Карандаш (математика) - Pencil (mathematics)

В Аполлонические круги, два ортогональных пучка окружностей

В геометрия, а карандаш представляет собой семейство геометрических объектов с общим свойством, например набор линий, проходящих через заданную точку в самолет, или набор окружностей, которые проходят через две заданные точки на плоскости.

Хотя определение карандаша довольно расплывчато, общей характеристикой является то, что карандаш полностью определяется любыми двумя его членами. Аналогично, набор геометрических объектов, который определяется любыми тремя его членами, называется пучок.^[1] Таким образом, набор всех прямых, проходящих через точку в трехмерном пространстве, представляет собой пучок прямых, любые две из которых определяют пучок прямых. Чтобы подчеркнуть двумерный характер такого карандаша, его иногда называют плоский карандаш^[2]

Карандашом можно использовать любой геометрический объект. Наиболее распространенными являются линии, плоскости, окружности, коники, сферы и общие кривые. Можно использовать даже очки. А карандаш точек - это множество всех точек на данной прямой.^[1] Более общий термин для этого набора - классифицировать очков.

Карандаш линий

В самолет, позволять $ты$ и $v$ - две различные пересекающиеся прямые. Для конкретности предположим, что $ты$ имеет уравнение, $aX + к + c = 0$ и $v$ имеет уравнение $a'X + к + c ' = 0$ . потом

λ ты + μ v = 0

,

представляет для подходящих скаляров $λ$ и $μ$ , любая прямая, проходящая через пересечение $ты$ = 0 и $v$ = 0. Этот набор прямых, проходящих через общую точку, называется карандаш линий.^[3] Точка пересечения пучка прямых называется точкой пересечения. вершина карандаша.

В аффинная плоскость с рефлексивный вариант параллелизма, набор параллельных прямых образует класс эквивалентности называется карандаш параллельных линий.^[4] Эта терминология согласуется с приведенным выше определением, поскольку в единственном проективном расширении аффинной плоскости до проективная плоскость одна точка (точка в бесконечности ) добавляется к каждой прямой в пучке параллельных прямых, что делает его пучком в указанном выше смысле на проективной плоскости.

Карандаш из самолетов

А карандаш самолетов, - это множество плоскостей, проходящих через данную прямую в трехмерном пространстве, называемое ось карандаша. Карандаш иногда называют осевой карандаш^[5] или же поклонник или пучок.^[6] Например, меридианы земного шара определяются пучком плоскостей на оси вращения Земли.

Две пересекающиеся плоскости встречаются в линии в трех пространствах, и таким образом определяют ось и, следовательно, все плоскости в карандаше.

В пространствах более высокой размерности a карандаш гиперплоскостей состоит из всех гиперплоскостей, содержащих подпространство коразмерности 2. Такой пучок определяется любыми двумя своими членами.

Карандаш из кругов

Любые два круга на плоскости имеют общий радикальная ось, которая представляет собой линию, состоящую из всех точек, имеющих одинаковые мощность относительно двух окружностей. А карандаш кругов (или же коаксиальная система) - это множество всех окружностей на плоскости с одной и той же радикальной осью.^[7] Говорят, что концентрические круги имеют линия на бесконечности как радикальная ось.

Есть пять типов карандашей кругов,^[8] два семейства аполлонических кругов на иллюстрации выше представляют два из них. Каждый тип определяется двумя кружками, называемыми генераторы карандаша. При алгебраическом описании уравнения могут допускать мнимые решения. Типы:

An эллиптический карандаш (красное семейство кругов на рисунке) определяется двумя образующими, которые проходят друг через друга точно два точки. Каждый круг эллиптического карандаша проходит через одни и те же две точки. Эллиптический карандаш не содержит воображаемых окружностей.
А гиперболический карандаш (синее семейство кругов на рисунке) определяется двумя образующими, которые не пересекаются друг с другом в любой точка. Он включает в себя действительные окружности, воображаемые окружности и две вырожденные точечные окружности, называемые Очки Понселе карандаша. Каждая точка на плоскости принадлежит ровно одному кругу карандаша.
А параболический карандаш (как предельный случай) определяется, когда две образующие окружности касаются друг друга в точке Один точка. Он состоит из семейства реальных окружностей, которые касаются друг друга в одной общей точке. Вырожденная окружность нулевого радиуса в этой точке также принадлежит пучку.
Семейство концентрических окружностей с центром в общем центре (может считаться частным случаем гиперболического пучка, где другой точкой является бесконечно удаленная точка).
Семейство прямых, проходящих через общую точку; их следует интерпретировать как круги, которые проходят через бесконечно удаленную точку (можно рассматривать как частный случай эллиптического пучка).^[9]^[10]

Характеристики

Окружность, ортогональная двум фиксированным окружностям, ортогональна каждой окружности в пучке, который они определяют.^[11]

Окружности, ортогональные двум неподвижным окружностям, образуют пучок окружностей.^[11]

Два круга определяют два пучка: единственный пучок, который их содержит, и пучок кругов, ортогональных им. Коренная ось одного карандаша состоит из центров окружностей другого карандаша. Если один пучок эллиптического типа, другой - гиперболического, и наоборот.^[11]

Радикальная ось любого пучка окружностей, интерпретируемого как окружность бесконечного радиуса, принадлежит этому пучку. Любые три окружности принадлежат одному пучку, если все три пары имеют одну и ту же радикальную ось, а их центры находятся в коллинеарен.

Проективное пространство кругов

Между окружностями на плоскости и точками в трехмерном пространстве существует естественное соответствие. проективное пространство; прямая в этом пространстве соответствует одномерному непрерывному семейству окружностей, поэтому пучок точек в этом пространстве - это пучок окружностей на плоскости.

В частности, уравнение окружности радиуса $р$ с центром в точке ( $п, q$ ),

{ Displaystyle (х-р) ^ {2} + (у-д) ^ {2} = г ^ {2},}

может быть переписан как

{ Displaystyle альфа (х ^ {2} + у ^ {2}) - 2 бета х-2 гамма у + дельта = 0,}

куда $α = 1, β = п, γ = q, и δ = п 2 + q 2 - р 2$ . В таком виде умножая четверку ( $α, β, γ, δ$ ) автор скаляр производит другую четверку, представляющую тот же круг; таким образом, эти четверки можно считать однородные координаты для пространства кругов.^[12] Прямые линии также могут быть представлены уравнением этого типа, в котором $α = 0$ и его следует рассматривать как вырожденную форму круга. Когда $α \neq 0$ , мы можем решить $п = β / α, q = γ / α$ , и $р =\sqrt(п 2 + q 2 - δ / α)$ ; последняя формула может дать $р = 0$ (в этом случае круг вырождается в точку) или $р$ равный мнимое число (в этом случае четверка ( $α, β, γ, δ$ ) называют воображаемый круг).

Набор аффинные комбинации из двух кругов ( $α 1, β 1, γ 1, δ 1$ ), ( $α 2, β 2, γ 2, δ 2$ ), то есть множество окружностей, представленных четверкой

{ displaystyle z ( alpha _ {1}, beta _ {1}, gamma _ {1}, delta _ {1}) + (1-z) ( alpha _ {2}, beta _ {2}, gamma _ {2}, delta _ {2})}

для некоторого значения параметра $z$ , формирует карандаш; два круга - образующие карандаша.

Кардиоида как конверт карандаша кругов

кардиоида как конверт карандаша кругов

Другой тип пучка окружностей можно получить следующим образом. Рассмотрим данный круг (называемый генераторный круг) и выделенная точка $п$ на образующей окружности. Набор всех кругов, которые проходят через $п$ и их центры на образующей окружности образуют пучок окружностей. В конверт этого карандаша кардиоидный.

Карандаш из сфер

Сфера однозначно определяется четырьмя точками, которые не являются копланарный. В более общем смысле сфера однозначно определяется четырьмя условиями, такими как прохождение через точку, касание к плоскости и т. Д.^[13] Это свойство аналогично тому, что три неколлинеарный точки определяют уникальный круг на плоскости.

Следовательно, сфера однозначно определяется окружностью (то есть проходит через нее) и точкой, не лежащей в плоскости этой окружности.

Изучив общие решения уравнений двух сфер, можно видеть, что две сферы пересекаются по кругу, и плоскость, содержащая этот круг, называется радикальный самолет пересекающихся сфер.^[14] Хотя радикальная плоскость является реальной плоскостью, круг может быть воображаемым (у сфер нет общей реальной точки) или состоять из одной точки (сферы касаются в этой точке).^[15]

Если $ж (Икс, у, z) = 0$ и $грамм (Икс, у, z) = 0$ являются уравнениями двух различных сфер, то

{ Displaystyle лямбда е (х, у, z) + му г (х, у, z) = 0}

также является уравнением шара для произвольных значений параметров $λ$ и $μ$ . Множество всех сфер, удовлетворяющих этому уравнению, называется карандаш сфер определяется двумя исходными сферами. В этом определении сфера может быть плоскостью (бесконечный радиус, центр в бесконечности), и если обе исходные сферы являются плоскостями, тогда все сферы пучка являются плоскостями, в противном случае в плоскости есть только одна плоскость (радикальная плоскость). карандаш.^[16]

Если пучок сфер не состоит из всех плоскостей, то есть три типа карандашей:^[15]

Если сферы пересекаются в реальном круге $C$ , то карандаш состоит из всех сфер, содержащих $C$ , в том числе в коренной плоскости. Центры всех обычных сфер в карандаше лежат на линии, проходящей через центр $C$ и перпендикулярно основной плоскости.
Если сферы пересекаются в воображаемом круге, все сферы карандаша также проходят через этот воображаемый круг, но как обычные сферы они не пересекаются (не имеют общих реальных точек). Линия центров перпендикулярна радикальной плоскости, которая представляет собой действительную плоскость в карандаше, содержащем воображаемую окружность.
Если сферы пересекаются в точке $А$ , все сферы в карандаше касаются $А$ а радикальная плоскость - это общая касательная плоскость всех этих сфер. Линия центров перпендикулярна радикальной плоскости при $А$ .

Все касательные от неподвижной точки радикальной плоскости к сферам пучка имеют одинаковую длину.^[15]

Радикальная плоскость - это геометрическое место центров всех сфер, ортогональных всем сферам в пучке. Более того, сфера, ортогональная любым двум сферам пучка сфер, ортогональна всем им, а ее центр лежит в радикальной плоскости пучка.^[15]

Карандаш коников

(Невырожденная) коника полностью определяется формулой пять баллов в общем положении (нет трех коллинеарных) на плоскости, а система коник, которые проходят через фиксированный набор из четырех точек (опять же на плоскости, а не трех коллинеарных), называется карандаш коников.^[17] Четыре общие точки называются базовые точки карандаша. Через любую точку, кроме базовой, проходит единственный конус карандаша. Это понятие обобщает пучок окружностей.

В проективная плоскость определен на алгебраически замкнутое поле любые две коники пересекаются в четырех точках (считая с кратностью), и, таким образом, определите пучок коник на основе этих четырех точек. Кроме того, четыре базовые точки определяют три пары линий (вырожденные коники через базовые точки каждая прямая пары содержит ровно две базовые точки), поэтому каждый пучок коник будет содержать не более трех вырожденных коник.^[18]

Пучок коник алгебраически можно представить следующим образом. Позволять $C 1$ и $C 2$ - две различные коники на проективной плоскости, определенные над алгебраически замкнутым полем $K$ . Для каждой пары $λ, μ$ элементов $K$ , а не оба нуля, выражение:

{ Displaystyle лямбда C_ {1} + mu C_ {2}}

представляет собой конику в карандаше, определяемую $C 1$ и $C 2$ . Это символическое представление может быть конкретизировано с небольшим злоупотреблением обозначениями (с использованием тех же обозначений для обозначения объекта, а также уравнения, определяющего объект). $C 1$ , скажем, как троичный квадратичная форма, тогда $C 1 = 0$ - уравнение конической $C 1$ ". Другая конкретная реализация может быть получена путем размышления о $C 1$ как Симметричная матрица 3 × 3 который представляет его. Если $C 1$ и $C 2$ иметь такие конкретные реализации, то каждый член вышеупомянутого карандаша будет также. Поскольку в настройке используются однородные координаты на проективной плоскости, два конкретных представления (уравнения или матрицы) дают одну и ту же конику, если они отличаются ненулевой мультипликативной константой.

Карандаш плоских кривых

В более общем плане карандаш это частный случай линейная система делителей в котором пространство параметров представляет собой проективная линия. Типичные карандаши кривых в проективная плоскость, например, записываются как

{ Displaystyle лямбда С + му С '= 0 ,}

куда $C = 0$ , $C' = 0$ плоские кривые.

История

Дезаргу приписывают изобретение термина «карандаш линий» (боеприпасы).^[19]

Один из первых авторов современной проективной геометрии Г. Б. Холстед ввел много терминов, большинство из которых сейчас считаются архаичными.^{[согласно кому? ]} Например, «Прямые с одним и тем же крестом - соучастны». Также: «Совокупность всех копланарных копунктальных прямых называется плоский карандаш"и" Кусок плоского карандаша, ограниченный двумя прямыми как стороны, называется угол."^[20]

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Молодые 1971, п. 40
^ Холстед 1906, п. 9
^ Педое 1988, п. 106
^ Артин 1957 г., п. 53
^ Холстед 1906, п. 9
^ Вудс 1961, п. 12
^ Джонсон 2007, п. 34
^ Некоторые авторы комбинируют типы и сокращают список до трех. Швердтфегер (1979, стр. 8–10).
^ Джонсон 2007, п. 36
^ Швердтфегер 1979, стр. 8–10
^ ^а ^б ^c Джонсон 2007, п. 37
^ Пфайфер и Ван Хук 1993.
^ Альберт 2016, п. 55.
^ Альберт 2016, п. 57.
^ ^а ^б ^c ^d Вудс 1961, п. 267.
^ Вудс 1961, п. 266
^ Фолкнер 1952, стр. 64.
^ Самуэль 1988, стр. 50.
^ Самые ранние известные применения некоторых математических слов, получено 14 июля, 2020
^ Холстед 1906, п. 9

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. "Карандаш". MathWorld.

[Young40-1] а ^б Молодые 1971, п. 40

[2] Холстед 1906, п. 9

[3] Педое 1988, п. 106

[4] Артин 1957 г., п. 53

[5] Холстед 1906, п. 9

[6] Вудс 1961, п. 12

[7] Джонсон 2007, п. 34

[8] Некоторые авторы комбинируют типы и сокращают список до трех. Швердтфегер (1979, стр. 8–10).

[9] Джонсон 2007, п. 36

[10] Швердтфегер 1979, стр. 8–10

[Jo37-11] а ^б ^c Джонсон 2007, п. 37

[12] Пфайфер и Ван Хук 1993.

[13] Альберт 2016, п. 55.

[14] Альберт 2016, п. 57.

[Woods267-15] а ^б ^c ^d Вудс 1961, п. 267.

[Woods266-16] Вудс 1961, п. 266

[17] Фолкнер 1952, стр. 64.

[18] Самуэль 1988, стр. 50.

[19] Самые ранние известные применения некоторых математических слов, получено 14 июля, 2020

[20] Холстед 1906, п. 9

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]