Узел-трилистник - Википедия - Trefoil knot

Трилистник
Распространенное имя	Узел сверху
Инвариант Arf	1
Длина тесьмы	3
Тесьма нет.	2
Мост нет.	2
Crosscap no.	1
Переход нет.	3
Род	1
Гиперболический объем	0
Палка нет.	6
Туннель нет.	1
Распутывания нет.	1
Обозначение Конвея	[3]
Обозначения A-B	31
Обозначение Даукера	4, 6, 2
Последний / следующий	01 / 41
Другой
чередование, тор, волокнистый, крендель, основной, не нарезать, обратимый, трехцветный, крутить

В теория узлов, филиал математика, то трилистник это простейший пример нетривиального морской узел. Трилистник можно получить, соединив два свободных конца общей узел сверху, в результате чего получается завязанный петля. Как простейший узел, трилистник играет важную роль в изучении математической теории узлов.

Узел-трилистник назван в честь трехлистника. клевер (или трилистник) растение.

Описания

Узел-трилистник можно определить как изгиб полученный из следующих параметрические уравнения:

${ Displaystyle х = грех t + 2 грех 2t}$

${ Displaystyle у = соз т-2 соз 2т}$

${ displaystyle z = - sin 3t}$

(2,3) -торический узел также узел трилистника. Следующие параметрические уравнения дают (2,3) -торный узел, лежащий на тор ${ Displaystyle (г-2) ^ {2} + г ^ {2} = 1}$:

${ Displaystyle х = (2+ соз 3т) соз 2т}$

${ Displaystyle у = (2+ соз 3т) грех 2т}$

${ Displaystyle Z = грех 3t}$

Воспроизвести медиа

Видео по изготовлению узла трилистник

Форма узла-трилистника без визуальной тройной симметрии

Любая непрерывная деформация кривой выше также считается узлом-трилистником. Конкретно любая кривая изотопический к трилистнику узел также считается трилистником. В дополнение зеркальное изображение узла трилистника также считается трилистником. В топологии и теории узлов трилистник обычно определяется с помощью диаграмма узла вместо явного параметрического уравнения.

В алгебраическая геометрия, трилистник также может быть получен как пересечение в C² подразделения 3-сфера S³ с кривая комплексной плоскости нулей комплекса многочлен z² + ш³ (а куспидальный кубический ).

Левый трилистник и правый трилистник.

Если один конец ленты или ремня трижды перевернуть, а затем приклеить к другому, край образует узел-трилистник.^[1]

Симметрия

Узел-трилистник хиральный в том смысле, что узел-трилистник можно отличить от его собственного зеркального отражения. Два результирующих варианта известны как левосторонний трилистник и правосторонний трилистник. Невозможно непрерывно деформировать левый трилистник в правый трилистник или наоборот. (То есть два трилистника не являются окружающими изотопами.)

Несмотря на хиральность, узел-трилистник также обратим, что означает, что нет различия между узлом. против часовой стрелки -ориентированный и ориентированный по часовой стрелке трилистник. То есть хиральность трилистника зависит только от верхнего и нижнего пересечения, а не от ориентации кривой.

Узел-трилистник трехцветный.

Узел наверху становится узлом-трилистником, соединяя концы.

Нетривиальность

Узел-трилистник нетривиален, это означает, что невозможно «развязать» узел-трилистник в трех измерениях, не разрезая его. Математически это означает, что узел-трилистник не изотопен развязанный. В частности, отсутствует последовательность Рейдемейстер движется что развяжет трилистник.

Доказательство этого требует построения инвариант узла что отличает трилистник от несучка. Простейший такой инвариант - это трехцветность: трилистник трехцветный, а развязанный - нет. Кроме того, практически все основные полином узла отличает трилистник от узла, как и большинство других сильных инвариантов узлов.

Классификация

В теории узлов трилистник - это первый нетривиальный узел и единственный узел с номер перехода три. Это главный узел, и обозначен как 3₁ в Обозначения Александра-Бриггса. В Обозначение Даукера для трилистника - 4 6 2, а Обозначение Конвея это [3].

Трилистник можно описать как (2,3) -торический узел. Это также узел, полученный путем закрытия тесьма σ₁³.

Трилистник - это чередующийся узел. Однако это не разрезать узел, что означает, что он не связывает гладкий 2-мерный диск с 4-мерным шаром; один из способов доказать это - отметить, что его подпись не равно нулю. Другое доказательство состоит в том, что его многочлен Александера не удовлетворяет Состояние Фокса-Милнора.

Трилистник - это волокнистый узел, что означает, что его дополнять в ${ Displaystyle S ^ {3}}$ это пучок волокон над круг ${ Displaystyle S ^ {1}}$. Трилистник K можно рассматривать как набор пар ${ Displaystyle (г, ш)}$ из сложные числа такой, что ${ Displaystyle | г | ^ {2} + | ш | ^ {2} = 1}$ и ${ displaystyle z ^ {2} + w ^ {3} = 0}$. Тогда это пучок волокон имеет Карта Милнора ${ displaystyle phi (z, w) = (z ^ {2} + w ^ {3}) / | z ^ {2} + w ^ {3} |}$ как проекция пучка волокон узлового дополнения ${ Displaystyle S ^ {3}}$ \ K в круг ${ Displaystyle S ^ {1}}$. Волокно однократно проколотое. тор. Поскольку дополнение к узлу также является Зайферта волокнистый с границей имеет горизонтальную несжимаемую поверхность - это тоже волокно Карта Милнора. (Предполагается, что узел утолщился и стал полноторием N_ε(K), и что внутренность этого полнотория была удалена, чтобы создать компактное узловое дополнение ${ Displaystyle S ^ {3}}$ int (N_ε(K)).)

Инварианты

В Полином александра узла трилистника

${ Displaystyle Delta (т) = т-1 + т ^ {- 1}, ,}$

и Многочлен Конвея является

${ Displaystyle набла (г) = г ^ {2} +1.}$^[2]

В Многочлен Джонса является

${ Displaystyle V (q) = q ^ {- 1} + q ^ {- 3} -q ^ {- 4}, ,}$

и Многочлен Кауфмана трилистника

${ Displaystyle L (a, z) = za ^ {5} + z ^ {2} a ^ {4} -a ^ {4} + za ^ {3} + z ^ {2} a ^ {2} - 2a ^ {2}. ,}$

В Полином ХОМФЛИ трилистника

${ Displaystyle L ( alpha, z) = - alpha ^ {4} + alpha ^ {2} z ^ {2} +2 alpha ^ {2}. ,}$

В группа узлов трилистника дается презентацией

${ displaystyle langle x, y mid x ^ {2} = y ^ {3} rangle ,}$

или эквивалентно

${ displaystyle langle x, y mid xyx = yxy rangle. ,}$^[3]

Эта группа изоморфна группе группа кос с тремя прядями.

В религии и культуре

Как простейший нетривиальный узел, трилистник - это обычный мотив в иконография и Изобразительное искусство. Например, обычная форма Triquetra символ - трилистник, как и некоторые версии германского Валкнут.

В современном искусстве ксилография Узлы к М. К. Эшер изображает три узла-трилистника, твердые формы которых скручены по-разному.^[4]

Смотрите также

• Ссылка на крендель
• Узел восьмерка (математика)
• Triquetra символ
• Лапчатка узелок
• Гордиев узел

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вольфрамальфа: (2,3) -торный узел
• Узел-трилистник 3d модель