Самолет (геометрия) - Plane (geometry)

Уравнение плоскости в нормальной форме

В математика, а самолет квартира, двухкомнатнаяразмерный поверхность что простирается бесконечно далеко. Самолет - это двумерный аналог из точка (нулевые размеры), a линия (одно измерение) и трехмерное пространство. Самолеты могут возникать как подпространства некоторого многомерного пространства, например, с одной из стен комнаты, бесконечно протяженной, или они могут наслаждаться независимым существованием самостоятельно, как в сеттинге Евклидова геометрия.

При работе исключительно в двухмерном Евклидово пространство, используется определенный артикль, поэтому то плоскость относится ко всему пространству. Многие фундаментальные задачи по математике, геометрия, тригонометрия, теория графов, и построение графиков выполняются в двухмерном пространстве или, другими словами, на плоскости.

Евклидова геометрия

Евклид изложил первую великую веху математической мысли, аксиоматическую трактовку геометрии.^[1] Он выбрал небольшое ядро неопределенных терминов (называемых общие понятия) и постулаты (или аксиомы ), который он затем использовал для доказательства различных геометрических утверждений. Хотя самолету в его современном понимании нет прямого определения нигде в Элементы, это можно рассматривать как часть общих понятий.^[2] Евклид никогда не использовал числа для измерения длины, угла или площади. Таким образом, евклидова плоскость не совсем такая же, как Декартово самолет.

Три параллельные плоскости.

Самолет - это линейчатая поверхность.

Представление

Этот раздел касается исключительно плоскостей, встроенных в три измерения: в частности, в р³.

Определение по содержащимся точкам и линиям

В евклидовом пространстве любого числа измерений плоскость однозначно определяется любым из следующих условий:

Три не-коллинеарен точки (точки не на одной линии).
Линия и точка не на этой линии.
Две отчетливые, но пересекающиеся линии.
Два разных, но параллельно линий.

Характеристики

Следующие утверждения верны в трехмерном евклидовом пространстве, но не в более высоких измерениях, хотя у них есть аналоги в более высоких измерениях:

Две разные плоскости либо параллельны, либо пересекаются линия.
Линия либо параллельна плоскости, пересекает ее в одной точке, либо содержится в плоскости.
Две четкие линии перпендикуляр в одной плоскости должны быть параллельны друг другу.
Две разные плоскости, перпендикулярные одной и той же линии, должны быть параллельны друг другу.

Точечно-нормальная форма и общий вид уравнения плоскости

Аналогично тому, как линии в двумерном пространстве описываются с использованием формы точечного наклона для их уравнений, плоскости в трехмерном пространстве имеют естественное описание с помощью точки на плоскости и вектора, ортогонального к ней ( нормальный вектор ), чтобы обозначить его «наклон».

В частности, пусть $р 0$ быть вектором положения некоторой точки $п 0 = (Икс 0, y 0, z 0)$ , и разреши $п = (а, б, c)$ - ненулевой вектор. Самолет, определяемый точкой $п 0$ и вектор $п$ состоит из этих точек $п$ , с вектором положения $р$ , так что вектор, взятый из $п 0$ к $п$ перпендикулярно $п$ . Вспоминая, что два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, следует, что искомую плоскость можно описать как множество всех точек. $р$ такой, что

{ displaystyle mathbf {n} cdot ( mathbf {r} - mathbf {r} _ {0}) = 0.}

(Точка здесь означает точечное (скалярное) произведение.) В развернутом виде это становится

{ displaystyle a (x-x_ {0}) + b (y-y_ {0}) + c (z-z_ {0}) = 0,}

какой точка-нормальный форма уравнения плоскости.^[3] Это просто линейное уравнение

{ displaystyle ax + by + cz + d = 0,}

куда

{ displaystyle d = - (ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0}).}

Наоборот, легко показать, что если $а, б, c$ и $d$ константы и $а, б$ , и $c$ не все равны нулю, то график уравнения

{ displaystyle ax + by + cz + d = 0,}

это плоскость с вектором $п = (а, б, c)$ как обычно.^[4] Это знакомое уравнение для плоскости называется общая форма уравнения плоскости.^[5]

Так, например, уравнение регрессии формы $y = d + топор + cz$ (с $б = -1$ ) устанавливает наиболее подходящую плоскость в трехмерном пространстве при наличии двух независимых переменных.

Описание плоскости точкой и двумя лежащими на ней векторами

В качестве альтернативы, плоскость может быть описана параметрически как совокупность всех точек вида

{ displaystyle mathbf {r} = mathbf {r} _ {0} + s mathbf {v} + t mathbf {w},}

Векторное описание самолета

куда s и т диапазон по всем действительным числам, $v$ и $ш$ даны линейно независимый векторов определение плоскости, и $р 0$ - вектор, представляющий положение произвольной (но фиксированной) точки на плоскости. Векторы $v$ и $ш$ можно представить в виде векторов, начинающихся с $р 0$ и указывая в разные стороны по плоскости. Векторы $v$ и $ш$ возможно перпендикуляр, но не может быть параллельным.

Описание самолета через три точки

Позволять $п 1 = (х 1, y 1, z 1)$ , $п 2 = (х 2, y 2, z 2)$ , и $п 3 = (х 3, y 3, z 3)$ быть неколлинеарными точками.

Способ 1

Самолет, проходящий через $п 1$ , $п 2$ , и $п 3$ можно описать как множество всех точек (x, y, z), удовлетворяющих следующим условиям детерминант уравнения:

{ displaystyle { begin {vmatrix} x-x_ {1} & y-y_ {1} & z-z_ {1} x_ {2} -x_ {1} & y_ {2} -y_ {1} & z_ {2 } -z_ {1} x_ {3} -x_ {1} & y_ {3} -y_ {1} & z_ {3} -z_ {1} end {vmatrix}} = { begin {vmatrix} x- x_ {1} & y-y_ {1} & z-z_ {1} x-x_ {2} & y-y_ {2} & z-z_ {2} x-x_ {3} и y-y_ {3} & z-z_ {3} end {vmatrix}} = 0.}

Способ 2

Для описания плоскости уравнением вида ${ displaystyle ax + by + cz + d = 0}$ , решите следующую систему уравнений:

{ displaystyle , ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d = 0}

{ displaystyle , ax_ {2} + by_ {2} + cz_ {2} + d = 0}

{ displaystyle , ax_ {3} + by_ {3} + cz_ {3} + d = 0.}

Эта система может быть решена с помощью Правило Крамера и основные манипуляции с матрицей. Позволять

{ displaystyle D = { begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} x_ {3} & y_ {3} & z_ {3 } end {vmatrix}}}

.

Если D не равно нулю (поэтому для плоскостей, не проходящих через начало координат) значения для а, б и c можно рассчитать следующим образом:

{ displaystyle a = { frac {-d} {D}} { begin {vmatrix} 1 & y_ {1} & z_ {1} 1 & y_ {2} & z_ {2} 1 & y_ {3} & z_ {3} end {vmatrix}}}

{ displaystyle b = { frac {-d} {D}} { begin {vmatrix} x_ {1} & 1 & z_ {1} x_ {2} & 1 & z_ {2} x_ {3} & 1 & z_ {3} end {vmatrix}}}

{ displaystyle c = { frac {-d} {D}} { begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} & 1 x_ {2} & y_ {2} & 1 x_ {3} & y_ { 3} & 1 end {vmatrix}}.}

Эти уравнения параметрически в d. Параметр d равным любому ненулевому числу, и подстановка его в эти уравнения даст один набор решений.

Способ 3

Этот самолет также можно описать как "точка и вектор нормали "рецепт выше. Подходящий нормальный вектор задается перекрестное произведение

{ displaystyle mathbf {n} = ( mathbf {p} _ {2} - mathbf {p} _ {1}) times ( mathbf {p} _ {3} - mathbf {p} _ { 1}),}

и точка $р 0$ можно принять за любую из данных точек $п 1$ , $п 2$ или же $п 3$ ^[6] (или любая другая точка на плоскости).

Операции

Расстояние от точки до плоскости

Для самолета ${ displaystyle Pi: ax + by + cz + d = 0}$ и точка ${ displaystyle mathbf {p} _ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ не обязательно лежать на плоскости, кратчайшее расстояние от ${ displaystyle mathbf {p} _ {1}}$ к самолету

{ displaystyle D = { frac { left | ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d right |} { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}.}

Следует, что ${ displaystyle mathbf {p} _ {1}}$ лежит в самолете если и только если D = 0.

Если ${ displaystyle { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} = 1}$ означающий, что а, б, и c нормализованы^[7] тогда уравнение становится

{ Displaystyle D = | ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d |.}

Еще одна векторная форма для уравнения плоскости, известная как Нормальная форма Гессена полагается на параметр D. Эта форма:^[5]

{ Displaystyle mathbf {п} cdot mathbf {r} -D_ {0} = 0,}

куда ${ Displaystyle mathbf {п}}$ - единичный вектор нормали к плоскости, ${ displaystyle mathbf {r}}$ вектор положения точки плоскости и D₀ расстояние плоскости от начала координат.

Общую формулу для более высоких измерений можно быстро получить, используя векторные обозначения. Пусть гиперплоскость иметь уравнение ${ Displaystyle mathbf {n} cdot ( mathbf {r} - mathbf {r} _ {0}) = 0}$ , где ${ Displaystyle mathbf {п}}$ это нормальный вектор и ${ displaystyle mathbf {r} _ {0} = (x_ {10}, x_ {20}, dots, x_ {N0})}$ это вектор положения в точку в гиперплоскость. Мы желаем перпендикулярного расстояния до точки ${ displaystyle mathbf {r} _ {1} = (x_ {11}, x_ {21}, dots, x_ {N1})}$ . В гиперплоскость также может быть представлено скалярным уравнением ${ displaystyle textstyle sum _ {я = 1} ^ {N} a_ {i} x_ {i} = - a_ {0}}$ , для констант ${ Displaystyle {а_ {я} }}$ . Аналогично, соответствующий ${ Displaystyle mathbf {п}}$ может быть представлен как ${ Displaystyle (а_ {1}, а_ {2}, точки, а_ {N})}$ . Мы желаем скалярная проекция вектора ${ displaystyle mathbf {r} _ {1} - mathbf {r} _ {0}}$ в направлении ${ Displaystyle mathbf {п}}$ . Отмечая, что ${ displaystyle mathbf {n} cdot mathbf {r} _ {0} = mathbf {r} _ {0} cdot mathbf {n} = -a_ {0}}$ (в качестве ${ displaystyle mathbf {r} _ {0}}$ удовлетворяет уравнению гиперплоскость ) у нас есть

{ displaystyle { begin {align} D & = { frac {| ( mathbf {r} _ {1} - mathbf {r} _ {0}) cdot mathbf {n} |} {| mathbf {n} |}} & = { frac {| mathbf {r} _ {1} cdot mathbf {n} - mathbf {r} _ {0} cdot mathbf {n} |} {| mathbf {n} |}} & = { frac {| mathbf {r} _ {1} cdot mathbf {n} + a_ {0} |} {| mathbf {n} | }} & = { frac {| a_ {1} x_ {11} + a_ {2} x_ {21} + dots + a_ {N} x_ {N1} + a_ {0} |} { sqrt {a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + dots + a_ {N} ^ {2}}}} end {выровнено}}}

.

Пересечение прямой и плоскости

В аналитической геометрии пересечение линия и самолет в трехмерное пространство может быть пустой набор, а точка, или строку.

Линия пересечения двух плоскостей

Две пересекающиеся плоскости в трехмерном пространстве

Линия пересечения двух плоскостей ${ displaystyle Pi _ {1}: mathbf {n} _ {1} cdot mathbf {r} = h_ {1}}$ и ${ displaystyle Pi _ {2}: mathbf {n} _ {2} cdot mathbf {r} = h_ {2}}$ куда ${ Displaystyle mathbf {п} _ {я}}$ нормализованы:

{ displaystyle mathbf {r} = (c_ {1} mathbf {n} _ {1} + c_ {2} mathbf {n} _ {2}) + lambda ( mathbf {n} _ {1 } times mathbf {n} _ {2})}

куда

{ displaystyle c_ {1} = { frac {h_ {1} -h_ {2} ( mathbf {n} _ {1} cdot mathbf {n} _ {2})} {1 - ( mathbf {п} _ {1} cdot mathbf {n} _ {2}) ^ {2}}}}

{ displaystyle c_ {2} = { frac {h_ {2} -h_ {1} ( mathbf {n} _ {1} cdot mathbf {n} _ {2})} {1 - ( mathbf {n} _ {1} cdot mathbf {n} _ {2}) ^ {2}}}.}

Это можно найти, заметив, что линия должна быть перпендикулярна обеим нормальным плоскостям и, следовательно, параллельна их поперечному произведению. ${ Displaystyle mathbf {п} _ {1} раз mathbf {п} _ {2}}$ (это перекрестное произведение равно нулю, если и только если плоскости параллельны и, следовательно, не пересекаются или полностью совпадают).

Остальная часть выражения достигается путем нахождения произвольной точки на линии. Для этого учтите, что любую точку в пространстве можно записать как ${ displaystyle mathbf {r} = c_ {1} mathbf {n} _ {1} + c_ {2} mathbf {n} _ {2} + lambda ( mathbf {n} _ {1} раз mathbf {n} _ {2})}$ , поскольку ${ displaystyle { mathbf {n} _ {1}, mathbf {n} _ {2}, ( mathbf {n} _ {1} times mathbf {n} _ {2}) }}$ это основа. Мы хотим найти точку, которая находится на обеих плоскостях (т.е. на их пересечении), поэтому вставьте это уравнение в каждое из уравнений плоскостей, чтобы получить два одновременных уравнения, которые можно решить относительно ${ displaystyle c_ {1}}$ и ${ displaystyle c_ {2}}$ .

Если далее предположить, что ${ Displaystyle mathbf {п} _ {1}}$ и ${ Displaystyle mathbf {п} _ {2}}$ находятся ортонормированный тогда ближайшая точка на линии пересечения к началу координат ${ displaystyle mathbf {r} _ {0} = h_ {1} mathbf {n} _ {1} + h_ {2} mathbf {n} _ {2}}$ . Если это не так, необходимо использовать более сложную процедуру.^[8]

Двугранный угол

Учитывая две пересекающиеся плоскости, описываемые ${ displaystyle Pi _ {1}: a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} z + d_ {1} = 0}$ и ${ displaystyle Pi _ {2}: a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z + d_ {2} = 0}$ , то двугранный угол между ними определяется угол ${ displaystyle alpha}$ между их нормальными направлениями:

{ displaystyle cos alpha = { frac {{ hat {n}} _ {1} cdot { hat {n}} _ {2}} {| { hat {n}} _ {1} || { hat {n}} _ {2} |}} = { frac {a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2} + c_ {1} c_ {2}} {{ sqrt {a_ {1} ^ {2} + b_ {1} ^ {2} + c_ {1} ^ {2}}} { sqrt {a_ {2} ^ {2} + b_ {2} ^ { 2} + c_ {2} ^ {2}}}}}.}

Самолеты в различных областях математики

Помимо привычного геометрический структура, с изоморфизмы которые изометрии по отношению к обычному внутреннему продукту, плоскость может рассматриваться на различных других уровнях абстракция. Каждому уровню абстракции соответствует определенный категория.

С одной стороны, все геометрические и метрика концепции могут быть отброшены, чтобы оставить топологический самолет, который можно рассматривать как идеализированный гомотопически тривиальный бесконечный резиновый лист, который сохраняет понятие близости, но не имеет расстояний. В топологической плоскости есть понятие линейного пути, но нет понятия прямой линии. Топологическая плоскость или ее эквивалент открытый диск - это основная топологическая окрестность, используемая для построения поверхности (или 2-многообразия) классифицируются в низкоразмерная топология. Изоморфизмы топологической плоскости - это все непрерывный биекции. Топологическая плоскость - естественный контекст для ветви теория графов это касается планарные графы, и такие результаты, как теорема четырех цветов.

Самолет также можно рассматривать как аффинное пространство, изоморфизмы которого являются комбинациями сдвигов и неособых линейных отображений. С этой точки зрения нет расстояний, но коллинеарность и соотношения расстояний на любой линии сохраняются.

Дифференциальная геометрия рассматривает самолет как двумерный реальный многообразие, топологическая плоскость, снабженная дифференциальная структура. Опять же в этом случае нет понятия расстояния, но теперь есть понятие гладкости отображений, например дифференцируемый или же гладкий путь (в зависимости от типа применяемой дифференциальной конструкции). Изоморфизмы в этом случае являются биекциями с выбранной степенью дифференцируемости.

В противоположном направлении абстракции мы можем применить совместимую структуру поля к геометрической плоскости, что приведет к комплексная плоскость и большая часть комплексный анализ. У комплексного поля есть только два изоморфизма, которые оставляют вещественную прямую фиксированной: тождественный и спряжение.

Так же, как и в реальном случае, плоскость также может рассматриваться как простейшая, одномерная (по комплексным числам) комплексное многообразие, иногда называемая сложной линией. Однако эта точка зрения резко контрастирует со случаем плоскости как двумерного вещественного многообразия. Все изоморфизмы конформный биекции комплексной плоскости, но единственные возможности - это карты, которые соответствуют композиции умножения на комплексное число и перевода.

Кроме того, евклидова геометрия (имеющая нулевое кривизна везде) - не единственная геометрия, которую может иметь самолет. Самолету можно присвоить сферическая геометрия используя стереографическая проекция. Это можно представить как размещение сферы на плоскости (как мяч на полу), удаление верхней точки и проецирование сферы на плоскость из этой точки). Это одна из проекций, которые можно использовать для построения плоской карты части поверхности Земли. Полученная геометрия имеет постоянную положительную кривизну.

В качестве альтернативы плоскости также можно присвоить метрику, которая придает ей постоянную отрицательную кривизну, дающую гиперболическая плоскость. Последняя возможность находит применение в теории специальная теория относительности в упрощенном случае, когда есть два пространственных измерения и одно временное измерение. (Гиперболическая плоскость - это подобный времени гиперповерхность в трехмерном Пространство Минковского.)

Топологические и дифференциально-геометрические понятия

В одноточечная компактификация плоскости гомеоморфно сфера (видеть стереографическая проекция ); открытый диск гомеоморфен сфере без «северного полюса»; добавление этой точки завершает (компактную) сферу. Результатом этой компактификации является многообразие называется Сфера Римана или сложный проективная линия. Проекция с евклидовой плоскости на сферу без точки есть диффеоморфизм и даже конформная карта.

Сама плоскость гомеоморфна (и диффеоморфна) открытому диск. Для гиперболическая плоскость такой диффеоморфизм конформен, но для евклидовой плоскости это не так.

Смотрите также

Примечания

^ Канун 1963 г., стр. 19
^ Джойс, Д. (1996), Элементы Евклида, Книга I, Определение 7, Университет Кларка, получено 8 августа 2009
^ Антон 1994, п. 155
^ Антон 1994, п. 156
^ ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. (2009), "Самолет", MathWorld - веб-ресурс Wolfram, получено 8 августа 2009
^ Докинз, Пол, «Уравнения плоскостей», Исчисление III
^ Чтобы нормализовать произвольные коэффициенты, разделите каждый из а, б, c и d к ${ displaystyle { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}$ (что не может быть 0). «Новые» коэффициенты теперь нормализованы, и следующая формула действительна для «новых» коэффициентов.
^ Пересечение плоскостей - от Wolfram MathWorld. Mathworld.wolfram.com. Проверено 20 августа 2013.

внешняя ссылка

"Самолет", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. "Самолет". MathWorld.
«Облегчение арифметики и плоской геометрии» - арабский манускрипт 15 века, служащий учебным пособием по плоской геометрии и арифметике.

[1] Канун 1963 г., стр. 19

[2] Джойс, Д. (1996), Элементы Евклида, Книга I, Определение 7, Университет Кларка, получено 8 августа 2009

[3] Антон 1994, п. 155

[4] Антон 1994, п. 156

[Weisstein2009-5] а ^б Вайсштейн, Эрик В. (2009), "Самолет", MathWorld - веб-ресурс Wolfram, получено 8 августа 2009

[PaulsPlanes-6] Докинз, Пол, «Уравнения плоскостей», Исчисление III

[7] Чтобы нормализовать произвольные коэффициенты, разделите каждый из а, б, c и d к ${ displaystyle { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}$ (что не может быть 0). «Новые» коэффициенты теперь нормализованы, и следующая формула действительна для «новых» коэффициентов.

[8] Пересечение плоскостей - от Wolfram MathWorld. Mathworld.wolfram.com. Проверено 20 августа 2013.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]