Симплектический разрез - Symplectic cut

В математика особенно в симплектическая геометрия, то симплектический разрез это геометрическая модификация на симплектические многообразия. Его эффект состоит в том, чтобы разложить данное многообразие на две части. Есть обратная операция, симплектическая сумма, который склеивает два многообразия в одно. Симплектический разрез можно также рассматривать как обобщение симплектических Взрывать. Крой был введен в 1995 году Юджином Лерманом, который использовал его для изучения симплектический фактор и другие операции на многообразиях.

Топологическое описание

Позволять ${displaystyle (X, omega)}$ - любое симплектическое многообразие и

${displaystyle mu: X o mathbb {R}}$

а Гамильтониан на ${displaystyle X}$. Позволять ${displaystyle epsilon}$ быть любым обычным значением ${displaystyle mu}$, так что уровень установлен ${displaystyle mu ^ {- 1} (эпсилон)}$ - гладкое многообразие. Предположим далее, что ${displaystyle mu ^ {- 1} (эпсилон)}$ расслоен на окружности, каждая из которых является интегральной кривой индуцированного Гамильтоново векторное поле.

При этих предположениях ${displaystyle mu ^ {- 1} ([эпсилон, infty))}$ многообразие с краем ${displaystyle mu ^ {- 1} (эпсилон)}$, и можно образовать многообразие

${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}}$

сворачивая каждое волокно круга в точку. Другими словами, ${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}}$ является ${displaystyle X}$ с подмножеством ${displaystyle mu ^ {- 1} ((- infty, epsilon))}$ удалены, и граница обрушилась вдоль каждого волокна круга. Фактор границы является подмногообразием ${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}}$ из коразмерность два, обозначенные ${displaystyle V}$.

Точно так же можно образовать из ${displaystyle mu ^ {- 1} ((- infty, epsilon])}$ многообразие ${displaystyle {overline {X}} _ {mu leq epsilon}}$, который также содержит копию ${displaystyle V}$. В симплектический разрез пара многообразий ${displaystyle {overline {X}} _ {mu leq epsilon}}$ и ${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}}$.

Иногда полезно рассматривать две половины симплектического разреза как соединенные вдоль их общего подмногообразия. ${displaystyle V}$ создать единое пространство

${displaystyle {overline {X}} _ {mu leq epsilon} cup _ {V} {overline {X}} _ {mu geq epsilon}.}$

Например, это особое пространство является центральным слоем симплектической суммы, рассматриваемой как деформация.

Симплектическое описание

Предыдущее описание довольно грубое; требуется больше внимания, чтобы отслеживать симплектическую структуру на симплектическом разрезе. Для этого пусть ${displaystyle (X, omega)}$ - любое симплектическое многообразие. Предположим, что круговая группа ${displaystyle U (1)}$ действует на ${displaystyle X}$ в Гамильтониан путь с карта моментов

${displaystyle mu: X o mathbb {R}.}$

Это отображение моментов можно рассматривать как функцию Гамильтона, которая порождает действие окружности. Пространство продукта ${displaystyle X imes mathbb {C}}$, с координатой ${displaystyle z}$ на ${displaystyle mathbb {C}}$, имеет индуцированную симплектическую форму

${displaystyle omega oplus (-idzwedge d {ar {z}}).}$

Группа ${displaystyle U (1)}$ действует на произведение гамильтоновым образом

${displaystyle e ^ {i heta} cdot (x, z) = (e ^ {i heta} cdot x, e ^ {- i heta} z)}$

с картой моментов

${displaystyle u (x, z) = mu (x) - | z | ^ {2}.}$

Позволять ${displaystyle epsilon}$ - любое действительное число такое, что круговое действие свободно на ${displaystyle mu ^ {- 1} (эпсилон)}$. потом ${displaystyle epsilon}$ является обычным значением ${displaystyle u}$, и ${displaystyle u ^ {- 1} (эпсилон)}$ является многообразием.

Это многообразие ${displaystyle u ^ {- 1} (эпсилон)}$ содержит в качестве подмногообразия множество точек ${displaystyle (x, z)}$ с ${displaystyle mu (x) = epsilon}$ и ${displaystyle | z | ^ {2} = 0}$; это подмногообразие естественным образом отождествляется с ${displaystyle mu ^ {- 1} (эпсилон)}$. Дополнение к подмногообразию, состоящее из точек ${displaystyle (x, z)}$ с ${displaystyle mu (x)> эпсилон}$, естественно отождествляется с продуктом

${displaystyle X _ {> epsilon}: = mu ^ {- 1} ((epsilon, infty))}$

и круг.

Коллектор ${displaystyle u ^ {- 1} (эпсилон)}$ наследует действие гамильтоновой окружности, как и два только что описанных его подмногообразия. Таким образом, можно составить симплектический фактор

${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}: = u ^ {- 1} (epsilon) / U (1).}$

По построению он содержит ${displaystyle X_ {mu> epsilon}}$ как плотное открытое подмногообразие; по существу, он компактифицирует это открытое многообразие с симплектическим фактором

${displaystyle V: = mu ^ {- 1} (эпсилон) / U (1),}$

которое является симплектическим подмногообразием в ${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}}$ коразмерности два.

Если ${displaystyle X}$ является Kähler, то и вырезанное пространство ${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}}$; однако вложение ${displaystyle X_ {mu> epsilon}}$ не изометрия.

Один строит ${displaystyle {overline {X}} _ {mu leq epsilon}}$, вторую половину симплектического разреза симметрично. В нормальные связки из ${displaystyle V}$ в двух половинах разреза противоположны друг другу (то есть симплектически антиизоморфны). Симплектическая сумма ${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}}$ и ${displaystyle {overline {X}} _ {mu leq epsilon}}$ вдоль ${displaystyle V}$ восстанавливает ${displaystyle X}$.

Существование действия глобального гамильтонова окружности на ${displaystyle X}$ кажется ограничительным предположением. Однако на самом деле в этом нет необходимости; разрез может быть выполнен при более общих гипотезах, таких как действие локальной гамильтоновой окружности вблизи ${displaystyle mu ^ {- 1} (эпсилон)}$ (поскольку разрез - это локальная операция).

Взорвать как разрезать

Когда комплексное многообразие ${displaystyle X}$ раздувается по подмногообразию ${displaystyle Z}$, взорвать локус ${displaystyle Z}$ заменяется исключительный делитель ${displaystyle E}$ а остальная часть коллектора остается нетронутой. Топологически эту операцию можно также рассматривать как удаление ${displaystyle epsilon}$- окрестности очага взрыва с последующим обрушением границы Карта Хопфа.

Раздутие симплектического многообразия является более тонким делом, так как симплектическая форма должна быть скорректирована в окрестности множества раздутий, чтобы плавно продолжить через исключительный дивизор в раздутии. Симплектический разрез - это элегантный способ сделать процесс удаления окрестности / краевого коллапса симплектически строгим.

Как и раньше, пусть ${displaystyle (X, omega)}$ - симплектическое многообразие с гамильтонианом ${displaystyle U (1)}$-действие с картой моментов ${displaystyle mu}$. Предположим, что карта моментов правильная и достигает максимума ${displaystyle m}$ ровно вдоль симплектического подмногообразия ${displaystyle Z}$ из ${displaystyle X}$. Предположим, кроме того, что веса представления изотропии ${displaystyle U (1)}$ на обычном комплекте ${displaystyle N_ {X} Z}$ все ${displaystyle 1}$.

Затем для небольших ${displaystyle epsilon}$ единственные критические точки в ${displaystyle X_ {mu> m-epsilon}}$ те на ${displaystyle Z}$. Симплектический разрез ${displaystyle {overline {X}} _ {mu leq m-epsilon}}$, который образуется удалением симплектического ${displaystyle epsilon}$-окрестности ${displaystyle Z}$ и схлопывание границы, то симплектическое раздутие ${displaystyle X}$ вдоль ${displaystyle Z}$.

Рекомендации

• Евгений Лерман: Симплектические разрезы, Письма о математических исследованиях 2 (1995), 247–258
• Дуса Макдафф и Д. Саламон: Введение в симплектическую топологию (1998) Оксфордские математические монографии, ISBN  0-19-850451-9.