Параболоид - Википедия - Paraboloid

Параболоид революции

В геометрия, а параболоид это квадратичная поверхность у этого есть ровно один ось симметрии и нет центр симметрии. Термин «параболоид» происходит от парабола, который относится к коническая секция обладающий аналогичным свойством симметрии.

Каждый плоское сечение параболоида плоскостью параллельно к оси симметрии - парабола. Параболоид гиперболический если любое другое плоское сечение либо гипербола, либо две пересекающиеся линии (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид эллиптический если любое другое непустое сечение плоскости является либо эллипс, либо отдельная точка (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид бывает эллиптическим или гиперболическим.

Эквивалентно параболоид может быть определен как квадратичная поверхность, которая не является цилиндр, и имеет неявное уравнение часть второй степени может быть учтена сложные числа на два разных линейных фактора. Параболоид является гиперболическим, если факторы действительны; эллиптический, если множители комплексно сопряженный.

Эллиптический параболоид имеет форму овальной чашки и имеет максимум или точка минимума, когда его ось вертикальна. В подходящем система координат с тремя осями $Икс$ , $у$ , и $z$ , его можно представить уравнением^[1]^:892

{ displaystyle z = { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}.}

куда $а$ и $б$ константы, которые определяют уровень кривизны в $xz$ и $yz$ самолеты соответственно. В этом положении эллиптический параболоид открывается вверх.

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид (не путать с гиперболоид ) это двояковыпуклая поверхность в форме седло. В подходящей системе координат гиперболический параболоид можно представить уравнением^[2]^[3]^:896

{ displaystyle z = { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}.}

В этом положении гиперболический параболоид открывается вниз по $Икс$ -оси и вверх по $у$ -ось (то есть парабола в плоскости $Икс = 0$ открывается вверх и парабола в плоскости $у = 0$ открывается вниз).

Любой параболоид (эллиптический или гиперболический) является поверхность перевода, так как он может быть порожден движущейся параболой, направленной второй параболой.

Свойства и приложения

Эллиптический параболоид

Многоугольная сетка кругового параболоида

Круговой параболоид

В подходящем Декартова система координат, эллиптический параболоид имеет уравнение

{ displaystyle z = { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}.}

Если $а = б$ , эллиптический параболоид - это круговой параболоид или же параболоид вращения. Это поверхность вращения полученный путем вращения парабола вокруг своей оси.

Очевидно, круговой параболоид содержит окружности. Это верно и в общем случае (см. Круговой разрез ).

С точки зрения проективная геометрия, эллиптический параболоид - это эллипсоид то есть касательная к самолет в бесконечности.

Плоские секции

Плоские сечения эллиптического параболоида могут быть:

а парабола, если плоскость параллельна оси,
а точка, если самолет касательная плоскость.
ан эллипс или же пустой, иначе.

Параболический отражатель

На оси кругового параболоида есть точка, называемая фокус (или же координационный центр), так что, если параболоид является зеркалом, свет (или другие волны) от точечного источника в фокусе отражается в параллельный луч, параллельный оси параболоида. Это работает и наоборот: параллельный луч света, параллельный оси параболоида, концентрируется в фокусной точке. Для доказательства см. Парабола § Доказательство отражающего свойства.

Поэтому форма кругового параболоида широко используется в астрономия для параболических отражателей и параболических антенн.

Поверхность вращающейся жидкости также представляет собой круглый параболоид. Это используется в жидкостные зеркальные телескопы и в изготовлении твердых зеркал телескопов (см. вращающаяся печь ).

Параллельные лучи, попадающие в круглое параболоидальное зеркало, отражаются к фокусной точке, $F$ , или же наоборот
Параболический отражатель
Вращающаяся вода в стакане

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид с содержащимися в нем прямыми

Pringles жареные закуски имеют форму гиперболического параболоида.

Гиперболический параболоид - это двояковыпуклая поверхность: он содержит два семейства взаимно косые линии. Линии в каждом семействе параллельны общей плоскости, но не друг другу. Следовательно, гиперболический параболоид - это коноид.

Эти свойства характеризуют гиперболические параболоиды и используются в одном из старейших определений гиперболических параболоидов: гиперболический параболоид - это поверхность, которая может быть образована движущейся линией, параллельной фиксированной плоскости и пересекающей два фиксированных косые линии.

Это свойство упрощает изготовление гиперболического параболоида из различных материалов и для различных целей, от бетонных крыш до закусок. Особенно, Pringles жареные закуски напоминают усеченный гиперболический параболоид.^[4]

Гиперболический параболоид - это поверхность седла, поскольку его Кривизна Гаусса отрицателен в каждой точке. Поэтому, хотя это линейчатая поверхность, она не развивающийся.

С точки зрения проективная геометрия, гиперболический параболоид есть однополостный гиперболоид то есть касательная к самолет в бесконечности.

Гиперболический параболоид уравнения ${ displaystyle z = axy}$ или же ${ displaystyle z = { tfrac {a} {2}} (x ^ {2} -y ^ {2})}$ (это тоже самое вплоть до а вращение осей ) можно назвать прямоугольный гиперболический параболоид, по аналогии с прямоугольные гиперболы.

Плоские секции

Гиперболический параболоид с гиперболами и параболами

Плоское сечение гиперболического параболоида с уравнением

{ displaystyle z = { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}}

возможно

а линия, если плоскость параллельна $z$ -оси и имеет уравнение вида ${ displaystyle bx pm ay + b = 0}$ ,
а парабола, если плоскость параллельна $z$ - ось, а сечение не является линией,
пара пересекающиеся линии, если самолет касательная плоскость,
а гипербола, иначе.

Примеры в архитектуре

Собор Святой Марии, Токио, Япония (1964)
Собор Успения Пресвятой Богородицы, Сан-Франциско, Калифорния, США (1971)
Saddledome в Калгари, Альберта, Канада (1983)
L'Oceanogràfic в Валенсии, Испания (2003)
Лондонский Велопарк, Англия (2011)

Железнодорожная станция Варшава-Охота, пример структуры гиперболического параболоида
Поверхность, изображающая гиперболический параболоид
Restaurante Los Manantiales, Сочимилько, Мексика
Гиперболические параболоидные тонкостенные кровли на L'Oceanogràfic, Валенсия, Испания (снято в 2019 г.)

Цилиндр между карандашами эллиптических и гиперболических параболоидов

эллиптический параболоид, параболический цилиндр, гиперболический параболоид

В карандаш эллиптических параболоидов

{ displaystyle z = x ^ {2} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}, b> 0,}

и пучок гиперболических параболоидов

{ displaystyle z = x ^ {2} - { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}, b> 0,}

подходить к той же поверхности

{ Displaystyle г = х ^ {2}}

за ${ displaystyle b rightarrow infty}$ , который является параболический цилиндр (см. изображение).

Кривизна

Эллиптический параболоид, параметризованный просто как

{ displaystyle { vec { sigma}} (u, v) = left (u, v, { frac {u ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {v ^ { 2}} {b ^ {2}}} right)}

имеет Гауссова кривизна

{ displaystyle K (u, v) = { frac {4} {a ^ {2} b ^ {2} left (1 + { frac {4u ^ {2}} {a ^ {4}}}) + { frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} right) ^ {2}}}}

и средняя кривизна

{ Displaystyle H (u, v) = { frac {a ^ {2} + b ^ {2} + { frac {4u ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {4v ^ {2}} {b ^ {2}}}} {a ^ {2} b ^ {2} { sqrt { left (1 + { frac {4u ^ {2}} {a ^ {4}) }} + { frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} right) ^ {3}}}}}}

которые всегда положительны, имеют максимум в начале координат, становятся меньше по мере того, как точка на поверхности удаляется от начала координат, и асимптотически стремятся к нулю, когда указанная точка бесконечно удаляется от начала координат.

Гиперболический параболоид,^[2] при параметризации как

{ displaystyle { vec { sigma}} (u, v) = left (u, v, { frac {u ^ {2}} {a ^ {2}}} - { frac {v ^ { 2}} {b ^ {2}}} right)}

имеет гауссову кривизну

{ displaystyle K (u, v) = { frac {-4} {a ^ {2} b ^ {2} left (1 + { frac {4u ^ {2}} {a ^ {4}}) } + { frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} right) ^ {2}}}}

и средняя кривизна

{ displaystyle H (u, v) = { frac {-a ^ {2} + b ^ {2} - { frac {4u ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac { 4v ^ {2}} {b ^ {2}}}} {a ^ {2} b ^ {2} { sqrt { left (1 + { frac {4u ^ {2}} {a ^ {4 }}} + { frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} right) ^ {3}}}}}.}.}

Геометрическое представление таблицы умножения

Если гиперболический параболоид

{ displaystyle z = { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}}

поворачивается на угол $.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} π / 4$ в $+ z$ направление (согласно правило правой руки ), результатом будет поверхность

{ displaystyle z = left ({ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {2}} right) left ({ frac {1} {a ^ {2}}} - { frac {1} {b ^ {2}}} right) + xy left ({ frac {1} {a ^ {2}}} + { frac {1} {b ^ {2}}} верно)}

и если $а = б$ тогда это упрощается до

{ displaystyle z = { frac {2xy} {a ^ {2}}}}

.

Наконец, позволяя $а = \sqrt 2$ , мы видим, что гиперболический параболоид

{ displaystyle z = { frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {2}}.}

конгруэнтно поверхности

{ displaystyle z = xy}

которое можно рассматривать как геометрическое представление (трехмерное номограмма как бы) Таблица умножения.

Два параболоидальных $ℝ 2 \to ℝ$ функции

{ displaystyle z_ {1} (x, y) = { frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {2}}}

и

{ Displaystyle Z_ {2} (х, у) = ху}

находятся гармонические конъюгаты, и вместе образуют аналитическая функция

{ displaystyle f (z) = { frac {z ^ {2}} {2}} = f (x + yi) = z_ {1} (x, y) + iz_ {2} (x, y)}

какой аналитическое продолжение из $ℝ \to ℝ$ параболическая функция $ж (Икс) = Икс 2 / 2$ .

Размеры параболоидальной тарелки

Размеры симметричной параболоидальной тарелки связаны уравнением

{ displaystyle 4FD = R ^ {2},}

куда $F$ фокусное расстояние, $D$ - глубина тарелки (измеряется по оси симметрии от вершины до плоскости обода), а $р$ - радиус обода. Они все должны быть в одном единица длины. Если известны две из этих трех длин, это уравнение можно использовать для расчета третьей.

Для определения диаметра тарелки нужен более сложный расчет. измеряется по его поверхности. Иногда его называют «линейным диаметром», и он равен диаметру плоского круглого листа материала, обычно металла, который имеет правильный размер, который нужно разрезать и согнуть для изготовления блюда. При расчетах полезны два промежуточных результата: $п = 2 F$ (или эквивалент: $п = р 2 / 2 D$ ) и $Q = \sqrt п 2 + р 2$ , куда $F$ , $D$ , и $р$ определены, как указано выше. Диаметр тарелки, измеренный по поверхности, затем определяется как

{ displaystyle { frac {RQ} {P}} + P ln left ({ frac {R + Q} {P}} right),}

куда $пер Икс$ означает натуральный логарифм из $Икс$ , т.е. его логарифм по основанию $е$ .

Объем чашки, количество жидкости, которое она могла бы удерживать, если бы край был горизонтальным, а вершина находилась внизу (например, емкость параболоидального вок ), дан кем-то

{ displaystyle { frac { pi} {2}} R ^ {2} D,}

где символы определены, как указано выше. Это можно сравнить с формулами для объемов цилиндр ( $π р 2 D$ ), а полушарие ( $2π / 3 р 2 D$ , куда $D = р$ ), а конус ( $π / 3 р 2 D$ ). $π р 2$ - это площадь апертуры тарелки, площадь, ограниченная ободком, которая пропорциональна количеству солнечного света, которое может уловить отражающая тарелка. Площадь поверхности параболической тарелки можно найти, используя формулу площади для поверхность вращения который дает

{ displaystyle A = { frac { pi R left ({ sqrt {(R ^ {2} + 4D ^ {2}) ^ {3}}} - R ^ {3} right)} {6D ^ {2}}}.}

Смотрите также

Эллипсоид - Квадрическая поверхность, похожая на деформированную сферу
Гиперболоид - Неограниченная квадратичная поверхность
Параболический динамик
Параболический отражатель - Отражатель в форме параболоида

Параболоид - Википедия - Paraboloid

Содержание

Свойства и приложения

Эллиптический параболоид

Параболический отражатель

Гиперболический параболоид

Цилиндр между карандашами эллиптических и гиперболических параболоидов

Кривизна

Геометрическое представление таблицы умножения

Размеры параболоидальной тарелки

Смотрите также

Рекомендации