Связанная сумма - Connected sum

В математика особенно в топология, работа связанная сумма это геометрическая модификация на коллекторы. Его эффект состоит в том, чтобы соединить два заданных многообразия вместе около выбранной точки на каждом. Эта конструкция играет ключевую роль в классификация закрытых поверхностей.

В более общем смысле, можно также соединять многообразия вместе вдоль идентичных подмногообразий; это обобщение часто называют сумма клетчатки. Существует также тесно связанное понятие связанной суммы на узлы, называется узловая сумма или же сочинение узлов.

Иллюстрация связанной суммы.

Связанная сумма в точке

А связанная сумма из двух м-размерный коллекторы - многообразие, образованное удалением мяч внутри каждого коллектора и склеивание полученная граница сферы.

Если оба коллектора ориентированный, существует единственная связная сумма, определяемая обратной ориентацией карты склейки. Хотя конструкция использует выбор шаров, результат уникален до гомеоморфизм. Также можно заставить эту операцию работать в гладкий категория, и тогда результат уникален с точностью до диффеоморфизм. В гладком случае есть тонкие проблемы: не каждый диффеоморфизм между границами сфер дает одно и то же составное многообразие, даже если ориентации выбраны правильно. Например, Милнор показал, что две 7-клетки можно склеить по их границе, так что в результате получится экзотическая сфера гомеоморфен, но не диффеоморфен 7-сфере.

Однако существует канонический способ выбора склейки ${ displaystyle M_ {1}}$ и ${ displaystyle M_ {2}}$ что дает единственную корректно определенную связную сумму.^[1] Выберите вложения ${ displaystyle i_ {1}: D_ {n} rightarrow M_ {1}}$ и ${ displaystyle i_ {2}: D_ {n} rightarrow M_ {2}}$ так что ${ displaystyle i_ {1}}$ сохраняет ориентацию и ${ displaystyle i_ {2}}$ меняет ориентацию. Теперь получите ${ displaystyle M_ {1} # M_ {2}}$ из непересекающейся суммы

${ displaystyle (M_ {1} -i_ {1} (0)) sqcup (M_ {2} -i_ {2} (0))}$

путем выявления ${ displaystyle i_ {1} (tu)}$ с ${ Displaystyle I_ {2} ((1-т) и)}$ для каждого единичного вектора ${ Displaystyle и в S ^ {п-1}}$ и каждый ${ Displaystyle 0 <т <1}$. Выберите ориентацию для ${ displaystyle M_ {1} # M_ {2}}$ который совместим с ${ displaystyle M_ {1}}$ и ${ displaystyle M_ {2}}$. Тот факт, что эта конструкция является корректной, в решающей степени зависит от теорема о диске, что совсем не очевидно. Подробнее см. ^[2]

Операция связной суммы обозначается ${ displaystyle #}$; Например ${ displaystyle A #B}$ обозначает связную сумму ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$.

Операция связной суммы имеет сферу ${ Displaystyle S ^ {m}}$ как личность; то есть, ${ Displaystyle M # S ^ {m}}$ гомеоморфен (или диффеоморфен) ${ displaystyle M}$.

Классификация замкнутых поверхностей, основополагающий и исторически значимый результат в топологии, гласит, что любая замкнутая поверхность может быть выражена как связная сумма сферы с некоторым числом ${ displaystyle g}$ из тори и некоторое количество ${ displaystyle k}$ из реальные проективные плоскости.

Связная сумма вдоль подмногообразия

Позволять ${ displaystyle M_ {1}}$ и ${ displaystyle M_ {2}}$ - два гладких ориентированных многообразия одинаковой размерности и ${ displaystyle V}$ гладкое замкнутое ориентированное многообразие, вложенное как подмногообразие в оба ${ displaystyle M_ {1}}$ и ${ displaystyle M_ {2}.}$ Предположим, кроме того, что существует изоморфизм нормальные связки

${ displaystyle psi: N_ {M_ {1}} V to N_ {M_ {2}} V}$

который меняет ориентацию на каждом волокне. потом ${ displaystyle psi}$ индуцирует сохраняющий ориентацию диффеоморфизм

${ Displaystyle N_ {1} setminus V cong N_ {M_ {1}} V setminus V to N_ {M_ {2}} V setminus V cong N_ {2} setminus V,}$

где каждый нормальный пучок ${ displaystyle N_ {M_ {i}} V}$ диффеоморфно отождествляется с окрестностью ${ displaystyle N_ {i}}$ из ${ displaystyle V}$ в ${ displaystyle M_ {i}}$, и карта

${ Displaystyle N_ {M_ {2}} V setminus V to N_ {M_ {2}} V setminus V}$

является обращающей ориентацию диффеоморфной инволюцией

${ Displaystyle v mapsto v / | v | ^ {2}}$

на нормальные векторы. В связанная сумма из ${ displaystyle M_ {1}}$ и ${ displaystyle M_ {2}}$ вдоль ${ displaystyle V}$ тогда пространство

${ Displaystyle (M_ {1} setminus V) bigcup _ {N_ {1} setminus V = N_ {2} setminus V} (M_ {2} setminus V)}$

полученный склейкой удаленных окрестностей сохраняющим ориентацию диффеоморфизмом. Сумма часто обозначается

${ displaystyle (M_ {1}, V) # (M_ {2}, V).}$

Тип его диффеоморфизма зависит от выбора двух вложений ${ displaystyle V}$ и по выбору ${ displaystyle psi}$.

Грубо говоря, каждый нормальный слой подмногообразия ${ displaystyle V}$ содержит единственную точку ${ displaystyle V}$, а связная сумма по ${ displaystyle V}$ - это просто связная сумма, как описано в предыдущем разделе, выполняемая вдоль каждого волокна. По этой причине связанная сумма по ${ displaystyle V}$ часто называют сумма клетчатки.

Частный случай ${ displaystyle V}$ точка восстанавливает связанную сумму предыдущего раздела.

Связная сумма на подмногообразии коразмерности два

Другой важный частный случай возникает, когда размерность ${ displaystyle V}$ на два меньше, чем у ${ displaystyle M_ {i}}$. Тогда изоморфизм ${ displaystyle psi}$ нормальных связок существует всякий раз, когда их Классы Эйлера противоположны:

${ displaystyle e (N_ {M_ {1}} V) = - e (N_ {M_ {2}} V).}$

Кроме того, в этом случае структурная группа нормальных пучков - это круговая группа ${ Displaystyle SO (2)}$; отсюда следует, что выбор вложений можно канонически отождествить с группой гомотопия классы карт из ${ displaystyle V}$ к окружности, которая в свою очередь равна первому интегралу когомология группа ${ Displaystyle H ^ {1} (V)}$. Таким образом, тип диффеоморфизма суммы зависит от выбора ${ displaystyle psi}$ и выбор элемента из ${ Displaystyle H ^ {1} (V)}$.

Связная сумма по коразмерности два ${ displaystyle V}$ также может проводиться в категории симплектические многообразия; эта разработка называется симплектическая сумма.

Местное управление

Связная сумма - это локальная операция на многообразиях, означающая, что она изменяет слагаемые только в район из ${ displaystyle V}$. Это означает, например, что сумма может быть проведена на одном многообразии ${ displaystyle M}$ содержащий два непересекающийся копии ${ displaystyle V}$, с эффектом приклеивания ${ displaystyle M}$ себе. Например, связная сумма двумерной сферы в двух различных точках сферы дает двумерный тор.

Связанная сумма узлов

Существует тесно связанное понятие связной суммы двух узлов. Фактически, если рассматривать узел просто как одномерное многообразие, то связная сумма двух узлов - это всего лишь их связная сумма как одномерного многообразия. Однако существенным свойством узла является не структура его многообразия (при которой каждый узел эквивалентен окружности), а скорее его структура. встраивание в окружающее пространство. Таким образом, связная сумма узлов имеет более подробное определение, которое дает четко определенное вложение, как показано ниже.

Рассмотрим непересекающиеся плоские проекции каждого узла.

Найдите на плоскости прямоугольник, в котором одна пара сторон представляет собой дугу вдоль каждого узла, но в остальном не пересекается с узлами.

Теперь соедините два узла вместе, удалив эти дуги из узлов и добавив дуги, образующие другую пару сторон прямоугольника.

Результатом этой процедуры является проекция нового узла, связанная сумма (или же узловая сумма, или же сочинение) исходных узлов. Чтобы связная сумма узлов была корректно определена, необходимо учесть ориентированные узлы в 3-м пространстве. Чтобы определить связную сумму для двух ориентированных узлов:

1. Рассмотрим плоскую проекцию каждого узла и предположим, что эти проекции не пересекаются.
2. Найдите прямоугольник на плоскости, у которого одна пара сторон является дугой вдоль каждого узла, но в остальном не пересекается с узлами. и так, чтобы дуги узлов по сторонам прямоугольника были ориентированы вокруг границы прямоугольника в то же направление.
3. Теперь соедините два узла вместе, удалив эти дуги из узлов и добавив дуги, которые образуют другую пару сторон прямоугольника.

Результирующий узел связной суммы наследует ориентацию, согласованную с ориентациями двух исходных узлов, и ориентированный окружающий изотопический класс результата хорошо определен, зависящий только от ориентированных окружающих изотопических классов исходных двух узлов.

Ориентированные узлы в трехмерном пространстве под действием этой операции образуют коммутативную моноид с уникальным простые множители, что позволяет нам определить, что подразумевается под главный узел. Доказательство коммутативности можно увидеть, если дать одному слагаемому сжаться до очень малого размера, а затем потянуть его за другой узел. Узел - это единица. Два узла трилистника - самые простые простые узлы. Узлы большего размера могут быть добавлены путем сращивания ${ displaystyle n}$-сферы.

В трех измерениях узел не может быть записан как сумма двух нетривиальных узлов. Этот факт следует из аддитивности узелковый род; другое доказательство опирается на бесконечную конструкцию, иногда называемую Мазурское мошенничество. В более высоких измерениях (с коразмерностью не менее трех) можно получить развязку, добавив два нетривиальных узла.

Если сделать нет Принимая во внимание ориентацию узлов, операция связной суммы не определена корректно на изотопических классах (неориентированных) узлов. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим два необратимых узла К, Л которые не эквивалентны (как неориентированные узлы); Например, возьмем два узла кренделя K = п(3,5,7) и L = п(3,5,9). Позволять K₊ и K₋ быть K с двумя неэквивалентными ориентациями, и пусть L₊ и L₋ быть L с двумя его неэквивалентными ориентациями. Мы можем образовать четыре ориентированные связанные суммы:

• А = K₊ # L₊
• B = K₋ # L₋
• C = K₊ # L₋
• D = K₋ # L₊

Все ориентированные объемлющие изотопические классы этих четырех ориентированных узлов различны. И, если рассматривать окружающую изотопию узлов без учета ориентации, есть два разных классы эквивалентности: { А ~ B } и { C ~ D }. Чтобы увидеть это А и B являются неориентированными эквивалентными, просто обратите внимание, что они обе могут быть построены из той же пары проекций непересекающихся узлов, как указано выше, с единственной разницей в ориентации узлов. Точно так же видно, что C и D могут быть построены из той же пары проекций непересекающихся узлов.

Смотрите также

• Сумма диапазона
• Разложение на простые числа (3-многообразие)
• Разложение многообразия
• Спутниковый узел

дальнейшее чтение

• Роберт Гомпф: Новая конструкция симплектических многообразий, Анналы математики 142 (1995), 527–595
• Уильям С. Мэсси, Базовый курс алгебраической топологии, Springer-Verlag, 1991. ISBN  0-387-97430-X.

Рекомендации