La Géométrie - La Géométrie

Часть серия на
Рене Декарт
Descartes2.jpg

La Géométrie был опубликовано в 1637 г. как приложение к Discours de la méthode (Рассуждение о методе ), написано Рене Декарт. в Дискурс, он представляет свой метод получения ясности по любому вопросу. La Géométrie и два других приложения, также Декарта, La Dioptrique (Оптика) и Les Météores (Метеорология), были опубликованы с Дискурс привести примеры успехов, которых он достиг, следуя своему методу[1] (а также, возможно, учитывая современный европейский социальный климат интеллектуальной конкуренции, чтобы немного похвастаться перед более широкой аудиторией).

La Géométrie

В работе впервые была предложена идея объединения алгебры и геометрии в единый предмет.[2] и изобрел алгебраическая геометрия называется аналитическая геометрия, что предполагает сокращение геометрия к форме арифметика и алгебра и перевод геометрических фигур в алгебраические уравнения. Для своего времени это было новаторским. Это также внесло вклад в математические идеи Лейбниц и Ньютон и поэтому сыграл важную роль в развитии математического анализа.

Текст

Это приложение разделено на три «книги».[3]

Книга I называется Задачи, которые можно построить только с помощью окружностей и прямых линий. В этой книге он вводит алгебраические обозначения, которые используются до сих пор. Буквы в конце алфавита, а именно, Икс, у, zи т. д. должны обозначать неизвестные переменные, а переменные в начале алфавита а, б, cи т. д. обозначают константы. Он вводит современную экспоненциальную запись для степеней (за исключением квадратов, где он сохранил старую традицию написания повторяющихся букв, таких как, аа). Он также нарушает греческую традицию связывания степеней с геометрическими референтами, а2 с площадью, а3 с объемом и т. д. и рассматривает их все как возможные длины отрезков линии. Эти обозначения позволяют ему описывать ассоциацию чисел с длинами отрезков линии, которые могут быть построены с помощью линейка и компас. Большую часть оставшейся части книги занимает решение Декарта «проблемы локуса Паппус."[4] Согласно Паппу, имея три или четыре линии на плоскости, проблема состоит в том, чтобы найти геометрическое место точки, которая движется так, чтобы произведение расстояний от двух фиксированных линий (вдоль заданных направлений) было пропорционально квадрату прямой. расстояние до третьей линии (в случае трех линий) или пропорционально произведению расстояний до двух других линий (в случае четырех линий). Решая эти задачи и их обобщения, Декарт принимает два отрезка прямых как неизвестные и обозначает их Икс и у. Обозначаются известные отрезки линии а, б, cи др. Зародышевое представление о Декартова система координат можно проследить до этой работы.

Во второй книге под названием О природе кривых линий, Декарт описал два вида кривых, названных им геометрический и механический. Геометрические кривые - это те, которые теперь описываются алгебраическими уравнениями с двумя переменными, однако Декарт описал их кинематически, и важной особенностью было то, что все их точек можно получить путем построения из кривых более низкого порядка. Это представляло собой расширение, превышающее то, что позволяли конструкции линейки и компаса.[5] Другие кривые, такие как квадратик и спираль, где только некоторые из точек могли быть построены, назывались механическими и не считались подходящими для математического исследования. Декарт также разработал алгебраический метод нахождения нормали в любой точке кривой, уравнение которой известно. Затем легко следует построение касательных к кривой, и Декарт применил эту алгебраическую процедуру для нахождения касательных к нескольким кривым.

Третья книга, О построении твердых и сверхтвердых задач., является скорее алгебраическим, чем геометрическим, и касается природы уравнений и способов их решения. Он рекомендует, чтобы все члены уравнения были помещены в одну сторону и установлены равными 0, чтобы облегчить решение. Он указывает на факторная теорема для многочленов и дает интуитивное доказательство того, что многочлен степени п имеет п корни. Он систематически обсуждал отрицательные и мнимые корни.[6] уравнений и явно использовал то, что теперь известно как Правило знаков Декарта.

Последствия

Декарт писал La Géométrie на французском, а не на латыни, которая использовалась в большинстве научных публикаций того времени. Его стиль изложения был далек от ясности, материал не был систематизирован, и он, как правило, давал только указания на доказательства, оставляя многие детали читателю.[7] На его отношение к письму указывают часто повторяющиеся утверждения типа «Я не брался сказать все» или «Мне уже утомительно писать об этом». Декарт оправдывает свои упущения и неясности замечанием о том, что многое было намеренно упущено, «чтобы дать другим удовольствие открыть [это] для себя».

Декарту часто приписывают изобретение координатной плоскости, потому что у него были соответствующие концепции в своей книге:[8] однако нигде в La Géométrie появляется современная прямоугольная система координат. Это и другие улучшения были добавлены математиками, которые взяли на себя задачу прояснить и объяснить работу Декарта.

Это улучшение работы Декарта было прежде всего выполнено Франс ван Скутен, профессор математики в Лейдене и его ученики. Ван Скутен опубликовал латинскую версию La Géométrie в 1649 году, за ним последовали еще три издания в 1659–1661, 1683 и 1693 годах. Издание 1659–1661 годов представляло собой двухтомный труд, более чем в два раза превышающий длину оригинала, наполненный пояснениями и примерами, представленными ван Скутеном и его учениками. Один из этих студентов, Йоханнес Худде предоставил удобный метод определения двойных корней многочлена, известный как Правило Хадде, это было сложной процедурой в методе касательных Декарта. Эти издания установили аналитическую геометрию в семнадцатом веке.[9]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Декарт 2006, п. 1x
  2. ^ Декарт 2006, p.1xiii «Эта небольшая работа знаменует момент, когда алгебра и геометрия перестали быть отдельными».
  3. ^ этот раздел следует за Бертон 2011, стр. 367-375
  4. ^ Папп обсуждал проблемы в своем комментарии к Коники из Аполлоний.
  5. ^ Бойер 2004, стр. 88-89
  6. ^ он был одним из первых, кто использовал этот термин
  7. ^ Бойер 2004, стр. 103-104
  8. ^ Александров А.Д .; Андрея Николаевича Колмогорова; М. А. Лаврентьев (1999). «§2: Два основных понятия Декарта». Математика, ее содержание, методы и значение (Перепечатка MIT Press 1963 ed.). Courier Dover Publications. стр.184 ff. ISBN  0-486-40916-3.
  9. ^ Бойер 2004, стр. 108-109

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка