Вершина (геометрия) - Википедия - Vertex (geometry)

Для вершин в геометрической тире см. Вершина (кривая). Чтобы узнать о других значениях этого слова, см. Vertex (значения).

В геометрия, а вершина (во множественном числе: вершины или же вершины), часто обозначается такими буквами, как , , , ,[1] это точка где двое или более кривые, линии, или же края встретить. Как следствие этого определения точка, где две линии встречаются, чтобы сформировать угол и углы полигоны и многогранники являются вершинами.[2][3][4]

Определение

Угла

Вершина угла - это конечная точка, в которой соединяются два отрезка или луча.

В вершина из угол это точка, где два лучи начало или встреча, где два отрезка линии соединяются или встречаются, где две линии пересекаются (пересекаются), или любая подходящая комбинация лучей, отрезков и линий, которая приводит к встрече двух прямых «сторон» в одном месте.[5][4]

Многогранника

Вершина - это угловая точка многоугольник, многогранник, или другие многомерные многогранник, образованный пересечение из края, лица или грани объекта.[5]

В многоугольнике вершина называется "выпуклый "если внутренний угол многоугольника (т.е. угол образованный двумя ребрами в вершине с многоугольником внутри угла) меньше π радиан (180 °, два прямые углы ); в противном случае его называют «вогнутым» или «рефлекторным».[6] В более общем смысле, вершина многогранника или многогранника является выпуклой, если пересечение многогранника или многогранника с достаточно малым сфера с центром в вершине является выпуклым, в противном случае - вогнутым.

Вершины многогранника связаны с вершины графов, в этом 1-скелет многогранника - это граф, вершины которого соответствуют вершинам многогранника,[7] и в этом граф можно рассматривать как одномерный симплициальный комплекс, вершины которого являются вершинами графа.

Однако в теория графов, вершины могут иметь менее двух инцидентных ребер, что обычно недопустимо для геометрических вершин. Также существует связь между геометрическими вершинами и вершины кривой, его точки крайней кривизны: в некотором смысле вершины многоугольника являются точками бесконечной кривизны, и если многоугольник аппроксимируется гладкой кривой, то рядом с каждой вершиной многоугольника будет точка крайней кривизны.[8] Тем не менее, гладкая кривая, приближенная к многоугольнику, также будет иметь дополнительные вершины в точках, где его кривизна минимальна.

Плоской черепицы

Вершина плоского замощения или мозаика точка, где встречаются три или более плитки;[9] как правило, но не всегда, плитки мозаики являются многоугольниками, а вершины мозаики также являются вершинами ее плиток. В более общем смысле тесселяцию можно рассматривать как своего рода топологическую клеточный комплекс, как и грани многогранника или многогранника; вершины других видов комплексов, таких как симплициальные комплексы - его нульмерные грани.

Главная вершина

Вершина B - это ухо, потому что открытый сегмент линии между C и D полностью внутри многоугольника. Вершина C - это рот, потому что открытый отрезок линии между A и B полностью находится за пределами многоугольника.

Вершина многоугольника Икся простого многоугольника п является главной вершиной многоугольника, если диагональ [Икс(я - 1), Икс(я + 1)] пересекает границу п только в Икс(я - 1) и Икс(я + 1). Есть два типа главных вершин: уши и рты.[10]

Уши

Главная вершина Икся простого многоугольника п называется ухом, если диагональ [Икс(я - 1), Икс(я + 1)] что мосты Икся полностью лежит в п. (смотрите также выпуклый многоугольник ) Согласно теорема о двух ушах, у каждого простого многоугольника есть не менее двух ушей.[11]

Рты

Главная вершина Икся простого многоугольника п называется ртом, если диагональ [Икс(я - 1), Икс(я + 1)] лежит за пределами п.

Количество вершин многогранника

Любой выпуклый многогранник поверхность имеет Эйлерова характеристика

куда V - количество вершин, E это количество края, и F это количество лица. Это уравнение известно как Формула многогранника Эйлера. Таким образом, количество вершин на 2 больше, чем превышение количества ребер над количеством граней. Например, поскольку куб имеет 12 ребер и 6 граней, формула подразумевает, что он имеет 8 вершин.

Вершины в компьютерной графике

Основная статья: Vertex (компьютерная графика)

В компьютерная графика, объекты часто представляются как триангулированные многогранники в которой вершины объекта связаны не только с тремя пространственными координатами, но и с другой графической информацией, необходимой для правильной визуализации объекта, такой как цвета, отражательная способность свойства, текстуры и нормальная поверхность;[12] эти свойства используются при рендеринге вершинный шейдер, часть вершинный конвейер.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-16.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Вершина». MathWorld.
  3. ^ «Вершины, края и грани». www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-16.
  4. ^ а б "Что такое вершины в математике?". Наука. Получено 2020-08-16.
  5. ^ а б Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг стихий Евклида (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: издательство Кембриджского университета, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.
    (3 тт.): ISBN  0-486-60088-2 (том 1), ISBN  0-486-60089-0 (т. 2), ISBN  0-486-60090-4 (т. 3).
  6. ^ Цзин, Ланру; Стефанссон, Уве (2007). Основы методов дискретных элементов в горных сооружениях: теория и приложения. Elsevier Science.
  7. ^ Питер МакМаллен, Эгон Шульте, Абстрактные правильные многогранники, Издательство Кембриджского университета, 2002. ISBN  0-521-81496-0 (Стр.29)
  8. ^ Бобенко, Александр I .; Шредер, Питер; Салливан, Джон М.; Циглер, Гюнтер М. (2008). Дискретная дифференциальная геометрия. Birkhäuser Verlag AG. ISBN  978-3-7643-8620-7.
  9. ^ М.В. Ярич, изд., Введение в математику квазикристаллов (Апериодичность и порядок, том 2) ISBN  0-12-040602-0, Академик Пресс, 1989.
  10. ^ Девадосс, Сатьян; О'Рурк, Джозеф (2011). Дискретная и вычислительная геометрия. Princeton University Press. ISBN  978-0-691-14553-2.
  11. ^ Мейстер, Г. Х. (1975), «У многоугольников есть уши», Американский математический ежемесячник, 82: 648–651, Дои:10.2307/2319703, МИСТЕР  0367792.
  12. ^ Кристен, Мартин. «Учебники по Clockworkcoders: атрибуты вершин». Хронос Групп. Получено 26 января 2009.

внешняя ссылка