Завершение квадрата - Completing the square

Воспроизвести медиа

Анимация, изображающая процесс завершения квадрата. (Подробности, анимированная версия в формате GIF )

В элементарная алгебра, завершение квадрата это техника для преобразования квадратичный многочлен формы

${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}$

к форме

${ Displaystyle а (х-ч) ^ {2} + к}$

для некоторых значений час и k.

Завершение квадрата используется в

• решение квадратные уравнения,
• получение квадратичная формула,
• построение графиков квадратичные функции,
• оценка интегралы в исчислении, например Гауссовские интегралы с линейным членом в показателе степени,
• находка Преобразования Лапласа.

В математике завершение квадрата часто применяется в любых вычислениях, связанных с квадратичными многочленами.

Обзор

Фон

Формула в элементарная алгебра для вычисления квадрат из биномиальный является:

${ displaystyle (x + p) ^ {2} , = , x ^ {2} + 2px + p ^ {2}.}$

Например:

${ displaystyle { begin {alignat} {2} (x + 3) ^ {2} , & = , x ^ {2} + 6x + 9 && (p = 3) [3pt] (x-5 ) ^ {2} , & = , x ^ {2} -10x + 25 qquad && (p = -5). End {alignat}}}$

В любом идеальном квадрате коэффициент из Икс в два раза больше числа п, а постоянный срок равно п².

Базовый пример

Рассмотрим следующую квадратичную многочлен:

${ displaystyle x ^ {2} + 10x + 28.}$

Эта квадратичная функция не является идеальным квадратом, поскольку 28 не является квадратом 5:

${ displaystyle (x + 5) ^ {2} , = , x ^ {2} + 10x + 25.}$

Однако можно записать исходную квадратичную как сумму этого квадрата и константы:

${ displaystyle x ^ {2} + 10x + 28 , = , (x + 5) ^ {2} +3.}$

Это называется завершение квадрата.

Общее описание

Учитывая любые моник квадратичный

${ displaystyle x ^ {2} + bx + c,}$

можно сформировать квадрат, который имеет те же первые два члена:

${ displaystyle left (x + { tfrac {1} {2}} b right) ^ {2} , = , x ^ {2} + bx + { tfrac {1} {4}} b ^ { 2}.}$

Этот квадрат отличается от исходного квадратичного только величиной постоянного члена. Следовательно, мы можем написать

${ displaystyle x ^ {2} + bx + c , = , left (x + { tfrac {1} {2}} b right) ^ {2} + k,}$

куда ${ Displaystyle к , = , с - { гидроразрыва {Ь ^ {2}} {4}}}$. Эта операция известна как завершение квадрата.Например:

${ displaystyle { begin {alignat} {1} x ^ {2} + 6x + 11 , & = , (x + 3) ^ {2} +2 [3pt] x ^ {2} + 14x +30 , & = , (x + 7) ^ {2} -19 [3pt] x ^ {2} -2x + 7 , & = , (x-1) ^ {2} +6 . end {alignat}}}$

Немонический случай

Для квадратичного многочлена вида

${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}$

можно вычесть коэффициент а, а затем заполнить квадрат получившимся монический многочлен.

Пример:

${ displaystyle { begin {align} 3x ^ {2} + 12x + 27 & = 3 (x ^ {2} + 4x + 9) & {} = 3 left ((x + 2) ^ {2} +5 вправо) & {} = 3 (x + 2) ^ {2} +15 end {выровнено}}}$

Это позволяет нам записать любой квадратичный многочлен в виде

${ Displaystyle а (х-в) ^ {2} + к.}$

Формула

Скалярный случай

Результат завершения квадрата можно записать в виде формулы. Для общего случая:^[1]

${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c ; = ; a (xh) ^ {2} + k, quad { text {where}} quad h = - { frac {b} {2a }} quad { text {and}} quad k = c-ah ^ {2} = c - { frac {b ^ {2}} {4a}}.}$

В частности, когда а = 1:

${ displaystyle x ^ {2} + bx + c ; = ; (xh) ^ {2} + k, quad { text {где}} quad h = - { frac {b} {2} } quad { text {and}} quad k = c - { frac {b ^ {2}} {4}}.}$

Матричный корпус

Корпус матрицы выглядит очень похоже:

${ displaystyle x ^ { mathrm {T}} Ax + x ^ { mathrm {T}} b + c = (xh) ^ { mathrm {T}} A (xh) + k quad { text { где}} quad h = - { frac {1} {2}} A ^ {- 1} b quad { text {and}} quad k = c - { frac {1} {4}} б ^ { mathrm {T}} A ^ {- 1} б}$

куда ${ displaystyle A}$ должно быть симметричный.

Если ${ displaystyle A}$ несимметрично формулы для ${ displaystyle h}$ и ${ displaystyle k}$ должны быть обобщены на:

${ displaystyle h = - (A + A ^ { mathrm {T}}) ^ {- 1} b quad { text {and}} quad k = ch ^ { mathrm {T}} Ah = cb ^ { mathrm {T}} (A + A ^ { mathrm {T}}) ^ {- 1} A (A + A ^ { mathrm {T}}) ^ {- 1} b}$.

Связь с графиком

Графики квадратичных функций, сдвинутые вправо на час = 0, 5, 10 и 15.

Графики квадратичных функций, сдвинутые вверх на k = 0, 5, 10 и 15.

Графики квадратичных функций сдвинуты вверх и вправо на 0, 5, 10 и 15.

В аналитическая геометрия, график любого квадратичная функция это парабола в ху-самолет. Для квадратичного многочлена вида

${ displaystyle (x-h) ^ {2} + k quad { text {or}} quad a (x-h) ^ {2} + k}$

цифры час и k можно интерпретировать как Декартовы координаты из вершина (или же стационарная точка ) параболы. То есть, час это Икс-координата оси симметрии (т.е. ось симметрии имеет уравнение х = ч), и k это минимальное значение (или максимальное значение, если а <0) квадратичной функции.

Один из способов увидеть это - заметить, что график функции ƒ(Икс) = Икс² парабола, вершина которой находится в нуле (0, 0). Следовательно, график функции ƒ(Икс − час) = (Икс − час)² парабола, сдвинутая вправо на час вершина которого находится в (час, 0), как показано на верхнем рисунке. Напротив, график функции ƒ(Икс) + k = Икс² + k парабола, смещенная вверх на k вершина которого находится в точке (0,k), как показано на центральном рисунке. Объединение горизонтальных и вертикальных сдвигов дает ƒ(Икс − час) + k = (Икс − час)² + k парабола, сдвинутая вправо на час и вверх на k вершина которого находится в (час, k), как показано на нижнем рисунке.

Решение квадратных уравнений

Завершение квадрата может быть использовано для решения любых квадратное уровненеие. Например:

${ displaystyle x ^ {2} + 6x + 5 = 0,}$

Первым делом нужно завершить квадрат:

${ displaystyle (x + 3) ^ {2} -4 = 0.}$

Затем мы решаем квадрат члена:

${ displaystyle (x + 3) ^ {2} = 4.}$

Тогда либо

${ displaystyle x + 3 = -2 quad { text {or}} quad x + 3 = 2,}$

и поэтому

${ displaystyle x = -5 quad { text {or}} quad x = -1.}$

Это можно применить к любому квадратному уравнению. Когда Икс² имеет коэффициент, отличный от 1, первый шаг - разделить уравнение на этот коэффициент: для примера см. немонический случай ниже.

Иррациональные и сложные корни

В отличие от методов с участием факторинг уравнение, которое надежно, только если корни рациональный, завершение квадрата найдет корни квадратного уравнения, даже если эти корни иррациональный или же сложный. Например, рассмотрим уравнение

${ displaystyle x ^ {2} -10x + 18 = 0.}$

Завершение квадрата дает

${ Displaystyle (х-5) ^ {2} -7 = 0,}$

так

${ displaystyle (x-5) ^ {2} = 7.}$

Тогда либо

${ displaystyle x-5 = - { sqrt {7}} quad { text {или}} quad x-5 = { sqrt {7}},}$

Короче:

${ displaystyle x-5 = pm { sqrt {7}}.}$

так

${ displaystyle x = 5 pm { sqrt {7}}.}$

Таким же образом можно обрабатывать уравнения с комплексными корнями. Например:

${ displaystyle { begin {array} {c} x ^ {2} + 4x + 5 , = , 0 [6pt] (x + 2) ^ {2} +1 , = , 0 [6pt] (x + 2) ^ {2} , = , - 1 [6pt] x + 2 , = , pm i [6pt] x , = , - 2 pm i. end {массив}}}$

Немонический случай

Для уравнения, содержащего немоническую квадратичную, первым шагом к их решению является разделение на коэффициент при Икс². Например:

${ displaystyle { begin {array} {c} 2x ^ {2} + 7x + 6 , = , 0 [6pt] x ^ {2} + { tfrac {7} {2}} x + 3 , = , 0 [6pt] left (x + { tfrac {7} {4}} right) ^ {2} - { tfrac {1} {16}} , = , 0 [6pt] left (x + { tfrac {7} {4}} right) ^ {2} , = , { tfrac {1} {16}} [6pt] x + { tfrac {7} {4}} = { tfrac {1} {4}} quad { text {или}} quad x + { tfrac {7} {4}} = - { tfrac {1} {4 }} [6pt] x = - { tfrac {3} {2}} quad { text {или}} quad x = -2. End {array}}}$

Применение этой процедуры к общей форме квадратного уравнения приводит к квадратичная формула.

Другие приложения

Интеграция

Заполнение квадрата может использоваться для вычисления любого интеграла формы

${ displaystyle int { frac {dx} {ax ^ {2} + bx + c}}}$

используя основные интегралы

${ displaystyle int { frac {dx} {x ^ {2} -a ^ {2}}} = { frac {1} {2a}} ln left | { frac {xa} {x + a}} right | + C quad { text {and}} quad int { frac {dx} {x ^ {2} + a ^ {2}}} = { frac {1} {a }} arctan left ({ frac {x} {a}} right) + C.}$

Например, рассмотрим интеграл

${ displaystyle int { frac {dx} {x ^ {2} + 6x + 13}}.}$

Заполнение квадрата в знаменателе дает:

${ displaystyle int { frac {dx} {(x + 3) ^ {2} +4}} , = , int { frac {dx} {(x + 3) ^ {2} +2 ^ {2}}}.}$

Теперь это можно оценить, используя заменаты = Икс + 3, что дает

${ displaystyle int { frac {dx} {(x + 3) ^ {2} +4}} , = , { frac {1} {2}} arctan left ({ frac {x +3} {2}} right) + C.}$

Сложные числа

Рассмотрим выражение

${ displaystyle | z | ^ {2} -b ^ {*} z-bz ^ {*} + c,}$

куда z и б находятся сложные числа, z^* и б^* являются комплексные конъюгаты из z и бсоответственно и c это настоящий номер. Используя личность |ты|² = уу^* мы можем переписать это как

${ displaystyle | z-b | ^ {2} - | b | ^ {2} + c,}$

что явно реальное количество. Это потому что

${ displaystyle { begin {align} | zb | ^ {2} & {} = (zb) (zb) ^ {*} & {} = (zb) (z ^ {*} - b ^ {* }) & {} = zz ^ {*} - zb ^ {*} - bz ^ {*} + bb ^ {*} & {} = | z | ^ {2} -zb ^ {*} -bz ^ {*} + | b | ^ {2}. end {выравнивается}}}$

Другой пример: выражение

${ displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} + c,}$

куда а, б, c, Икс, и у настоящие числа, с а > 0 и б > 0, можно выразить через квадрат абсолютная величина комплексного числа. Определять

${ displaystyle z = { sqrt {a}} , x + i { sqrt {b}} , y.}$

потом

${ displaystyle { begin {align} | z | ^ {2} & {} = zz ^ {*} & {} = ({ sqrt {a}} , x + i { sqrt {b}) } , y) ({ sqrt {a}} , xi { sqrt {b}} , y) & {} = ax ^ {2} -i { sqrt {ab}} , xy + i { sqrt {ba}} , yx-i ^ {2} by ^ {2} & {} = ax ^ {2} + by ^ {2}, end {align}}}$

так

${ displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} + c = | z | ^ {2} + c.}$

Идемпотентная матрица

А матрица M является идемпотент когда M ² = M. Идемпотентные матрицы обобщают идемпотентные свойства 0 и 1. Завершение квадратного метода решения уравнения

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = a,}$

показывает, что некоторые идемпотентные матрицы 2 × 2 параметризуются круг в (а, б)-самолет:

Матрица ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b b & 1-a end {pmatrix}}}$ будет идемпотентным при условии ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = a,}$ который после завершения квадрата становится

${ displaystyle (a - { tfrac {1} {2}}) ^ {2} + b ^ {2} = { tfrac {1} {4}}.}$

В (а, б) -плоскость, это уравнение окружности с центром (1/2, 0) и радиусом 1/2.

Геометрическая перспектива

Рассмотрим завершение квадрата для уравнения

${ displaystyle x ^ {2} + bx = a.}$

С Икс² представляет собой площадь квадрата со стороной длины Икс, и bx представляет собой площадь прямоугольника со сторонами б и Икс, процесс завершения квадрата можно рассматривать как визуальное манипулирование прямоугольниками.

Простые попытки совместить Икс² и bx прямоугольники в квадрат большего размера приводят к отсутствию угла. Период, термин (б/2)² К каждой стороне приведенного выше уравнения добавляется как раз площадь недостающего угла, откуда и происходит термин «завершение квадрата».

Вариант техники

Как обычно учат, завершение квадрата состоит из добавления третьего члена, v ² к

${ displaystyle u ^ {2} + 2uv}$

получить квадрат. Есть также случаи, когда можно добавить средний член, либо 2УФ или −2УФ, к

${ displaystyle u ^ {2} + v ^ {2}}$

получить квадрат.

Пример: сумма положительного числа и его обратного

Написав

${ displaystyle { begin {align} x + {1 over x} & {} = left (x-2 + {1 over x} right) +2 & {} = left ({ sqrt {x}} - {1 over { sqrt {x}}} right) ^ {2} +2 end {align}}}$

покажем, что сумма положительного числа Икс и его обратная величина всегда больше или равна 2. Квадрат действительного выражения всегда больше или равен нулю, что дает указанную границу; и здесь мы получаем 2, когда Икс равен 1, в результате чего квадрат исчезает.

Пример: факторизация простого полинома четвертой степени

Рассмотрим задачу факторизации многочлена

${ displaystyle x ^ {4} +324.}$

Это

${ Displaystyle (х ^ {2}) ^ {2} + (18) ^ {2},}$

поэтому средний член равен 2 (Икс²)(18) = 36Икс². Таким образом мы получаем

${ displaystyle { begin {align} x ^ {4} +324 & {} = (x ^ {4} + 36x ^ {2} +324) -36x ^ {2} & {} = (x ^ { 2} +18) ^ {2} - (6x) ^ {2} = { text {разница в два квадрата}} & {} = (x ^ {2} + 18 + 6x) (x ^ { 2} + 18-6x) & {} = (x ^ {2} + 6x + 18) (x ^ {2} -6x + 18) end {align}}}$

(последняя строка добавлена ​​просто для того, чтобы следовать соглашению об уменьшении степени терминов).

Тот же аргумент показывает, что ${ displaystyle x ^ {4} + 4a ^ {4}}$ всегда факторизуем как

${ displaystyle x ^ {4} + 4a ^ {4} = (x ^ {2} + 2ax + 2a ^ {2}) (x ^ {2} -2ax + 2a ^ {2})}$

(Также известна как Идентификация Софи-Жермен).

Рекомендации

• Алгебра 1, Гленко, ISBN  0-07-825083-8, страницы 539–544
• Алгебра 2, саксонский, ISBN  0-939798-62-X, страницы 214–214, 241–242, 256–257, 398–401

внешняя ссылка

• «Завершение квадрата». PlanetMath.