Ссылка (теория узлов) - Link (knot theory)

В Кольца Борромео, звено, состоящее из трех компонентов, каждый из которых эквивалентен безузлу.

В математический теория узлов, а связь это собрание узлы которые не пересекаются, но могут быть связаны (или связаны) вместе. Узел можно описать как связь с одним компонентом. Связи и узлы изучаются в разделе математики, называемом теория узлов. В этом определении подразумевается, что существует банальный ссылочная ссылка, обычно называемая разорвать связь, но это слово также иногда используется в контексте, где нет понятия тривиальной ссылки.

Связь Хопфа натянута на скрученную кольцо.

Например, связь с двумя измерениями в трехмерном пространстве является подпространство 3-х мерного Евклидово пространство (или часто 3-сфера ) чей связанные компоненты находятся гомеоморфный к круги.

Простейший нетривиальный пример ссылки с более чем одним компонентом называется Ссылка Хопфа, состоящий из двух кружков (или развязки ) связаны вместе один раз. Круги в Кольца Борромео все вместе связаны, несмотря на то, что никакие два из них не связаны напрямую. Таким образом, кольца Борромео образуют Бруннская ссылка и по сути представляют собой простейшую такую ​​ссылку.

Узел трилистник связаны с кругом.

В Ссылка Хопфа является согласованный к разорвать связь.

(2,4) звено тора

Обобщения

Понятие ссылки можно обобщить по-разному.

Общие многообразия

Часто слово связь используется для описания любого подмногообразия сфера ${ Displaystyle S ^ {п}}$ диффеоморфен несвязному объединению конечного числа сферы, ${ Displaystyle S ^ {j}}$.

В общем, слово связь по сути то же самое, что и слово морской узел - контекст таков, что есть подмногообразие M многообразия N (считается тривиально вложенным) и нетривиальным вложением M в N, нетривиально в том смысле, что 2-е вложение не изотопический до 1-го. Если M отключено, вложение называется связью (или называется связаны). Если M связан, он называется узлом.

Клубки, нитки и косы

Хотя (одномерные) связи определяются как вложения кругов, часто бывает интересно и особенно технически полезно рассматривать вложенные интервалы (нити), как в теория кос.

В большинстве случаев можно рассматривать клубок^[1][2] - клубок - это вложение

${ displaystyle T двоеточие X to mathbf {R} ^ {2} times I}$

(гладкого) компактного 1-многообразия с краем ${ displaystyle (X, partial X)}$ в самолет, умноженный на интервал ${ Displaystyle I = [0,1],}$ такая, что граница ${ Displaystyle Т ( частичный X)}$ встроен в

${ Displaystyle mathbf {R} times {0,1 }}$ (${ displaystyle {0,1 } = partial I}$).

В тип клубка - это многообразие ИКС, вместе с фиксированным вложением ${ displaystyle partial X.}$

Конкретно связное компактное 1-многообразие с краем - это отрезок ${ Displaystyle I = [0,1]}$ или круг ${ Displaystyle S ^ {1}}$ (компактность исключает открытый интервал ${ displaystyle (0,1)}$ и полуоткрытый интервал ${ displaystyle [0,1),}$ ни одно из них не дает нетривиальных вложений, поскольку открытый конец означает, что их можно сжать до точки), поэтому возможно несвязное компактное 1-многообразие представляет собой набор п интервалы ${ Displaystyle I = [0,1]}$ и м круги ${ displaystyle S ^ {1}.}$ Условие того, что граница Икс лежит в

${ Displaystyle mathbf {R} times {0,1 }}$

говорит, что интервалы либо соединяют две линии, либо соединяют две точки на одной из линий, но не налагают никаких условий на окружности. Можно рассматривать клубки как имеющие вертикальное направление (я), лежащий между двумя линиями и, возможно, соединяющий их

(${ displaystyle mathbf {R} times 0}$ и ${ displaystyle mathbf {R} times 1}$),

а затем возможность двигаться в двухмерном горизонтальном направлении (${ displaystyle mathbf {R} ^ {2}}$)

между этими строками; можно спроецировать их, чтобы сформировать диаграмма клубка, аналогично диаграмма узла.

Связки включают ссылки (если Икс состоит только из кругов), косы и прочего, например, прядь, соединяющая две линии вместе с кругом, соединенным вокруг нее.

В этом контексте коса определяется как клубок, который всегда идет вниз, производная которого всегда имеет ненулевой компонент по вертикали (я) направление. В частности, он должен состоять исключительно из интервалов, а не дублироваться сам по себе; однако не указывается, где находятся концы линии.

А строковая ссылка представляет собой клубок, состоящий только из интервалов, концы каждой нити должны лежать в точках (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2 , 1), ... - т.е. соединяя целые числа и заканчивая в том же порядке, в котором они начинались (можно использовать любой другой фиксированный набор точек); если это ℓ компоненты, мы называем это "ℓ-компонентная строковая ссылка ". Строчная ссылка не обязательно должна быть оплеткой - она ​​может дублировать себя, например, двухкомпонентная строчная ссылка, которая имеет узел сверху. Коса, которая также является звеном нити, называется чистая коса, и соответствует обычному такому представлению.

Ключевое техническое значение клубков и струнных ссылок состоит в том, что они имеют алгебраическую структуру. Изотопические классы связок образуют тензорная категория, где для структуры категорий можно составить два клубка, если нижний конец одного равен верхнему концу другого (чтобы границы можно было сшить вместе), складывая их друг на друга - они не образуют буквально категорию (точечно), потому что тождества нет, поскольку даже тривиальный клубок занимает вертикальное пространство, но с точностью до изотопии они это делают. Тензорная структура задается наложением клубков - расположение одного клубка справа от другого.

Для фиксированного ℓ, изотопические классы ℓ-компонентные строковые ссылки образуют моноид (можно составить все ℓ-компонентные строковые связи, и существует идентичность), но не группа, поскольку классы изотопии строковых связей не обязательно должны иметь инверсии. Тем не мение, согласованность классы (а значит, и гомотопия классы) строковых ссылок действительно имеют инверсии, где инверсия задается путем переворота строковой ссылки вверх ногами и, таким образом, формирует группу.

Каждую ссылку можно разрезать на части, чтобы сформировать строковую ссылку, хотя она не уникальна, и инварианты ссылок иногда можно понимать как инварианты строковых ссылок - это так для Инварианты Милнора, например. Сравнить с закрытые косы.

Смотрите также

• Ссылочный номер
• Гиперболическая ссылка
• Отменить связь
• Группа ссылок

Рекомендации