Вершина (кривая) - Vertex (curve)

Не путать с Вершина (геометрия).
Для использования в других целях см. Vertex (значения).
Эллипс (красный) и его эволюционировать (синий). Точки - это вершины кривой, каждая из которых соответствует каспу на эволюции.

В геометрии плоской кривые, а вершина точка, в которой первая производная от кривизна равно нулю.[1] Обычно это местный максимум или минимум кривизны,[2] а некоторые авторы определяют вершину как более конкретную локальную крайнюю точку кривизны.[3] Однако могут возникать и другие особые случаи, например, когда вторая производная также равна нулю или когда кривизна постоянна. С другой стороны, для пространственных кривых a вершина это точка, где кручение исчезает.

Примеры

Гипербола имеет две вершины, по одной на каждой ветви; они являются ближайшими из любых двух точек, лежащих на противоположных ветвях гиперболы, и лежат на главной оси. На параболе единственная вершина лежит на оси симметрии и находится в квадратичной форме:

это можно найти завершение квадрата или по дифференциация.[2] На эллипсе две из четырех вершин лежат на большой оси, а две - на малой оси.[4]

Для круг, имеющего постоянную кривизну, каждая точка является вершиной.

Бугры и оскал

Вершины - это точки, в которых кривая имеет 4-точечный контакт с соприкасающийся круг в таком случае.[5][6] Напротив, общие точки на кривой обычно имеют только 3-точечный контакт со своим соприкасающимся кругом. В эволюционировать кривой обычно будет иметь куспид когда кривая имеет вершину;[6] другие, более вырожденные и нестабильные особенности могут возникать в вершинах более высокого порядка, в которых соприкасающаяся окружность имеет контакт более высокого порядка, чем четыре.[5] Хотя одна общая кривая не будет иметь вершин более высокого порядка, в общем случае они будут встречаться в однопараметрическом семействе кривых на кривой в семействе, для которой две обычные вершины сливаются, образуя более высокую вершину, а затем аннигилируют.

В набор симметрии кривой имеет концы в точках возврата, соответствующих вершинам, и медиальная ось, подмножество набор симметрии, также имеет свои конечные точки в куспидах.

Другие свойства

Согласно классической теорема о четырех вершинах, каждая простая замкнутая плоская гладкая кривая должна иметь не менее четырех вершин.[7] Более общий факт состоит в том, что каждая простая кривая замкнутого пространства, лежащая на границе выпуклого тела или даже ограничивающая локально выпуклый диск, должна иметь четыре вершины.[8] Каждый кривая постоянной ширины должно иметь не менее шести вершин.[9]

Если плоская кривая двусторонне симметричный, он будет иметь вершину в точке или точках, где ось симметрии пересекает кривую. Таким образом, понятие вершины кривой тесно связано с понятием вершины кривой. оптическая вершина, точка пересечения оптической оси линза поверхность.

Примечания

  1. ^ Агостон (2005), п. 570; Гибсон (2001), п. 126.
  2. ^ а б Гибсон (2001), п. 127.
  3. ^ Фукс и Табачников (2007), п. 141.
  4. ^ Агостон (2005), п. 570; Гибсон (2001), п. 127.
  5. ^ а б Гибсон (2001), п. 126.
  6. ^ а б Фукс и Табачников (2007), п. 142.
  7. ^ Агостон (2005), Теорема 9.3.9, с. 570; Гибсон (2001), Раздел 9.3, «Теорема о четырех вершинах», стр. 133–136; Фукс и Табачников (2007), Теорема 10.3, с. 149.
  8. ^ Седых (1994); Гоми (2015)
  9. ^ Мартинес-Мор (1996); Крейзер, Тейшейра и Балестро (2018)

Рекомендации

  • Агостон, Макс К. (2005), Компьютерная графика и геометрическое моделирование: математика, Спрингер, ISBN  9781852338176.
  • Крейзер, Маркос; Тейшейра, Ральф; Балестро, Витор (2018), «Замкнутые циклоиды в нормированной плоскости», Monatshefte für Mathematik, 185 (1): 43–60, Дои:10.1007 / s00605-017-1030-5, МИСТЕР  3745700.
  • Фукс, Д. Б.; Табачников Серж (2007), Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике, Американское математическое общество, ISBN  9780821843161
  • Гоми, Мохаммад (2015), Граничное кручение и выпуклые шапки локально выпуклых поверхностей, arXiv:1501.07626, Bibcode:2015arXiv150107626G
  • Гибсон, К. Г. (2001), Элементарная геометрия дифференцируемых кривых: введение для студентов, Издательство Кембриджского университета, ISBN  9780521011075.
  • Мартинес-Мор, Ив (1996), "Заметка о теореме теннисного мяча", Американский математический ежемесячный журнал, 103 (4): 338–340, Дои:10.2307/2975192, JSTOR  2975192, МИСТЕР  1383672.
  • Седых, В. (1994), "Четыре вершины выпуклой пространственной кривой", Бык. Лондонская математика. Soc., 26 (2): 177–180