Квадратичная функция - Quadratic function

В алгебра, а квадратичная функция, а квадратичный многочлен, а полином степени 2, или просто квадратичный, это полиномиальная функция с одной или несколькими переменными, в которых член наивысшей степени относится ко второй степени.

Квадратичный многочлен с двумя настоящий корни (переходы Икс оси) и, следовательно, нет сложный корни. Некоторые другие квадратичные многочлены имеют свои минимум выше Икс оси, и в этом случае нет реальных корней и два комплексных корня.

Например, одномерный Квадратичная функция (одной переменной) имеет вид^[1]

{ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c, quad a neq 0}

в единственной переменной Икс. В график одномерной квадратичной функции является парабола ось симметрии которого параллельна $у$ -ось, как показано справа.

Если квадратичная функция установлена равной нулю, то результатом будет квадратное уровненеие. Решения одномерного уравнения называются корни функции одной переменной.

Двумерный случай в терминах переменных Икс и у имеет форму

{ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + by ^ {2} + cxy + dx + ey + f , !}

по крайней мере с одним из а, б, в не равным нулю, и уравнение, устанавливающее эту функцию равной нулю, дает коническая секция (а круг или другой эллипс, а парабола, или гипербола ).

Квадратичная функция от трех переменных Икс, у, и z содержит исключительно термины Икс², у², z², ху, xz, yz, Икс, у, z, и константа:

{ displaystyle f (x, y, z) = ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j,}

по крайней мере с одним из коэффициенты а, б, в, г, д, или ж ненулевых членов второй степени.

В общем, может быть сколь угодно большое количество переменных, и в этом случае результирующий поверхность обнуления квадратичной функции называется квадрика, но член наивысшей степени должен иметь степень 2, например Икс², ху, yz, так далее.

Этимология

Прилагательное квадратичный исходит из латинский слово quadrātum ("квадрат "). Такой термин, как $Икс 2$ называется квадрат в алгебре, потому что это площадь квадрат с боком $Икс$ .

Терминология

Коэффициенты

В коэффициенты полинома часто считаются действительными или сложные числа, но на самом деле полином может быть определен над любым звенеть.

Степень

Используя термин «квадратичный многочлен», авторы иногда имеют в виду «имеющий степень ровно 2», а иногда «имеющий степень не более 2». Если степень меньше 2, это можно назвать "вырожденный случай ". Обычно контекст устанавливает, что из двух имеется в виду.

Иногда слово «порядок» используется в значении «степень», например полином второго порядка.

Переменные

Квадратичный многочлен может включать в себя один переменная Икс (одномерный случай) или несколько переменных, таких как Икс, у, и z (многомерный случай).

Случай одной переменной

Любой квадратичный многочлен от одной переменной может быть записан как

{ displaystyle ax ^ {2} + bx + c, , !}

где Икс переменная, а а, б, и c представляют коэффициенты. В элементарная алгебра, такие многочлены часто возникают в виде квадратное уровненеие ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ . Решения этого уравнения называются корни квадратичного многочлена и может быть найден через факторизация, завершение квадрата, построение графиков, Метод Ньютона, или с помощью квадратичная формула. Каждому квадратичному многочлену соответствует квадратичная функция, которой график это парабола.

Двумерный случай

Любой квадратичный многочлен от двух переменных можно записать как

{ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + by ^ {2} + cxy + dx + ey + f, , !}

где Икс и у переменные и а, б, c, d, е, и ж коэффициенты. Такие многочлены являются фундаментальными для изучения конические секции, которые характеризуются приравниванием выражения для ж (Икс, у) до нуля. Точно так же квадратичные многочлены с тремя или более переменными соответствуют квадрика поверхности и гиперповерхности. В линейная алгебра, квадратичные полиномы можно обобщить до понятия квадратичная форма на векторное пространство.

Формы одномерной квадратичной функции

Одномерная квадратичная функция может быть выражена в трех форматах:^[2]

${ Displaystyle е (х) = ах ^ {2} + Ьх + с , !}$ называется стандартная форма,
${ Displaystyle е (х) = а (х-г_ {1}) (х-г_ {2}) , !}$ называется факторизованная форма, где $р 1$ и $р 2$ являются корнями квадратичной функции и решениями соответствующего квадратного уравнения.
${ Displaystyle е (х) = а (х-в) ^ {2} + к , !}$ называется форма вершины, где $час$ и $k$ являются $Икс$ и $у$ координаты вершины соответственно.

Коэффициент $а$ одинаковое значение во всех трех формах. Чтобы преобразовать стандартная форма к факторизованная форма, нужно только квадратичная формула определить два корня $р 1$ и $р 2$ . Чтобы преобразовать стандартная форма к форма вершины, нужен процесс, называемый завершение квадрата. Чтобы преобразовать факторизованную форму (или форму вершины) в стандартную форму, необходимо умножить, расширить и / или распределить множители.

График функции одной переменной

{ displaystyle f (x) = ax ^ {2} | _ {a = {0.1,0.3,1,3 }} !}

{ Displaystyle е (х) = х ^ {2} + bx | _ {b = {1,2,3,4 }} !}

{ Displaystyle е (х) = х ^ {2} + bx | _ {b = {- 1, -2, -3, -4 }} !}

Независимо от формата, график одномерной квадратичной функции ${ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ это парабола (как показано справа). Эквивалентно, это график двумерного квадратного уравнения ${ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$ .

Если $а > 0$ , парабола открывается вверх.
Если $а < 0$ , парабола открывается вниз.

Коэффициент $а$ контролирует степень кривизны графика; большая величина $а$ придает графику более замкнутый (резко изогнутый) вид.

Коэффициенты $б$ и $а$ вместе управляют положением оси симметрии параболы (также $Икс$ -координата вершины и час параметр в форме вершины), который находится на

{ displaystyle x = - { frac {b} {2a}}.}

Коэффициент $c$ контролирует высоту параболы; точнее, это высота параболы, где она пересекает $у$ -ось.

Вершина

В вершина параболы - это место, где она вращается; следовательно, его также называют поворотный момент. Если квадратичная функция имеет форму вершины, вершина $(час, k)$ . Используя метод завершения квадрата, можно превратить стандартную форму

{ Displaystyle е (х) = ах ^ {2} + Ьх + с , !}

в

{ displaystyle { begin {align} f (x) & = ax ^ {2} + bx + c & = a (xh) ^ {2} + k & = a left (x - { frac {-b} {2a}} right) ^ {2} + left (c - { frac {b ^ {2}} {4a}} right), конец {выровнено}}}

так что вершина, $(час, k)$ , параболы стандартного вида есть

{ displaystyle left (- { frac {b} {2a}}, c - { frac {b ^ {2}} {4a}} right).}

Если квадратичная функция факторизована в виде

{ Displaystyle е (х) = а (х-г_ {1}) (х-г_ {2}) , !}

среднее значение двух корней, т. е.

{ displaystyle { frac {r_ {1} + r_ {2}} {2}} , !}

это $Икс$ -координата вершины, а значит, и вершины $(час, k)$ является

{ displaystyle left ({ frac {r_ {1} + r_ {2}} {2}}, f left ({ frac {r_ {1} + r_ {2}} {2}} right) верно).!}

Вершина также является точкой максимума, если $а < 0$ , или точка минимума, если $а > 0$ .

Вертикальная линия

{ displaystyle x = h = - { frac {b} {2a}}}

который проходит через вершину, также является ось симметрии параболы.

Максимальные и минимальные баллы

С помощью исчисление, вершина точки, являющейся максимум или минимум функции, можно получить, найдя корни производная:

{ Displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c quad Rightarrow quad f '(x) = 2ax + b , !.}

$Икс$ это корень $ж'(Икс)$ если $ж'(Икс) = 0$ в результате чего

{ displaystyle x = - { frac {b} {2a}}}

с соответствующим значением функции

{ displaystyle f (x) = a left (- { frac {b} {2a}} right) ^ {2} + b left (- { frac {b} {2a}} right) + c = c - { frac {b ^ {2}} {4a}} , !,}

так что снова координаты точки вершины, $(час, k)$ , можно выразить как

{ displaystyle left (- { frac {b} {2a}}, c - { frac {b ^ {2}} {4a}} right).}

Корни одномерной функции

График

у = топор 2 + bx + c

, где

а

и дискриминант

б 2 - 4 ac

положительные, с

Корни и $у$ -перехват в красный
Вершина и ось симметрии в синий
Фокус и директриса в розовый

Визуализация сложных корней

у = топор 2 + bx + c

: парабола поворачивается на 180 ° вокруг своей вершины (оранжевый). это

Икс

-перехваты поворачиваются на 90 ° вокруг своей средней точки, а декартова плоскость интерпретируется как комплексная плоскость (зеленый).^[3]

Точные корни

В корни (или же нули), $р 1$ и $р 2$ , одномерной квадратичной функции

{ displaystyle { begin {align} f (x) & = ax ^ {2} + bx + c & = a (x-r_ {1}) (x-r_ {2}), конец {выровнено}}}

ценности $Икс$ для которого $ж (Икс) = 0$ .

Когда коэффициенты $а$ , $б$ , и $c$ , находятся настоящий или сложный, корни

{ displaystyle r_ {1} = { frac {-b - { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}},}

{ displaystyle r_ {2} = { frac {-b + { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}

Верхняя граница величины корней

В модуль корней квадратичной ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c ,}$ не может быть больше, чем ${ displaystyle { frac { max (| a |, | b |, | c |)} {| a |}} times phi, ,}$ где ${ displaystyle phi}$ это Золотое сечение ${ displaystyle { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}}.}$ ^[4]^{[важность? ]}

Квадратный корень из одномерной квадратичной функции

В квадратный корень одномерной квадратичной функции приводит к одному из четырех конических сечений, почти всегда либо к эллипс или к гипербола.

Если ${ Displaystyle а> 0 , !}$ тогда уравнение ${ displaystyle y = pm { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}$ описывает гиперболу, что можно увидеть, возведя в квадрат обе стороны. Направления осей гиперболы определяются ордината из минимум точка соответствующей параболы ${ displaystyle y_ {p} = ax ^ {2} + bx + c , !}$ . Если ордината отрицательная, тогда большая ось гиперболы (через ее вершины) горизонтальна, а если ордината положительна, то большая ось гиперболы вертикальна.

Если ${ Displaystyle а <0 , !}$ тогда уравнение ${ displaystyle y = pm { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}$ описывает либо круг, либо другой эллипс, либо вообще ничего. Если ордината максимум точка соответствующей параболы ${ displaystyle y_ {p} = ax ^ {2} + bx + c , !}$ положительный, то его квадратный корень описывает эллипс, но если ордината отрицательна, то он описывает пустой геометрическое место точек.

Итерация

К итерация функции ${ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ , можно многократно применять функцию, используя выходные данные одной итерации в качестве входных данных для следующей.

Не всегда можно вывести аналитическую форму ${ Displaystyle е ^ {(п)} (х)}$ , что означает п^th повторение ${ displaystyle f (x)}$ . (Верхний индекс может быть расширен до отрицательных чисел, ссылаясь на итерацию обратного ${ displaystyle f (x)}$ если существует обратное.) Но есть некоторые аналитически послушный случаи.

Например, для итерационного уравнения

{ Displaystyle е (х) = а (х-с) ^ {2} + с}

надо

{ Displaystyle е (х) = а (х-с) ^ {2} + с = ч ^ {(- 1)} (г (ч (х))), , !}

где

{ Displaystyle г (х) = топор ^ {2} , !}

и

{ Displaystyle ч (х) = х-с. , !}

Итак, по индукции

{ Displaystyle е ^ {(п)} (х) = ч ^ {(- 1)} (г ^ {(п)} (ч (х))) , !}

можно получить, где ${ Displaystyle г ^ {(п)} (х)}$ можно легко вычислить как

{ displaystyle g ^ {(n)} (x) = a ^ {2 ^ {n} -1} x ^ {2 ^ {n}}. , !}

Наконец, у нас есть

{ displaystyle f ^ {(n)} (x) = a ^ {2 ^ {n} -1} (x-c) ^ {2 ^ {n}} + c , !}

как решение.

Видеть Топологическая сопряженность для более подробной информации об отношениях между ж и грамм. И увидеть Комплексный квадратичный многочлен для хаотического поведения в общей итерации.

В логистическая карта

{ displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n}), quad 0 leq x_ {0} <1}

с параметром 2 <р<4 можно решить в некоторых случаях, один из которых хаотичный и одного из которых нет. В хаотичном случае р= 4 решение

{ displaystyle x_ {n} = sin ^ {2} (2 ^ {n} theta pi)}

где параметр начального состояния ${ displaystyle theta}$ дан кем-то ${ displaystyle theta = { tfrac {1} { pi}} sin ^ {- 1} (x_ {0} ^ {1/2})}$ . Для рационального ${ displaystyle theta}$ , после конечного числа итераций ${ displaystyle x_ {n}}$ отображается в периодическую последовательность. Но почти все ${ displaystyle theta}$ иррациональны, а для иррациональных ${ displaystyle theta}$ , ${ displaystyle x_ {n}}$ никогда не повторяется - это непериодично и проявляется чувствительная зависимость от начальных условий, поэтому говорят, что это хаотично.

Решение логистической карты при р= 2 - это

${ displaystyle x_ {n} = { frac {1} {2}} - { frac {1} {2}} (1-2x_ {0}) ^ {2 ^ {n}}}$

за ${ displaystyle x_ {0} in [0,1)}$ . С ${ displaystyle (1-2x_ {0}) in (-1,1)}$ для любого значения ${ displaystyle x_ {0}}$ кроме неустойчивой фиксированной точки 0, член ${ displaystyle (1-2x_ {0}) ^ {2 ^ {n}}}$ переходит в 0 как п уходит в бесконечность, поэтому ${ displaystyle x_ {n}}$ переходит в устойчивую фиксированную точку ${ displaystyle { tfrac {1} {2}}.}$

Двумерная (две переменные) квадратичная функция

А двумерная квадратичная функция является многочленом второй степени вида

{ displaystyle f (x, y) = Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cx + Dy + Exy + F , !}

где А, Б, В, D, и E фиксируются коэффициенты и F - постоянный член. Такая функция описывает квадратичную поверхность. Настройка ${ Displaystyle е (х, у) , !}$ равное нулю описывает пересечение поверхности с плоскостью ${ Displaystyle г = 0 , !}$ , что является локус точек, эквивалентных коническая секция.

Минимум / максимум

Если ${ Displaystyle 4AB-E ^ {2} <0 ,}$ функция не имеет максимума или минимума; его график образует гиперболический параболоид.

Если ${ displaystyle 4AB-E ^ {2}> 0 ,}$ функция имеет минимум, если А> 0, и максимум, если А<0; его график образует эллиптический параболоид. В этом случае минимум или максимум приходится на ${ Displaystyle (х_ {м}, у_ {м}) ,}$ куда:

{ displaystyle x_ {m} = - { frac {2BC-DE} {4AB-E ^ {2}}},}

{ displaystyle y_ {m} = - { frac {2AD-CE} {4AB-E ^ {2}}}.}

Если ${ Displaystyle 4AB-E ^ {2} = 0 ,}$ и ${ Displaystyle DE-2CB = 2AD-CE neq 0 ,}$ функция не имеет максимума или минимума; его график образует параболический цилиндр.

Если ${ Displaystyle 4AB-E ^ {2} = 0 ,}$ и ${ Displaystyle DE-2CB = 2AD-CE = 0 ,}$ функция достигает максимума / минимума на линии - минимума, если А> 0 и максимум, если А<0; его график образует параболический цилиндр.

Смотрите также

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Квадратичный». MathWorld.

[wolfram-1] «Квадратное уравнение - от Wolfram MathWorld». Получено 6 января, 2013.

[2] Хьюз-Халлетт, Дебора; Коннали, Эрик; Маккаллум, Уильям Г. (2007), Колледж алгебры, John Wiley & Sons Inc., стр. 205, ISBN 9780471271758, Результат поиска

[3] «Сложные корни стали видимыми - забавные математические факты». Получено 1 октября 2016.

[4] Лорд, Ник, "Золотые оценки корней квадратных уравнений", Математический вестник 91, ноябрь 2007 г., стр. 549.

[1]

[2]

[3]

[4]

Полиномы и полиномиальные функции
К степень	Нулевой многочлен (неопределенная степень или -1 или -∞) Постоянная функция (0) Линейная функция (1) Линейное уравнение Квадратичная функция (2) Квадратное уровненеие Кубическая функция (3) Кубическое уравнение Функция четвертого порядка (4) Уравнение четвертой степени Квинтик функция (5) Шестическое уравнение (6) Септическое уравнение (7)
По свойствам	Одномерный Двумерный Многомерный Моном Биномиальный Трехчлен Неприводимый Без квадратов Однородный Квазиоднородный
Инструменты и алгоритмы	Факторизация Наибольший общий делитель Разделение Метод оценки Хорнера Результирующий Дискриминантный Основа Грёбнера