Основная кривизна - Principal curvature

Поверхность седла с нормальными плоскостями в направлениях главных кривизны

В дифференциальная геометрия, два основные кривизны в данной точке поверхность являются собственные значения из оператор формы в точку. Они измеряют, как поверхность изгибается на разную величину в разных направлениях в этой точке.

Обсуждение

В каждой точке п из дифференцируемый поверхность в 3-х мерном Евклидово пространство можно выбрать единицу нормальный вектор. Нормальный самолет в п - это тот, который содержит вектор нормали и, следовательно, также будет содержать уникальное касательное направление к поверхности и разрезать поверхность по плоской кривой, называемой нормальный раздел. Эта кривая в целом будет иметь разные искривления для разных нормальных самолетов на п. В основные кривизны в п, обозначенный k₁ и k₂, - максимальное и минимальное значения этой кривизны.

Здесь кривизна кривой по определению взаимный из радиус из соприкасающийся круг. Кривизна считается положительной, если кривая поворачивается в том же направлении, что и выбранная нормаль к поверхности, и в противном случае отрицательной. Направления в нормальной плоскости, где кривизна принимает свои максимальные и минимальные значения, всегда перпендикулярны, если k₁ не равно k₂, Результат Эйлер (1760 г.) и называются основные направления. С современной точки зрения эта теорема следует из спектральная теорема потому что эти направления как главные оси из симметричный тензор - вторая основная форма. Систематический анализ основных искривлений и главных направлений был проведен Гастон Дарбу, с помощью Оправы Дарбу.

Продукт k₁k₂ двух основных кривизны Гауссова кривизна, K, а среднее (k₁ + k₂) / 2 - это средняя кривизна, ЧАС.

Если хотя бы одна из главных кривизны равна нулю в каждой точке, то Гауссова кривизна будет 0, а поверхность разворачивающаяся поверхность. Для минимальная поверхность, средняя кривизна в каждой точке равна нулю.

Формальное определение

Позволять M - поверхность в евклидовом пространстве с вторая основная форма ${ Displaystyle I ! I (X, Y)}$. Зафиксируйте точку п∈M, и ортонормированный базис Икс₁, Икс₂ касательных векторов в п. Тогда главные кривизны - это собственные значения симметричной матрицы

${ displaystyle left [I ! I_ {ij} right] = { begin {bmatrix} I ! I (X_ {1}, X_ {1}) & I ! I (X_ {1}, X_ { 2}) I ! I (X_ {2}, X_ {1}) & I ! I (X_ {2}, X_ {2}) end {bmatrix}}.}$

Если Икс₁ и Икс₂ выбираются так, чтобы матрица ${ displaystyle left [I ! I_ {ij} right]}$ диагональная матрица, то они называются основные направления. Если поверхность ориентированный, то часто требуется, чтобы пара (Икс₁, Икс₂) положительно ориентированы относительно данной ориентации.

Без ссылки на конкретный ортонормированный базис главными кривизнами являются собственные значения из оператор формы, а основными направлениями являются его собственные векторы.

Обобщения

Для гиперповерхностей в многомерных евклидовых пространствах главные кривизны могут быть определены прямо аналогичным образом. Главные кривизны - это собственные значения матрицы второй фундаментальной формы ${ Displaystyle I ! I (X_ {i}, X_ {j})}$ в ортонормированном базисе касательного пространства. Основные направления - это соответствующие собственные векторы.

Аналогично, если M является гиперповерхностью в Риманово многообразие N, то главные кривизны являются собственными значениями его второй основной формы. Если k₁, ..., k_п являются п основные кривизны в точке п ∈ M и Икс₁, ..., Икс_п являются соответствующими ортонормированными собственными векторами (главными направлениями), то секционная кривизна из M в п дан кем-то

${ Displaystyle К (X_ {i}, X_ {j}) = k_ {i} k_ {j}}$

для всех ${ displaystyle i, j}$ с ${ displaystyle i neq j}$.

Классификация точек на поверхности

• В эллиптический точки обе главные кривизны имеют одинаковый знак, а поверхность локально выпуклый.
  • В пупочные точки, обе главные кривизны равны, и каждый касательный вектор можно рассматривать как главное направление. Обычно это происходит в изолированных точках.
• В гиперболический В точках главные кривизны имеют противоположные знаки, а поверхность будет локально седловидной.
• В параболический точек, одна из главных кривизны равна нулю. Параболические точки обычно лежат на кривой, разделяющей эллиптические и гиперболические области.
  • В плоский пуповина точки обе главные кривизны равны нулю. Общая поверхность не будет содержать плоских омбилических точек. В седло обезьяны одна поверхность с изолированной плоской пуповиной.

Линия кривизны

В линии кривизны или же линии кривизны кривые, которые всегда касаются главного направления (они интегральные кривые для полей главных направлений). Через каждую непупочную точку будут проходить две линии кривизны, и эти линии будут пересекаться под прямым углом.

Вблизи шланга линии кривизны обычно образуют одну из трех конфигураций звезда, лимон и монстар (происходит от лимонная звезда).^[2] Эти точки также называются дарбуковской пуповиной в честь Гастон Дарбу, первый, кто провел систематическое исследование в Vol. 4, стр. 455, из его Leçons (1896 г.).

• Конфигурации линий кривизны возле шлангокабелей
• 

  Лимон

• 

  Monstar

• 

  Звезда

На этих рисунках красные кривые - это линии кривизны для одного семейства главных направлений, а синие кривые - для другого.

Когда линия кривизны имеет локальный экстремум той же главной кривизны, тогда кривая имеет точка гребня. Эти гребни образуют кривые на поверхности, называемые гребни. Изгибы гребня проходят через шлангокабель. Для звездообразного рисунка через пупок проходит либо 3, либо 1 линия гребня, для монстара и лимона проходит только один гребень.^[3]

Приложения

Основные направления кривизны вместе с нормалью к поверхности определяют рамку трехмерной ориентации в точке поверхности. Например, в случае цилиндрической поверхности, физически касаясь или визуально наблюдая, мы знаем, что вдоль одного определенного направления поверхность является плоской (параллельной оси цилиндра), и, следовательно, обращаем внимание на ориентацию поверхности. Применение такой рамки ориентации в каждой точке поверхности означает, что любое вращение поверхностей во времени может быть определено просто путем рассмотрения изменения соответствующих рамок ориентации. Это привело к появлению алгоритмов оценки движения и сегментации одной точки в компьютерном зрении.^[4]

Смотрите также

• Радиус Земли # Основные секции

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Дарбу, Гастон (1887, 1889, 1896). Leçons sur la théorie génerale des поверхностей. Готье-Виллар. Проверить значения даты в: | год = (помощь)
• Гуггенхаймер, Генрих (1977). «Глава 10. Поверхности». Дифференциальная геометрия. Дувр. ISBN  0-486-63433-7.
• Кобаяси, Шошичи и Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии. 2 (Новое изд.). Wiley-Interscience. ISBN  0-471-15732-5.
• Спивак Михаил (1999). Комплексное введение в дифференциальную геометрию (Том 3). Опубликовать или погибнуть. ISBN  0-914098-72-1.

внешняя ссылка

• Исторические комментарии к эллипсоиду Монжа и конфигурации линий кривизны на поверхностях, погруженных в р³