Гауссова кривизна - Gaussian curvature

Слева направо: поверхность отрицательной гауссовой кривизны (гиперболоид ) поверхность нулевой гауссовой кривизны (цилиндр ) и поверхность положительной гауссовой кривизны (сфера ).

Некоторые точки на торе имеют положительную кривизну, некоторые - отрицательную, а некоторые - нулевую гауссову кривизну.

В дифференциальная геометрия, то Гауссова кривизна или же Кривизна Гаусса $Κ$ из поверхность в какой-то момент это продукт основные кривизны, $κ 1$ и $κ 2$ , в данной точке:

{ displaystyle K = kappa _ {1} kappa _ {2}.}

Например, сфера радиуса $р$ имеет гауссову кривизну $1 / р 2$ везде, а плоская плоскость и цилиндр всюду имеют нулевую гауссову кривизну. Гауссова кривизна также может быть отрицательной, как и в случае гиперболоид или внутри тор.

Гауссова кривизна - это внутренний Мера кривизна, в зависимости только от расстояний, которые измеряются на поверхности, а не от того, как это изометрически встроенный в евклидовом пространстве. Это содержание Теорема эгрегиум.

Гауссова кривизна названа в честь Карл Фридрих Гаусс, опубликовавший Теорема эгрегиум в 1827 г.

Неформальное определение

Поверхность седла с нормальными плоскостями в направлениях главных кривизны

В любой точке поверхности мы можем найти нормальный вектор то есть под прямым углом к поверхности; плоскости, содержащие вектор нормали, называются нормальные самолеты. Пересечение нормальной плоскости и поверхности образует кривую, называемую нормальный раздел а кривизна этой кривой равна нормальная кривизна. Для большинства точек на большинстве поверхностей разные нормальные сечения будут иметь разную кривизну; их максимальное и минимальное значения называются основные кривизны назовите это $κ 1$ , $κ 2$ . В Гауссова кривизна является произведением двух главных кривизны $Κ = κ 1 κ 2$ .

Знак гауссовой кривизны можно использовать для характеристики поверхности.

Если обе основные кривизны одного знака: $κ 1 κ 2 > 0$ , то гауссова кривизна положительна и поверхность называется эллиптической. В таких точках поверхность будет иметь куполообразную форму, локально лежащую по одну сторону от своей касательной плоскости. Знаки всех секционных изгибов будут одинаковыми.
Если главные искривления имеют разные знаки: $κ 1 κ 2 < 0$ , то гауссова кривизна отрицательна и поверхность называется гиперболической или точка перевала. В таких местах поверхность будет иметь форму седла. Поскольку одна основная кривизна отрицательна, другая положительна, а нормальная кривизна непрерывно изменяется, если вы поворачиваете плоскость, ортогональную к поверхности, вокруг нормали к поверхности в двух направлениях, нормальная кривизна будет равна нулю, давая асимптотические кривые для этой точки.
Если одна из главных кривизны равна нулю: $κ 1 κ 2 = 0$ , гауссова кривизна равна нулю, и говорят, что поверхность имеет параболическую точку.

Большинство поверхностей будут содержать области положительной гауссовой кривизны (эллиптические точки) и области отрицательной гауссовой кривизны, разделенные кривой точек с нулевой гауссовой кривизной, называемой параболическая линия.

Отношение к геометрии

Когда поверхность имеет постоянную нулевую гауссову кривизну, то это разворачивающаяся поверхность а геометрия поверхности Евклидова геометрия.

Когда поверхность имеет постоянную положительную гауссову кривизну, то это сфера а геометрия поверхности сферическая геометрия.

Когда поверхность имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну, то это псевдосферическая поверхность а геометрия поверхности гиперболическая геометрия.

Связь с основными кривизнами

Два основные кривизны в данной точке поверхность являются собственные значения из оператор формы в точку. Они измеряют, как поверхность изгибается на разную величину в разных направлениях в этой точке. Представим поверхность теорема о неявной функции как график функции, $ж$ , двух переменных таким образом, чтобы точка $п$ критическая точка, то есть градиент $ж$ обращается в нуль (этого всегда можно добиться подходящим жестким движением). Тогда гауссова кривизна поверхности при $п$ является определителем Матрица Гессе из $ж$ (являясь произведением собственных значений гессиана). (Напомним, что гессиан - это матрица вторых производных 2 × 2.) Это определение позволяет сразу уловить различие между чашкой / крышкой и седловой точкой.

Альтернативные определения

Это также дается

{ Displaystyle К = { гидроразрыва {{ bigl langle} ( nabla _ {2} nabla _ {1} - nabla _ {1} nabla _ {2}) mathbf {e} _ {1 }, mathbf {e} _ {2} { bigr rangle}} { det g}},}

куда $\nabla я = \nabla е я$ это ковариантная производная и $грамм$ это метрический тензор.

В какой-то момент $п$ на обычной поверхности в $р 3$ , гауссова кривизна также определяется выражением

{ Displaystyle К ( mathbf {p}) = Det S ( mathbf {p}),}

куда $S$ это оператор формы.

Полезная формула для гауссовой кривизны: Уравнение Лиувилля в терминах лапласиана в изотермические координаты.

Полная кривизна

Сумма углов треугольника на поверхности отрицательной кривизны меньше, чем у плоского треугольника.

В поверхностный интеграл гауссовой кривизны над некоторой областью поверхности называется полная кривизна. Полная кривизна геодезический треугольник равняется отклонению суммы его углов от $π$ . Сумма углов треугольника на поверхности положительной кривизны будет больше $π$ , а сумма углов треугольника на поверхности отрицательной кривизны будет меньше $π$ . На поверхности нулевой кривизны, например Евклидова плоскость, сумма углов будет точно $π$ радианы.

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {3} theta _ {i} = pi + iint _ {T} K , dA.}

Более общий результат - Теорема Гаусса – Бонне.

Важные теоремы

Теорема эгрегиум

Гаусса Теорема эгрегиум (Латинское: «замечательная теорема») утверждает, что гауссова кривизна поверхности может быть определена по измерениям длины самой поверхности. Фактически, его можно найти, если полностью знать первая фундаментальная форма и выражается через первую фундаментальную форму и ее частные производные первого и второго порядка. Эквивалентно детерминант из вторая основная форма поверхности в $р 3$ можно так выразиться. «Замечательная» и удивительная особенность этой теоремы состоит в том, что хотя определение гауссовой кривизны поверхности $S$ в $р 3$ конечно зависит от того, как поверхность расположена в пространстве, конечный результат, сама гауссова кривизна, определяется внутренняя метрика поверхности без дальнейших ссылок на окружающее пространство: это внутренний инвариантный. В частности, гауссова кривизна инвариантна относительно изометрический деформации поверхности.

В современном дифференциальная геометрия, "поверхность", рассматриваемая абстрактно, представляет собой двумерное дифференцируемое многообразие. Чтобы связать эту точку зрения с классическая теория поверхностей, такая абстрактная поверхность встроенный в $р 3$ и наделен Риманова метрика дается первой фундаментальной формой. Предположим, что образ вложения - это поверхность $S$ в $р 3$ . А локальная изометрия это диффеоморфизм $ж : U \to V$ между открытыми регионами $р 3$ чье ограничение на $S \cap U$ является изометрией своего образа. Теорема эгрегиум затем формулируется следующим образом:

Гауссова кривизна вложенной гладкой поверхности в $р 3$ инвариантен относительно локальных изометрий.

Например, гауссова кривизна цилиндрический трубка нулевая, такая же, как и у "развернутой" трубки (которая плоская).^[1]^{[страница нужна ]} С другой стороны, поскольку сфера радиуса $р$ имеет постоянную положительную кривизну $р -2$ а плоская плоскость имеет постоянную кривизну 0, эти две поверхности не изометричны, даже локально. Таким образом, любое плоское изображение даже небольшой части сферы должно искажать расстояния. Следовательно, нет картографическая проекция идеально.

Теорема Гаусса – Бонне

Теорема Гаусса – Бонне связывает полную кривизну поверхности с ее Эйлерова характеристика и обеспечивает важную связь между локальными геометрическими свойствами и глобальными топологическими свойствами.

Поверхности постоянной кривизны

Minding теорема (1839) утверждает, что все поверхности с одинаковой постоянной кривизной $K$ локально изометричны. Следствием теоремы Миндинга является то, что любую поверхность, кривизна которой тождественно равна нулю, можно построить путем изгибания некоторой плоской области. Такие поверхности называются складывающиеся поверхности. Minding также поднял вопрос о том, закрытая поверхность с постоянной положительной кривизной обязательно жесткий.
Либманн теорема (1900) ответил на вопрос Миндинга. Единственный регулярный (класса $C 2$ ) закрытые поверхности в $р 3$ с постоянной положительной гауссовой кривизной сферы.^[2] Если сфера деформируется, она не остается сферой, что доказывает, что сфера жесткая. Стандартное доказательство использует Лемма гильберта это не-пуповина точки крайней главной кривизны имеют неположительную гауссову кривизну.^[3]
Теорема гильберта (1901) утверждает, что не существует полного аналитического (класс $C ω$ ) регулярная поверхность в $р 3$ постоянной отрицательной гауссовой кривизны. На самом деле заключение справедливо и для поверхностей класса $C 2$ погруженный в $р 3$ , но ломается на $C 1$ -поверхности. В псевдосфера имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну, за исключением ее сингулярной куспид.^[4]

Альтернативные формулы

Гауссова кривизна поверхности в $р 3$ можно выразить как отношение детерминанты из второй и первый основные формы $II$ и $я$ :

{ Displaystyle К = { гидроразрыва { det ( mathrm {I ! I})} { det ( mathrm {I})}} = { frac {LN-M ^ {2}} {EG- F ^ {2}}}.}

В Формула Бриоски дает гауссову кривизну исключительно в терминах первой фундаментальной формы:

{ displaystyle K = { frac {{ begin {vmatrix} - { frac {1} {2}} E_ {vv} + F_ {uv} - { frac {1} {2}} G_ {uu} & { frac {1} {2}} E_ {u} & F_ {u} - { frac {1} {2}} E_ {v} F_ {v} - { frac {1} {2} } G_ {u} & E & F { frac {1} {2}} G_ {v} & F & G end {vmatrix}} - { begin {vmatrix} 0 & { frac {1} {2}} E_ {v } & { frac {1} {2}} G_ {u} { frac {1} {2}} E_ {v} & E & F { frac {1} {2}} G_ {u} & F & G end {vmatrix}}} { left (EG-F ^ {2} right) ^ {2}}}}

Для ортогональный параметризация ( $F = 0$ ), Кривизна по Гауссу равна:

{ displaystyle K = - { frac {1} {2 { sqrt {EG}}}} left ({ frac { partial} { partial u}} { frac {G_ {u}} { sqrt {EG}}} + { frac { partial} { partial v}} { frac {E_ {v}} { sqrt {EG}}} right).}

Для поверхности, описываемой как график функции $z = F (Икс, у)$ , Кривизна по Гауссу равна:^{[нужна цитата ]}

{ displaystyle K = { frac {F_ {xx} cdot F_ {yy} -F_ {xy} ^ {2}} { left (1 + F_ {x} ^ {2} + F_ {y} ^ { 2} right) ^ {2}}}}

Для неявно определенной поверхности $F (Икс, у, z) = 0$ , гауссова кривизна может быть выражена через градиент $\nabla F$ и Матрица Гессе $ЧАС (F)$ :^[5]^[6]

{ displaystyle K = - { frac { begin {vmatrix} H (F) & nabla F ^ { mathsf {T}} nabla F & 0 end {vmatrix}} {| nabla F | ^ { 4}}} = - { frac { begin {vmatrix} F_ {xx} & F_ {xy} & F_ {xz} & F_ {x} F_ {xy} & F_ {yy} & F_ {yz} & F_ {y} F_ {xz} & F_ {yz} & F_ {zz} & F_ {z} F_ {x} & F_ {y} & F_ {z} & 0 end {vmatrix}} {| nabla F | ^ {4} }}}

Для поверхности с метрикой, конформной евклидовой, поэтому $F = 0$ и $E = грамм = е σ$ , кривизна Гаусса определяется выражением ( $Δ$ быть обычным Оператор Лапласа ):

{ displaystyle K = - { frac {1} {2e ^ { sigma}}} Delta sigma.}

Гауссова кривизна - это предельная разница между длина окружности геодезической окружности и круг в плоскости:^[7]

{ displaystyle K = lim _ {r to 0 ^ {+}} 3 { frac {2 pi r-C (r)} { pi r ^ {3}}}}

Гауссова кривизна - это предельная разница между площадь геодезического диска и диск в плоскости:^[7]

{ displaystyle K = lim _ {r to 0 ^ {+}} 12 { frac { pi r ^ {2} -A (r)} { pi r ^ {4}}}}

Гауссова кривизна может быть выражена с помощью Символы Кристоффеля:^[8]

{ displaystyle K = - { frac {1} {E}} left ({ frac { partial} { partial u}} Gamma _ {12} ^ {2} - { frac { partial} { partial v}} Gamma _ {11} ^ {2} + Gamma _ {12} ^ {1} Gamma _ {11} ^ {2} - Gamma _ {11} ^ {1} Gamma _ {12} ^ {2} + Gamma _ {12} ^ {2} Gamma _ {12} ^ {2} - Gamma _ {11} ^ {2} Gamma _ {22} ^ {2} верно)}

Смотрите также

Книги

Гринфельд, П. (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей. Springer. ISBN 1-4614-7866-9.

внешняя ссылка

«Гауссова кривизна», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Портеус, И. Р. (1994). Геометрическая дифференциация. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-39063-X.

[2] Кюнель, Вольфганг (2006). Дифференциальная геометрия: кривые, поверхности, многообразия. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3988-8.

[3] Грей, Мэри (1997). «28.4 Лемма Гильберта и теорема Либмана». Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica (2-е изд.). CRC Press. С. 652–654. ISBN 9780849371646..

[4] «Теорема Гильберта». Справочные материалы Springer Online.

[5] Гольдман, Р. (2005). «Формулы кривизны неявных кривых и поверхностей». Компьютерный геометрический дизайн. 22 (7): 632. CiteSeerX 10.1.1.413.3008. Дои:10.1016 / j.cagd.2005.06.005.

[6] Спивак, М. (1975). Комплексное введение в дифференциальную геометрию. 3. Бостон: опубликовать или погибнуть.

[Bertrandtheorem-7] а ^б Теорема Бертрана – Дике – Пюизо.

[8] Струик, Дирк (1988). Лекции по классической дифференциальной геометрии. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65609-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Различные представления о кривизна определено в дифференциальная геометрия
Дифференциальная геометрия кривых	Кривизна Кручение кривой Формулы Френе – Серре Радиус кривизны (приложения) Аффинная кривизна Полная кривизна Полная абсолютная кривизна
Дифференциальная геометрия поверхностей	Основные искривления Гауссова кривизна Средняя кривизна Рамка Дарбу Уравнения Гаусса – Кодацци Первая фундаментальная форма Вторая фундаментальная форма Третья основная форма
Риманова геометрия	Кривизна римановых многообразий Тензор кривизны Римана Кривизна Риччи Скалярная кривизна Кривизна в разрезе
Кривизна соединений	Форма кривизны Тензор кручения Искривление Голономия