Радиус Земли - Earth radius

Радиус Земли
Иллюстрация Земли 13 века в De sphaera mundi.
Общая информация
Система единиц	астрономия, геофизика
Единица	расстояние
Символ	р⊕ или же${ displaystyle R_ {E}}$, ${ Displaystyle { mathcal {R}} _ { mathrm {eE}} ^ { mathrm {N}}}$
Конверсии
1 р⊕ в ...	... равно ...
Базовая единица СИ	6.3781×106 м[1]
Метрическая система	От 6,357 до 6,378 км
Английские единицы	От 3,950 до 3,963 миль

Геодезия
Основы Геодезия Геодинамика Геоматика История
Концепции Географическое расстояние Геоид Фигура Земли (Радиус Земли и Окружность Земли ) Геодезические данные Геодезический Географическая система координат Горизонтальное представление положения Широта  / Долгота Проекция карты Справочный эллипсоид Спутниковая геодезия Система пространственной привязки Пространственные отношения
Технологии Global Nav. Сидел. Системы (GNSS) Global Pos. Система (GPS) ГЛОНАСС (Россия) BeiDou (BDS) (Китай) Галилео (Европа) НАВИК (Индия) Квази-Зенит Сб. Sys. (QZSS) (Япония) Дискретная глобальная сетка и геокодирование
Стандарты (история) НГВД 29 Датум уровня моря 1929 г. OSGB36 Картографическая служба Великобритании, 1936 г. СК-42 Система Координат 1942 года ED50 Европейский датум 1950 г. SAD69 Южноамериканский датум 1969 г. GRS 80 Геодезическая справочная система 1980 г. ISO 6709 Координаты географической точки. 1983 г. NAD 83 Североамериканский датум 1983 г. WGS 84 Мировая геодезическая система 1984 НАВД 88 Северная Америка, вертикальная система отсчета 1988 г. ETRS89 Европейское наземное оборудование Ref. Sys. 1989 г. GCJ-02 Китайский запутанный датум 2002 Geo URI Интернет-ссылка на точку 2010 Международная наземная система отсчета Идентификатор системы пространственной привязки (SRID) Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM)

Радиус Земли это расстояние от центра земной шар в точку на его поверхности. Его значение колеблется от 6378 км (3963 миль) на экватор до 6,357 км (3,950 миль) на столб. Номинальный Радиус Земли иногда используется как единица измерения в астрономия и геофизика, обозначенный в астрономия символом р_⊕. В других контекстах это обозначается ${ displaystyle R_ {E}}$ или иногда ${ Displaystyle { mathcal {R}} _ { mathrm {eE}} ^ { mathrm {N}}}$.

Земля не идеальна сфера но примерно сплюснутый сфероид (эллипс, вращающийся вокруг своей малой оси) с большим радиусом на экваторе, чем на полюсах. Когда указан только один радиус, Международный астрономический союз (IAU) предпочитает, чтобы это был экваториальный радиус.^[1] В Международный союз геодезии и геофизики (IUGG) рекомендует три значения: среднее арифметическое радиусов, измеренных на экваторе и полюсах (R₁); аутичный радиус, который представляет собой радиус сферы с той же площадью поверхности (R₂); и объемный радиус, который представляет собой радиус сферы, имеющей тот же объем, что и эллипсоид (R₃).^[2] Все три значения составляют около 6371 км (3959 миль).

Есть много других способов определить и измерить радиус Земли. Некоторые представлены ниже. Некоторые определения дают значения за пределами диапазона между полярным радиусом и экваториальным радиусом, потому что они включают локальный или геоидальный топологии или потому, что они зависят от абстрактных геометрических соображений.

Вступление

Масштабная диаграмма сжатие 2003 года IERS опорный эллипсоид, с севером вверху. Голубая область представляет собой круг. Внешний край темно-синей линии - это эллипс с тем же малая ось как круг и то же эксцентриситет как Земля. Красная линия представляет Линия Кармана 100 км (62 миль) выше уровень моря, а желтая область обозначает высота диапазон МКС в низкая околоземная орбита.

Вращение Земли, вариации внутренней плотности и внешние приливные силы заставляют его форму систематически отклоняться от идеальной сферы.^[а] Местный топография увеличивает дисперсию, в результате чего поверхность становится очень сложной. Наши описания земной поверхности должны быть проще, чем реальность, чтобы их можно было подобрать. Следовательно, мы создаем модели, приближающие характеристики поверхности Земли, обычно полагаясь на простейшую модель, которая соответствует потребностям.

Каждая из широко используемых моделей включает некоторое понятие геометрического радиус. Строго говоря, сферы - единственные твердые тела, имеющие радиус, но в более широком смысле термин радиус распространены во многих областях, в том числе связанных с моделями Земли. Ниже приводится частичный список моделей земной поверхности в порядке от точного к более приблизительному:

• Реальная поверхность Земли
• В геоид, определяется средний уровень моря в каждой точке реальной поверхности^[b]
• А сфероид, также называемый эллипсоид революции, геоцентрический моделировать всю Землю, или иначе геодезический для региональной работы^[c]
• А сфера

В случае геоида и эллипсоидов фиксированное расстояние от любой точки модели до указанного центра называется «радиус Земли» или же «радиус Земли в этой точке».^[d] Также принято ссылаться на любые средний радиус сферической модели как "радиус земли". С другой стороны, при рассмотрении реальной поверхности Земли упоминание «радиуса» редко, поскольку в этом, как правило, нет практической необходимости. Скорее, полезно иметь высоту над или под уровнем моря.

Независимо от модели, любой радиус находится между полярным минимумом около 6357 км и экваториальным максимумом около 6378 км (от 3950 до 3963 миль). Следовательно, Земля отклоняется от идеальной сферы всего на треть процента, что поддерживает сферическую модель в большинстве контекстов и оправдывает термин «радиус Земли». Хотя конкретные значения различаются, концепции в этой статье обобщают все основные планета.

Физика деформации Земли

Вращение планеты приводит к тому, что она приближается к сплюснутый эллипсоид / сфероид с выпуклостью на экватор и сплющивание на север и Южные полюса, таким образом экваториальный радиус а больше, чем полярный радиус б примерно водный. В константа сжатия q дан кем-то

${ Displaystyle д = { гидроразрыва {а ^ {3} омега ^ {2}} {GM}} ,,}$

куда ω это угловая частота, грамм это гравитационная постоянная, и M это масса планеты.^[e] Для Земли 1/q ≈ 289, что близко к измеренному обратному сплющивание 1/ж ≈ 298.257. Вдобавок выпуклость на экваторе медленно меняется. Выпуклость уменьшалась, но с 1998 года выпуклость увеличилась, возможно, из-за перераспределения массы океана через течения.^[4]

Вариация в плотность и корковый толщина заставляет гравитацию изменяться по поверхности и во времени, так что средний уровень моря отличается от эллипсоида. Эта разница в геоид высота, положительный выше или вне эллипсоида, отрицательный ниже или внутри. Изменение высоты геоида составляет менее 110 м (360 футов) на Земле. Высота геоида может резко измениться из-за землетрясений (например, Суматра-Андаманское землетрясение ) или уменьшение массы льда (например, Гренландия ).^[5]

Не все деформации происходят внутри Земли. Гравитационное притяжение Луны или Солнца может привести к тому, что поверхность Земли в данной точке изменится на десятые доли метра в течение почти 12-часового периода (см. Земной прилив ).

Радиус и местные условия

Аль-Бируни (973–1048) метод расчета радиуса Земли упростил измерение окружности по сравнению с измерениями в двух местах, удаленных друг от друга.

Учитывая местные и переходные влияния на высоту поверхности, значение, определенное ниже, основаны на модели «общее назначение», уточнены в глобальном масштабе точно, насколько это возможно в пределах 5 м (16 футов) от опорного эллипсоида высоты, и в пределах 100 м (330 футов) среднего уровня моря (без учета высоты геоида).

Кроме того, радиус можно оценить по кривизне Земли в точке. Как тор, кривизна в точке будет наибольшей (минимальной) в одном направлении (север-юг на Земле) и наименьшей (самой плоской) перпендикулярно (восток-запад). Соответствующие радиус кривизны зависит от места и направления измерения от этой точки. Следствием этого является то, что расстояние до истинный горизонт на экваторе немного короче в направлении север / юг, чем в направлении восток-запад.

Таким образом, местные вариации рельефа не позволяют определить единственный «точный» радиус. Можно только принять идеализированную модель. Поскольку оценка Эратосфен, создано много моделей. Исторически эти модели основывались на топографии региона, что позволяло опорный эллипсоид за исследуемую территорию. Как спутник дистанционное зондирование и особенно спутниковая система навигации приобрела важность, были разработаны настоящие глобальные модели, которые, хотя и не столь точны для региональных исследований, но лучше всего соответствуют Земле в целом.

Фиксированный радиус

Следующие радиусы получены из Мировая геодезическая система 1984 (WGS-84 ) стандартный эллипсоид.^[6] Стандартный эллипсоид представляет собой идеализированную поверхность, и измерения Земли, используемые для ее вычисления, имеют погрешность ± 2 м.^[7] как в экваториальном, так и в полярном измерениях. Дополнительные расхождения, вызванные орографическими вариациями в определенных местах, могут быть значительными. При определении положения наблюдаемого местоположения использование более точных значений радиусов WGS-84 может не дать соответствующего улучшения в точность.

Значение экваториального радиуса определено с точностью до 0,1 м в WGS-84. Значение полярного радиуса в этом разделе было округлено до ближайших 0,1 м, что, как ожидается, будет подходящим для большинства применений. Обратитесь к эллипсоиду WGS-84, если требуется более точное значение его полярного радиуса.

Символ названного радиуса используется в формулах, приведенных в этой статье.

Экваториальный радиус

Экваториальный радиус Земли а, или же большая полуось, - расстояние от его центра до экватор и составляет 6 378,1370 км (3 963 1906 миль).^[8] Экваториальный радиус часто используется для сравнения Земли с другими планеты.

Полярный радиус

Полярный радиус Земли б, или же малая полуось, - это расстояние от его центра до Северного и Южного полюсов, равное 6 356,7523 км (3 949 9028 миль).

Радиусы в зависимости от местоположения

Геоцентрический радиус

Расстояние от центра Земли до точки на поверхности сфероида на геодезической широте φ является:

${ Displaystyle R ( varphi) = { sqrt { frac {(a ^ {2} cos varphi) ^ {2} + (b ^ {2} sin varphi) ^ {2}} {( a cos varphi) ^ {2} + (b sin varphi) ^ {2}}}}}$

куда а и б - соответственно экваториальный радиус и полярный радиус.

Геофизические крайности

• Максимум: Саммит Чимборасо находится в 6384,4 км (3967,1 миль) от центра Земли.
• Минимум: Пол Арктический океан находится примерно в 6352,8 км (3947,4 миль) от центра Земли.^[9]

Радиусы кривизны

Основные разделы

Есть два главные радиусы кривизны: по меридиональному и прямовертикальному нормальные разделы. Кривизны являются корнями уравнения (125) в:^[10]

${ displaystyle (EG-F ^ {2}) , kappa ^ {2} - (eG + gE-2fF) , kappa + (eg-f ^ {2}) = 0 = det (A- каппа , B),}$

где в первая фундаментальная форма для поверхности (уравнение (112) в ^[10]):

${ displaystyle ds ^ {2} = sum _ {ij} a_ {ij} dw ^ {i} dw ^ {j} = E , d varphi ^ {2} + 2F , d varphi , d lambda + G , d lambda ^ {2},}$

E, F и G - элементы метрический тензор:

${ displaystyle A = a_ {ij} = sum _ { nu} { frac { partial r ^ { nu}} { partial w ^ {i}}} { frac { partial r ^ { nu}} { partial w ^ {j}}} = left [{ begin {array} {ll} E&F F&G end {array}} right],}$

${ displaystyle r = [r ^ {1}, r ^ {2}, r ^ {3}] ^ {T} = [x, y, z] ^ {T}}$, ${ Displaystyle ш ^ {1} = varphi}$, ${ Displaystyle ш ^ {2} = лямбда,}$

в вторая основная форма для поверхности (уравнение (123) в ^[10]):

${ displaystyle 2D = sum _ {ij} b_ {ij} dw ^ {i} dw ^ {j} = e , d varphi ^ {2} + 2f , d varphi , d lambda + g , d lambda ^ {2},}$

e, f и g - элементы тензора формы:

${ displaystyle B = b_ {ij} = sum _ { nu} n ^ { nu} { frac { partial ^ {2} r ^ { nu}} { partial w ^ {i} partial w ^ {j}}} = left [{ begin {array} {ll} e & f f & g end {array}} right],}$

${ Displaystyle п = { гидроразрыва {N} {| N |}}}$ нормаль к поверхности в точке ${ displaystyle r}$, и потому что${ displaystyle { frac { partial r} { partial varphi}}}$ и ${ displaystyle { frac { partial r} { partial lambda}}}$ касаются поверхности,

${ displaystyle N = { frac { partial r} { partial varphi}} times { frac { partial r} { partial lambda}}}$

нормально к поверхности на ${ displaystyle r}$.

С ${ displaystyle F = f = 0}$ для сплюснутого сфероида кривизны

${ displaystyle kappa _ {1} = { frac {g} {G}}}$ и ${ displaystyle kappa _ {2} = { frac {e} {E}} ,,}$

а радиусы кривизны равны

${ displaystyle R_ {1} = { frac {1} { kappa _ {1}}}}$ и ${ displaystyle R_ {2} = { frac {1} { kappa _ {2}}}.}$

Геометрически вторая фундаментальная форма дает расстояние от ${ displaystyle r + dr}$ к плоскости, касательной в ${ displaystyle r}$.

Меридиональный

В частности, земные радиус кривизны в (север – юг) меридиан в φ является:

${ Displaystyle M ( varphi) = R_ {1} = { frac {(ab) ^ {2}} {{ big (} (a cos varphi) ^ {2} + (b sin varphi) ) ^ {2} { big)} ^ { frac {3} {2}}}} = { frac {a (1-e ^ {2})} {(1-e ^ {2} sin ^ {2} varphi) ^ { frac {3} {2}}}} = { frac {1-e ^ {2}} {a ^ {2}}} N ( varphi) ^ {3} ,.}$

куда ${ displaystyle e}$ это эксцентриситет земли. Это радиус, который Эратосфен измеряется.

Prime вертикальный

Если одна точка появилась точно к востоку от другой, можно найти приблизительную кривизну в направлении восток-запад.^[f]

Этот радиус кривизны в основная вертикаль которая перпендикулярна (нормальная или ортогональный ) к M на геодезической широте φ является:^[грамм]

${ displaystyle N ( varphi) = R_ {2} = { frac {a ^ {2}} { sqrt {(a cos varphi) ^ {2} + (b sin varphi) ^ {2 }}}} = { frac {a} { sqrt {1-e ^ {2} sin ^ {2} varphi}}} ,.}$

Этот радиус также называют поперечный радиус кривизны. На экваторе N = р. Б. Р. Боуринг ^[11] дает геометрическое доказательство того, что это перпендикулярное расстояние от поверхности до полярной оси.

Три разных радиуса в зависимости от широты Земли. р - геоцентрический радиус; M - меридиональный радиус кривизны; и N - простой вертикальный радиус кривизны.

Особые ценности

Меридиональный радиус кривизны Земли на экваторе равен меридиональному радиусу кривизны. полу-латусная прямая кишка:

б²/а = 6,335,439 км

Полярный радиус кривизны Земли равен:

а²/б = 6399.594 км

Направленный

Радиус кривизны Земли по курсу с азимут (измеряется по часовой стрелке с севера) α в φ происходит от Формула кривизны Эйлера следующее:^[12]:97

${ displaystyle R _ { mathrm {c}} = { frac {1} {{ dfrac { cos ^ {2} alpha} {M}} + { dfrac { sin ^ {2} alpha} {N}}}} ,.}$

Комбинации

Можно комбинировать главные радиусы кривизны, указанные выше, ненаправленным образом.

Гауссова кривизна равна ${ Displaystyle К = каппа _ {1} , каппа _ {2} = { гидроразрыва { det , B} { det , A}}}$.Земли Гауссов радиус кривизны на широте φ является:^[12]

${ displaystyle R _ { mathrm {a}} ( varphi) = { frac {1} { sqrt {K}}} = { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} R _ { mathrm {c}} ( alpha) , d alpha , = { sqrt {MN}} = { frac {a ^ {2} b} {(a cos varphi) ^ {2} + (b sin varphi) ^ {2}}} = { frac {a { sqrt {1-e ^ {2}}}} {1-e ^ {2} sin ^ {2} varphi}} ,.}$

Земли средний радиус кривизны на широте φ является:^[12]:97

${ displaystyle R _ { mathrm {m}} = { frac {2} {{ dfrac {1} {M}} + { dfrac {1} {N}}}} , !}$

Глобальные средние радиусы

Землю можно смоделировать как сферу во многих отношениях. В этом разделе описаны общие способы. Для различных радиусов, полученных здесь, используются обозначения и размеры, указанные выше для Земли, полученные из WGS-84 эллипсоид;^[6] а именно,

а = Экваториальный радиус (6378.1370 км)

б = Полярный радиус (6356.7523 км)

Сфера является грубым приближением сфероида, который, в свою очередь, является приближением геоида, единицы измерения здесь указаны в километрах, а не в миллиметрах, подходящих для геодезии.

Средний радиус

Экваториальный (а), полярный (б) и среднего радиуса Земли, как определено в 1984 г. Мировая геодезическая система доработка (не в масштабе)

В геофизике Международный союз геодезии и геофизики (IUGG) определяет средний радиус (обозначается р₁) быть^[2]

${ displaystyle R_ {1} = { frac {2a + b} {3}} , !}$

Для Земли средний радиус составляет 6 371,0088 км (3958,7613 миль).^[13]

В астрономии Международный астрономический союз обозначает номинальный экваториальный радиус Земли в качестве ${ Displaystyle { mathcal {R}} _ { mathrm {eE}} ^ { mathrm {N}}}$, который определен как 6 378,1 км (3 963,2 мили).^[1]:3 В номинальный полярный радиус Земли определяется как ${ Displaystyle { mathcal {R}} _ { mathrm {pE}} ^ { mathrm {N}}}$ = 6356,8 км (3949,9 миль). Эти значения соответствуют радиусам нулевого прилива. Экваториальный радиус обычно используется в качестве номинального значения, если полярный радиус явно не требуется.^[1]:4

Ауталический радиус

Ауталический ("равный по площади") радиус Земли - это радиус гипотетической идеальной сферы, имеющей такую ​​же площадь поверхности, как и опорный эллипсоид. В IUGG обозначает аутентичный радиус как р₂.^[2]

Для сфероида существует закрытое решение:^[14]

${ displaystyle R_ {2} = { sqrt { frac {a ^ {2} + { frac {b ^ {2}} {e}} ln { left ({ frac {1 + e} { b / a}} right)}} {2}}} = { sqrt {{ frac {a ^ {2}} {2}} + { frac {b ^ {2}} {2}} { frac { tanh ^ {- 1} e} {e}}}} = { sqrt { frac {A} {4 pi}}} ,,}$

куда е² = а² − б²/а² и А - площадь поверхности сфероида.

Для Земли автоматический радиус составляет 6 371,0072 км (3 958,7603 миль).^[13]

Объемный радиус

Другая сферическая модель определяется объемным радиусом, который представляет собой радиус сферы объема, равного эллипсоиду. В IUGG обозначает объемный радиус как р₃.^[2]

${ displaystyle R_ {3} = { sqrt [{3}] {a ^ {2} b}} ,.}$

Для Земли объемный радиус равен 6,371,0008 км (3,958,7564 мили).^[13]

Радиус выпрямления

Другой средний радиус - это радиус выпрямления, давая сферу с окружностью равной периметр эллипса, описываемого любым полярным сечением эллипсоида. Это требует эллиптический интеграл найти, учитывая полярный и экваториальный радиусы:

${ displaystyle M _ { mathrm {r}} = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { sqrt {{a ^ {2 }} cos ^ {2} varphi + {b ^ {2}} sin ^ {2} varphi}} , d varphi ,.}$

Радиус выпрямления эквивалентен среднему меридиональному значению, которое определяется как среднее значение M:^[14]

${ displaystyle M _ { mathrm {r}} = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} ! M ( varphi) , d varphi ,.}$

Для пределов интегрирования [0,π/2], интегралы для радиуса выпрямления и среднего радиуса дают один и тот же результат, который для Земли составляет 6 367,4491 км (3 956,5494 миль).

Среднее меридиональное значение хорошо аппроксимируется средним полукубическим значением двух осей,^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle M _ { mathrm {r}} приблизительно left ({ frac {a ^ { frac {3} {2}} + b ^ { frac {3} {2}}} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} ,,}$

что отличается от точного результата менее чем на 1 мкм (4×10⁻⁵ в); среднее значение двух осей,

${ Displaystyle М _ { mathrm {r}} приблизительно { гидроразрыва {a + b} {2}} ,,}$

около 6367,445 км (3956,547 миль), также можно использовать.

Средняя кривизна

Средняя кривизна во всех направлениях во всех точках поверхности определяется средневзвешенной гауссовой кривизной:

${ displaystyle R_ {4} = { frac {1} {2}} int _ {- { frac { pi} {2}}} ^ { frac { pi} {2}} ! cos varphi , R _ { mathrm {a}} ( varphi) , d varphi = { frac {a} {2}} , { sqrt {{ frac {1} {e ^ {2 }}} - 1}} , ln { frac {1 + e} {1-e}}.}$

Для эллипсоида WGS 84 средняя кривизна равна 6370,994 км (3958,752 миль).^{[нужна цитата ]}

Среднее расстояние от центра до поверхности

Наиболее глобальные средние радиусы основаны на опорный эллипсоид, который аппроксимирует геоид. Однако геоид не имеет прямого отношения к топографии поверхности. Альтернативный расчет повсюду усредняет высоту, в результате чего получается средний радиус 230 кв.м. больше, чем IUGG средний радиус, то аутентичный радиус, или объемный радиус. Это среднее составляет 6371,230 км (3958,899 миль) с погрешностью 10 м (33 фута).^[15]

Оскулирующая сфера

Наилучшим локальным сферическим приближением эллипсоида в окрестности данной точки является ласкать сфера. Его радиус равен гауссову радиусу кривизны, как указано выше, а его радиальное направление совпадает с эллипсоидом. нормальное направление. Центр соприкасающейся сферы смещен от центра эллипсоида, но находится в центр кривизны для данной точки на поверхности эллипсоида. Эта концепция помогает интерпретировать земные и планетарные радиозатмение преломление измерения и в некоторых приложениях для навигации и наблюдения.^[16][17]

Опубликованные значения

В этой таблице приведены принятые значения радиуса Земли.

История

Первое опубликованное упоминание о размерах Земли появилось около 350 г. до н.э., когда Аристотель сообщил в своей книге На небесах^[19] что математики предположили, что окружность Земли составляет 400000 стадион. По мнению ученых, фигура Аристотеля отличается от высокой точности.^[20] почти вдвое больше истинного значения.^[21] Первое известное научное измерение и расчет окружности Земли было выполнено Эратосфен примерно в 240 г. до н. э. Оценки точности измерения Эратосфена колеблются от 0,5% до 17%.^[22] И для Аристотеля, и для Эратосфена неопределенность в точности их оценок связана с современной неопределенностью относительно того, какую длину стадиона они имели в виду.

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• Меррифилд, Майкл Р. (2010). "${ displaystyle R _ { oplus}}$ Радиус Земли (и экзопланеты) ». Шестьдесят символов. Брэди Харан для Ноттингемский университет.