Система линейных уравнений - Википедия - System of linear equations

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Октябрь 2015 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Линейная система от трех переменных определяет набор самолеты. Точка пересечения - это решение.

В математика, а система линейных уравнений (или же линейная система) представляет собой набор из одного или нескольких линейные уравнения с участием того же набора переменные.^{[1][2][3][4][5]} Например,

${ displaystyle { begin {alignat} {7} 3x && ; + ; && 2y && ; - ; && z && ; = ; && 1 & 2x && ; - ; && 2y && ; + ; && 4z && ; = ; && - 2 & - x && ; + ; && { tfrac {1} {2}} y && ; - ; && z && ; = ; && 0 & end {alignat}}}$

представляет собой систему трех уравнений от трех переменных Икс, у, z. А решение линейной системе - это присвоение значений переменным таким образом, чтобы все уравнения выполнялись одновременно. А решение к системе выше дается

${ Displaystyle { begin {alignat} {2} x & , = , & 1 y & , = , & - 2 z & , = , & - 2 end {alignat}}}$

поскольку это делает все три уравнения справедливыми. Слово «система» указывает на то, что уравнения следует рассматривать вместе, а не по отдельности.

В математике теория линейных систем является основой и фундаментальной частью линейная алгебра, предмет, который используется в большинстве разделов современной математики. Вычислительная алгоритмы для поиска решений важная часть числовая линейная алгебра, и играют важную роль в инженерное дело, физика, химия, Информатика, и экономика. А система нелинейных уравнений часто может быть приблизительный линейной системой (см. линеаризация ), полезный прием при создании математическая модель или же компьютерное моделирование относительно сложная система.

Очень часто коэффициенты уравнений настоящий или же сложные числа и решения ищутся в том же наборе чисел, но теория и алгоритмы применяются для коэффициентов и решений в любом поле. Для решений в область целостности словно звенеть из целые числа, или в другом алгебраические структуры, были разработаны другие теории, см. Линейное уравнение над кольцом. Целочисленное линейное программирование представляет собой набор методов для поиска «наилучшего» целочисленного решения (когда их много). Основа Грёбнера теория предоставляет алгоритмы, когда коэффициенты и неизвестные многочлены. Также тропическая геометрия является примером линейной алгебры в более экзотической структуре.

Элементарные примеры

Тривиальный пример

Система одного уравнения с одной неизвестной

${ displaystyle 2x = 4}$

есть решение

${ displaystyle x = 2.}$

Однако обычно считается, что линейная система имеет как минимум два уравнения.

Простой нетривиальный пример

Простейший вид нетривиальной линейной системы включает два уравнения и две переменные:

${ displaystyle { begin {alignat} {5} 2x && ; + ; && 3y && ; = ; && 6 & 4x && ; + ; && 9y && ; = ; && 15 &. end {alignat}}}$

Один из методов решения такой системы заключается в следующем. Сначала решите верхнее уравнение для ${ displaystyle x}$ с точки зрения ${ displaystyle y}$:

${ displaystyle x = 3 - { frac {3} {2}} y.}$

Сейчас же заменять это выражение для Икс в нижнее уравнение:

${ displaystyle 4 left (3 - { frac {3} {2}} y right) + 9y = 15.}$

В результате получается одно уравнение, включающее только переменную ${ displaystyle y}$. Решение дает ${ displaystyle y = 1}$, и подставив это обратно в уравнение для ${ displaystyle x}$ дает ${ displaystyle x = 3/2}$. Этот метод распространяется на системы с дополнительными переменными (см. «Исключение переменных» ниже или статью о элементарная алгебра.)

Общая форма

Общая система м линейные уравнения с п неизвестные можно записать как

${ displaystyle { begin {align} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + cdots + a_ {1n} x_ {n} & = b_ {1} a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + cdots + a_ {2n} x_ {n} & = b_ {2} & vdots a_ {m1} x_ {1} + a_ {m2} x_ {2} + cdots + a_ {mn} x_ {n} & = b_ {m}, end {выравнивается}}}$

куда ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}}$ неизвестные, ${ displaystyle a_ {11}, a_ {12}, ldots, a_ {mn}}$ - коэффициенты системы, а ${ displaystyle b_ {1}, b_ {2}, ldots, b_ {m}}$ являются постоянными членами.

Часто коэффициенты и неизвестные настоящий или же сложные числа, но целые числа и рациональное число также видны, как многочлены и элементы абстрактного алгебраическая структура.

Векторное уравнение

Одна чрезвычайно полезная точка зрения состоит в том, что каждое неизвестное - это вес для вектор столбца в линейная комбинация.

${ displaystyle x_ {1} { begin {bmatrix} a_ {11} a_ {21} vdots a_ {m1} end {bmatrix}} + x_ {2} { begin {bmatrix} a_ {12} a_ {22} vdots a_ {m2} end {bmatrix}} + cdots + x_ {n} { begin {bmatrix} a_ {1n} a_ {2n} vdots a_ {mn} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} b_ {1} b_ {2} vdots b_ {m} end {bmatrix}}}$

Это позволяет использовать весь язык и теорию векторные пространства (или, в более общем смысле, модули ) быть приведенным в действие. Например, набор всех возможных линейных комбинаций векторов в левой части называется их охватывать, и уравнения имеют решение только тогда, когда правый вектор находится в пределах этого диапазона. Если каждый вектор в этом диапазоне имеет ровно одно выражение как линейную комбинацию заданных левых векторов, то любое решение уникально. В любом случае промежуток имеет основа из линейно независимый векторы, которые действительно гарантируют ровно одно выражение; и количество векторов в этом базисе (его измерение ) не может быть больше, чем м или же п, но может быть и меньше. Это важно, потому что если у нас есть м Независимые векторы решение гарантируется независимо от правой части, а в противном случае не гарантируется.

Матричное уравнение

Векторное уравнение эквивалентно матрица уравнение вида

${ Displaystyle А mathbf {x} = mathbf {b}}$

куда А является м×п матрица Икс это вектор столбца с п записи и б вектор-столбец с м записи.

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & cdots & a_ {1n} a_ {21} & a_ {22} & cdots & a_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_ {m1} & a_ {m2} & cdots & a_ {mn} end {bmatrix}}, quad mathbf {x} = { begin {bmatrix} x_ {1} x_ {2} vdots x_ {n} end {bmatrix}}, quad mathbf {b} = { begin {bmatrix} b_ {1} b_ {2} vdots b_ {m} end {bmatrix}}}$

Количество векторов в основе диапазона теперь выражается как классифицировать матрицы.

Набор решений

Набор решений для уравнений Икс − у = −1 и 3Икс + у = 9 - единственная точка (2, 3).

А решение линейной системы - это присвоение значений переменным Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п такое, что выполняется каждое из уравнений. В набор всех возможных решений называется набор решений.

Линейная система может вести себя одним из трех возможных способов:

1. В системе есть бесконечно много решений.
2. В системе есть единый уникальное решение.
3. В системе есть нет решения.

Геометрическая интерпретация

Для системы с двумя переменными (Икс и у) каждое линейное уравнение определяет линия на ху-самолет. Поскольку решение линейной системы должно удовлетворять всем уравнениям, набором решений является пересечение этих линий и, следовательно, является линией, одной точкой или пустой набор.

Для трех переменных каждое линейное уравнение определяет самолет в трехмерное пространство, а множество решений - это пересечение этих плоскостей. Таким образом, набор решений может быть плоскостью, линией, отдельной точкой или пустым набором. Например, поскольку три параллельные плоскости не имеют общей точки, набор решений их уравнений пуст; система решений уравнений трех пересекающихся в точке плоскостей является единственной точкой; если три плоскости проходят через две точки, их уравнения имеют как минимум два общих решения; на самом деле множество решений бесконечно и состоит из всех прямых, проходящих через эти точки.^[6]

За п переменных, каждое линейное уравнение определяет гиперплоскость в п-мерное пространство. Множество решений является пересечением этих гиперплоскостей и представляет собой плоский, который может иметь размерность меньше, чем п.

Общее поведение

Набор решений для двух уравнений с тремя переменными, как правило, представляет собой линию.

В общем, поведение линейной системы определяется соотношением между количеством уравнений и количеством неизвестных. Здесь «в целом» означает, что для конкретных значений коэффициентов уравнений может иметь место различное поведение.

• В общем, система с меньшим количеством уравнений, чем неизвестных, имеет бесконечно много решений, но может не иметь решения. Такая система известна как недоопределенная система.
• В общем, система с таким же количеством уравнений и неизвестных имеет одно единственное решение.
• В общем, система с большим количеством уравнений, чем неизвестных, не имеет решения. Такая система также известна как сверхдетерминированная система.

В первом случае измерение множества решений, в общем случае, равно п − м, куда п количество переменных и м это количество уравнений.

Следующие рисунки иллюстрируют эту трихотомию в случае двух переменных:

Одно уравнение	Два уравнения	Три уравнения

Первая система имеет бесконечно много решений, а именно все точки на синей линии. Вторая система имеет единственное уникальное решение, а именно пересечение двух линий. Третья система не имеет решений, так как три линии не имеют общей точки.

Следует иметь в виду, что на рисунках выше показан только самый частый случай (общий случай). Система из двух уравнений и двух неизвестных может не иметь решения (если две прямые параллельны) или для системы из трех уравнений и двух неизвестных быть разрешимой (если три линии пересекаются в одной точке).

Система линейных уравнений ведет себя иначе, чем в общем случае, если уравнения имеют вид линейно зависимый, или если это непоследовательный и в нем не больше уравнений, чем неизвестных.

Характеристики

Независимость

Уравнения линейной системы: независимый если ни одно из уравнений не может быть выведено алгебраически из других. Когда уравнения независимы, каждое уравнение содержит новую информацию о переменных, и удаление любого из уравнений увеличивает размер набора решений. Для линейных уравнений логическая независимость такая же, как линейная независимость.

Уравнения Икс − 2у = −1, 3Икс + 5у = 8, и 4Икс + 3у = 7 линейно зависимы.

Например, уравнения

${ Displaystyle 3x + 2y = 6 ; ; ; ; { text {and}} ; ; ; ; 6x + 4y = 12}$

не являются независимыми - они представляют собой одно и то же уравнение при масштабировании в два раза, и они будут давать идентичные графики. Это пример эквивалентности в системе линейных уравнений.

Для более сложного примера уравнения

${ displaystyle { begin {alignat} {5} x && ; - ; && 2y && ; = ; && - 1 & 3x && ; + ; && 5y && ; = ; && 8 & 4x && ; + ; && 3y && ; = ; && 7 & end {alignat}}}$

не являются независимыми, потому что третье уравнение является суммой двух других. Действительно, любое из этих уравнений может быть получено из двух других, и любое из уравнений может быть удалено, не влияя на набор решений. Графики этих уравнений представляют собой три линии, пересекающиеся в одной точке.

Последовательность

Уравнения 3Икс + 2у = 6 и 3Икс + 2у = 12 непоследовательны.

Линейная система непоследовательный если у него нет решения, и в противном случае говорят, что он последовательный. Когда система несовместима, можно вывести противоречие из уравнений, которые всегда можно переписать как утверждение 0 = 1.

Например, уравнения

${ Displaystyle 3x + 2y = 6 ; ; ; ; { text {and}} ; ; ; ; 3x + 2y = 12}$

непоследовательны. Фактически, вычитая первое уравнение из второго и умножая обе части результата на 1/6, мы получаем 0 = 1. Графики этих уравнений на ху-самолет пара параллельно линий.

Три линейных уравнения могут быть несовместными, даже если любые два из них согласованы вместе. Например, уравнения

${ displaystyle { begin {alignat} {7} x && ; + ; && y && ; = ; && 1 & 2x && ; + ; && y && ; = ; && 1 & 3x && ; + ; && 2y && ; = ; && 3 & end {alignat}}}$

непоследовательны. Сложение первых двух уравнений вместе дает 3Икс + 2у = 2, который можно вычесть из третьего уравнения, чтобы получить 0 = 1. Любые два из этих уравнений имеют общее решение. То же явление может иметь место для любого количества уравнений.

В общем случае несоответствия возникают, если левые части уравнений в системе линейно зависимы, а постоянные члены не удовлетворяют соотношению зависимости. Система уравнений, левые части которой линейно независимы, всегда непротиворечива.

Другими словами, согласно Теорема Руше – Капелли, любая система уравнений (переопределенная или иначе) несовместна, если классифицировать из расширенная матрица выше ранга матрица коэффициентов. Если же, с другой стороны, ранги этих двух матриц равны, система должна иметь хотя бы одно решение. Решение уникально тогда и только тогда, когда ранг равен количеству переменных. В противном случае общее решение будет иметь k свободные параметры где k - разница между количеством переменных и рангом; следовательно, в таком случае решений бесконечно много. Ранг системы уравнений (т.е. ранг расширенной матрицы) никогда не может быть выше, чем [количество переменных] + 1, что означает, что система с любым количеством уравнений всегда может быть сведена к системе, которая имеет количество независимые уравнения что не более чем равно [количеству переменных] + 1.

Эквивалентность

Две линейные системы, использующие один и тот же набор переменных: эквивалент если каждое из уравнений второй системы может быть алгебраически выведено из уравнений первой системы, и наоборот. Две системы эквивалентны, если либо обе несовместны, либо каждое уравнение каждой из них является линейной комбинацией уравнений другой. Отсюда следует, что две линейные системы эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же множество решений.

Решение линейной системы

Есть несколько алгоритмы за решение система линейных уравнений.

Описание решения

Когда множество решений конечно, оно сводится к одному элементу. В этом случае единственное решение описывается последовательностью уравнений, левые части которых являются названиями неизвестных, а правые части - соответствующими значениями, например ${ Displaystyle (х = 3, ; y = -2, ; z = 6)}$. Когда порядок неизвестных был установлен, например, Алфавитный порядок решение можно описать как вектор ценностей, таких как ${ Displaystyle (3, , - 2, , 6)}$ для предыдущего примера.

Чтобы описать множество с бесконечным числом решений, обычно некоторые из переменных обозначаются как свободный (или же независимый, или как параметры), что означает, что им разрешено принимать любое значение, в то время как остальные переменные зависимый от значений свободных переменных.

Например, рассмотрим следующую систему:

${ displaystyle { begin {alignat} {7} x && ; + ; && 3y && ; - ; && 2z && ; = ; && 5 & 3x && ; + ; && 5y && ; + ; && 6z && ; = ; && 7 & end {alignat}}}$

Набор решений этой системы можно описать следующими уравнениями:

${ displaystyle x = -7z-1 ; ; ; ; { text {and}} ; ; ; ; y = 3z + 2 { text {.}}$

Здесь z свободная переменная, а Икс и у зависят от z. Любую точку в наборе решений можно получить, сначала выбрав значение для z, а затем вычислить соответствующие значения для Икс и у.

Каждая свободная переменная дает пространству решений один степень свободы, количество которых равно измерение набора решений. Например, набор решений для приведенного выше уравнения представляет собой линию, так как точку в наборе решений можно выбрать, указав значение параметра z. Бесконечное решение более высокого порядка может описывать плоскость или многомерное множество.

Различный выбор свободных переменных может привести к разному описанию одного и того же набора решений. Например, решение вышеуказанных уравнений в качестве альтернативы можно описать следующим образом:

${ displaystyle y = - { frac {3} {7}} x + { frac {11} {7}} ; ; ; ; { text {and}} ; ; ; ; z = - { frac {1} {7}} x - { frac {1} {7}} { text {.}}}$

Здесь Икс - свободная переменная, а у и z зависимы.

Исключение переменных

Самый простой метод решения системы линейных уравнений - многократное исключение переменных. Этот метод можно описать следующим образом:

1. В первом уравнении решите одну из переменных через другие.
2. Подставьте это выражение в остальные уравнения. Это дает систему уравнений с одним уравнением меньше и одним меньше неизвестным.
3. Повторяйте, пока система не сведется к одному линейному уравнению.
4. Решите это уравнение, а затем выполните обратную замену, пока не будет найдено полное решение.

Например, рассмотрим следующую систему:

${ displaystyle { begin {alignat} {7} x && ; + ; && 3y && ; - ; && 2z && ; = ; && 5 & 3x && ; + ; && 5y && ; + ; && 6z && ; = ; && 7 & 2x && ; + ; && 4y && ; + ; && 3z && ; = ; && 8 & end {alignat}}}$

Решая первое уравнение для Икс дает Икс = 5 + 2z − 3у, и включение этого во второе и третье уравнение дает

${ displaystyle { begin {alignat} {5} -4y && ; + ; && 12z && ; = ; && - 8 & - 2y && ; + ; && 7z && ; = ; && - 2 & end {выровнено }}}$

Решая первое из этих уравнений относительно у дает у = 2 + 3z, и включение этого во второе уравнение дает z = 2. Теперь у нас есть:

${ displaystyle { begin {alignat} {7} x && ; = ; && 5 && ; + ; && 2z && ; - ; && 3y & y && ; = ; && 2 && ; + ; && 3z &&&&& z && ; = ; && 2 &&&&&&&&& end {alignat}}}$

Подстановка z = 2 во второе уравнение дает у = 8, и подставив z = 2 и у = 8 в первое уравнение дает Икс = −15. Следовательно, множество решений - это единственная точка (Икс, у, z) = (−15, 8, 2).

Уменьшение ряда

В сокращение ряда (также известен как Гауссово исключение) линейная система представлена ​​в виде расширенная матрица:

${ displaystyle left [{ begin {array} {rrr | r} 1 & 3 & -2 & 5 3 & 5 & 6 & 7 2 & 4 & 3 & 8 end {array}} right] { text {.}}}$

Затем эта матрица модифицируется с использованием элементарные операции со строками пока не достигнет сокращенная форма эшелона строки. Есть три типа операций с элементарными строками:

Тип 1: Поменять местами две строки.

Тип 2: Умножить строку на ненулевое скаляр.

Тип 3: Добавить к одной строке скалярное число, кратное другой.

Поскольку эти операции обратимы, полученная расширенная матрица всегда представляет собой линейную систему, эквивалентную исходной.

Существует несколько конкретных алгоритмов сокращения строк расширенной матрицы, простейшие из которых: Гауссово исключение и Исключение Гаусса-Джордана. Следующее вычисление показывает применение исключения Гаусса-Жордана к матрице выше:

${ displaystyle { begin {align} left [{ begin {array} {rrr | r} 1 & 3 & -2 & 5 3 & 5 & 6 & 7 2 & 4 & 3 & 8 end {array}} right] & sim left [{ begin {array} {rrr | r} 1 & 3 & -2 & 5 0 & -4 & 12 & -8 2 & 4 & 3 & 8 end {array}} right] sim left [{ begin {array} {rrr | r} 1 & 3 & -2 & 5 0 & -4 & 12 & -8 0 & -2 & 7 & -2 end {array}} right] sim left [{ begin {array} {rrr | r} 1 & 3 & -2 & 5 0 & 1 & -3 & 2 0 & - 2 & 7 & -2 end {array}} right] & sim left [{ begin {array} {rrr | r} 1 & 3 & -2 & 5 0 & 1 & -3 & 2 0 & 0 & 1 & 2 end {array}} right ] sim left [{ begin {array} {rrr | r} 1 & 3 & -2 & 5 0 & 1 & 0 & 8 0 & 0 & 1 & 2 end {array}} right] sim left [{ begin {array} {rrr | r } 1 & 3 & 0 & 9 0 & 1 & 0 & 8 0 & 0 & 1 & 2 end {array}} right] sim left [{ begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & -15 0 & 1 & 0 & 8 0 & 0 & 1 & 2 end {array}} right ]. end {выравнивается}}}$

Последняя матрица представлена ​​в виде сокращенного эшелона строк и представляет систему Икс = −15, у = 8, z = 2. Сравнение с примером алгебраического исключения переменных из предыдущего раздела показывает, что эти два метода фактически одинаковы; разница заключается в том, как записываются вычисления.

Правило Крамера

Правило Крамера является явной формулой для решения системы линейных уравнений, в которой каждая переменная задается частным от двух детерминанты. Например, решение системы

${ displaystyle { begin {alignat} {7} x & ; + & ; 3y & ; - & ; 2z & ; = & ; 5 3x & ; + & ; 5y & ; + & ; 6z & ; = & ; 7 2x & ; + & ; 4y & ; + & ; 3z & ; = & ; 8 end {alignat}}}$

дан кем-то

${ displaystyle x = { frac {, left | { begin {matrix} 5 & 3 & -2 7 & 5 & 6 8 & 4 & 3 end {matrix}} right | ,} {, left | { begin {matrix} 1 & 3 & -2 3 & 5 & 6 2 & 4 & 3 end {matrix}} right | ,}}, ; ; ; ; y = { frac {, left | { begin {matrix } 1 & 5 & -2 3 & 7 & 6 2 & 8 & 3 end {matrix}} right | ,} {, left | { begin {matrix} 1 & 3 & -2 3 & 5 & 6 2 & 4 & 3 end {matrix}} right | ,}}, ; ; ; ; z = { frac {, left | { begin {matrix} 1 & 3 & 5 3 & 5 & 7 2 & 4 & 8 end {matrix}} right | , } {, left | { begin {matrix} 1 & 3 & -2 3 & 5 & 6 2 & 4 & 3 end {matrix}} right | ,}}.}.$

Для каждой переменной знаменателем является определитель матрица коэффициентов, а числитель - это определитель матрицы, в которой один столбец заменен вектором постоянных членов.

Хотя правило Крамера имеет важное теоретическое значение, оно не имеет практического значения для больших матриц, поскольку вычисление больших детерминантов является несколько громоздким.(Действительно, большие детерминанты легче всего вычислить с помощью сокращения строк.) Кроме того, правило Крамера имеет очень плохие числовые свойства, что делает его непригодным для надежного решения даже небольших систем, если операции не выполняются в рациональной арифметике с неограниченной точностью.^{[нужна цитата ]}

Матричное решение

Если систему уравнений записать в матричной форме ${ Displaystyle А mathbf {x} = mathbf {b}}$, весь набор решений также можно выразить в матричной форме. Если матрица А квадратный (имеет м ряды и п=м столбцов) и имеет полный ранг (все м строки независимы), то система имеет единственное решение:

${ displaystyle mathbf {x} = A ^ {- 1} mathbf {b}}$

куда ${ displaystyle A ^ {- 1}}$ это обратный из А. В более общем плане, независимо от того, м=п или нет и независимо от ранга А, все решения (если они есть) даются с использованием Псевдообратная матрица Мура-Пенроуза из А, обозначенный ${ displaystyle A ^ {+}}$, следующее:

${ Displaystyle mathbf {x} = A ^ {+} mathbf {b} + (I-A ^ {+} A) mathbf {w}}$

куда ${ displaystyle mathbf {w}}$ - вектор свободных параметров, пробегающий все возможные п× 1 векторов. Необходимым и достаточным условием существования любого решения (й) является то, что потенциальное решение, полученное с использованием ${ Displaystyle mathbf {ш} = mathbf {0}}$ удовлетворить ${ Displaystyle А mathbf {x} = mathbf {b}}$ - то есть, что ${ displaystyle AA ^ {+} mathbf {b} = mathbf {b}.}$ Если это условие не выполняется, система уравнений несовместна и не имеет решения. Если условие выполняется, система непротиворечива и существует хотя бы одно решение. Например, в вышеупомянутом случае, когда А квадратный и полноценный, ${ displaystyle A ^ {+}}$ просто равно ${ displaystyle A ^ {- 1}}$ а общее уравнение решения упрощается до ${ displaystyle mathbf {x} = A ^ {- 1} mathbf {b} + (IA ^ {- 1} A) mathbf {w} = A ^ {- 1} mathbf {b} + (II ) mathbf {w} = A ^ {- 1} mathbf {b}}$ как указывалось ранее, где ${ displaystyle mathbf {w}}$ полностью выпал из раствора, оставив только одно решение. Однако в других случаях ${ displaystyle mathbf {w}}$ остается и, следовательно, бесконечность потенциальных значений свободного вектора параметров ${ displaystyle mathbf {w}}$ дают бесконечное количество решений уравнения.

Другие методы

Хотя системы из трех или четырех уравнений можно легко решить вручную (см. Краковский ), компьютеры часто используются для более крупных систем. Стандартный алгоритм решения системы линейных уравнений основан на методе исключения Гаусса с некоторыми изменениями. Во-первых, важно избегать деления на малые числа, которое может привести к неточным результатам. Это можно сделать, переупорядочив уравнения, если необходимо, процесс, известный как поворот. Во-вторых, алгоритм не выполняет точное исключение Гаусса, но он вычисляет LU разложение матрицы А. В основном это организационный инструмент, но он работает намного быстрее, если нужно решать несколько систем с одной и той же матрицей. А но разные векторы б.

Если матрица А имеет особую структуру, ее можно использовать для получения более быстрых или более точных алгоритмов. Например, системы с симметричный положительно определенный матрицу можно решить вдвое быстрее с помощью Разложение Холецкого. Рекурсия Левинсона это быстрый метод для Матрицы Теплица. Специальные методы существуют также для матриц с большим количеством нулевых элементов (так называемые разреженные матрицы ), которые часто появляются в приложениях.

Совершенно другой подход часто используется для очень больших систем, которые в противном случае потребовали бы слишком много времени или памяти. Идея состоит в том, чтобы начать с начального приближения к решению (которое совсем не обязательно должно быть точным) и изменить это приближение в несколько шагов, чтобы приблизить его к истинному решению. Если приближение достаточно точное, это считается решением системы. Это приводит к классу итерационные методы.

Также есть квантовый алгоритм для линейных систем уравнений.^[7]

Однородные системы

Система линейных уравнений есть однородный если все постоянные члены равны нулю:

${ displaystyle { begin {alignat} {7} a_ {11} x_ {1} && ; + ; && a_ {12} x_ {2} && ; + cdots + ; && a_ {1n} x_ {n } && ; = ; &&& 0 a_ {21} x_ {1} && ; + ; && a_ {22} x_ {2} && ; + cdots + ; && a_ {2n} x_ {n} && ; = ; &&& 0 vdots ; ; ; &&&& vdots ; ; ; &&&& vdots ; ; ; &&&&& , vdots a_ {m1} x_ {1} && ; + ; && a_ {m2} x_ {2} && ; + cdots + ; && a_ {mn} x_ {n} && ; = ; &&& 0. конец {выровнено}}}$

Однородная система эквивалентна матричному уравнению вида

${ displaystyle A { textbf {x}} = { textbf {0}}}$

куда А является м × п матрица Икс вектор-столбец с п записи и 0 это нулевой вектор с м записи.

Набор однородных растворов

Каждая однородная система имеет по крайней мере одно решение, известное как нуль (или же банальный) решение, которое получается путем присвоения каждой из переменных нулевого значения. Если в системе есть невырожденная матрица (det (А) ≠ 0) то это также единственное решение. Если система имеет особую матрицу, то существует множество решений с бесконечным числом решений. Этот набор решений имеет следующие дополнительные свойства:

1. Если ты и v два векторов представляющие решения однородной системы, то векторная сумма ты + v также является решением системы.
2. Если ты вектор, представляющий решение однородной системы, и р есть ли скаляр, тогда рты также является решением системы.

Это именно те свойства, которые необходимы для того, чтобы набор решений был линейное подпространство из р^п. В частности, решение, заданное для однородной системы, такое же, как и решение пустое пространство соответствующей матрицы А.Численные решения однородной системы можно найти с разложение по сингулярным числам.

Отношение к неоднородным системам

Между решениями линейной системы и решениями соответствующей однородной системы существует тесная связь:

${ displaystyle A { textbf {x}} = { textbf {b}} qquad { text {and}} qquad A { textbf {x}} = { textbf {0}} { text { .}}}$

В частности, если п какое-то конкретное решение линейной системы АИкс = б, то весь набор решений можно описать как

${ displaystyle left {{ textbf {p}} + { textbf {v}}: { textbf {v}} { text {- любое решение для}} A { textbf {x}} = { textbf {0}} right }.}$

С геометрической точки зрения это означает, что решение установлено для АИкс = б это перевод набора решений для АИкс = 0. В частности, плоский для первой системы можно получить, переведя линейное подпространство для однородной системы вектором п.

Это рассуждение применимо, только если система АИкс = б имеет хотя бы одно решение. Это происходит тогда и только тогда, когда вектор б лежит в изображение из линейное преобразование А.

Смотрите также

• Расположение гиперплоскостей
• Итеративное уточнение
• График Коутса
• ЛАПАК (бесплатный стандартный пакет для численного решения линейных уравнений; доступен в Фортран, C, C ++ )
• Линейное уравнение над кольцом
• Линейный метод наименьших квадратов
• Разложение матрицы
• Расщепление матрицы
• Цифровая библиотека NAG (Версии решателей LAPACK из библиотеки NAG)
• Одновременные уравнения
• Псевдообратная матрица Мура – ​​Пенроуза

Примечания

Рекомендации

• Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN  0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля, Бостон: Компания Houghton Mifflin, ISBN  0-395-14017-X
• Бэрден, Ричард Л .; Фэрс, Дж. Дуглас (1993), Числовой анализ (5-е изд.), Бостон: Принл, Вебер и Шмидт, ISBN  0-534-93219-3
• Golub, Gene H .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса, ISBN  0-8018-5414-8
• Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику, Нью-Джерси: Prentice-Hall, ISBN  0-13-487538-9

дальнейшее чтение

• Акслер, Шелдон Джей (1997), Линейная алгебра сделано правильно (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-98259-0
• Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN  978-0-321-28713-7
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN  978-0-89871-454-8, заархивировано из оригинал 1 марта 2001 г.
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс / Коул, ISBN  0-534-99845-3
• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (9-е изд.), Wiley International
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Pearson Prentice Hall
• Стрэнг, Гилберт (2005), Линейная алгебра и ее приложения

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Система линейных уравнений в Wikimedia Commons