Алгебраическое уравнение - Algebraic equation

В математика, алгебраическое уравнение или полиномиальное уравнение является уравнение формы

{ displaystyle P = 0}

где п это многочлен с участием коэффициенты в некоторых поле, часто поле рациональное число. Для большинства авторов алгебраическое уравнение одномерный, что означает, что в нем участвует только один переменная. С другой стороны, полиномиальное уравнение может включать несколько переменных, и в этом случае оно называется многомерный и срок полиномиальное уравнение обычно предпочитают алгебраическое уравнение.

Например,

{ displaystyle x ^ {5} -3x + 1 = 0}

является алгебраическим уравнением с целыми коэффициентами и

{ displaystyle y ^ {4} + { frac {xy} {2}} = { frac {x ^ {3}} {3}} - xy ^ {2} + y ^ {2} - { frac {1} {7}}}

является многомерным полиномиальным уравнением над рациональными числами.

Некоторые, но не все полиномиальные уравнения с рациональные коэффициенты есть решение, которое является алгебраическое выражение которые можно найти с помощью конечного числа операций, которые включают только те же типы коэффициентов (то есть могут быть решено алгебраически ). Это можно сделать для всех таких уравнений степень один, два, три или четыре; но для степени пять или выше это можно сделать только для некоторых уравнений, не для всех. Большое количество исследований было посвящено вычислению эффективных и точных приближений настоящий или сложный решения одномерного алгебраического уравнения (см. Алгоритм поиска корней ) и общих решений нескольких многомерных полиномиальных уравнений (см. Система полиномиальных уравнений ).

История

Изучение алгебраических уравнений, вероятно, старо, как математика: Вавилонские математики, еще в 2000 г. до н.э. могли решить некоторые виды квадратные уравнения (отображается на Старый вавилонский глиняные таблички ).

Одномерные алгебраические уравнения над рациональными числами (т. Е. С рациональный коэффициенты) имеют очень долгую историю. Древние математики хотели найти решения в виде радикальные выражения, любить ${ displaystyle x = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}}}$ для положительного решения ${ displaystyle x ^ {2} -x-1 = 0}$ . Древние египтяне умели таким образом решать уравнения степени 2. Индийский математик Брахмагупта (597–668 гг. Н.э.) подробно описал квадратную формулу в своем трактате Brāhmasphuṭasiddhānta, опубликованном в 628 г., но написанном словами, а не символами. В 9 веке Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми и другие исламские математики получили квадратичная формула, общее решение уравнений степени 2, и признал важность дискриминант. В эпоху Возрождения в 1545 г. Джероламо Кардано опубликовал решение Сципионе-дель-Ферро и Никколо Фонтана Тарталья к уравнения степени 3 и что из Лодовико Феррари для уравнения степени 4. в заключение Нильс Хенрик Абель в 1824 г. доказал, что уравнения степени 5 и выше не имеют общих решений с использованием радикалов. Теория Галуа, названный в честь Эварист Галуа, показал, что некоторые уравнения, по крайней мере, степени 5, даже не имеют идиосинкратического решения в радикалах, и дал критерии для определения того, действительно ли уравнение разрешимо с использованием радикалов.

Направления обучения

Алгебраические уравнения лежат в основе ряда областей современной математики: Алгебраическая теория чисел является изучением (одномерных) алгебраических уравнений над рациональными числами (то есть с рациональный коэффициенты). Теория Галуа был представлен Эварист Галуа определить критерии для решения, можно ли решить алгебраическое уравнение в терминах радикалов. В теория поля, алгебраическое расширение является расширением, в котором каждый элемент является корнем алгебраического уравнения над базовым полем. Трансцендентная теория чисел это изучение действительных чисел, которые не являются решениями алгебраического уравнения над рациональными числами. А Диофантово уравнение представляет собой (обычно многомерное) полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами, для которого интересны целочисленные решения. Алгебраическая геометрия это исследование решений в алгебраически замкнутое поле многомерных полиномиальных уравнений.

Два уравнения эквивалентны, если они имеют одинаковый набор решения. В частности, уравнение ${ Displaystyle P = Q}$ эквивалентно ${ displaystyle P-Q = 0}$ . Отсюда следует, что изучение алгебраических уравнений равносильно изучению многочленов.

Полиномиальное уравнение над рациональными числами всегда можно преобразовать в эквивалентное, в котором коэффициенты находятся целые числа. Например, умножая на 42 = 2 · 3 · 7 и группируя его члены в первом члене, ранее упомянутое полиномиальное уравнение ${ displaystyle y ^ {4} + { frac {xy} {2}} = { frac {x ^ {3}} {3}} - xy ^ {2} + y ^ {2} - { frac {1} {7}}}$ становится

{ displaystyle 42y ^ {4} + 21xy-14x ^ {3} + 42xy ^ {2} -42y ^ {2} + 6 = 0.}

Потому что синус, возведение в степень, и 1 /Т не являются полиномиальными функциями,

{ displaystyle e ^ {T} x ^ {2} + { frac {1} {T}} xy + sin (T) z-2 = 0}

является не полиномиальное уравнение от четырех переменных Икс, у, z, и Т над рациональными числами. Однако это полиномиальное уравнение от трех переменных Икс, у, и z над полем элементарные функции в переменной Т.

Теория

Полиномы

Учитывая неизвестное уравнение $Икс$

{ displaystyle ( mathrm {E}) qquad a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + dots + a_ {1} x + a_ {0} = 0}

,

с коэффициентами в поле $K$ , можно эквивалентно сказать, что решения (E) в $K$ корни в $K$ полинома

{ displaystyle P = a_ {n} X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + dots + a_ {1} X + a_ {0} quad in K [X] }

.

Можно показать, что многочлен степени $п$ в поле не больше $п$ корни. Следовательно, уравнение (E) имеет не более $п$ решения.

Если $K '$ это расширение поля из $K$ , можно рассматривать (E) как уравнение с коэффициентами в $K$ и решения (E) в $K$ также решения в $K '$ (обратное, вообще говоря, неверно). Всегда можно найти расширение поля $K$ известный как поле разрыва полинома $п$ , в котором (E) имеет хотя бы одно решение.

Существование решений вещественных и сложных уравнений

В основная теорема алгебры заявляет, что поле из сложные числа замкнуто алгебраически, то есть все полиномиальные уравнения с комплексными коэффициентами и степенью не менее одной имеют решение.

Отсюда следует, что все полиномиальные уравнения степени 1 или более с действительными коэффициентами имеют сложный решение. С другой стороны, такое уравнение, как ${ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}$ не имеет решения в ${ Displaystyle mathbb {R}}$ (решениями являются мнимые единицы $я$ и $-я$ ).

Хотя реальные решения реальных уравнений интуитивно понятны (они $Икс$ -координаты точек, где кривая $у = п (Икс)$ пересекает $Икс$ -axis), существование сложных решений реальных уравнений может быть неожиданным и менее простым для визуализации.

Однако монический многочлен из странный степень обязательно должна иметь настоящий корень. Связанный полиномиальная функция в $Икс$ непрерывно и приближается ${ displaystyle - infty}$ так как $Икс$ подходы ${ displaystyle - infty}$ и ${ displaystyle + infty}$ так как $Икс$ подходы ${ displaystyle + infty}$ . Посредством теорема о промежуточном значении, поэтому он должен принимать нулевое значение в некоторой реальной $Икс$ , которое тогда является решением полиномиального уравнения.

Связь с теорией Галуа

Существуют формулы, дающие решения действительных или комплексных многочленов степени меньше или равной четырем в зависимости от их коэффициентов. Авель показал, что невозможно найти такую формулу вообще (используя только четыре арифметических действия и извлекая корни) для уравнений пятой степени и выше. Теория Галуа предоставляет критерий, который позволяет определить, можно ли выразить решение данного полиномиального уравнения с помощью радикалов.

Явное решение численных уравнений

Подход

Явное решение действительного или комплексного уравнения степени 1 тривиально. Решение уравнение более высокой степени $п$ сводится к разложению ассоциированного многочлена на множители, т. е. переписыванию (E) в виде

{ displaystyle a_ {n} (x-z_ {1}) dots (x-z_ {n}) = 0}

,

где решения тогда ${ displaystyle z_ {1}, dots, z_ {n}}$ . Проблема в том, чтобы выразить ${ displaystyle z_ {i}}$ с точки зрения ${ displaystyle a_ {i}}$ .

Этот подход применяется в более общем случае, если коэффициенты и решения принадлежат область целостности.

Общие техники

Факторинг

Если уравнение $п (Икс) = 0$ степени $п$ имеет рациональный корень $α$ , ассоциированный многочлен можно разложить на множители, чтобы получить вид $п (Икс) = (Икс - α) Q (Икс)$ (от разделение $п (Икс)$ от $Икс - α$ или письменно $п (Икс) - п (α)$ как линейная комбинация условий формы $Икс k - α k$ , и за вычетом $Икс - α$ . Решение $п (Икс) = 0$ таким образом сводится к решению степени $п - 1$ уравнение $Q (Икс) = 0$ . См., Например, кейс $п = 3$ .

Устранение субдоминирующего термина

Чтобы решить уравнение степени $п$ ,

{ displaystyle ( mathrm {E}) qquad a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + dots + a_ {1} x + a_ {0} = 0}

,

обычным предварительным шагом является устранение степени $п - 1$ срок: установив ${ displaystyle x = y - { frac {a_ {n-1}} {n , a_ {n}}}}$ , уравнение (E) принимает вид

{ displaystyle a_ {n} y ^ {n} + b_ {n-2} y ^ {n-2} + dots + b_ {1} x + b_ {0} = 0}

.

Леонард Эйлер разработал эту технику для дело $п = 3$ но это также применимо к дело $п = 4$ , Например.

Квадратные уравнения

Чтобы решить квадратное уравнение вида ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ один вычисляет дискриминант Δ определяется формулой ${ displaystyle Delta = b ^ {2} -4ac}$ .

Если полином имеет действительные коэффициенты, он имеет:

два различных действительных корня, если ${ displaystyle Delta> 0}$ ;
один настоящий двойной корень, если ${ displaystyle Delta = 0}$ ;
нет настоящего корня, если ${ displaystyle Delta <0}$ , но два комплексно-сопряженных корня.

Кубические уравнения

Самый известный метод решения кубических уравнений путем записи корней в радикалах - это Формула Кардано.

Уравнения четвертой степени

Для подробного обсуждения некоторых методов решения см .:

Трансформация Чирнхауса (общий метод, успех не гарантируется);
Безу метод (общий метод, успех не гарантируется);
Метод Феррари (решения для степени 4);
Метод Эйлера (решения для степени 4);
Метод Лагранжа (решения для степени 4);
Метод Декарта (решения для степени 2 или 4);

Уравнение четвертой степени ${ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0}$ с участием ${ displaystyle a neq 0}$ может быть сведено к квадратному уравнению заменой переменной при условии, что биквадратный ( $б = г = 0$ ) или квазипалиндромный ( $е = а, d = b$ ).

Некоторые кубические и четвертые уравнения могут быть решены с помощью тригонометрия или гиперболические функции.

Уравнения высшей степени

Эварист Галуа и Нильс Хенрик Абель независимо показал, что в общем случае полином степени 5 и выше не разрешим в радикалах. У некоторых конкретных уравнений есть решения, например, связанные с циклотомические многочлены степеней 5 и 17.

Чарльз Эрмит, с другой стороны, показали, что многочлены степени 5 разрешимы с помощью эллиптические функции.

В противном случае можно найти численные приближения к корням, используя алгоритмы поиска корней, такие как Метод Ньютона.

Смотрите также

Алгебраическая функция
Алгебраическое число
Поиск корня
Линейное уравнение (степень = 1)
Квадратное уровненеие (степень = 2)
Кубическое уравнение (степень = 3)
Уравнение четвертой степени (степень = 4)
Квинтическое уравнение (степень = 5)
Шестическое уравнение (степень = 6)
Септическое уравнение (степень = 7)
Система линейных уравнений
Система полиномиальных уравнений
Линейное диофантово уравнение
Линейное уравнение над кольцом
Теорема Крамера (алгебраические кривые), от количества точек, обычно достаточного для определения двумерного пкривая степени