Класс Эйлера - Википедия - Euler class

В математика особенно в алгебраическая топология, то Класс Эйлера это характеристический класс из ориентированный, настоящий векторные пучки. Как и другие характеристические классы, он измеряет, насколько "скручено" векторное расслоение. В случае касательный пучок гладкой многообразие, оно обобщает классическое понятие Эйлерова характеристика. Он назван в честь Леонард Эйлер из-за этого.

В этой статье ${ displaystyle E}$ ориентированное вещественное векторное расслоение классифицировать ${ displaystyle r}$ над базовым пространством ${ displaystyle X}$ .

Формальное определение

Класс Эйлера ${ Displaystyle е (Е)}$ является элементом интеграла когомология группа

{ Displaystyle Н ^ {г} (Х; mathbf {Z}),}

построен следующим образом. An ориентация из ${ displaystyle E}$ сводится к непрерывному выбору генератора когомологий

{ displaystyle H ^ {r} ( mathbf {R} ^ {r}, mathbf {R} ^ {r} setminus {0 }; mathbf {Z}) cong H ^ {r-1 } (S ^ {r-1}; mathbf {Z}) cong mathbf {Z}}

каждого волокна ${ displaystyle mathbf {R} ^ {r}}$ относительный в дополнение ${ Displaystyle mathbf {R} ^ {r} setminus {0 }}$ нуля. От Изоморфизм Тома, это вызывает ориентационный класс

{ displaystyle u in H ^ {r} (E, E setminus E_ {0}; mathbf {Z})}

в когомологиях ${ displaystyle E}$ относительно дополнения ${ displaystyle E setminus E_ {0}}$ из нулевой участок ${ displaystyle E_ {0}}$ . Включения

{ displaystyle (X, emptyset) hookrightarrow (E, emptyset) hookrightarrow (E, E setminus E_ {0}),}

куда ${ displaystyle X}$ входит в ${ displaystyle E}$ в качестве нулевого сечения индуцируют отображения

{ displaystyle H ^ {r} (E, E setminus E_ {0}; mathbf {Z}) to H ^ {r} (E; mathbf {Z}) to H ^ {r} (X ; mathbf {Z}).}

В Класс Эйлера е(E) является изображением ты под состав этих карт.

Характеристики

Класс Эйлера удовлетворяет этим свойствам, которые являются аксиомами характеристического класса:

Функциональность: Если ${ displaystyle F to Y}$ - другое ориентированное действительное векторное расслоение и ${ displaystyle f двоеточие от Y до X}$ непрерывна и покрывается сохраняющим ориентацию отображением ${ displaystyle F to E}$ , тогда ${ Displaystyle е (F) = е ^ {*} (е (E))}$ . Особенно, ${ Displaystyle е (е ^ {*} (Е)) = е ^ {*} (е (Е))}$ .
Уитни формула суммы: Если ${ displaystyle F to X}$ является еще одним ориентированным вещественным векторным расслоением, то класс Эйлера их прямая сумма дан кем-то ${ Displaystyle е (Е oplus F) = е (Е) улыбка е (F).}$
Нормализация: Если ${ displaystyle E}$ имеет секцию нигде-ноль, тогда ${ Displaystyle е (Е) = 0}$ .
Ориентация: Если ${ displaystyle { overline {E}}}$ является ${ displaystyle E}$ с противоположной ориентацией, то ${ Displaystyle е ({ overline {E}}) = - е (E)}$ .

Обратите внимание, что «нормализация» - отличительная черта класса Эйлера. Класс Эйлера препятствует существованию ненулевого сечения в том смысле, что если ${ Displaystyle е (Е) neq 0}$ тогда ${ displaystyle E}$ не имеет неисчезающего раздела.

Также В отличие от в других характеристических классах она сосредоточена в степени, зависящей от ранга связки: ${ Displaystyle е (Е) в Н ^ {г} (Х)}$ . Напротив, классы Штифеля-Уитни ${ displaystyle w_ {i} (E)}$ жить в ${ Displaystyle Н ^ {я} (Х; mathbb {Z} / 2)}$ независимо от ранга ${ displaystyle E}$ . Это отражает тот факт, что класс Эйлера неустойчивый, как описано ниже.

Исчезающее геометрическое место общего сечения

Классу Эйлера соответствует геометрическое место исчезновения сечения ${ displaystyle E}$ следующим образом. Предположим, что ${ displaystyle X}$ ориентированное гладкое многообразие размерности ${ displaystyle d}$ . Позволять ${ displaystyle sigma двоеточие от X до E}$ быть гладким участком, который поперечно пересекает нулевой участок. Позволять ${ Displaystyle Z substeq X}$ быть нулевым местом ${ displaystyle sigma}$ . потом ${ displaystyle Z}$ это коразмерность ${ displaystyle r}$ подмногообразие ${ displaystyle X}$ что представляет собой гомология учебный класс ${ Displaystyle [Z] в H_ {d-r} (X; mathbf {Z})}$ и ${ Displaystyle е (Е)}$ это Пуанкаре двойственный из ${ displaystyle [Z]}$ .

Самопересечение

Например, если ${ displaystyle Y}$ компактное подмногообразие, то класс Эйлера нормальный комплект из ${ displaystyle Y}$ в ${ displaystyle X}$ естественно отождествляется с самопересечение из ${ displaystyle Y}$ в ${ displaystyle X}$ .

Связь с другими инвариантами

В особом случае, когда комплект E речь идет о касательном расслоении компактного ориентированного р-мерного многообразия класс Эйлера является элементом верхних когомологий многообразия, который естественным образом отождествляется с целыми числами, вычисляя классы когомологий на фундаментальный класс гомологии. При таком отождествлении класс Эйлера касательного расслоения равен эйлеровой характеристике многообразия. На языке характеристические числа, эйлерова характеристика - характеристическое число, соответствующее классу Эйлера.

Таким образом, класс Эйлера является обобщением характеристики Эйлера на векторные расслоения, отличные от касательных. В свою очередь, класс Эйлера является архетипом для других характеристических классов векторных расслоений, поскольку каждый «верхний» характеристический класс равен классу Эйлера следующим образом.

Модифицирование на 2 вызывает карту

{ displaystyle H ^ {r} (X, mathbf {Z}) to H ^ {r} (X, mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}).}

Образ класса Эйлера под этой картой - это верхний Класс Штифеля-Уитни ш_р(E). Этот класс Штифеля-Уитни можно рассматривать как «класс Эйлера, игнорирующий ориентацию».

Любое сложное векторное расслоение E сложного ранга d можно рассматривать как ориентированное действительное векторное расслоение E реального ранга 2d. Класс Эйлера E задается классом Черна наивысшей размерности ${ Displaystyle е (Е) = c_ {d} (E) в H ^ {2d} (X)}$

Квадраты наверх Понтрягина класс

Класс Понтрягина ${ displaystyle p_ {r} (E)}$ определяется как класс Черна комплексификации E: ${ displaystyle p_ {r} (E) = c_ {2r} ( mathbf {C} otimes E)}$ .

Комплексификация ${ displaystyle mathbf {C} otimes E}$ как ориентированное расслоение изоморфно ${ displaystyle E oplus E}$ . Сравнивая классы Эйлера, мы видим, что

{ Displaystyle е (Е) улыбка е (Е) = е (Е oplus E) = е (E otimes mathbf {C}) = c_ {r} (E otimes mathbf {C}) in H ^ {2r} (X, mathbf {Z}).}

Если ранг р из E даже тогда ${ Displaystyle е (Е) улыбка е (Е) = c_ {r} (E) = p_ {r / 2} (E)}$ куда ${ displaystyle p_ {r / 2} (E)}$ это высшее измерение Понтрягин класс из ${ displaystyle E}$ .

Нестабильность

Характерный класс ${ displaystyle c}$ является стабильный если ${ displaystyle c (E oplus { underline {R}} ^ {1}) = c (E)}$ куда ${ displaystyle { underline {R}} ^ {1}}$ является тривиальным расслоением ранга 1. В отличие от большинства других характеристических классов класс Эйлера неустойчивый. Фактически, ${ displaystyle e (E oplus { underline {R}} ^ {1}) = e (E) smile e ({ underline {R}} ^ {1}) = 0}$ .

Класс Эйлера представлен классом когомологий в классификация пространства BSO (k) ${ Displaystyle е в Н ^ {к} ( mathrm {BSO} (к))}$ . Неустойчивость класса Эйлера показывает, что это не откат класса в ${ Displaystyle Н ^ {к} ( mathrm {BSO} (к + 1))}$ при включении ${ Displaystyle mathrm {BSO} (k) to mathrm {BSO} (k + 1)}$ .

Интуитивно это можно увидеть в том, что класс Эйлера - это класс, степень которого зависит от размерности расслоения (или многообразия, если касательное расслоение): класс Эйлера является элементом ${ displaystyle H ^ {d} (X)}$ куда ${ displaystyle d}$ - размерность связки, в то время как другие классы имеют фиксированную размерность (например, первый класс Штифеля-Уитни является элементом ${ displaystyle H ^ {1} (X)}$ ).

Тот факт, что класс Эйлера нестабилен, не следует рассматривать как «дефект»: скорее, это означает, что класс Эйлера «обнаруживает нестабильные явления». Например, касательное расслоение четной размерной сферы стабильно тривиально, но не тривиально (обычное включение сферы ${ Displaystyle S ^ {п} substeq mathrm {R} ^ {п + 1}}$ имеет тривиальное нормальное расслоение, таким образом, касательное расслоение к сфере плюс тривиальное линейное расслоение является касательным расслоением евклидова пространства, ограниченным на ${ Displaystyle S ^ {п}}$ , что тривиально), таким образом, все остальные характеристические классы исчезают для сферы, но класс Эйлера не обращается в нуль для четных сфер, обеспечивая нетривиальный инвариант.

Примеры

Сферы

Эйлерова характеристика п-сфера S^п является:

{ displaystyle chi ( mathbf {S} ^ {n}) = 1 + (- 1) ^ {n} = { begin {case} 2 & n { text {even}} 0 & n { text {odd }}. end {case}}}

Таким образом, не существует ненулевого сечения касательного пучка четных сфер (это известно как Теорема о волосатом шарике ). В частности, касательное расслоение четной сферы нетривиально, т. Е. ${ displaystyle S ^ {2n}}$ это не параллелизируемое многообразие, и не может допустить Группа Ли структура.

Для нечетных сфер S^2п−1 ⊂ р^2п, нигде не исчезающий участок задается

{ displaystyle (x_ {2}, - x_ {1}, x_ {4}, - x_ {3}, dots, x_ {2n}, - x_ {2n-1})}

что показывает, что класс Эйлера обращается в нуль; это просто п копии обычного раздела по кругу.

Поскольку класс Эйлера для четной сферы соответствует ${ displaystyle 2 [S ^ {2n}] in H ^ {2n} (S ^ {2n}, mathbf {Z})}$ , мы можем использовать тот факт, что класс Эйлера суммы Уитни двух расслоений является просто чашечным произведением класса Эйлера двух расслоений, чтобы увидеть, что не существует нетривиальных подрасслоений касательного расслоения четной сферы.

Поскольку касательное расслоение сферы стабильно тривиально, но не тривиально, все остальные характеристические классы обращаются в нуль на нем, а класс Эйлера является единственным обычным классом когомологий, который обнаруживает нетривиальность касательного расслоения сфер: для доказательства дальнейших результатов один должен использовать вторичные когомологические операции или же K-теория.

Круг

Цилиндр представляет собой расслоение над окружностью в силу естественной проекции ${ displaystyle mathrm {R} ^ {1} times S ^ {1} to S ^ {1}}$ . Это тривиальное линейное расслоение, поэтому оно обладает нулевым сечением, поэтому его класс Эйлера равен 0. Оно также изоморфно касательному расслоению окружности; тот факт, что его класс Эйлера равен 0, соответствует тому факту, что эйлерова характеристика круга равна 0.