Симплектическая сумма - Symplectic sum

В математика особенно в симплектическая геометрия, то симплектическая сумма это геометрическая модификация на симплектические многообразия, который склеивает два заданных многообразия в одно новое. Это симплектическая версия связное суммирование вдоль подмногообразия, часто называемого послойной суммой.

Симплектическая сумма обратна к симплектический разрез, который разбивает данное многообразие на две части. Вместе симплектическую сумму и разрез можно рассматривать как деформацию симплектических многообразий, аналогичную, например, деформации деформация до нормального конуса в алгебраическая геометрия.

Симплектическая сумма использовалась для построения ранее неизвестных семейств симплектических многообразий и для вывода соотношений между Инварианты Громова – Виттена. симплектических многообразий.

Определение

Позволять ${displaystyle M_ {1}}$ и ${displaystyle M_ {2}}$ быть двумя симплектическими ${displaystyle 2n}$ -многообразия и ${displaystyle V}$ симплектический ${displaystyle (2n-2)}$ -многообразие, вложенное как подмногообразие в оба ${displaystyle M_ {1}}$ и ${displaystyle M_ {2}}$ через

{displaystyle j_ {i}: Vhookrightarrow M_ {i},}

так что Классы Эйлера из нормальные связки противоположны:

{displaystyle e (N_ {M_ {1}} V) = - e (N_ {M_ {2}} V).}

В статье 1995 г., в которой определялась симплектическая сумма, Роберт Гомпф доказал, что для любого ориентация -обратимый изоморфизм

{displaystyle psi: N_ {M_ {1}} V o N_ {M_ {2}} V}

есть канонический изотопия класс симплектических структур на связной сумме

{displaystyle (M_ {1}, V) # (M_ {2}, V)}

выполнение нескольких условий совместимости с слагаемыми ${displaystyle M_ {i}}$ . Другими словами, теорема определяет симплектическая сумма операция, результатом которой является симплектическое многообразие, единственное с точностью до изотопии.

Чтобы получить четко определенную симплектическую структуру, связная сумма должна быть выполнена с особым вниманием к выбору различных отождествлений. Грубо говоря, изоморфизм ${displaystyle psi}$ состоит из обращающей ориентацию симплектической инволюции нормальных расслоений ${displaystyle V}$ (точнее, их соответствующие связки дисков проколотого блока); затем этот состав используют для клей ${displaystyle M_ {1}}$ к ${displaystyle M_ {2}}$ вдоль двух копий ${displaystyle V}$ .

Обобщения

В более общем смысле симплектическая сумма может быть проведена на одном симплектическом многообразии ${displaystyle M}$ содержащий две непересекающиеся копии ${displaystyle V}$ , склеивая многообразие к себе по двум экземплярам. Предыдущее описание суммы двух многообразий соответствует частному случаю, когда ${displaystyle X}$ состоит из двух связанных компонентов, каждая из которых содержит копию ${displaystyle V}$ .

Кроме того, суммирование может производиться одновременно на подмногообразиях ${displaystyle X_ {i} subteq M_ {i}}$ равного измерения и встречи ${displaystyle V}$ поперечно.

Существуют и другие обобщения. Однако невозможно удалить требование, чтобы ${displaystyle V}$ иметь коразмерность два в ${displaystyle M_ {i}}$ , как показывает следующий аргумент.

Симплектическая сумма вдоль подмногообразия коразмерности ${displaystyle 2k}$ требует симплектической инволюции ${displaystyle 2k}$ -мерное кольцо. Если эта инволюция существует, ее можно использовать для исправления двух ${displaystyle 2k}$ -мерные шары вместе образуют симплектическую ${displaystyle 2k}$ -размерный сфера. Поскольку сфера - это компактный многообразие, симплектическая форма ${displaystyle omega}$ на нем индуцирует ненулевое когомология класс

{displaystyle [omega] в H ^ {2} (mathbb {S} ^ {2k}, mathbb {R}).}

Но эта вторая группа когомологий равна нулю, если только ${displaystyle 2k = 2}$ . Таким образом, симплектическая сумма возможна только на подмногообразии коразмерности два.

Элемент идентичности

Данный ${displaystyle M}$ с симплектическим подмногообразием коразмерности два ${displaystyle V}$ , можно проективно дополнить нормальный пучок ${displaystyle V}$ в ${displaystyle M}$ к ${displaystyle mathbb {CP} ^ {1}}$ -пучок

{displaystyle P: = mathbb {P} (N_ {M} Voplus mathbb {C}).}

Этот ${displaystyle P}$ содержит две канонические копии ${displaystyle V}$ : нулевое сечение ${displaystyle V_ {0}}$ , который имеет нормальный пучок, равный ${displaystyle V}$ в ${displaystyle M}$ , а бесконечное сечение ${displaystyle V_ {infty}}$ , имеющий противоположный нормальный пучок. Следовательно, можно симплектически просуммировать ${displaystyle (M, V)}$ с ${displaystyle (P, V_ {infty})}$ ; результат снова ${displaystyle M}$ , с участием ${displaystyle V_ {0}}$ теперь играет роль ${displaystyle V}$ :

{displaystyle (M, V) = ((M, V) # (P, V_ {infty}), V_ {0}).}

Итак, для любой конкретной пары ${displaystyle (M, V)}$ существует элемент идентичности ${displaystyle P}$ для симплектической суммы. Такие элементы идентичности использовались как при создании теории, так и в вычислениях; Смотри ниже.

Симплектическая сумма и разрез как деформация

Иногда бывает полезно рассматривать симплектическую сумму как семейство многообразий. В этом контексте приведенные данные ${displaystyle M_ {1}}$ , ${displaystyle M_ {2}}$ , ${displaystyle V}$ , ${displaystyle j_ {1}}$ , ${displaystyle j_ {2}}$ , ${displaystyle psi}$ определить уникальный гладкий ${displaystyle (2n + 2)}$ -мерное симплектическое многообразие ${displaystyle Z}$ и расслоение

{displaystyle Z o Dsubseteq mathbb {C}}

в котором центральным слоем является особое пространство

{displaystyle Z_ {0} = M_ {1} чашка _ {V} M_ {2}}

полученное объединением слагаемых ${displaystyle M_ {i}}$ вместе ${displaystyle V}$ , а общее волокно ${displaystyle Z_ {epsilon}}$ является симплектической суммой ${displaystyle M_ {i}}$ . (То есть все слои общего положения являются членами единственного изотопического класса симплектической суммы.)

Грубо говоря, это семейство строится следующим образом. Выберите ненулевое голоморфное сечение ${displaystyle eta}$ тривиального комплексного линейного расслоения

{displaystyle N_ {M_ {1}} Votimes _ {mathbb {C}} N_ {M_ {2}} V.}

Тогда в прямой сумме

{displaystyle N_ {M_ {1}} Voplus N_ {M_ {2}} V,}

с ${displaystyle v_ {i}}$ представляющий нормальный вектор к ${displaystyle V}$ в ${displaystyle M_ {i}}$ , рассмотрим геометрическое место квадратного уравнения

{displaystyle v_ {1} otimes v_ {2} = epsilon eta}

для избранных малых ${displaystyle epsilon in mathbb {C}}$ . Можно склеить оба ${displaystyle M_ {i} setminus V}$ (слагаемые с ${displaystyle V}$ удалено) на этот локус; результатом является симплектическая сумма ${displaystyle Z_ {epsilon}}$ .

В качестве ${displaystyle epsilon}$ варьируется, суммы ${displaystyle Z_ {epsilon}}$ естественно сформировать семью ${displaystyle Z o D}$ описано выше. Центральное волокно ${displaystyle Z_ {0}}$ - симплектический разрез общего слоя. Таким образом, симплектическая сумма и разрез можно рассматривать вместе как квадратичную деформацию симплектических многообразий.

Важный пример возникает, когда одно из слагаемых является тождественным элементом ${displaystyle P}$ . Ведь тогда общий слой является симплектическим многообразием ${displaystyle M}$ а центральное волокно ${displaystyle M}$ с обычным набором ${displaystyle V}$ "ущемлен на бесконечности", чтобы сформировать ${displaystyle mathbb {CP} ^ {1}}$ -пучок ${displaystyle P}$ . Это аналогично деформации нормального конуса по гладкой делитель ${displaystyle V}$ в алгебраической геометрии. Фактически, симплектические трактовки теории Громова – Виттена часто используют симплектическую сумму / сокращение для «изменения масштаба целевых» аргументов, в то время как алгебро-геометрические трактовки используют деформацию нормального конуса для тех же аргументов.

Однако симплектическая сумма в общем случае не является сложной операцией. Сумма двух Кэлеровы многообразия не обязательно быть Келером.

История и приложения

Симплектическая сумма была впервые четко определена в 1995 году Робертом Гомпфом. Он использовал это, чтобы продемонстрировать, что любой конечно представленная группа появляется как фундаментальная группа симплектического четырехмерного многообразия. Таким образом категория симплектических многообразий значительно превосходит категорию кэлеровых многообразий.

Примерно в то же время Юджин Лерман предложил симплектический разрез как обобщение симплектического разрушения и использовал его для изучения симплектический фактор и другие операции на симплектических многообразиях.

Ряд исследователей впоследствии исследовали поведение псевдоголоморфные кривые при симплектических суммах, доказывая различные варианты формулы симплектической суммы для инвариантов Громова – Виттена. Такая формула упрощает вычисления, позволяя разложить данное многообразие на более простые части, чьи инварианты Громова – Виттена должно быть легче вычислить. Другой подход - использовать элемент идентичности ${displaystyle P}$ написать коллектор ${displaystyle M}$ как симплектическая сумма

{displaystyle (M, V) = (M, V) # (P, V_ {infty}).}

Тогда формула для инвариантов Громова – Виттена симплектической суммы дает рекурсивную формулу для инвариантов Громова – Виттена ${displaystyle M}$ .