Параллельный (геометрия) - Parallel (geometry)

Штриховой рисунок из параллельных линий и кривых.

В геометрия, параллельно линии линии в самолет которые не встречаются; то есть две прямые на плоскости, которые не пересекаться в любой точке считаются параллельными. В просторечии кривые, которые не прикоснуться друг друга или пересекающиеся и сохраняющие фиксированное минимальное расстояние, называются параллельными. Линия и плоскость или две плоскости в трехмерное евклидово пространство которые не разделяют точки, также называются параллельными. Однако две линии в трехмерном пространстве, которые не пересекаются, должны находиться в общей плоскости, чтобы считаться параллельными; иначе их называют косые линии. Параллельные плоскости - это плоскости в одном трехмерном пространстве, которые никогда не встречаются.

Параллельные линии являются предметом Евклид с параллельный постулат.^[1] Параллелизм - это прежде всего свойство аффинные геометрии и Евклидова геометрия является частным случаем этого типа геометрии. В некоторых других геометриях, таких как гиперболическая геометрия, линии могут иметь аналогичные свойства, называемые параллелизмом.

Символ

Параллельный символ ${ displaystyle parallel}$.^[2][3] Например, ${ displaystyle AB parallel CD}$ указывает эту строку AB параллельно линиикомпакт диск.

в Unicode Набор символов, знаки "параллельный" и "непараллельный" имеют кодовые точки U + 2225 (∥) и U + 2226 (∦) соответственно. Кроме того, U + 22D5 (⋕) представляет собой отношение «равно и параллельно».^[4]

Евклидов параллелизм

Две линии на плоскости

Условия параллелизма

Как показано галочками, линии а и б параллельны. Это можно доказать, поскольку трансверсальная т дает совпадающие соответствующие углы ${ displaystyle theta}$, показанные здесь справа от трансверсали, одна над линией и рядом с ней а а другой выше и рядом с линией б.

Учитывая параллельные прямые л и м в Евклидово пространство, следующие свойства эквивалентны:

1. Каждая точка на линии м находится на точно таком же (минимальном) расстоянии от линии л (равноудаленный линии).
2. Линия м находится в той же плоскости, что и линия л но не пересекается л (напомним, что линии продолжаются до бесконечность в любом направлении).
3. Когда линии м и л оба пересекаются третьей прямой линией (a поперечный ) в той же плоскости соответствующие углы пересечения с трансверсалью конгруэнтный.

Поскольку это эквивалентные свойства, любое из них можно рассматривать как определение параллельных линий в евклидовом пространстве, но первое и третье свойства включают измерение, и поэтому они «сложнее», чем второе. Таким образом, второе свойство обычно выбирается как определяющее свойство параллельных прямых в евклидовой геометрии.^[5] Остальные свойства являются следствием Параллельный постулат Евклида. Еще одно свойство, которое также связано с измерением, - это то, что параллельные друг другу линии имеют одинаковые градиент (наклон).

История

Определение параллельных прямых как пары прямых на плоскости, которые не пересекаются, появляется как Определение 23 в Книге I Элементы Евклида.^[6] Альтернативные определения обсуждались другими греками, часто как часть попытки доказать параллельный постулат. Прокл приписывает определение параллельных линий как эквидистантных к Посидоний и цитаты Близнецы в том же духе. Симплициус также упоминает определение Посидония, а также его модификацию философом Аганисом.^[6]

В конце девятнадцатого века в Англии «Элементы Евклида» по-прежнему были стандартным учебником в средних школах. Традиционный подход к геометрии был вынужден изменить новые разработки в проективная геометрия и неевклидова геометрия, поэтому в это время было написано несколько новых учебников для преподавания геометрии. Основное различие между этими реформаторскими текстами, как между собой, так и между ними и Евклидом, заключается в трактовке параллельных линий.^[7] Эти реформаторские тексты не остались без критики, и один из них, Чарльз Доджсон (a.k.a. Льюис Кэрролл ), написал пьесу, Евклид и его современные соперники, в котором эти тексты подвергаются критике.^[8]

Одним из первых учебников реформ была книга Джеймса Мориса Уилсона. Элементарная геометрия 1868 г.^[9] Уилсон основал свое определение параллельных прямых на примитивное понятие из направление. Согласно с Вильгельм Киллинг^[10] идея может быть прослежена до Лейбниц.^[11] Уилсон, не определяя направление, поскольку это примитив, использует этот термин в других определениях, таких как шестое определение: «Две прямые линии, которые встречаются друг с другом, имеют разные направления, и разница в их направлениях есть угол между ними." Уилсон (1868 г., п. 2) В определении 15 он вводит параллельные прямые таким образом; "Прямые линии, то же направление, но не являются частями одной прямой, называются параллельные линии." Уилсон (1868 г., п. 12) Огастес Де Морган рассмотрел этот текст и объявил его неудачным, в первую очередь на основании этого определения и того, как Вильсон использовал его для доказательства того, что есть параллельные линии. Доджсон также посвящает большую часть своей пьесы (Акт II, Сцена VI § 1) разоблачению трактовки параллелей Уилсоном. Уилсон отредактировал эту концепцию из третьего и более поздних изданий своего текста.^[12]

Другие свойства, предложенные другими реформаторами, использованные в качестве замены для определения параллельных линий, оказались не намного лучше. Основная трудность, как указывал Доджсон, заключалась в том, что их использование таким образом требовало добавления в систему дополнительных аксиом. Определение Посидония через равноудаленную линию, изложенное Фрэнсисом Катбертсоном в его тексте 1874 г. Евклидова геометрия страдает от проблемы, заключающейся в том, что точки, которые находятся на фиксированном заданном расстоянии на одной стороне прямой линии, должны быть показаны как прямая линия. Это нельзя доказать, и следует полагать, что это правда.^[13] Соответствующие углы, образованные поперечным свойством, используемым В. Д. Кули в его тексте 1860 г., Элементы геометрии, упрощенные и объясненные требует доказательства того факта, что если одна трансверсаль пересекает пару прямых в соответствующих конгруэнтных углах, то все трансверсали должны это делать. Опять же, нужна новая аксиома, чтобы оправдать это утверждение.

строительство

Три указанных выше свойства приводят к трем различным методам построения.^[14] параллельных линий.

Проблема: проведите линию через а параллельно л.

• 

  Свойство 1: Линия м везде одинаковое расстояние до линии л.

• 

  Свойство 2. Проведите произвольную линию а что пересекается л в Икс. Переместить точку Икс до бесконечности.

• 

  Свойство 3: Оба л и м разделить поперечную линию через а которые пересекают их под углом 90 °.

Расстояние между двумя параллельными линиями

Поскольку параллельные прямые в евклидовой плоскости равноудаленный между двумя параллельными линиями существует уникальное расстояние. Учитывая уравнения двух невертикальных и негоризонтальных параллельных линий,

${ displaystyle y = mx + b_ {1} ,}$

${ Displaystyle у = mx + b_ {2} ,,}$

расстояние между двумя линиями можно найти, указав две точки (по одной на каждой линии), лежащие на общем перпендикуляре к параллельным линиям, и рассчитав расстояние между ними. Поскольку линии имеют наклон м, общий перпендикуляр имел бы наклон −1 /м и мы можем взять линию с уравнением у = −Икс/м как обычный перпендикуляр. Решите линейные системы

${ displaystyle { begin {case} y = mx + b_ {1} y = -x / m end {cases}}}$

и

${ displaystyle { begin {case} y = mx + b_ {2} y = -x / m end {cases}}}$

чтобы получить координаты точек. Решениями линейных систем являются точки

${ displaystyle left (x_ {1}, y_ {1} right) = left ({ frac {-b_ {1} m} {m ^ {2} +1}}, { frac {b_) {1}} {м ^ {2} +1}} right) ,}$

и

${ displaystyle left (x_ {2}, y_ {2} right) = left ({ frac {-b_ {2} m} {m ^ {2} +1}}, { frac {b_) {2}} {m ^ {2} +1}} right).}$

Эти формулы по-прежнему дают правильные координаты точки, даже если параллельные линии горизонтальны (т. Е. м = 0). Расстояние между точками

${ displaystyle d = { sqrt { left ({ frac {b_ {1} m-b_ {2} m} {m ^ {2} +1}} right) ^ {2} + left ({ frac {b_ {2} -b_ {1}} {m ^ {2} +1}} right) ^ {2}}} ,,}$

что сводится к

${ displaystyle d = { frac {| b_ {2} -b_ {1} |} { sqrt {m ^ {2} +1}}} ,.}$

Когда линии задаются общей формой уравнения линии (включая горизонтальные и вертикальные линии):

${ displaystyle ax + by + c_ {1} = 0 ,}$

${ displaystyle ax + by + c_ {2} = 0, ,}$

их расстояние можно выразить как

${ displaystyle d = { frac {| c_ {2} -c_ {1} |} { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}$

Две линии в трехмерном пространстве

Две строки в одном трехмерное пространство которые не пересекаются, не обязательно должны быть параллельны. Только если они находятся в общей плоскости, они называются параллельными; иначе их называют косые линии.

Две четкие линии л и м в трехмерном пространстве параллельны если и только если расстояние от точки п онлайн м до ближайшей точки на линии л не зависит от расположения п онлайн м. Это никогда не касается перекосов.

Линия и самолет

Линия м и самолет q в трехмерном пространстве линии, не лежащие в этой плоскости, параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.

Эквивалентно, они параллельны тогда и только тогда, когда расстояние от точки п онлайн м до ближайшей точки на плоскости q не зависит от расположения п онлайн м.

Два самолета

Подобно тому, как параллельные линии должны быть расположены в одной плоскости, параллельные плоскости должны располагаться в одном трехмерном пространстве и не содержать общих точек.

Две разные плоскости q и р параллельны тогда и только тогда, когда расстояние от точки п в самолете q до ближайшей точки на плоскости р не зависит от расположения п в самолете q. Этого никогда не будет, если две плоскости не находятся в одном трехмерном пространстве.

Расширение на неевклидову геометрию

Эта секция не цитировать Любые источники. Пожалуйста помоги улучшить этот раздел от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удалено. Найдите источники: «Параллельная» геометрия  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Май 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В неевклидова геометрия, чаще говорят о геодезические чем (прямые) линии. Геодезическая - это кратчайший путь между двумя точками заданной геометрии. В физике это можно интерпретировать как путь, по которому следует частица, если к ней не приложена сила. В неевклидовой геометрии (эллиптический или гиперболическая геометрия ) три упомянутых выше евклидовых свойства не эквивалентны, и только второе (линия m находится в той же плоскости, что и прямая l, но не пересекает l), поскольку она не включает никаких измерений, полезна в неевклидовых геометриях. В общей геометрии три вышеуказанных свойства дают три разных типа кривых: эквидистантные кривые, параллельные геодезические и геодезические, разделяющие общий перпендикулярсоответственно.

Гиперболическая геометрия

Пересекающиеся, параллельно и ультрапараллельный линии через а относительно л в гиперболической плоскости. Кажется, что параллельные линии пересекаются л просто с изображения. Это просто артефакт визуализации. На реальной гиперболической плоскости линии будут приближаться друг к другу и «встречаться» в бесконечности.

В то время как в евклидовой геометрии две геодезические могут либо пересекаться, либо быть параллельны, в гиперболической геометрии есть три возможности. Две геодезические, принадлежащие одной плоскости, могут быть:

1. пересекающийся, если они пересекаются в общей точке на плоскости,
2. параллельно, если они не пересекаются в плоскости, а сходятся к общей предельной точке на бесконечности (идеальная точка ), или
3. ультрапараллельный, если у них нет общей предельной точки на бесконечности.

В литературе ультрапараллельный геодезическими часто называют непересекающийся. Геодезические пересекающиеся на бесконечности называются предельная параллель.

Как на иллюстрации через точку а не в сети л есть два предельная параллель линии, по одной на каждое направление идеальная точка строки l. Они разделяют прямые, пересекающие прямую l, и те, которые ультрапараллельны прямой л.

У ультрапараллельных линий есть один общий перпендикуляр (ультрапараллельная теорема ), и расходятся по обе стороны от этого общего перпендикуляра.

Сферическая или эллиптическая геометрия

На сфера не существует такой вещи, как параллельная линия. Линия а это большой круг, эквивалент прямой в сферической геометрии. Линия c равноудалена линии а но это не большой круг. Это параллель широты. Линия б это еще одна геодезическая, которая пересекает а в двух противоположных точках. У них есть два общих перпендикуляра (один показан синим).

В сферическая геометрия, все геодезические большие круги. Большие круги делят сферу на две равные части. полушария и все большие круги пересекаются друг с другом. Таким образом, не существует геодезических, параллельных данной геодезической, поскольку все геодезические пересекаются. Эквидистантные кривые на сфере называются параллели широты аналогично широта линии на глобусе. Параллели широты могут быть образованы путем пересечения сферы с плоскостью, параллельной плоскости, проходящей через центр сферы.

Рефлексивный вариант

Если л, м, н три отдельные линии, то ${ Displaystyle л параллель м земля м параллель п подразумевает л параллель п.}$

В этом случае параллелизм - это переходное отношение. Однако в случае л = п, наложенные линии не считается параллельным в евклидовой геометрии. В бинарное отношение между параллельными линиями очевидно симметричное отношение. Согласно принципам Евклида, параллелизм не а рефлексивное отношение и поэтому терпит неудачу быть отношение эквивалентности. Тем не менее в аффинная геометрия а карандаш параллельных прямых принимается класс эквивалентности в множестве прямых, где параллелизм - отношение эквивалентности.^[15][16][17]

К этому концу, Эмиль Артин (1957) приняли определение параллелизма, согласно которому две прямые параллельны, если у них есть все или ни одна из их общих точек.^[18]Затем строка является параллельна самому себе, так что рефлексивные и транзитивные свойства принадлежат этому типу параллелизма, создавая отношение эквивалентности на множестве прямых. При изучении геометрия падения, этот вариант параллелизма используется в аффинная плоскость.

Смотрите также

• Клиффорд параллель
• Ограничение параллельности
• Параллельная кривая
• Ультрапараллельная теорема

Заметки

использованная литература

• Хит, Томас Л. (1956), Тринадцать книг стихий Евклида (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] изд.), Нью-Йорк: Dover Publications.

(3 тт.): ISBN  0-486-60088-2 (том 1), ISBN  0-486-60089-0 (т. 2), ISBN  0-486-60090-4 (т. 3). Авторитетный перевод Хита плюс обширное историческое исследование и подробные комментарии по всему тексту.

• Ричардс, Джоан Л. (1988), Математические видения: стремление к геометрии в викторианской Англии, Бостон: Academic Press, ISBN  0-12-587445-6
• Уилсон, Джеймс Морис (1868), Элементарная геометрия (1-е изд.), Лондон: Macmillan and Co.
• Уайли-младший, К. Р. (1964), Основы геометрии, Макгроу – Хилл

дальнейшее чтение

• Пападопулос, Афанас; Терет, Гийом (2014), Теория параллелей Иоганна Генриха Ламбера: презентация, перевод и комментарии, Париж: Collection Sciences dans l'histoire, Librairie Albert Blanchard, ISBN  978-2-85367-266-5

внешние ссылки

• Построение параллельной линии через заданную точку с помощью циркуля и линейки