Свободная алгебра Ли - Free Lie algebra

В математика, а свободная алгебра Ли через поле K это Алгебра Ли созданный набор Икс, без каких-либо навязанных отношений, кроме определяющих отношений чередования K-билинейность и Личность Якоби.

Определение

Определение свободной алгебры Ли, порожденной множеством Икс как следует:

Позволять Икс быть набором и ${ Displaystyle я двоеточие X в L}$ а морфизм наборов (функция ) из Икс в алгебру Ли L. Алгебра Ли L называется бесплатно на Икс если ${ displaystyle i}$ это универсальный морфизм; то есть, если для любой алгебры Ли А с морфизмом множеств ${ displaystyle f двоеточие от X до A}$существует единственный морфизм алгебры Ли ${ displaystyle g двоеточие L to A}$ такой, что ${ displaystyle f = g circ i}$.

Учитывая набор Икс, можно показать, что существует единственная свободная алгебра Ли ${ Displaystyle L (X)}$ создано Икс.

На языке теория категорий, то функтор отправка набора Икс в алгебру Ли, порожденную Икс это свободный функтор от категория наборов в категорию алгебр Ли. То есть это левый смежный к забывчивый функтор.

Свободная алгебра Ли на множестве Икс естественно оцененный. 0-градуированная компонента свободной алгебры Ли - это просто свободное векторное пространство на этом наборе.

В качестве альтернативы можно определить свободную алгебру Ли на векторное пространство V как левый сопряженный к забывчивому функтору из алгебр Ли над полем K в векторные пространства над полем K - забывая структуру алгебры Ли, но помня структуру векторного пространства.

Универсальная обертывающая алгебра

В универсальная обертывающая алгебра свободной алгебры Ли на множестве Икс это свободная ассоциативная алгебра создано Икс. Посредством Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта. она «того же размера», что и симметрическая алгебра свободной алгебры Ли (что означает, что если обе стороны градуированы, задавая элементы Икс степень 1, то они изоморфный как градуированные векторные пространства). Его можно использовать для описания размерности части свободной алгебры Ли любой заданной степени.

Эрнст Витт показал, что количество основные коммутаторы степени k в свободной алгебре Ли на м-элементный набор задается колье полином:

${ Displaystyle M_ {m} (k) = { frac {1} {k}} sum _ {d | k} mu (d) cdot m ^ {k / d},}$

куда ${ displaystyle mu}$ это Функция Мёбиуса.

Градуированной двойственной универсальной обертывающей алгебры свободной алгебры Ли на конечном множестве является перемешать алгебру. По сути, это следует из того, что универсальные обертывающие алгебры имеют структуру Алгебра Хопфа, а перемешать продукт описывает действие коумножения в этой алгебре. Видеть тензорная алгебра для подробного описания взаимосвязи между произведением перемешивания и коумножением.

Прихожие

Явный базис свободной алгебры Ли может быть задан в терминах Набор для прихожей, который представляет собой особый вид подмножества внутри свободная магма на Икс. Элементы свободной магмы бинарные деревья, листья которых помечены элементами Икс. Наборы Холла были представлены Маршалл Холл  (1950 ) на основе работы Филип Холл по группам. Впоследствии Вильгельм Магнус показали, что они возникают как градуированная алгебра Ли связанный с фильтрацией на свободная группа предоставленный нижний центральный ряд. Эта переписка была мотивирована коммутатор идентичности в теория групп благодаря Филиппу Холлу и Витту.

Линдоновая основа

В Слова Линдона являются частным случаем Слова зала, и, таким образом, в частности, существует базис свободной алгебры Ли, соответствующий словам Линдона. Это называется Линдоновая основа, названный в честь Роджер Линдон. (Это также называется базисом Чена – Фокса – Линдона или базисом Линдона – Ширшова и по сути совпадает с базисом Ширшовская основа.)Существует биекция γ от слов Линдона в упорядоченном алфавите до базиса свободной алгебры Ли на этом алфавите, определяемой следующим образом:

• Если слово ш имеет длину 1, тогда ${ Displaystyle гамма (ш) = ш}$ (рассматривается как генератор свободной алгебры Ли).
• Если ш имеет длину не менее 2, то напишите ${ displaystyle w = uv}$ для слов Линдона ты, v с v как можно дольше («стандартная факторизация»^[1]). потом ${ Displaystyle гамма (ш) = [ гамма (и), гамма (v)]}$.

Теорема Ширшова – Витта.

Анатолий Ширшов  (1953 ) и Витт  (1956 ) показал, что любой Подалгебра Ли свободной алгебры Ли сама является свободной алгеброй Ли.

Приложения

Теорема Серра о полупростой алгебре Ли использует свободную алгебру Ли для построения полупростой алгебры из образующих и отношений.

В Инварианты Милнора из группа ссылок связаны со свободной алгеброй Ли на компонентах связь, как описано в этой статье.

Смотрите также Ложь операда за использование свободной алгебры Ли при построении операды.

Смотрите также

• Бесплатный объект
• Свободная алгебра
• Бесплатная группа

Рекомендации

• Бахтурин, Ю.А. (2001) [1994], «Свободная алгебра Ли над кольцом», Энциклопедия математики, EMS Press
• Бурбаки, Николас (1989). «Глава II: Свободные алгебры Ли». Группы Ли и алгебры Ли. Springer. ISBN  0-387-50218-1.
• Чен, Куо-Цай; Фокс, Ральф Х.; Линдон, Роджер С. (1958), "Свободное дифференциальное исчисление. IV. Фактор-группы нижнего центрального ряда", Анналы математики, Вторая серия, 68 (1): 81–95, Дои:10.2307/1970044, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970044, МИСТЕР  0102539
• Холл, Маршалл (1950), «Базис свободных колец Ли и высших коммутаторов в свободных группах», Труды Американского математического общества, 1 (5): 575–581, Дои:10.1090 / S0002-9939-1950-0038336-7, ISSN  0002-9939, МИСТЕР  0038336
• Лотэр, М. (1997), Комбинаторика слов, Энциклопедия математики и ее приложений, 17, Perrin, D .; Ройтенауэр, Кристоф; Berstel, J .; Pin, J. E .; Pirillo, G .; Foata, D .; Сакарович, Дж .; Саймон, I .; Шютценбергер, Марсель-Поль; Choffrut, C .; Cori, R .; Линдон, Роджер; Рота, Джан-Карло. Предисловие Роджера Линдона (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, стр. 76–91, 98, ISBN  0-521-59924-5, Zbl  0874.20040
• Магнус, Вильгельм (1937), "Über Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком), 177 (177): 105–115, Дои:10.1515 / crll.1937.177.105, ISSN  0075-4102, JFM  63.0065.01
• Магнус, Вильгельм; Каррасс, Авраам; Солитэр, Дональд (2004). Комбинаторная теория групп (Перепечатка второго издания 1976 г.). Минеола, штат Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0-486-43830-9. МИСТЕР  2109550.
• Гай Мелансон (2001) [1994], «Прихожая», Энциклопедия математики, EMS Press
• Гай Мелансон (2001) [1994], "Холл слово", Энциклопедия математики, EMS Press
• Мелансон, Гай (2001) [1994], «Ширшовская основа», Энциклопедия математики, EMS Press
• Ройтенауэр, Кристоф (1993), Свободные алгебры Ли, Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, 7, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853679-6, МИСТЕР  1231799
• Ширшов, Анатолий И. (1953), "Подалгебры свободных алгебр Ли", Мат. Сборник Н.С., 33 (75): 441–452, МИСТЕР  0059892
• Ширшов, Анатолий И. (1958), «О свободных кольцах Ли», Мат. Сборник Н.С., 45 (2): 113–122, МИСТЕР  0099356
• Бокут, Леонид А .; Латышев Виктор; Шестаков, Иван; Зельманов Ефим, ред. (2009). Избранные произведения А.И. Ширшов. Перевод Бремнера, Мюррея; Кочетов, Михаил В. Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser. МИСТЕР  2547481.
• Витт, Эрнст (1956). "Die Unterringe der freien Lieschen Ringe". Mathematische Zeitschrift. 64: 195–216. Дои:10.1007 / BF01166568. ISSN  0025-5874. МИСТЕР  0077525.