Квадратный узел (математика) - Square knot (mathematics)

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: Математика "квадратного узла"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Сентябрь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Квадратный узел
Трехмерный вид
Распространенное имя	Рифовый узел
Переход нет.	6
Палка нет.	8
Обозначения A-B	${ displaystyle 3_ {1} # 3_ {1} ^ {*}}$
Другой
составной, крендель, кусочек, амфихиральный, трехцветный

Квадратный узел, нарисованный как ленточный узел

Квадратный узел = трилистник + отражение трилистника. Изображены палочки.

В теория узлов, то квадратный узел это составной узел полученный путем взятия связанная сумма из трилистник с этими отражение. Это тесно связано с бабушка узел, который также является связанной суммой двух трилистников. Поскольку узел-трилистник является простейшим нетривиальным узлом, квадратный узел и узел-бабушка являются простейшими из всех составных узлов.

Квадратный узел - это математическая версия обычного рифовый узел.

строительство

Квадратный узел может быть построен из двух узлов-трилистников, один из которых должен быть левым, а другой правым. Каждый из двух узлов разрезается, а затем свободные концы попарно соединяются. Полученная связная сумма и есть квадратный узел.

Важно, чтобы оригинальные узлы-трилистники были зеркальным отображением друг друга. Если вместо этого использовать два одинаковых узла-трилистника, получится бабушкин-узел.

Свойства

Квадратный узел амфихиральный, что означает, что он неотличим от собственного зеркального отображения. В номер перехода квадратного узла - шесть, что является наименьшим возможным числом пересечений для составного узла.

В Полином александра квадратного узла

${ Displaystyle Delta (т) = (т-1 + т ^ {- 1}) ^ {2}, ,}$

что просто квадрат полинома Александера трилистного узла. Точно так же Полином Александера – Конвея квадратный узел

${ displaystyle nabla (z) = (z ^ {2} +1) ^ {2}.}$

Эти два полинома такие же, как и для бабушкиного узла. Однако Многочлен Джонса для квадратного узла

${ Displaystyle V (q) = (q ^ {- 1} + q ^ {- 3} -q ^ {- 4}) (q + q ^ {3} -q ^ {4}) = - q ^ { 3} + q ^ {2} -q + ​​3-q ^ {- 1} + q ^ {- 2} -q ^ {- 3}. ,}$

Это произведение полиномов Джонса для правостороннего и левостороннего узлов-трилистников и отличается от полинома Джонса для бабушкиного узла.

В группа узлов квадратного узла дается презентацией

${ displaystyle langle x, y, z mid xyx = yxy, xzx = zxz rangle. ,}$^[1]

Это изоморфный к группе узлов бабушкиного узла и является простейшим примером двух различных узлов с изоморфными группами узлов.

В отличие от бабушкиного узла, квадратный узел - это ленточный узел, и, следовательно, также разрезать узел.

использованная литература