.

Учитывая группу Ли грамм, можно построить векторное пространство C (грамм) непрерывных комплекснозначных функций на грамми превратить его в C * -алгебра. Эта алгебра имеет естественную структуру алгебры Хопфа: заданы две функции${ Displaystyle varphi, psi in C (G)}$, умножение определяется как

${ displaystyle ( nabla ( varphi, psi)) (х) = varphi (x) psi (x)}$

и коумножение как

${ Displaystyle ( Delta ( varphi)) (х otimes y) = varphi (xy),}$

страна как

${ Displaystyle varepsilon ( varphi) = varphi (e)}$

и антипод как

${ Displaystyle (S ( varphi)) (х) = varphi (х ^ {- 1}).}$

Теперь Теорема Гельфанда – Наймарка. по существу утверждает, что каждая коммутативная алгебра Хопфа изоморфна алгебре Хопфа непрерывных функций на некоторой компактной топологической группе грамм- теория компактных топологических групп и теория коммутативных алгебр Хопфа совпадают. Для групп Ли это означает, что C (грамм) изоморфно двойственен ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$; точнее, оно изоморфно подпространству дуального пространства ${ displaystyle U ^ {*} ({ mathfrak {g}}).}$

Затем эти идеи можно распространить на некоммутативный случай. Начнем с определения квазитреугольные алгебры Хопфа, а затем выполнить то, что называется квантовая деформация получить квантовая универсальная обертывающая алгебра, или же квантовая группа, для краткости.

Смотрите также

• Теорема Милнора – Мура
• Гомоморфизм Хариш-Чандры

Рекомендации

• Диксмье, Жак (1996) [1974], Обертывающие алгебры, Аспирантура по математике, 11, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0560-2, МИСТЕР  0498740
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666
• Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Аспирантура по математике, 34, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, Дои:10,1090 / г / м2 / 034, ISBN  978-0-8218-2848-9, МИСТЕР  1834454
• Муссон, Ян М. (2012), Супералгебры Ли и обертывающие алгебры, Аспирантура по математике, 131, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-6867-6, Zbl  1255.17001
• Шломо Штернберг (2004), Алгебры Ли, Гарвардский университет.
• Универсальная обертывающая алгебра в nLab