Сводной элемент - Pivot element

В вращаться или же поворотный элемент это элемент матрица, или множество, который выбирается первым алгоритм (например. Гауссово исключение, симплексный алгоритм и т. д.), чтобы произвести определенные расчеты. В случае матричных алгоритмов обычно требуется, чтобы элемент поворота был как минимум отличным от нуля, а часто и далеким от него; в этом случае нахождение этого элемента называется поворот. За поворотом может последовать чередование строк или столбцов, чтобы привести поворот в фиксированное положение и позволить алгоритму успешно работать, и, возможно, уменьшить ошибку округления. Часто используется для проверки форма эшелона строки.

Поворот можно рассматривать как замену или сортировку строк или столбцов в матрице, и, следовательно, его можно представить как умножение к матрицы перестановок. Однако алгоритмы редко перемещают матричные элементы, потому что это будет стоить слишком много времени; вместо этого они просто отслеживают перестановки.

В целом, поворот увеличивает вычислительную стоимость алгоритма. Эти дополнительные операции иногда необходимы для того, чтобы алгоритм вообще работал. В других случаях эти дополнительные операции имеют смысл, потому что они добавляют численная стабильность к конечному результату.

Примеры систем, требующих поворота

В случае исключения по Гауссу алгоритм требует, чтобы поворотные элементы не были равны нулю. В случае нулевого поворотного элемента необходима замена строк или столбцов. Приведенная ниже система требует замены строк 2 и 3 для выполнения исключения.

{displaystyle left [{egin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 2 & 8 0 & 0 & -1 & -11 0 & 2 & -1 & -3end {array}} ight]}

Система, которая возникает в результате поворота, выглядит следующим образом и позволяет алгоритму исключения и обратной подстановке вывести решение в систему.

{displaystyle left [{egin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 2 & 8 0 & 2 & -1 & -3 0 & 0 & -1 & -11end {array}} ight]}

Кроме того, при исключении Гаусса обычно желательно выбирать элемент поворота с большим абсолютная величина. Это улучшает численная стабильность. Следующая система сильно зависит от ошибки округления при выполнении исключения Гаусса и обратной замены.

{displaystyle left [{egin {array} {cc | c} 0.00300 & 59.14 & 59.17 5.291 & -6.130 & 46.78 end {array}} ight]}

Эта система имеет точное решение x₁ = 10.00 и x₂ = 1.000, но когда алгоритм исключения и обратная подстановка выполняются с использованием четырехзначной арифметики, малое значение₁₁ вызывает распространение небольших ошибок округления. Алгоритм без поворота дает приближение x₁ ≈ 9873,3 и x₂ ≈ 4. В этом случае желательно поменять местами две строки так, чтобы₂₁ находится в поворотном положении

{displaystyle left [{egin {array} {cc | c} 5.291 & -6.130 & 46.78 0.00300 & 59.14 & 59.17 end {array}} ight].}

Рассматривая эту систему, алгоритм исключения и обратная подстановка с использованием четырехзначной арифметики дают правильные значения x₁ = 10.00 и x₂ = 1.000.

Частичный и полный поворот

В частичный поворот, алгоритм выбирает запись с наибольшим абсолютным значением из столбца матрицы, которая в настоящее время рассматривается как сводный элемент. Частичного поворота обычно достаточно для адекватного уменьшения ошибки округления. Однако для некоторых систем и алгоритмов полный поворот (или максимальное вращение) может потребоваться для приемлемой точности. При полном повороте строки и столбцы меняются местами, чтобы использовать самый большой (по абсолютному значению) элемент в матрице в качестве точки поворота. Полный поворот обычно не требуется для обеспечения числовой стабильности, и из-за дополнительных затрат на поиск максимального элемента улучшение числовой стабильности, которое оно обеспечивает, обычно перевешивается его пониженной эффективностью для всех матриц, кроме самых маленьких. Следовательно, он редко используется.^[1]

Масштабируемое вращение

Разновидностью стратегии частичного поворота является масштабное вращение. В этом подходе алгоритм выбирает в качестве основного элемента запись, которая является наибольшей по сравнению с записями в его строке. Эта стратегия желательна, когда большие различия в величине записей приводят к распространению ошибки округления. Масштабируемое вращение следует использовать в системе, подобной приведенной ниже, где записи строк сильно различаются по величине. В приведенном ниже примере было бы желательно поменять местами две строки, поскольку текущий элемент 30 поворота больше 5,291, но он относительно мал по сравнению с другими записями в его строке. Без обмена строками в этом случае ошибки округления будут распространяться, как в предыдущем примере.

{displaystyle left [{egin {array} {cc | c} 30 & 591400 & 591700 5.291 & -6.130 & 46.78 end {array}} ight]}

Положение разворота

Позиция поворота в матрице A - это позиция в матрице, которая соответствует первой строке в строке сокращенная форма эшелона строки A. Поскольку сокращенная форма эшелона строк A уникальна, позиции поворота определяются однозначно и не зависят от того, выполняются ли перестановки строк в процессе сокращения. Кроме того, точка поворота строки должна отображаться справа от поворота в строке выше в форма эшелона строки.

Числовая линейная алгебра
Ключевые идеи	Плавающая точка Численная стабильность
Проблемы	Система линейных уравнений Матричные разложения Умножение матриц (алгоритмы ) Расщепление матрицы Редкие проблемы
Аппаратное обеспечение	Кэш процессора TLB Алгоритм без кеширования SIMD Многопроцессорность
Программного обеспечения	MATLAB Подпрограммы базовой линейной алгебры (BLAS) ЛАПАК Специализированные библиотеки Программное обеспечение общего назначения

Сводной элемент - Pivot element

Содержание

Примеры систем, требующих поворота

Частичный и полный поворот

Масштабируемое вращение

Положение разворота

Рекомендации