Полином ожерелья - Necklace polynomial
В комбинаторный математика, колье полином, или же Функция подсчета ожерелий Моро, представлен К. Моро (1872 ), подсчитывает количество различных ожерелий п цветные бусины выбираются из доступных цветов α. Ожерелья предполагаются апериодическими (не состоящими из повторяющихся подпоследовательностей), и подсчет производится «без переворачивания» (без изменения порядка бусинок). Эта считающая функция описывает, среди прочего, количество свободных алгебр Ли и количество неприводимых многочленов над конечным полем.
Определение
Полиномы ожерелья - это семейство многочленов в переменной такой, что
К Инверсия Мёбиуса они даны
куда это классика Функция Мёбиуса.
Близкородственная семья, называемая общий полином ожерелья или же общая функция подсчета ожерелий, является:
куда является Функция Эйлера.
Приложения
Полиномы ожерелья отображаются как:
- Количество апериодические ожерелья (или эквивалентно Слова Линдона ), что можно сделать, расположив п цветные бусины, имеющие α доступные цвета. Два таких ожерелья считаются равными, если они связаны вращением (но не отражением). Апериодический относится к ожерельям без симметрии вращения, имеющим п отчетливые вращения. Полиномы укажите количество ожерелий, включая периодические: это легко вычислить с помощью Теория Полиа.
- Размер степени п кусок свободная алгебра Ли на α генераторы («формула Витта»[1]). Здесь должен быть размером степени n соответствующего свободного Йорданова алгебра.
- Количество различных слов длины п в Набор для прихожей. Обратите внимание, что множество Холла обеспечивает явный базис для свободной алгебры Ли; таким образом, это обобщенная настройка для вышеупомянутого.
- Число монических неприводимых многочленов степени п через конечное поле с α элементы (когда - простая степень). Здесь - количество примарных многочленов (степень неприводимого).
- Показатель в циклотомическая идентичность.
Несмотря на то, что многочлены появляются в этих различных параметрах настройки, точные отношения между ними остаются загадочными или неизвестными. Например, не существует известной биекции между неприводимыми многочленами и словами Линдона.[2]
Отношения между M и N
Многочлены для M и N легко связаны с точки зрения Свертка Дирихле арифметических функций , касательно как константа.
- Формула для M дает ,
- Формула для N дает .
- Их отношение дает или эквивалентно , поскольку п является полностью мультипликативный.
Любые два из них подразумевают третий, например:
сокращением в алгебре Дирихле.
Примеры
За , начиная с нулевой длины, они образуют целочисленная последовательность
Идентичности
Полиномы подчиняются различным комбинаторным тождествам, данным Metropolis & Rota:
где "gcd" наибольший общий делитель а "lcm" - наименьший общий множитель. В более общем смысле,
что также подразумевает:
Циклотомическая идентичность
Рекомендации
- ^ Лотэр, М. (1997). Комбинаторика слов. Энциклопедия математики и ее приложений. 17. Perrin, D .; Reutenauer, C .; Berstel, J .; Pin, J. E .; Pirillo, G .; Foata, D .; Сакарович, Дж .; Саймон, I .; Schützenberger, M. P .; Choffrut, C .; Cori, R .; Линдон, Роджер; Рота, Джан-Карло. Предисловие Роджера Линдона (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 79, 84. ISBN 978-0-521-59924-5. МИСТЕР 1475463. Zbl 0874.20040.
- ^ Эми Глен (2012) Комбинаторика слов Линдона, Разговор в Мельбурне
- Моро, К. (1872), "Sur les permutations circaires distinctes (О различных круговых перестановках)", Nouvelles Annales de Mathématiques, Journal des Candidats Aux écoles Polytechnique et Normale, Sér. 2 (На французском), 11: 309–31, JFM 04.0086.01
- Метрополис, Н.; Рота, Джан-Карло (1983), "Векторы Витта и алгебра ожерелий", Успехи в математике, 50 (2): 95–125, Дои:10.1016 / 0001-8708 (83) 90035-X, ISSN 0001-8708, МИСТЕР 0723197, Zbl 0545.05009
- Ройтенауэр, Кристоф (1988). "Круговые движения и неприводимые многочлены". Анна. Sc. Математика. Квебек. 12 (2): 275–285.