Двумерное пространство - Википедия - Two-dimensional space

Двумерный Декартова система координат

Геометрия
Проектирование а сфера к самолет
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность (Перпендикуляр ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четыре - / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов

Двумерное пространство (также известный как двумерное пространство) представляет собой геометрическую установку, в которой два значения (называемые параметры ) необходимы для определения положения элемента (т. е. точка ). Набор ℝ² пар действительных чисел с соответствующей структурой часто служит каноническим примером двумерного евклидова пространства. Для обобщения концепции см. измерение.

Двумерное пространство можно рассматривать как проекцию физического вселенная на самолет. Обычно это рассматривается как Евклидово пространство и эти два измерения называются длиной и шириной.

История

Книги с I по IV и VI из Элементы Евклида занимался двумерной геометрией, развивая такие понятия, как подобие форм, теорема Пифагора (Предложение 47) равенство углов и области, параллельность, сумма углов в треугольнике и три случая, когда треугольники «равны» (имеют одинаковую площадь), среди многих других тем.

Позже самолет был описан в так называемой Декартова система координат, а система координат который определяет каждый точка уникально в самолет парой числовой координаты, которые являются подписанный расстояния от точки до двух фиксированных перпендикуляр направленные линии, измеренные в одном единица длины. Каждая контрольная линия называется ось координат или просто ось системы, и точка, где они встречаются, является ее источник, обычно при упорядоченной паре (0, 0). Координаты также могут быть определены как положения перпендикулярные выступы точки на две оси, выраженные как расстояния со знаком от начала координат.

Идея этой системы была развита в 1637 году в трудах Декарта и независимо от Пьер де Ферма, хотя Ферма тоже работал в трех измерениях и не опубликовал открытие.^[1] Оба автора использовали одну ось в своих исследованиях и измеряли переменную длину относительно этой оси. Концепция использования пары осей была введена позже, после того, как Декарт La Géométrie был переведен на латынь в 1649 г. Франс ван Скутен и его ученики. Эти комментаторы представили несколько концепций, пытаясь прояснить идеи, содержащиеся в работе Декарта.^[2]

Позже самолет задумывался как поле, где любые два очка можно было умножить и, кроме 0, разделить. Это было известно как комплексная плоскость. Комплексную плоскость иногда называют плоскостью Аргана, потому что она используется в диаграммах Аргана. Они названы в честь Жан-Робер Арган (1768–1822), хотя впервые они были описаны датско-норвежским землемером и математиком. Каспар Вессель (1745–1818).^[3] Диаграммы Аргана часто используются для определения положения полюса и нули из функция в комплексной плоскости.

В геометрии

Системы координат

В математике аналитическая геометрия (также называемая декартовой геометрией) описывает каждую точку в двумерном пространстве с помощью двух координат. Два перпендикулярных оси координат даны, которые пересекаются друг с другом на источник. Обычно они маркируются Икс и у. Относительно этих осей положение любой точки в двумерном пространстве задается упорядоченной парой действительных чисел, каждое число дает расстояние этой точки от источник измеряется вдоль данной оси, которая равна расстоянию от этой точки до другой оси.

Другой широко используемой системой координат является полярная система координат, Который указывает точку с точки зрения ее расстояние от начала координат и его углом относительно опорного луча вправо.

• 

  Декартова система координат

• 

  Полярная система координат

Многогранники

В двух измерениях многогранников бесконечно много: многоугольники. Первые несколько обычных показаны ниже:

Выпуклый

В Символ Шлефли {p} представляет собой обычный п-угольник.

Имя	Треугольник (2-симплекс )	Квадрат (2-ортоплекс ) (2-куб )	Пентагон	Шестиугольник	Семиугольник	Восьмиугольник
Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Изображение
Имя	Нонагон	Декагон	Hendecagon	Додекагон	Трехугольник	Тетрадекагон
Schläfli	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Изображение
Имя	Пентадекагон	Шестиугольник	Гептадекагон	Восьмиугольник	Enneadecagon	Икосагон	...н-угольник
Schläfli	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{п}
Изображение

Вырожденный (сферический)

Регулярный моногон (или шестиугольник) {1} и обычный Digon {2} можно рассматривать как вырожденные правильные многоугольники и невырожденно существовать в неевклидовых пространствах как 2-сфера, 2-тор, или же правый круговой цилиндр.

Имя	Моногон	Дигон
Schläfli	{1}	{2}
Изображение

Невыпуклый

Существует бесконечно много невыпуклых правильных многогранников в двух измерениях, символы Шлефли которых состоят из рациональных чисел {n / m}. Они называются звездные многоугольники и разделять то же самое расположение вершин выпуклых правильных многоугольников.

Вообще говоря, для любого натурального числа n существуют n-точечные невыпуклые правильные многоугольные звезды с символами Шлефли {п/м} для всех м такой, что м < п/ 2 (строго говоря {п/м} = {п/(п − м)}) и м и п находятся совмещать.

Имя	Пентаграмма	Гептаграммы		Октаграмма	Эннеаграммы		Декаграмма	...н-аграммы
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{н / м}
Изображение

Круг

В гиперсфера в двух измерениях это круг, иногда называемый 1-сферой (S¹), потому что это одномерный многообразие. В евклидовой плоскости она имеет длину 2πр и площадь своего интерьер является

${ Displaystyle А = пи г ^ {2}}$

куда ${ displaystyle r}$ это радиус.

Другие формы

Существует множество других изогнутых форм в двух измерениях, в том числе конические секции: the эллипс, то парабола, а гипербола.

В линейной алгебре

Другой математический способ просмотра двумерного пространства можно найти в линейная алгебра, где идея независимости имеет решающее значение. Самолет имеет два измерения, потому что длина прямоугольник не зависит от его ширины. На техническом языке линейной алгебры плоскость двумерна, потому что каждая точка на плоскости может быть описана линейной комбинацией двух независимых векторов.

Точечное произведение, угол и длина

Скалярное произведение двух векторов А = [А₁, А₂] и B = [B₁, B₂] определяется как:^[4]

${ Displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} = A_ {1} B_ {1} + A_ {2} B_ {2}}$

Вектор можно представить в виде стрелки. Его величина - это его длина, а его направление - это направление, указанное стрелкой. Величина вектора А обозначается ${ Displaystyle | mathbf {A} |}$. С этой точки зрения скалярное произведение двух евклидовых векторов А и B определяется^[5]

${ Displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} = | mathbf {A} | , | mathbf {B} | cos theta,}$

где θ - угол между А и B.

Скалярное произведение вектора А сам по себе

${ Displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {A} = | mathbf {A} | ^ {2},}$

который дает

${ Displaystyle | mathbf {A} | = { sqrt { mathbf {A} cdot mathbf {A}}},}$

формула для Евклидова длина вектора.

В исчислении

Градиент

В прямоугольной системе координат градиент задается формулой

${ displaystyle nabla f = { frac { partial f} { partial x}} mathbf {i} + { frac { partial f} { partial y}} mathbf {j}}$

Линейные интегралы и двойные интегралы

Для некоторых скалярное поле ж : U ⊆ р² → р, интеграл по прямой кусочно гладкий изгиб C ⊂ U определяется как

${ displaystyle int limits _ {C} f , ds = int _ {a} ^ {b} f ( mathbf {r} (t)) | mathbf {r} '(t) | , dt.}$

куда р: [a, b] → C произвольный биективный параметризация кривой C такой, что р(а) и р(б) дают конечные точки C и ${ displaystyle a$.

Для векторное поле F : U ⊆ р² → р², интеграл по прямой кусочно гладкий изгиб C ⊂ U, в направлении р, определяется как

${ displaystyle int limits _ {C} mathbf {F} ( mathbf {r}) cdot , d mathbf {r} = int _ {a} ^ {b} mathbf {F} ( mathbf {r} (t)) cdot mathbf {r} '(t) , dt.}$

где скалярное произведение и р: [a, b] → C это биективный параметризация кривой C такой, что р(а) и р(б) дают конечные точки C.

А двойной интеграл относится к интеграл в пределах региона D в р² из функция ${ displaystyle f (x, y),}$ и обычно записывается как:

${ displaystyle iint limits _ {D} f (x, y) , dx , dy.}$

Основная теорема линейных интегралов

В основная теорема линейных интегралов говорит, что линейный интеграл через градиент поле можно оценить, оценив исходное скалярное поле в конечных точках кривой.

Позволять ${ Displaystyle varphi: U substeq mathbb {R} ^ {2} to mathbb {R}}$. потом

${ displaystyle varphi left ( mathbf {q} right) - varphi left ( mathbf {p} right) = int _ { gamma [ mathbf {p}, , mathbf {q }]} nabla varphi ( mathbf {r}) cdot d mathbf {r}.}$

Теорема Грина

Позволять C быть положительно ориентированный, кусочно гладкий, простая замкнутая кривая в самолет, и разреши D быть областью, ограниченной C. Если L и M являются функциями (Икс, у), определенные на открытый регион содержащий D и имеют непрерывный частные производные там тогда^[6][7]

${ Displaystyle oint _ {C} (L , dx + M , dy) = iint _ {D} left ({ frac { partial M} { partial x}} - { frac { частичное L} { partial y}} right) , dx , dy}$

где путь интегрирования по C равен против часовой стрелки.

В топологии

В топология, самолет характеризуется как уникальный стягиваемый 2-х коллекторный.

Его размерность характеризуется тем, что удаление точки из плоскости оставляет связанное пространство, но не односвязный.

В теории графов

В теория графов, а планарный граф это график это может быть встроенный на плоскости, т.е. его можно нарисовать на плоскости так, чтобы его края пересекались только в своих конечных точках. Другими словами, его можно нарисовать таким образом, чтобы никакие грани не пересекались.^[8] Такой рисунок называется плоский график или же планарное вложение графа. Плоский граф можно определить как планарный граф с отображением каждого узла в точку на плоскости и каждого ребра в плоская кривая на этой плоскости, так что крайние точки каждой кривой являются точками, отображенными от ее конечных узлов, и все кривые не пересекаются, за исключением их крайних точек.

Смотрите также

• Функция изображения

Рекомендации