Идентичность (математика) - Identity (mathematics)
В математика, личность является равенство относящееся к одному математическому выражению А к другому математическому выражениюB, так что А и B (который может содержать некоторые переменные ) производят одно и то же значение для всех значений переменных в пределах определенного диапазона допустимости.[1][2] Другими словами, А = B это личность, если А и B определить то же самое функции, а тождество - это равенство между функциями, которые определены по-разному. Например, и идентичности.[2] Личность иногда обозначается тройной бар символ ≡ вместо =, то знак равенства.[3]
Общие идентичности
Алгебраические тождества
Определенные личности, такие как и , составляют основу алгебры,[4] в то время как другие личности, такие как и , может быть полезно для упрощения алгебраических выражений и их расширения.[5]
Тригонометрические тождества
С геометрической точки зрения тригонометрические тождества - это тождества, включающие определенные функции одного или нескольких углы.[6] Они отличаются от тождества треугольников, которые являются тождествами, включающими как углы, так и длины сторон треугольник. В этой статье рассматриваются только первые.
Эти тождества полезны, когда необходимо упростить выражения, включающие тригонометрические функции. Еще одно важное приложение - это интеграция нетригонометрических функций: распространенный метод, который включает в себя сначала использование правило подстановки с тригонометрической функцией, а затем упрощение полученного интеграла с помощью тригонометрического тождества.
Один из самых ярких примеров тригонометрических тождеств включает уравнение что верно для всех сложный ценности (поскольку комплексные числа образуют область синуса и косинуса). С другой стороны, уравнение
верно только для определенных значений , не все (ни для всех значений в район ). Например, это уравнение верно, когда но ложь, когда .
Другая группа тригонометрических тождеств касается так называемых формул сложения / вычитания (например, тождество двойного угла , формула сложения для ),[3][1] который можно использовать для разбивки выражений с большими углами на более мелкие составляющие.
Экспоненциальные тождества
Следующие тождества выполняются для всех целочисленных показателей, при условии, что основание не равно нулю:
В отличие от сложения и умножения, возведение в степень не коммутативный. Например, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 и 2 · 3 = 3 · 2 = 6, но 23 = 8, в то время как 32 = 9.
И в отличие от сложения и умножения, возведение в степень не ассоциативный либо. Например, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 и (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, но 23 к 4 - 84 (или 4096), тогда как от 2 до 34 281 (или 2 417 851 639 229 258 349 412 352). Без круглых скобок для изменения порядка вычислений, по соглашению порядок идет сверху вниз, а не снизу вверх:
Логарифмические тождества
Несколько важных формул, иногда называемых логарифмические тождества или же законы журнала, соотнесите логарифмы друг с другом.[7]
Продукт, частное, мощность и корень
Логарифм произведения - это сумма логарифмов умножаемых чисел; логарифм отношения двух чисел - это разность логарифмов. Логарифм п-й мощность числа п умножить на логарифм самого числа; логарифм п-й корень - это логарифм числа, деленного на п. В следующей таблице перечислены эти удостоверения с примерами. Каждое из тождеств может быть получено после подстановки определений логарифма х = ббревноб(Икс), и / или y = bбревноб(у), в левой части.
Формула | Пример | |
---|---|---|
товар | ||
частное | ||
мощность | ||
корень |
Смена базы
Журнал логарифмаб(Икс) можно вычислить из логарифмов Икс и б относительно произвольной базы k по следующей формуле:
Типичный научные калькуляторы вычислить логарифмы с основанием 10 и е.[8] Логарифмы по любому основанию б можно определить, используя любой из этих двух логарифмов по предыдущей формуле:
Учитывая число Икс и его логарифм logб(Икс) на неизвестную базу б, база определяется по формуле:
Тождества гиперболических функций
Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все они по форме похожи на тригонометрические тождества. Фактически, Правило Осборна[9] утверждает, что можно преобразовать любое тригонометрическое тождество в гиперболическое, полностью расширив его с точки зрения интегральных степеней синусов и косинусов, изменив синус на sinh и косинус на cosh и изменив знак каждого члена, который содержит произведение 2, 6 , 10, 14, ... зп.[10]
В Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не использующими комплексные числа.
Логика и универсальная алгебра
В математическая логика И в универсальная алгебра, личность определяется как формула формы "∀Икс1,...,Иксп. s = т", куда s и т находятся термины ни с кем другим свободные переменные чем Икс1,...,Иксп.Префикс квантификатора ("∀Икс1,...,Иксп. ") часто остается неявным, особенно в универсальной алгебре. Например, аксиомы из моноид часто указываются как личность набор
- { ∀Икс,у,z. Икс*(у*z)=(Икс*у)*z , ∀Икс. Икс*1=Икс , ∀Икс. 1*Икс=Икс },
или, сокращенно, как
- { Икс*(у*z)=(Икс*у)*z , Икс*1=Икс , 1*Икс=Икс }.
Некоторые авторы используют название «уравнение», а не «идентичность».[11][12]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ а б "Окончательный словарь высшего математического жаргона - идентичность". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-12-01.
- ^ а б «Математические слова: личность». www.mathwords.com. Получено 2019-12-01.
- ^ а б «Идентичность - определение слова в математике - Открытый справочник по математике». www.mathopenref.com. Получено 2019-12-01.
- ^ «Основные идентичности». www.math.com. Получено 2019-12-01.
- ^ «Алгебраические тождества». www.sosmath.com. Получено 2019-12-01.
- ^ Стапель, Элизабет. «Тригонометрические тождества». Purplemath. Получено 2019-12-01.
- ^ Все высказывания в этом разделе можно найти в Шайлеш Ширали.2002, раздел 4, (Дуглас Даунинг2003, п. 275), или Кейт и Бхапкар2009, п. 1-1, например.
- ^ Бернштейн, Стивен; Бернштейн, Рут (1999), Очерк теории Шаума и проблемы элементов статистики. I, Описательная статистика и вероятность, Серия набросков Шаума, Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, ISBN 978-0-07-005023-5, п. 21 год
- ^ Осборн, Г. (1 января 1902 г.). «109. Мнемоника для гиперболических формул». Математический вестник. 2 (34): 189. Дои:10.2307/3602492. JSTOR 3602492.
- ^ Петерсон, Джон Чарльз (2003). Техническая математика с исчислением (3-е изд.). Cengage Learning. п. 1155. ISBN 0-7668-6189-9., Глава 26, страница 1155
- ^ Нахум Дершовиц; Жан-Пьер Жуанно (1990). «Системы перезаписи». В Ян ван Леувен (ред.). Формальные модели и семантика. Справочник по теоретической информатике. B. Эльзевир. С. 243–320.
- ^ Вольфганг Векслер (1992). Вильфрид Брауэр; Гжегож Розенберг; Арто Саломаа (ред.). Универсальная алгебра для компьютерных ученых. EATCS Монографии по теоретической информатике. 25. Берлин: Springer. ISBN 3-540-54280-9. Здесь: Def.1 раздела 3.2.1, p.160.
внешняя ссылка
- Энциклопедия уравнений Интернет-энциклопедия математических тождеств (в архиве)
- Коллекция алгебраических тождеств