Факторизация - Factorization

Полином Икс² + сх + d, где а + Ь = с и ab = d, можно разложить на (х + а)(х + б).

В математика, факторизация (или факторизация, увидеть Различия в английском правописании ) или факторинг состоит из написания числа или другого математический объект как продукт нескольких факторы, обычно более мелкие или простые объекты того же типа. Например, 3 × 5 является факторизацией целое число 15, и (Икс – 2)(Икс + 2) является факторизацией многочлен Икс² – 4.

Факторизация обычно не считается значимой в системах счисления, обладающих деление, такой как настоящий или сложные числа, поскольку любой ${ displaystyle x}$ можно тривиально записать как ${ Displaystyle (ху) раз (1 / у)}$ всякий раз, когда ${ displaystyle y}$ не равно нулю. Однако значимая факторизация для рациональное число или рациональная функция можно получить, записав его в наименьших числах и раздельно разложив числитель и знаменатель на множители.

Факторизация впервые была рассмотрена древнегреческие математики в случае целых чисел. Они доказали основная теорема арифметики, который утверждает, что каждое положительное целое число может быть разложено на произведение простые числа, который не может быть разложен на целые числа больше 1. Более того, эта факторизация единственна вплоть до порядок факторов. Несмотря на то что целочисленная факторизация это что-то вроде обратного умножению, это намного сложнее алгоритмически, факт, который эксплуатируется в Криптосистема RSA реализовать криптография с открытым ключом.

Полиномиальная факторизация также изучалась веками. В элементарной алгебре разложение многочлена на множители упрощает задачу нахождения его корни чтобы найти корни факторов. Многочлены с коэффициентами в целых числах или в поле обладать уникальное свойство факторизации, версия основной теоремы арифметики с заменой простых чисел на неприводимые многочлены. В частности, одномерный многочлен с участием сложный коэффициентов допускает однозначную (с точностью до порядка) факторизацию в линейные полиномы: это версия основная теорема алгебры. В этом случае факторизацию можно выполнить с помощью алгоритмы поиска корней. Случай многочленов с целыми коэффициентами принципиален для компьютерная алгебра. Есть работоспособный компьютер алгоритмы для вычисления (полных) факторизаций внутри кольца многочленов с рациональными числовыми коэффициентами (см. факторизация многочленов ).

А коммутативное кольцо обладающий уникальным свойством факторизации, называется уникальная область факторизации. Есть системы счисления, например, некоторые кольца алгебраических целых чисел, которые не являются уникальными доменами факторизации. Однако кольца целых алгебраических чисел удовлетворяют более слабому свойству Дедекиндовские домены: идеалы фактор уникально в главные идеалы.

Факторизация может также относиться к более общим разложениям математического объекта на более мелкие или более простые объекты. Например, каждая функция может быть включена в состав сюръективная функция с инъективная функция. Матрицы обладать многими видами матричные факторизации. Например, каждая матрица имеет уникальный LUP факторизация как продукт нижняя треугольная матрица L со всеми диагональными элементами, равными единице, верхнетреугольная матрица U, а матрица перестановок п; это матричная формулировка Гауссово исключение.

Целые числа

Посредством основная теорема арифметики, каждые целое число больше 1 имеет уникальную (с точностью до порядка факторов) факторизацию в простые числа - целые числа, которые нельзя разложить на произведение целых чисел больше единицы.

Для вычисления факторизации целого числа п, нужен алгоритм для поиска делитель q из п или решив, что п простое. Когда такой делитель найден, повторное применение этого алгоритма к факторам q и п / q дает в конечном итоге полную факторизацию п.^[1]

Для нахождения делителя q из п, если есть, достаточно проверить все значения q такой, что 1 и q² ≤ п. Фактически, если р является делителем п такой, что р² > п, тогда q = п / р является делителем п такой, что q² ≤ п.

Если проверить значения q в порядке возрастания первый найденный делитель обязательно является простым числом, а кофактор р = п / q не может иметь делителя меньше чем q. Чтобы получить полную факторизацию, достаточно продолжить алгоритм поиском делителя числа р это не меньше чем q и не больше чем √р.

Нет необходимости проверять все значения q за применение метода. В принципе, достаточно проверить только простые делители. Здесь должна быть таблица простых чисел, которую можно сгенерировать, например, с помощью сито Эратосфена. Поскольку метод факторизации по существу выполняет ту же работу, что и решето Эратосфена, обычно более эффективно проверять на делитель только те числа, для которых не сразу ясно, являются ли они простыми или нет. Обычно можно приступить к проверке 2, 3, 5 и чисел> 5, последняя цифра которых равна 1, 3, 7, 9, а сумма цифр не кратна 3.

Этот метод хорошо работает для факторизации малых целых чисел, но неэффективен для больших целых чисел. Например, Пьер де Ферма не смог обнаружить, что 6-й Число Ферма

${ Displaystyle 1 + 2 ^ {2 ^ {5}} = 1 + 2 ^ {32} = 4 , 294 , 967 , 297}$

не является простым числом. Фактически, применение вышеуказанного метода потребует более 10000 подразделения, для числа, имеющего 10десятичные цифры.

Существуют более эффективные алгоритмы факторинга. Однако они остаются относительно неэффективными, поскольку при современном уровне техники невозможно факторизовать, даже с более мощными компьютерами, число из 500 десятичных цифр, которое является произведением двух случайно выбранных простых чисел. Это обеспечивает безопасность Криптосистема RSA, который широко используется для безопасного Интернет общение.

пример

Для факторинга п = 1386 на простые числа:

• Начните с деления на 2: число четное, и п = 2 · 693. Продолжите с 693 и 2 в качестве первого кандидата на делитель.
• 693 нечетно (2 не является делителем), но делится на 3: один имеет 693 = 3 · 231 и п = 2 · 3 · 231. Продолжите с 231 и 3 в качестве первого кандидата на делитель.
• 231 также делится на 3: один имеет 231 = 3 · 77, и поэтому п = 2 · 3² · 77. Продолжите с 77 и 3 в качестве кандидата на первый делитель.
• 77 не делится на 3, поскольку сумма его цифр равна 14, а не кратно 3. Он также не кратен 5, потому что его последняя цифра равна 7. Следующим проверяемым нечетным делителем будет 7. Один из них 77 = 7 · 11, и поэтому п = 2 · 3² · 7 · 11. Это показывает, что 7 простое число (легко проверить напрямую). Продолжите с 11 и 7 в качестве первого кандидата на делитель.
• Так как 7² > 11, один закончил. Таким образом, 11 простое число, а факторизация на простые множители равна

1386 = 2 · 3² · 7 · 11.

Выражения

Манипулирование выражения это основа алгебра. Факторизация - один из наиболее важных методов манипулирования выражениями по нескольким причинам. Если можно поставить уравнение в факторизованной форме E⋅F = 0, то задача решения разбивается на две независимые (и в целом более простые) задачи E = 0 и F = 0. Когда выражение можно разложить на множители, факторы часто оказываются намного проще и поэтому могут дать некоторое представление о проблеме. Например,

${ displaystyle x ^ {3} -ax ^ {2} -bx ^ {2} -cx ^ {2} + abx + acx + bcx-abc}$

имея 16 умножений, 4 вычитания и 3 сложения, можно разложить на более простое выражение

${ Displaystyle (х-а) (х-б) (х-с),}$

всего с двумя умножениями и тремя вычитаниями. Более того, факторизованная форма сразу дает корни х = а, б, с полинома от Икс представлены этими выражениями.

С другой стороны, факторизация не всегда возможна, и когда это возможно, факторы не всегда проще. Например, ${ displaystyle x ^ {997} -1}$ можно разделить на два несводимые факторы ${ displaystyle x-1}$ и ${ displaystyle x ^ {996} + x ^ {995} + cdots + x ^ {2} + x + 1}$.

Для нахождения факторизаций были разработаны различные методы; некоторые описаны ниже.

Решение алгебраические уравнения можно рассматривать как проблему факторизации. Фактически, основная теорема алгебры можно сформулировать следующим образом. Каждые многочлен в Икс степени п с участием сложный коэффициенты могут быть разложены на п линейные факторы ${ displaystyle x-a_ {i},}$ для я = 1, ..., п, где а_яs - корни многочлена.^[2] Хотя структура факторизации в этих случаях известна,а_яs, как правило, нельзя вычислить в терминах радикалов (п^th корни), Теорема Абеля – Руффини. В большинстве случаев лучшее, что можно сделать, - это вычислить приблизительные значения корней с алгоритм поиска корней.

История факторизации выражений

Систематическое использование алгебраических манипуляций для упрощения выражений (более конкретно уравнения )) может быть датирован 9 веком, с аль-Хорезми книга Сборник по расчетам методом комплектования и балансировки, который озаглавлен двумя такими видами манипуляции. Однако даже для решения квадратные уравнения, метод факторинга ранее не использовался Харриот Работа опубликована в 1631 году, через десять лет после его смерти.^[3]

В его книге Artis Analyticae Praxis и Aequationes Algebraicas Resolvendas, Харриот нарисовал в первом разделе таблицы для сложения, вычитания, умножения и деления мономы, биномы, и трехчлены. Затем во втором разделе он составил уравнение аа − ба + ок = + до н.э, и показал, что это соответствует форме умножения, которую он ранее предоставил, давая факторизацию (а − б)(а + c).^[4]

Общие методы

Следующие методы применяются к любому выражению, которое является суммой или может быть преобразовано в сумму. Поэтому их чаще всего применяют к многочлены, хотя они также могут применяться, когда условия суммы не мономы, то есть члены суммы являются произведением переменных и констант.

Общий делитель

Может случиться так, что все члены суммы являются произведениями, а некоторые факторы являются общими для всех терминов. В этом случае распределительный закон позволяет выделить этот общий фактор. Если таких общих факторов несколько, стоит выделить наибольший из них. Также, если есть целые коэффициенты, можно вычесть наибольший общий делитель этих коэффициентов.

Например,^[5]

${ displaystyle 6x ^ {3} y ^ {2} + 8x ^ {4} y ^ {3} -10x ^ {5} y ^ {3} = 2x ^ {3} y ^ {2} (3 + 4xy -5x ^ {2} y),}$

так как 2 является наибольшим общим делителем 6, 8 и 10, и ${ displaystyle x ^ {3} y ^ {2}}$ делит все термины.

Группировка

Условия группировки могут позволить использовать другие методы факторизации.

Например, чтобы фактор

${ displaystyle 4x ^ {2} + 20x + 3xy + 15y,}$

можно заметить, что первые два члена имеют общий фактор Икс, а последние два члена имеют общий множитель у. Таким образом

${ displaystyle 4x ^ {2} + 20x + 3xy + 15y = (4x ^ {2} + 20x) + (3xy + 15y) = 4x (x + 5) + 3y (x + 5).}$

Тогда простой осмотр показывает общий фактор Икс + 5, что приводит к факторизации

${ displaystyle 4x ^ {2} + 20x + 3xy + 15y = (4x + 3y) (x + 5).}$

В общем, это работает для сумм из 4 членов, которые были получены как произведение двух биномы. Хотя это не часто, это может работать и для более сложных примеров.

Сложение и вычитание терминов

Иногда некоторая группировка терминов позволяет выступить частью узнаваемый узор. Затем полезно добавлять члены для завершения шаблона и вычитать их, чтобы не изменять значение выражения.

Типичное использование этого - завершение квадрата метод получения квадратичная формула.

Другой пример - факторизация ${ displaystyle x ^ {4} +1.}$ Если ввести нереальное квадратный корень из –1, обычно обозначаемый я, то есть разница квадратов

${ displaystyle x ^ {4} + 1 = (x ^ {2} + i) (x ^ {2} -i).}$

Однако может потребоваться факторизация с настоящий номер коэффициенты. Добавляя и вычитая ${ displaystyle 2x ^ {2},}$ и группируя три термина вместе, можно распознать квадрат биномиальный:

${ displaystyle x ^ {4} + 1 = (x ^ {4} + 2x ^ {2} +1) -2x ^ {2} = (x ^ {2} +1) ^ {2} - left ( x { sqrt {2}} right) ^ {2} = left (x ^ {2} + x { sqrt {2}} + 1 right) left (x ^ {2} -x { sqrt {2}} + 1 right).}$

Вычитание и добавление ${ displaystyle 2x ^ {2}}$ также дает факторизацию:

${ displaystyle x ^ {4} + 1 = (x ^ {4} -2x ^ {2} +1) + 2x ^ {2} = (x ^ {2} -1) ^ {2} + left ( x { sqrt {2}} right) ^ {2} = left (x ^ {2} + x { sqrt {-2}} - 1 right) left (x ^ {2} -x { sqrt {-2}} - 1 right).}$

Эти факторизации работают не только над комплексными числами, но и над любыми поле, где –1, 2 или –2 - квадрат. В конечное поле, произведение двух неквадратов является квадратом; это означает, что многочлен ${ displaystyle x ^ {4} +1,}$ который несводимый над целыми числами, сводится по модулю каждый простое число. Например,

${ Displaystyle х ^ {4} +1 эквив (х + 1) ^ {4} { pmod {2}};}$

${ Displaystyle х ^ {4} +1 эквив (х ^ {2} + х-1) (х ^ {2} -x-1) { pmod {3}}, qquad}$поскольку ${ Displaystyle 1 ^ {2} Equiv -2 { pmod {3}};}$

${ Displaystyle х ^ {4} +1 эквив (х ^ {2} +2) (х ^ {2} -2) { pmod {5}}, qquad}$поскольку ${ Displaystyle 2 ^ {2} Equiv -1 { pmod {5}};}$

${ Displaystyle х ^ {4} +1 эквив (х ^ {2} + 3x + 1) (х ^ {2} -3x + 1) { pmod {7}}, qquad}$поскольку ${ Displaystyle 3 ^ {2} Equiv 2 { pmod {7}}.}$

Узнаваемые узоры

Много идентичности обеспечить равенство между суммой и произведением. Вышеупомянутые методы могут использоваться для того, чтобы позволить сумме некоторой идентичности появляться в выражении, которое, следовательно, может быть заменено произведением.

Ниже приведены тождества, левые части которых обычно используются в качестве шаблонов (это означает, что переменные E и F которые появляются в этих идентификаторах, могут представлять любое подвыражение выражения, которое необходимо факторизовать.^[6]

Наглядное доказательство различий между двумя квадратами и двумя кубиками

• Разница двух квадратов

${ Displaystyle E ^ {2} -F ^ {2} = (E + F) (E-F)}$

Например,

${ displaystyle { begin {align} a ^ {2} + & 2ab + b ^ {2} -x ^ {2} + 2xy-y ^ {2} & = (a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}) - (x ^ {2} -2xy + y ^ {2}) & = (a + b) ^ {2} - (xy) ^ {2} & = (a + b + xy) (a + b-x + y). end {align}}}$

• Сумма / разница двух кубиков

${ Displaystyle E ^ {3} + F ^ {3} = (E + F) (E ^ {2} -EF + F ^ {2})}$

${ Displaystyle E ^ {3} -F ^ {3} = (E-F) (E ^ {2} + EF + F ^ {2})}$

• Разница двух четвертых степеней

${ displaystyle { begin {align} E ^ {4} -F ^ {4} & = (E ^ {2} + F ^ {2}) (E ^ {2} -F ^ {2}) & = (E ^ {2} + F ^ {2}) (E + F) (EF) end {выровнено}}}$

• Сумма / разница двух псилы

В следующих идентичностях факторы часто могут быть дополнительно разложены на множители:

• Разница, даже показатель степени

${ Displaystyle E ^ {2n} -F ^ {2n} = (E ^ {n} + F ^ {n}) (E ^ {n} -F ^ {n})}$

• Разница, четная или нечетная экспонента

${ Displaystyle E ^ {n} -F ^ {n} = (EF) (E ^ {n-1} + E ^ {n-2} F + E ^ {n-3} F ^ {2} + cdots + EF ^ {n-2} + F ^ {n-1})}$

Это пример, показывающий, что факторы могут быть намного больше, чем факторизуемая сумма.

• Сумма, нечетная экспонента

${ Displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = (E + F) (E ^ {n-1} -E ^ {n-2} F + E ^ {n-3} F ^ {2} - cdots -EF ^ {n-2} + F ^ {n-1})}$

(получается изменением F от –F в предыдущей формуле)

• Сумма, даже показатель степени

Если показатель степени является степенью двойки, то выражение, как правило, не может быть разложено на множители без введения сложные числа (если E и F содержат комплексные числа, это может быть не так). Если п имеет нечетный делитель, т. е. если п = pq с участием п нечетный, можно использовать предыдущую формулу (в «Сумма, нечетный показатель»), применяемую к ${ displaystyle (E ^ {q}) ^ {p} + (F ^ {q}) ^ {p}.}$

• Трехчлены и кубические формулы

${ displaystyle { begin {align} & x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} +2 (xy + yz + xz) = (x + y + z) ^ {2} & x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} -3xyz = (x + y + z) (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -xy-xz-yz ) & x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + 3x ^ {2} (y + z) + 3y ^ {2} (x + z) + 3z ^ {2} (x + y) + 6xyz = (x + y + z) ^ {3} & x ^ {4} + x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4} = (x ^ {2} + xy + y ^ {2}) (x ^ {2} -xy + y ^ {2}). end {align}}}$

• Биномиальные разложения

Визуализация биномиального разложения до 4-й степени

В биномиальная теорема предоставляет шаблоны, которые можно легко распознать по целым числам, которые в них появляются

В низкой степени:

${ displaystyle a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} = (a + b) ^ {2}}$

${ displaystyle a ^ {2} -2ab + b ^ {2} = (a-b) ^ {2}}$

${ displaystyle a ^ {3} + 3a ^ {2} b + 3ab ^ {2} + b ^ {3} = (a + b) ^ {3}}$

${ displaystyle a ^ {3} -3a ^ {2} b + 3ab ^ {2} -b ^ {3} = (a-b) ^ {3}}$

В более общем смысле, коэффициенты развернутых форм ${ Displaystyle (а + б) ^ {п}}$ и ${ Displaystyle (а-б) ^ {п}}$ являются биномиальные коэффициенты, которые появляются в пй ряд Треугольник Паскаля.

Корни единства

В пth корни единства являются сложные числа каждый из которых является корень полинома ${ displaystyle x ^ {n} -1.}$ Таким образом, это числа

${ displaystyle e ^ {2ik pi / n} = cos { frac {2 pi k} {n}} + i sin { frac {2 pi k} {n}}}$

для ${ Displaystyle к = 0, ldots, п-1.}$

Отсюда следует, что для любых двух выражений E и F, надо:

${ Displaystyle E ^ {n} -F ^ {n} = (E-F) prod _ {k = 1} ^ {n-1} left (E-Fe ^ {2ik pi / n} right)}$

${ displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = prod _ {k = 0} ^ {n-1} left (E-Fe ^ {(2k + 1) pi / n} right) qquad { text {if}} n { text {четно}}}$

${ Displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = (E + F) prod _ {k = 1} ^ {n-1} left (E + Fe ^ {2ik pi / n} right ) qquad { text {if}} n { text {нечетное}}}$

Если E и F являются реальными выражениями, и нужно иметь реальные множители, нужно заменить каждую пару комплексно сопряженный факторов по его продукту. Как комплексное сопряжение ${ Displaystyle е ^ {я альфа}}$ является ${ displaystyle e ^ {- я alpha},}$ и

${ displaystyle left (a-be ^ {i alpha} right) left (a-be ^ {- i alpha} right) = a ^ {2} -ab left (e ^ {i alpha} + e ^ {- i alpha} right) + b ^ {2} e ^ {i alpha} e ^ {- i alpha} = a ^ {2} -2ab cos , alpha + Ь ^ {2},}$

одна имеет следующие действительные факторизации (одна переходит от одной к другой, изменяя k в п – k или п + 1 – k, и применяя обычный тригонометрические формулы:

${ displaystyle { begin {align} E ^ {2n} -F ^ {2n} & = (EF) (E + F) prod _ {k = 1} ^ {n-1} left (E ^ { 2} -2EF cos , { frac {k pi} {n}} + F ^ {2} right) & = (EF) (E + F) prod _ {k = 1} ^ {n-1} left (E ^ {2} + 2EF cos , { frac {k pi} {n}} + F ^ {2} right) end {align}}}$

${ displaystyle { begin {align} E ^ {2n} + F ^ {2n} & = prod _ {k = 1} ^ {n} left (E ^ {2} + 2EF cos , { frac {(2k-1) pi} {2n}} + F ^ {2} right) & = prod _ {k = 1} ^ {n} left (E ^ {2} -2EF cos , { frac {(2k-1) pi} {2n}} + F ^ {2} right) end {align}}}$

В косинусы которые появляются в этих факторизациях алгебраические числа, и может быть выражено через радикалы (это возможно, потому что их Группа Галуа циклический); однако эти радикальные выражения слишком сложны для использования, за исключением малых значений п. Например,

${ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} = (a ^ {2} - { sqrt {2}} ab + b ^ {2}) (a ^ {2} + { sqrt {2}) } ab + b ^ {2}).}$

${ displaystyle a ^ {5} -b ^ {5} = (ab) left (a ^ {2} + { frac {1 - { sqrt {5}}} {2}} ab + b ^ { 2} right) left (a ^ {2} + { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} ab + b ^ {2} right),}$

${ displaystyle a ^ {5} + b ^ {5} = (a + b) left (a ^ {2} - { frac {1 - { sqrt {5}}} {2}} ab + b ^ {2} right) left (a ^ {2} - { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} ab + b ^ {2} right),}$

Часто требуется факторизация с рациональными коэффициентами. Такая факторизация предполагает циклотомические многочлены. Чтобы выразить рациональную факторизацию сумм и разностей или степеней, нам понадобится обозначение для усреднение полинома: если ${ Displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {i} x ^ {n-1} + cdots + a_ {n},}$ его гомогенизация это двумерный многочлен ${ displaystyle { overline {P}} (x, y) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {i} x ^ {n-1} y + cdots + a_ {n} y ^ {n} .}$ Тогда есть

${ displaystyle E ^ {n} -F ^ {n} = prod _ {k mid n} { overline {Q}} _ {n} (E, F),}$

${ displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = prod _ {k mid 2n, k not mid n} { overline {Q}} _ {n} (E, F),}$

где произведения берутся по всем делителям п, или все делители 2п которые не разделяют п, и ${ Displaystyle Q_ {п} (х)}$ это п-й круговой полином.

Например,

${ displaystyle a ^ {6} -b ^ {6} = { overline {Q}} _ {1} (a, b) { overline {Q}} _ {2} (a, b) { overline {Q}} _ {3} (a, b) { overline {Q}} _ {6} (a, b) = (ab) (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ { 2}) (a ^ {2} + ab + b ^ {2}),}$

${ displaystyle a ^ {6} + b ^ {6} = { overline {Q}} _ {4} (a, b) { overline {Q}} _ {12} (a, b) = (a ^ {2} + b ^ {2}) (a ^ {4} -a ^ {2} b ^ {2} + b ^ {4}),}$

так как делители 6 равны 1, 2, 3, 6, а делители 12, которые не делят 6, равны 4 и 12.

Полиномы

Для многочленов факторизация тесно связана с проблемой решения алгебраические уравнения. Алгебраическое уравнение имеет вид

${ Displaystyle P (x) = 0,}$

где

${ Displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {n},}$

где п(Икс) является многочленом от Икс, так что ${ displaystyle a_ {0} neq 0.}$Решение этого уравнения (также называемого корень полинома) - величина р из Икс такой, что

${ Displaystyle P (r) = 0.}$

Если

${ Displaystyle P (x) = Q (x) R (x)}$

это факторизация п как произведение двух многочленов, то корни п являются союз корней Q и корни р. Таким образом решая п сводится к более простым задачам решения Q и р.

И наоборот, факторная теорема утверждает, что если р это корень п, тогда п может быть учтен как

${ Displaystyle Р (х) = (х-г) Q (х),}$

где Q(Икс) является частным от Евклидово деление из п от Икс – р.

Если коэффициенты при п находятся настоящий или сложный числа, основная теорема алгебры утверждает, что п имеет реальный или сложный корень. Рекурсивно используя факторную теорему, получаем, что

${ Displaystyle P (x) = a_ {0} (x-r_ {1}) cdots (x-r_ {n}),}$

где ${ displaystyle r_ {1}, ldots, r_ {n}}$ настоящие или сложные корни п, причем некоторые из них, возможно, повторяются. Эта полная факторизация уникальна вплоть до порядок факторов.

Если коэффициенты при п реальны, обычно требуется факторизация, в которой факторы имеют действительные коэффициенты. В этом случае в полной факторизации могут быть факторы, имеющие степень два. Эта факторизация может быть легко выведена из приведенной выше полной факторизации. Фактически, если р = а + ib является ненастоящим корнем п, то его комплексно сопряженный s = а - ib также является корнем п. Итак, товар

${ displaystyle (x-r) (x-s) = x ^ {2} - (r + s) x + rs = x ^ {2} + 2ax + a ^ {2} + b ^ {2}}$

фактор п который имеет реальные коэффициенты. Эта группировка нереальных факторов может продолжаться до тех пор, пока не будет получена факторизация с действительными факторами, которые являются полиномами первой или второй степени.

Для вычисления этих действительных или комплексных факторизаций необходимо знать корни многочлена. Как правило, их нельзя вычислить точно, и можно получить только приблизительные значения корней. Увидеть Алгоритм поиска корней для краткого обзора многочисленных эффективных алгоритмы которые были разработаны для этой цели.

Большинство алгебраических уравнений, которые встречаются на практике, имеют целое число или рациональный коэффициенты, и может потребоваться факторизация с факторами того же типа. В основная теорема арифметики можно обобщить на этот случай. То есть многочлены с целыми или рациональными коэффициентами имеют уникальное свойство факторизации. Точнее, каждый многочлен с рациональными коэффициентами можно разложить на множители в произведении.

${ Displaystyle Р (х) = д , Р_ {1} (х) cdots Р_ {к} (х),}$

где q является рациональным числом и ${ Displaystyle P_ {1}, ldots, P_ {k}}$ непостоянные многочлены с целыми коэффициентами, которые несводимый и примитивный; это означает, что ни один из ${ displaystyle P_ {i}}$ может быть записано как произведение двух многочленов (с целыми коэффициентами), которые не равны ни 1, ни –1 (целые числа считаются многочленами нулевой степени). Более того, эта факторизация уникальна до порядка факторов и умножения на -1 четного числа факторов.

Есть действенные алгоритмы для вычисления этой факторизации, которые реализованы в большинстве компьютерная алгебра системы. Увидеть Факторизация многочленов. К сожалению, для обычных вычислений эти алгоритмы слишком сложны, чтобы их можно было использовать. Помимо общих эвристик, описанных выше, в этом случае доступно лишь несколько методов, которые обычно работают только для многочленов низкой степени с небольшим количеством ненулевых коэффициентов. Основные такие методы описаны в следующих подразделах.

Примитивная часть – факторизация содержимого

Каждый многочлен с рациональный коэффициенты, могут быть разложены на множители уникальным способом как произведение рационального числа и многочлена с целыми коэффициентами, который равен примитивный (это наибольший общий делитель коэффициентов равно 1), и имеет положительный старший коэффициент (коэффициент члена высшей степени). Например:

${ Displaystyle -10x ^ {2} + 5x + 5 = (- 5) cdot (2x ^ {2} -x-1)}$

${ displaystyle { frac {1} {3}} x ^ {5} + { frac {7} {2}} x ^ {2} + 2x + 1 = { frac {1} {6}} ( 2x ^ {5} + 21x ^ {2} + 12x + 6)}$

В этой факторизации рациональное число называется содержание, а примитивный многочлен - это примитивная часть. Вычисление этой факторизации может быть выполнено следующим образом: во-первых, приведите все коэффициенты к общему знаменателю, чтобы получить частное на целое число q полинома с целыми коэффициентами. Затем делится больший общий делитель п коэффициентов этого многочлена для получения примитивной части, содержание которой ${ displaystyle p / q.}$ Наконец, если нужно, меняют знаки п и все коэффициенты примитивной части.

Эта факторизация может привести к результату, большему, чем исходный многочлен (обычно, когда существует много совмещать знаменатели), но даже в этом случае примитивной частью, как правило, легче манипулировать для дальнейшей факторизации.

Используя факторную теорему

Фактор-теорема утверждает, что если р это корень из многочлен

${ Displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {n-1} x + a_ {n}}$

(это п(р) = 0 ), то существует факторизация

${ Displaystyle Р (х) = (х-г) Q (х),}$

где

${ Displaystyle Q (x) = b_ {0} x ^ {n-1} + cdots + b_ {n-2} x + b_ {n-1},}$

с участием ${ displaystyle a_ {0} = b_ {0},}$ и

${ displaystyle b_ {i} = a_ {0} r ^ {i} + cdots + a_ {i-1} r + a_ {i}}$

для я = 1, ..., п – 1.

Это может быть полезно, когда с помощью проверки или использования некоторой внешней информации известен корень многочлена. Для вычислений Q(Икс), вместо приведенной выше формулы можно также использовать полиномиальное деление в столбик или синтетическое подразделение.

Например, для полинома ${ displaystyle x ^ {3} -3x + 2,}$ легко видеть, что сумма его коэффициентов равна 0. Таким образом, р = 1 это корень. Так как р + 0 = 1, и ${ displaystyle r ^ {2} + 0r-3 = -2,}$ надо

${ displaystyle x ^ {3} -3x + 2 = (x-1) (x ^ {2} + x-2).}$

Рациональные корни

Поиск рациональный корни многочлена имеет смысл только для многочленов с рациональными коэффициентами. Примитивная факторизация частичного содержания (см. над ) сводит задачу поиска рациональных корней к случаю многочленов с целыми коэффициентами такими, что наибольший общий делитель из коэффициентов один.

Если ${ displaystyle { frac {p} {q}}}$ является рациональным корнем такого многочлена

${ Displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {n-1} x + a_ {n},}$

теорема о факторах показывает, что имеется факторизация

${ Displaystyle P (x) = (qx-p) Q (x),}$

где оба фактора имеют целые коэффициенты (тот факт, что Q имеет целые коэффициенты, полученные из приведенной выше формулы для частного п(Икс) от ${ Displaystyle х-р / д}$).

Сравнение коэффициентов степени п а постоянные коэффициенты в указанном выше равенстве показывают, что если ${ displaystyle { frac {p} {q}}}$ рациональный корень в уменьшенная форма, тогда q является делителем ${ displaystyle a_ {0},}$ и п является делителем ${ displaystyle a_ {n}.}$ Следовательно, существует конечное число возможностей для п и q, которые можно систематически изучать.^[7]

Например, если многочлен

${ displaystyle 2x ^ {3} -7x ^ {2} + 10x-6}$

имеет рациональный корень ${ displaystyle p / q}$ с участием q > 0, тогда п необходимо разделить 6; это ${ displaystyle p in { pm 1, pm 2, pm 3, pm 6 },}$ и q должен делить 2, то есть ${ displaystyle q in {1,2 }.}$ Более того, если Икс < 0, все члены многочлена отрицательны, поэтому корень не может быть отрицательным. То есть нужно иметь

${ displaystyle { frac {p} {q}} in {1,2,3,6, { frac {1} {2}}, { frac {3} {2}} }.}$

Прямое вычисление показывает, что ${ displaystyle { frac {3} {2}}}$ является корнем, и другого рационального корня не существует. Применение факторной теоремы окончательно приводит к факторизации${ displaystyle 2x ^ {3} -7x ^ {2} + 10x-6 = (2x-3) (x ^ {2} -2x + 2).}$

Метод переменного тока

Для квадратичные многочлены, вышеупомянутый метод может быть адаптирован, что приведет к так называемой метод переменного тока факторизации.^[8]

Рассмотрим квадратичный многочлен

${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}$

с целыми коэффициентами. Если он имеет рациональный корень, его знаменатель должен делить а равномерно. Итак, это можно записать как возможно восстанавливаемая фракция ${ displaystyle { frac {r} {a}}.}$ От Формулы Виета, другой корень

${ displaystyle - { frac {b} {a}} - { frac {r} {a}} = - { frac {b + r} {a}} = { frac {s} {a}} ,}$

с участием ${ displaystyle s = - (b + r).}$Таким образом, второй корень также является рациональным, а вторая формула Виета дает

${ displaystyle { frac {s} {a}} { frac {r} {a}} = { frac {c} {a}},}$

это

${ displaystyle rs = ac quad { text {and}} quad r + s = -b.}$

Проверка всех пар целых чисел, произведение которых ac дает рациональные корни, если таковые имеются.

Например, рассмотрим квадратичный многочлен

${ displaystyle 6x ^ {2} + 13x + 6.}$

Проверка факторов ac = 36 приводит к 4 + 9 = 13 = б, давая два корня

${ displaystyle - { frac {4} {6}} = - { frac {2} {3}} quad { text {and}} quad - { frac {9} {6}} = - { frac {3} {2}},}$

и факторизация

${ displaystyle { begin {align} 6x ^ {2} + 13x + 6 & = 6 (x + { frac {2} {3}}) (x + { frac {3} {2}}) & = (3x + 2) (2x + 3). End {align}}}$

Использование формул для корней многочленов

Любая одномерная квадратичный многочлен ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}$ можно разложить на множители с помощью квадратичная формула:

${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a (x- alpha) (x- beta) = a left (x - { frac {-b + { sqrt {b ^ {2} -4ac) }}} {2a}} right) left (x - { frac {-b - { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} right),}$

где ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ два корни полинома.

Если а, б, в все настоящий, факторы действительны тогда и только тогда, когда дискриминант ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$ неотрицательно. В противном случае квадратичный многочлен не может быть разложен на непостоянные действительные множители.

Квадратичная формула верна, когда коэффициенты принадлежат любому поле из характеристика отличным от двух, и, в частности, для коэффициентов при конечное поле с нечетным количеством элементов.^[9]

Также есть формулы для корней кубический и квартика полиномы, которые, в общем, слишком сложны для практического использования. В Теорема Абеля – Руффини показывает, что не существует общих формул корней в терминах радикалов для многочленов пятой степени и выше.

Использование отношений между корнями

Может оказаться, что кто-то знает некоторую связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Использование этих знаний может помочь факторизовать многочлен и найти его корни. Теория Галуа основан на систематическом изучении отношений между корнями и коэффициентами, которые включают Формулы Виета.

Здесь мы рассматриваем более простой случай, когда два корня ${ displaystyle x_ {1}}$и ${ displaystyle x_ {2}}$ полинома ${ Displaystyle P (x)}$ удовлетворять отношению

${ displaystyle x_ {2} = Q (x_ {1}),}$

где Q является многочленом.

Это означает, что ${ displaystyle x_ {1}}$ является общим корнем ${ Displaystyle P (Q (x))}$ и ${ Displaystyle P (x).}$ Следовательно, это корень наибольший общий делитель этих двух многочленов. Отсюда следует, что этот наибольший общий делитель является непостоянным делителем ${ Displaystyle P (x).}$ Евклидов алгоритм для многочленов позволяет вычислить этот наибольший общий фактор.

Например,^[10] если знать или догадываться, что:${ Displaystyle P (x) = x ^ {3} -5x ^ {2} -16x + 80}$ имеет два корня, сумма которых равна нулю, можно применить алгоритм Евклида к ${ Displaystyle P (x)}$ и ${ Displaystyle P (-x).}$ Первый шаг деления состоит в добавлении ${ Displaystyle P (x)}$ к ${ Displaystyle P (-x),}$ отдавая оставшуюся часть

${ displaystyle -10 (x ^ {2} -16).}$

Затем, разделив ${ Displaystyle P (x)}$ от ${ displaystyle x ^ {2} -16}$ дает ноль в качестве нового остатка, а Икс – 5 как частное, что приводит к полной факторизации

${ displaystyle x ^ {3} -5x ^ {2} -16x + 80 = (x-5) (x-4) (x + 4).}$

Уникальные домены факторизации

Целые числа и многочлены над поле разделяют свойство уникальной факторизации, то есть каждый ненулевой элемент может быть разложен на произведение обратимого элемента ( единица измерения, ± 1 в случае целых чисел) и произведение неприводимые элементы (простые числа, в случае целых чисел), и эта факторизация уникальна вплоть до перестановки факторов и сдвига единиц среди факторов. Интегральные домены которые разделяют это свойство, называются уникальные домены факторизации (УрФО).

Наибольшие общие делители существуют в UFD, и, наоборот, каждая область целостности, в которой существуют наибольшие общие делители, является UFD. Каждые главная идеальная область УрФО.

А Евклидова область является областью целостности, на которой определяется Евклидово деление аналогично целым числам. Каждая евклидова область является областью главных идеалов и, следовательно, UFD.

В евклидовой области евклидово деление позволяет определить Евклидов алгоритм для вычисления наибольших общих делителей. Однако это не подразумевает существования алгоритма факторизации. Есть явный пример поле F такой, что не может существовать никакого алгоритма факторизации в евклидовой области F[Икс] одномерных многочленов над F.

Идеалы

В алгебраическая теория чисел, изучение Диофантовы уравнения привели математиков в 19 веке к введению обобщений целые числа называется алгебраические целые числа. Первый кольцо целых алгебраических чисел которые считались Гауссовские целые числа и Целые числа Эйзенштейна, которые разделяют с обычными целыми числами свойство быть области главных идеалов, и, таким образом, уникальное свойство факторизации.

К сожалению, вскоре выяснилось, что большинство колец целых алгебраических чисел не являются главными и не имеют однозначной факторизации. Самый простой пример: ${ displaystyle mathbb {Z} [{ sqrt {-5}}],}$ в котором

${ displaystyle 9 = 3 cdot 3 = (2 + { sqrt {-5}}) (2 - { sqrt {-5}}),}$

и все эти факторы несводимый.

Отсутствие уникальной факторизации - главная трудность при решении диофантовых уравнений. Например, много неверных доказательств Последняя теорема Ферма (возможно, включая Ферма «поистине изумительное доказательство этого, которое на этом поле слишком мало, чтобы вместить») были основаны на неявном предположении уникальной факторизации.

Эта проблема была решена Дедекинд, который доказал, что кольца целых алгебраических чисел имеют единственную факторизацию идеалы: в этих кольцах каждый идеал является продуктом главные идеалы, и эта факторизация уникальна по порядку факторов. В целостные области которые имеют это уникальное свойство факторизации, теперь называются Дедекиндовские домены. У них есть много хороших свойств, которые делают их фундаментальными в алгебраической теории чисел.

Матрицы

Кольца матриц некоммутативны и не имеют однозначной факторизации: в общем, существует много способов записать матрица как продукт матриц. Таким образом, проблема факторизации состоит в нахождении факторов заданных типов. Например, LU разложение дает матрицу как произведение нижняя треугольная матрица по верхнетреугольная матрица. Поскольку это не всегда возможно, обычно рассматривают "разложение LUP", имеющее матрица перестановок в качестве третьего фактора.

Увидеть Разложение матрицы для наиболее распространенных типов матричных факторизаций.

А логическая матрица представляет бинарное отношение, и матричное умножение соответствует состав отношений. Разложение отношения посредством факторизации служит для профилирования характера отношения, например дифункциональный связь.

Смотрите также

• Метод факторизации Эйлера для целых чисел
• Метод факторизации Ферма для целых чисел
• Факторизация моноида
• Мультипликативный раздел
• Таблица гауссовских целочисленных факторизаций

Заметки

использованная литература

• Бернсайд, Уильям Сноу; Пантон, Артур Уильям (1960) [1912], Теория уравнений с введением в теорию бинарных алгебраических форм (Том первый), Дувр
• Диксон, Леонард Юджин (1922), Первый курс теории уравнений, Нью-Йорк: John Wiley & Sons
• Файт, Уильям Бенджамин (1921), Колледж Алгебра (пересмотренный), Бостон: D. C. Heath & Co.
• Кляйн, Феликс (1925), Элементарная математика с продвинутой точки зрения; Арифметика, алгебра, анализ, Дувр
• Селби, Сэмюэл М., Стандартные математические таблицы CRC (18-е изд.), The Chemical Rubber Co.

внешние ссылки

• вольфрам Альфа тоже может факторизоваться.