Метрический тензор - Metric tensor

в математический поле дифференциальная геометрия, одно определение метрический тензор это тип функции, которая принимает на вход пару касательные векторы v и ш в точке поверхности (или более высокомерном дифференцируемое многообразие ) и производит настоящий номер скаляр грамм(v, ш) таким образом, чтобы обобщить многие знакомые свойства скалярное произведение из векторов в Евклидово пространство. Так же, как и скалярное произведение, метрические тензоры используются для определения длины и угла между касательными векторами. Через интеграция, метрический тензор позволяет определять и вычислять длину кривых на многообразии.

Метрический тензор называется положительно определенный если он присваивает положительное значение грамм(v, v) > 0 каждому ненулевому вектору v. Многообразие, снабженное положительно определенным метрическим тензором, называется Риманово многообразие. На римановом многообразии кривая, соединяющая две точки, которая (локально) имеет наименьшую длину, называется кривой геодезический, а его длина - это расстояние, которое пассажиру в коллекторе необходимо пройти, чтобы перейти из одной точки в другую. Благодаря этому понятию длины риманово многообразие представляет собой метрическое пространство, что означает, что у него функция расстояния d(п, q) чье значение в паре баллов п и q это расстояние от п к q. Наоборот, сам метрический тензор есть производная функции расстояния (взятой подходящим образом). Таким образом, метрический тензор дает бесконечно малый расстояние на коллекторе.

Хотя понятие метрического тензора было в некотором смысле известно математикам, таким как Карл Гаусс с начала 19 века, только в начале 20 века его свойства как тензор понимались, в частности, Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита, который первым систематизировал понятие тензора. Метрический тензор является примером тензорное поле.

Компоненты метрического тензора в координатная база принять форму симметричная матрица чьи записи трансформируются ковариантно при изменении системы координат. Таким образом, метрический тензор является ковариантным симметричный тензор. От не зависящий от координат с точки зрения метрического тензорного поля определяется как невырожденный симметричная билинейная форма на каждом касательном пространстве, которое меняется плавно от точки к точке.

Вступление

Карл Фридрих Гаусс в его 1827 г. Общие исследования около поверхностей curvas (Общие исследования криволинейных поверхностей) считается поверхностью параметрически, с Декартовы координаты Икс, у, и z точек на поверхности в зависимости от двух вспомогательных переменных ты и v. Таким образом, параметрическая поверхность (в сегодняшних терминах) вектор-функция

${ displaystyle { vec {r}} (u, , v) = { bigl (} x (u, , v), , y (u, , v), , z (u, , v) { bigr)}}$

в зависимости от упорядоченная пара реальных переменных (ты, v), и определен в открытый набор D в УФ-самолет. Одна из главных целей исследований Гаусса состояла в том, чтобы вывести те особенности поверхности, которые можно было бы описать функцией, которая осталась бы неизменной, если бы поверхность претерпела трансформацию в пространстве (например, изгибание поверхности без ее растяжения) или изменение в ней. особая параметрическая форма той же геометрической поверхности.

Одна естественная такая инвариантная величина - это длина кривой нарисованный по поверхности. Другой - это угол между парой кривых, проведенных по поверхности и встречающихся в общей точке. Третья такая величина - это площадь куска поверхности. Изучение этих инвариантов поверхности привело Гаусса к введению предшественника современного понятия метрического тензора.

Длина дуги

Если переменные ты и v считаются зависимыми от третьей переменной, т, принимая значения в интервал [а, б], тогда р→(ты(т), v(т)) отследит параметрическая кривая в параметрической поверхности M. В длина дуги этой кривой задается интеграл

${ displaystyle { begin {align} s & = int _ {a} ^ {b} left | { frac {d} {dt}} { vec {r}} (u (t), v ( t)) right | , dt [5pt] & = int _ {a} ^ {b} { sqrt {u '(t) ^ {2} , { vec {r}} _ {u} cdot { vec {r}} _ {u} + 2u '(t) v' (t) , { vec {r}} _ {u} cdot { vec {r}} _ {v} + v '(t) ^ {2} , { vec {r}} _ {v} cdot { vec {r}} _ {v}}} , dt ,, end { выровнено}}}$

куда ${ Displaystyle влево | CDOT вправо |}$ представляет Евклидова норма. Здесь Правило цепи применен, а индексы обозначают частные производные:

${ displaystyle { vec {r}} _ {u} = { frac { partial { vec {r}}} { partial u}} ,, quad { vec {r}} _ {v } = { frac { partial { vec {r}}} { partial v}} ,.}$

Подынтегральное выражение - это ограничение^[1] кривой квадратного корня из (квадратичный ) дифференциал

${ displaystyle (ds) ^ {2} = E , (du) ^ {2} + 2F , du , dv + G , (dv) ^ {2},}$

(1)

куда

${ displaystyle E = { vec {r}} _ {u} cdot { vec {r}} _ {u}, quad F = { vec {r}} _ {u} cdot { vec {r}} _ {v}, quad G = { vec {r}} _ {v} cdot { vec {r}} _ {v}.}$

(2)

Количество ds в (1) называется линейный элемент, в то время как ds² называется первая фундаментальная форма из M. Интуитивно он представляет собой основная часть площади смещения, претерпевшего р→(ты, v) когда ты увеличивается на ду единиц и v увеличивается на dv единицы.

Используя матричную запись, первая фундаментальная форма становится

${ displaystyle ds ^ {2} = { begin {bmatrix} du & dv end {bmatrix}} { begin {bmatrix} E&F F&G end {bmatrix}} { begin {bmatrix} du dv end {bmatrix}}}$

Координатные преобразования

Предположим теперь, что выбрана другая параметризация, разрешая ты и v зависеть от другой пары переменных ты′ и v′. Тогда аналог (2) для новых переменных

${ displaystyle E '= { vec {r}} _ {u'} cdot { vec {r}} _ {u '}, quad F' = { vec {r}} _ {u '} cdot { vec {r}} _ {v '}, quad G' = { vec {r}} _ {v '} cdot { vec {r}} _ {v'}.}$

(2')

В Правило цепи относится E′, F′, и грамм′ к E, F, и грамм через матрица уравнение

${ displaystyle { begin {bmatrix} E '& F' F '& G' end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { frac { partial u} { partial u '}} & { frac { partial u} { partial v '}} { frac { partial v} { partial u'}} и { frac { partial v} { partial v '}} end {bmatrix }} ^ { mathsf {T}} { begin {bmatrix} E&F F&G end {bmatrix}} { begin {bmatrix} { frac { partial u} { partial u '}} & { frac { partial u} { partial v '}} { frac { partial v} { partial u'}} и { frac { partial v} { partial v '}} end {bmatrix }}}$

(3)

где верхний индекс T обозначает матрица транспонировать. Матрица с коэффициентами E, F, и грамм устроенный таким образом, поэтому преобразуется Матрица якобиана изменения координат

${ Displaystyle J = { begin {bmatrix} { frac { partial u} { partial u '}} и { frac { partial u} { partial v'}} { frac { partial v} { partial u '}} & { frac { partial v} { partial v'}} end {bmatrix}} ,.}$

Матрица, которая преобразуется таким образом, представляет собой один из видов того, что называется тензор. Матрица

${ displaystyle { begin {bmatrix} E&F F&G end {bmatrix}}}$

с законом преобразования (3) известен как метрический тензор поверхности.

Инвариантность длины дуги относительно преобразований координат

Риччи-Курбастро и Леви-Чивита (1900) впервые заметил значение системы коэффициентов E, F, и грамм, которая трансформируется таким образом при переходе от одной системы координат к другой. В результате первая фундаментальная форма (1) является инвариантный при изменении системы координат, и что это следует исключительно из трансформационных свойств E, F, и грамм. Действительно, по цепному правилу

${ displaystyle { begin {bmatrix} du dv end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { dfrac { partial u} { partial u '}} и { dfrac { partial u} { partial v '}} { dfrac { partial v} { partial u'}} & { dfrac { partial v} { partial v '}} end {bmatrix}} { begin { bmatrix} du ' dv' end {bmatrix}}}$

так что

${ displaystyle { begin {align} ds ^ {2} & = { begin {bmatrix} du & dv end {bmatrix}} { begin {bmatrix} E&F F&G end {bmatrix}} { begin {bmatrix } du dv end {bmatrix}} [6pt] & = { begin {bmatrix} du '& dv' end {bmatrix}} { begin {bmatrix} { dfrac { partial u} { частичное u '}} & { dfrac { partial u} { partial v'}} [6pt] { dfrac { partial v} { partial u '}} и { dfrac { partial v} { partial v '}} end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}} { begin {bmatrix} E&F F&G end {bmatrix}} { begin {bmatrix} { dfrac { partial u } { partial u '}} & { dfrac { partial u} { partial v'}} [6pt] { dfrac { partial v} { partial u '}} и { dfrac { частичный v} { partial v '}} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} du' dv ' end {bmatrix}} [6pt] & = { begin {bmatrix} du' & dv ' end {bmatrix}} { begin {bmatrix} E' & F ' F' & G ' end {bmatrix}} { begin {bmatrix} du' dv ' end {bmatrix}} [ 6pt] & = (ds ') ^ {2} ,. End {align}}}$

Длина и угол

Другая интерпретация метрического тензора, также рассмотренная Гауссом, заключается в том, что он обеспечивает способ вычисления длины касательные векторы к поверхности, а также угол между двумя касательными векторами. Говоря современным языком, метрический тензор позволяет вычислить скалярное произведение касательных векторов способом, не зависящим от параметрического описания поверхности. Любой касательный вектор в точке параметрической поверхности M можно записать в виде

${ displaystyle mathbf {p} = p_ {1} { vec {r}} _ {u} + p_ {2} { vec {r}} _ {v}}$

для подходящих реальных чисел п₁ и п₂. Если даны два касательных вектора:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {a} & = a_ {1} { vec {r}} _ {u} + a_ {2} { vec {r}} _ {v} mathbf {b} & = b_ {1} { vec {r}} _ {u} + b_ {2} { vec {r}} _ {v} end {выровнено}}}$

затем используя билинейность скалярного произведения,

${ displaystyle { begin {align} mathbf {a} cdot mathbf {b} & = a_ {1} b_ {1} { vec {r}} _ {u} cdot { vec {r} } _ {u} + a_ {1} b_ {2} { vec {r}} _ {u} cdot { vec {r}} _ {v} + b_ {1} a_ {2} { vec {r}} _ {v} cdot { vec {r}} _ {u} + a_ {2} b_ {2} { vec {r}} _ {v} cdot { vec {r}} _ {v} [8pt] & = a_ {1} b_ {1} E + a_ {1} b_ {2} F + b_ {1} a_ {2} F + a_ {2} b_ {2} G [8pt] & = { begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} E&F F&G end {bmatrix}} { begin {bmatrix} b_ {1} b_ {2} end {bmatrix}} ,. End {выравнивается}}}$

Это явно функция четырех переменных а₁, б₁, а₂, и б₂. Однако более выгодно ее рассматривать как функцию, которая принимает пару аргументов а = [а₁ а₂] и б = [б₁ б₂] которые являются векторами в УФ-самолет. То есть положить

${ displaystyle g ( mathbf {a}, mathbf {b}) = a_ {1} b_ {1} E + a_ {1} b_ {2} F + b_ {1} a_ {2} F + a_ { 2} b_ {2} G ,.}$

Это симметричная функция в а и б, означающий, что

${ Displaystyle г ( mathbf {a}, mathbf {b}) = г ( mathbf {b}, mathbf {a}) ,.}$

Это также билинейный, что означает, что это линейный в каждой переменной а и б раздельно. Это,

${ displaystyle { begin {align} g left ( lambda mathbf {a} + mu mathbf {a} ', mathbf {b} right) & = lambda g ( mathbf {a}, mathbf {b}) + mu g left ( mathbf {a} ', mathbf {b} right), quad { text {and}} g left ( mathbf {a}, lambda mathbf {b} + mu mathbf {b} ' right) & = lambda g ( mathbf {a}, mathbf {b}) + mu g left ( mathbf {a}, mathbf {b} ' right) end {выравнивается}}}$

для любых векторов а, а′, б, и б′ в УФ самолет и любые вещественные числа μ и λ.

В частности, длина касательного вектора а дан кем-то

${ displaystyle left | mathbf {a} right | = { sqrt {g ( mathbf {a}, mathbf {a})}}}$

и угол θ между двумя векторами а и б рассчитывается

${ Displaystyle соз ( тета) = { гидроразрыва {г ( mathbf {a}, mathbf {b})} { left | mathbf {a} right | left | mathbf { b} right |}} ,.}$

Площадь

В площадь поверхности - еще одна числовая величина, которая должна зависеть только от самой поверхности, а не от того, как она параметризована. Если поверхность M параметризуется функцией р→(ты, v) по домену D в УФ-плоскость, то площадь поверхности M дается интегралом

${ displaystyle iint _ {D} left | { vec {r}} _ {u} times { vec {r}} _ {v} right | , du , dv}$

куда × обозначает перекрестное произведение, а абсолютное значение обозначает длину вектора в евклидовом пространстве. К Личность Лагранжа для векторного произведения интеграл можно записать

${ displaystyle { begin {align} & iint _ {D} { sqrt { left ({ vec {r}} _ {u} cdot { vec {r}} _ {u} right) left ({ vec {r}} _ {v} cdot { vec {r}} _ {v} right) - left ({ vec {r}} _ {u} cdot { vec {r}} _ {v} right) ^ {2}}} , du , dv [5pt] = {} & iint _ {D} { sqrt {EG-F ^ {2}} } , du , dv [5pt] = {} & iint _ {D} { sqrt { det { begin {bmatrix} E&F F&G end {bmatrix}}}} , du , дв конец {выровнено}}}$

куда Det это детерминант.

Определение

Позволять M быть гладкое многообразие измерения п; например поверхность (в случае п = 2) или гиперповерхность в Декартово пространство ℝ^{п + 1}. В каждой точке п ∈ M Существует векторное пространство Т_пM, называется касательное пространство, состоящий из всех касательных векторов к многообразию в точке п. Метрический тензор при п это функция грамм_п(Икс_п, Y_п) который принимает в качестве входных данных пару касательных векторов Икс_п и Y_п в п, и производит на выходе настоящий номер (скаляр ), так что выполняются следующие условия:

• грамм_п является билинейный. Функция двух векторных аргументов является билинейной, если она линейна отдельно по каждому аргументу. Таким образом, если U_п, V_п, Y_п - три касательных вектора в точке п и а и б настоящие числа, тогда

  ${ displaystyle { begin {align} g_ {p} left (aU_ {p} + bV_ {p}, Y_ {p} right) & = ag_ {p} left (U_ {p}, Y_ {p } right) + bg_ {p} left (V_ {p}, Y_ {p} right) ,, quad { text {and}} g_ {p} left (Y_ {p}, aU_ {p} + bV_ {p} right) & = ag_ {p} left (Y_ {p}, U_ {p} right) + bg_ {p} left (Y_ {p}, V_ {p} right) ,. end {выравнивается}}}$

• грамм_п является симметричный.^[2] Функция двух векторных аргументов симметрична при условии, что для всех векторов Икс_п и Y_п,

  ${ displaystyle g_ {p} left (X_ {p}, Y_ {p} right) = g_ {p} left (Y_ {p}, X_ {p} right) ,.}$

• грамм_п является невырожденный. Билинейная функция невырождена при условии, что для каждого касательного вектора Икс_п ≠ 0, функция

  ${ Displaystyle Y_ {p} mapsto g_ {p} left (X_ {p}, Y_ {p} right)}$

полученный путем проведения Икс_п постоянный и позволяющий Y_п меняться - это не тождественно ноль. То есть на каждый Икс_п ≠ 0 существует Y_п такой, что грамм_п(Икс_п, Y_п) ≠ 0.

Метрическое тензорное поле грамм на M присваивает каждой точке п из M метрический тензор грамм_п в касательном пространстве при п по-разному плавно с п. Точнее, учитывая любые открытое подмножество U коллектора M и любой (гладкий) векторные поля Икс и Y на U, реальная функция

${ displaystyle g (X, Y) (p) = g_ {p} left (X_ {p}, Y_ {p} right)}$

является гладкой функцией п.

Компоненты метрики

Компоненты метрики в любом основа из векторные поля, или же Рамка, ж = (Икс₁, ..., Икс_п) даны^[3]

${ displaystyle g_ {ij} [ mathbf {f}] = g left (X_ {i}, X_ {j} right).}$

(4)

В п² функции грамм_ij[ж] формировать записи п × п симметричная матрица, грамм[ж]. Если

${ displaystyle v = sum _ {i = 1} ^ {n} v ^ {i} X_ {i} ,, quad w = sum _ {i = 1} ^ {n} w ^ {i} X_ {i}}$

два вектора в п ∈ U, то значение метрики, примененной к v и ш определяется коэффициентами (4) по билинейности:

${ displaystyle g (v, w) = sum _ {i, j = 1} ^ {n} v ^ {i} w ^ {j} g left (X_ {i}, X_ {j} right) = sum _ {i, j = 1} ^ {n} v ^ {i} w ^ {j} g_ {ij} [ mathbf {f}]}$

Обозначая матрица (грамм_ij[ж]) к грамм[ж] и расположив компоненты векторов v и ш в векторы-столбцы v[ж] и ш[ж],

${ Displaystyle г (v, ш) = mathbf {v} [ mathbf {f}] ^ { mathsf {T}} G ​​[ mathbf {f}] mathbf {w} [ mathbf {f}] = mathbf {w} [ mathbf {f}] ^ { mathsf {T}} G ​​[ mathbf {f}] mathbf {v} [ mathbf {f}]}$

куда v[ж]^Т и ш[ж]^Т обозначить транспонировать векторов v[ж] и ш[ж], соответственно. Под изменение основы формы

${ displaystyle mathbf {f} mapsto mathbf {f} '= left ( sum _ {k} X_ {k} a_ {k1}, dots, sum _ {k} X_ {k} a_ { kn} right) = mathbf {f} A}$

для некоторых обратимый п × п матрица А = (а_ij)матрица компонент метрики изменится на А также. Это,

${ Displaystyle G [ mathbf {f} A] = A ^ { mathsf {T}} G ​​[ mathbf {f}] A}$

или, с точки зрения элементов этой матрицы,

${ displaystyle g_ {ij} [ mathbf {f} A] = sum _ {k, l = 1} ^ {n} a_ {ki} g_ {kl} [ mathbf {f}] a_ {lj} ,.}$

По этой причине система величин грамм_ij[ж] называется ковариантно преобразующейся относительно изменений в кадре ж.

Метрика в координатах

Система п действительные функции (Икс¹, ..., Икс^п), давая местная система координат на открытый набор U в M, определяет базис векторных полей на U

${ displaystyle mathbf {f} = left (X_ {1} = { frac { partial} { partial x ^ {1}}}, dots, X_ {n} = { frac { partial}) { partial x ^ {n}}} right) ,.}$

Метрика грамм имеет компоненты относительно этого кадра, заданные

${ displaystyle g_ {ij} left [ mathbf {f} right] = g left ({ frac { partial} { partial x ^ {i}}}, { frac { partial} { частичное x ^ {j}}} right) ,.}$

Относительно новой системы локальных координат, скажем,

${ displaystyle y ^ {i} = y ^ {i} (x ^ {1}, x ^ {2}, dots, x ^ {n}), quad i = 1,2, dots, n}$

метрический тензор будет определять другую матрицу коэффициентов,

${ displaystyle g_ {ij} left [ mathbf {f} ' right] = g left ({ frac { partial} { partial y ^ {i}}}, { frac { partial} { partial y ^ {j}}} right).}$

Эта новая система функций связана с оригинальной грамм_ij(ж) с помощью Правило цепи

${ displaystyle { frac { partial} { partial y ^ {i}}} = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac { partial x ^ {k}} { partial y ^ {i}}} { frac { partial} { partial x ^ {k}}}}$

так что

${ displaystyle g_ {ij} left [ mathbf {f} ' right] = sum _ {k, l = 1} ^ {n} { frac { partial x ^ {k}} { partial y ^ {i}}} g_ {kl} left [ mathbf {f} right] { frac { partial x ^ {l}} { partial y ^ {j}}}.}$

Или в терминах матриц грамм[ж] = (грамм_ij[ж]) и грамм[ж′] = (грамм_ij[ж′]),

${ Displaystyle G left [ mathbf {f} ' right] = left ((Dy) ^ {- 1} right) ^ { mathsf {T}} G ​​ left [ mathbf {f} right ] (Ду) ^ {- 1}}$

куда Dy обозначает Матрица якобиана изменения координаты.

Подпись метрики

С любым метрическим тензором связан квадратичная форма определяется в каждом касательном пространстве как

${ displaystyle q_ {m} (X_ {m}) = g_ {m} (X_ {m}, X_ {m}) ,, quad X_ {m} in T_ {m} M.}$

Если q_м положительно для всех ненулевых Икс_м, то метрика положительно определенный в м. Если метрика положительно определена на каждом м ∈ M, тогда грамм называется Риманова метрика. В более общем смысле, если квадратичные формы q_м иметь постоянный подпись независим от м, то подпись грамм это подпись, и грамм называется псевдориманова метрика.^[4] Если M является связаны, то подпись q_м не зависит от м.^[5]

К Закон инерции Сильвестра, базис касательных векторов Икс_я можно выбрать локально так, чтобы квадратичная форма диагонализовалась следующим образом

${ displaystyle q_ {m} left ( sum _ {i} xi ^ {i} X_ {i} right) = left ( xi ^ {1} right) ^ {2} + left ( xi ^ {2} right) ^ {2} + cdots + left ( xi ^ {p} right) ^ {2} - left ( xi ^ {p + 1} right) ^ { 2} - cdots - left ( xi ^ {n} right) ^ {2}}$

для некоторых п от 1 до п. Любые два таких выражения q (в тот же момент м из M) будет иметь тот же номер п положительных знаков. Подпись грамм пара целых чисел (п, п − п), что означает наличие п положительные признаки и п − п отрицательные знаки в любом таком выражении. Эквивалентно метрика имеет подпись (п, п − п) если матрица грамм_ij метрики п положительный и п − п отрицательный собственные значения.

Некоторые метрические подписи, которые часто возникают в приложениях:

• Если грамм есть подпись (п, 0), тогда грамм - риманова метрика, а M называется Риманово многообразие. Иначе, грамм - псевдориманова метрика, а M называется псевдориманово многообразие (также используется термин полуриманов).
• Если M четырехмерный с подписью (1, 3) или (3, 1), то метрика называется Лоренциан. В более общем смысле, метрический тензор в размерности п кроме 4 подписей (1, п − 1) или (п − 1, 1) иногда также называют лоренцевым.
• Если M является 2п-размерные и грамм есть подпись (п, п), то метрика называется сверхгиперболический.

Обратная метрика

Позволять ж = (Икс₁, ..., Икс_п) - базис векторных полей, и, как и выше, пусть грамм[ж] - матрица коэффициентов

${ displaystyle g_ {ij} [ mathbf {f}] = g left (X_ {i}, X_ {j} right) ,.}$

Можно считать обратная матрица грамм[ж]⁻¹, который отождествляется с обратная метрика (или же сопрягать или двойная метрика). Обратная метрика удовлетворяет закону преобразования, когда фрейм ж заменяется матрицей А через

${ Displaystyle G [ mathbf {f} A] ^ {- 1} = A ^ {- 1} G [ mathbf {f}] ^ {- 1} left (A ^ {- 1} right) ^ { mathsf {T}}.}$

(5)

Обратные метрические преобразования противоречиво, или относительно обратной замены базисной матрицы А. В то время как метрика сама по себе обеспечивает способ измерения длины (или угла между) векторных полей, обратная метрика предоставляет средства измерения длины (или угла между) ковектор поля; то есть поля линейные функционалы.

Чтобы увидеть это, предположим, что α ковекторное поле. А именно за каждую точку п, α определяет функцию α_п определены на касательных векторах в п так что следующие линейность условие выполняется для всех касательных векторов Икс_п и Y_п, и все действительные числа а и б:

${ displaystyle alpha _ {p} left (aX_ {p} + bY_ {p} right) = a alpha _ {p} left (X_ {p} right) + b alpha _ {p} left (Y_ {p} right) ,.}$

В качестве п меняется, α считается гладкая функция в том смысле, что

${ displaystyle p mapsto alpha _ {p} left (X_ {p} right)}$

является гладкой функцией п для любого гладкого векторного поля Икс.

Любое ковекторное поле α имеет компоненты в основе векторных полей ж. Они определяются

${ displaystyle alpha _ {i} = alpha left (X_ {i} right) ,, quad i = 1,2, dots, n ,.}$

Обозначим вектор строки этих компонентов

${ displaystyle alpha [ mathbf {f}] = { big lbrack} { begin {array} {cccc} alpha _ {1} & alpha _ {2} & dots & alpha _ {n } end {array}} { big rbrack} ,.}$

При смене ж матрицей А, α[ж] изменения по правилу

${ Displaystyle альфа [ mathbf {f} A] = alpha [ mathbf {f}] A ,.}$

То есть вектор-строка компонентов α[ж] трансформируется как ковариантный вектор.

Для пары α и β ковекторных полей, определим обратную метрику, применяемую к этим двум ковекторам, как

${ Displaystyle { тильда {g}} ( альфа, бета) = альфа [ mathbf {f}] G [ mathbf {f}] ^ {- 1} beta [ mathbf {f}] ^ { mathsf {T}}.}$

(6)

Полученное определение, хотя и предполагает выбор основы ж, фактически не зависит от ж существенно. Действительно, изменение базы на жА дает

${ displaystyle { begin {align} & alpha [ mathbf {f} A] G [ mathbf {f} A] ^ {- 1} beta [ mathbf {f} A] ^ { mathsf {T }} = {} & left ( alpha [ mathbf {f}] A right) left (A ^ {- 1} G [ mathbf {f}] ^ {- 1} left (A ^ {- 1} right) ^ { mathsf {T}} right) left (A ^ { mathsf {T}} beta [ mathbf {f}] ^ { mathsf {T}} right ) = {} & alpha [ mathbf {f}] G [ mathbf {f}] ^ {- 1} beta [ mathbf {f}] ^ { mathsf {T}}. end { выровнен}}}$

Так что правая часть уравнения (6) не зависит от изменения основы ж на любую другую основу жА что угодно. Следовательно, уравнению можно придать смысл независимо от выбора основы. Элементы матрицы грамм[ж] обозначаются грамм^ij, где индексы я и j были подняты, чтобы указать закон преобразования (5).

Повышение и понижение показателей

В основе векторных полей ж = (Икс₁, ..., Икс_п), любое гладкое касательное векторное поле Икс можно записать в виде

${ displaystyle X = v ^ {1} [ mathbf {f}] X_ {1} + v ^ {2} [ mathbf {f}] X_ {2} + dots + v ^ {n} [ mathbf {f}] X_ {n} = mathbf {f} { begin {bmatrix} v ^ {1} [ mathbf {f}] v ^ {2} [ mathbf {f}] vdots v ^ {n} [ mathbf {f}] end {bmatrix}} = mathbf {f} v [ mathbf {f}]}$

(7)

для некоторых однозначно определенных гладких функций v¹, ..., v^п. При изменении основы ж невырожденной матрицей А, коэффициенты v^я изменить так, чтобы уравнение (7) остается верным. Это,

${ Displaystyle X = mathbf {fA} v [ mathbf {fA}] = mathbf {f} v [ mathbf {f}] ,.}$

Как следствие, v[жА] = А⁻¹v[ж]. Другими словами, компоненты векторного преобразования противоречиво (т.е. обратно или наоборот) при замене базиса невырожденной матрицей А. Контравариантность компонентов v[ж] условно обозначается путем размещения индексов v^я[ж] в верхнем положении.

Фрейм также позволяет выражать ковекторы через их компоненты. Для основы векторных полей ж = (Икс₁, ..., Икс_п) определить двойная основа быть линейные функционалы (θ¹[ж], ..., θ^п[ж]) такой, что

${ displaystyle theta ^ {i} [ mathbf {f}] (X_ {j}) = { begin {cases} 1 & mathrm {if} i = j 0 & mathrm {if} i not = j. end {case}}}$

Это, θ^я[ж](Икс_j) = δ_j^я, то Дельта Кронекера. Позволять

${ displaystyle theta [ mathbf {f}] = { begin {bmatrix} theta ^ {1} [ mathbf {f}] theta ^ {2} [ mathbf {f}] vdots theta ^ {n} [ mathbf {f}] end {bmatrix}}.}$

При смене основы ж ↦ жА для невырожденной матрицы А, θ[ж] трансформируется через

${ displaystyle theta [ mathbf {f} A] = A ^ {- 1} theta [ mathbf {f}].}$

Любой линейный функционал α на касательных векторах можно разложить по дуальному базису θ

${ displaystyle { begin {align} alpha & = a_ {1} [ mathbf {f}] theta ^ {1} [ mathbf {f}] + a_ {2} [ mathbf {f}] theta ^ {2} [ mathbf {f}] + cdots + a_ {n} [ mathbf {f}] theta ^ {n} [ mathbf {f}] [8pt] & = { big lbrack} { begin {array} {cccc} a_ {1} [ mathbf {f}] & a_ {2} [ mathbf {f}] & dots & a_ {n} [ mathbf {f}] end {array}} { big rbrack} theta [ mathbf {f}] [8pt] & = a [ mathbf {f}] theta [ mathbf {f}] end {выровнено}}}$

(8)

куда а[ж] обозначает вектор строки [ а₁[ж] ... а_п[ж] ]. Компоненты а_я преобразовать, когда основа ж заменяется на жА таким образом, что уравнение (8) продолжает держаться. Это,

${ Displaystyle альфа = а [ mathbf {е} А] тета [ mathbf {е} А] = а [ mathbf {f}] тета [ mathbf {f}]}$

откуда, потому что θ[жА] = А⁻¹θ[ж], следует, что а[жА] = а[ж]А. То есть компоненты а преобразовать ковариантно (по матрице А а не наоборот). Ковариация компонентов а[ж] условно обозначается путем размещения индексов а_я[ж] в нижнем положении.

Теперь метрический тензор дает возможность идентифицировать векторы и ковекторы следующим образом. Держа Икс_п фиксировано, функция

${ displaystyle g_ {p} (X_ {p}, -): Y_ {p} mapsto g_ {p} (X_ {p}, Y_ {p})}$

касательного вектора Y_п определяет линейный функционал на касательном пространстве в п. Эта операция принимает вектор Икс_п в какой-то момент п и производит ковектор грамм_п(Икс_п, −). В основе векторных полей ж, если векторное поле Икс имеет компоненты v[ж], то компоненты ковекторного поля грамм(Икс, −) в дуальном базисе задаются элементами вектора-строки

${ displaystyle a [ mathbf {f}] = v [ mathbf {f}] ^ { mathsf {T}} G ​​[ mathbf {f}].}$

При смене основы ж ↦ жА, правая часть этого уравнения преобразуется через

${ displaystyle v [ mathbf {f} A] ^ { mathsf {T}} G ​​[ mathbf {f} A] = v [ mathbf {f}] ^ { mathsf {T}} left (A ^ {- 1} right) ^ { mathsf {T}} A ^ { mathsf {T}} G ​​[ mathbf {f}] A = v [ mathbf {f}] ^ { mathsf {T} } G [ mathbf {f}] A}$

так что а[жА] = а[ж]А: а преобразуется ковариантно. Операция присоединения к (контравариантным) компонентам векторного поля v[ж] = [ v¹[ж] v²[ж] ... v^п[ж] ]^Т (ковариантные) компоненты ковекторного поля а[ж] = [ а₁[ж] а₂[ж] … а_п[ж] ], куда

${ displaystyle a_ {i} [ mathbf {f}] = sum _ {k = 1} ^ {n} v ^ {k} [ mathbf {f}] g_ {ki} [ mathbf {f}] }$

называется понижение индекса.

К поднять индекс, применяется та же конструкция, но с обратной метрикой вместо метрики. Если а[ж] = [ а₁[ж] а₂[ж] ... а_п[ж] ] компоненты ковектора в дуальном базисе θ[ж], то вектор-столбец

${ displaystyle v [ mathbf {f}] = G ^ {- 1} [ mathbf {f}] а [ mathbf {f}] ^ { mathsf {T}}}$

(9)

имеет компоненты, которые преобразуются контрвариантно:

${ displaystyle v [ mathbf {f} A] = A ^ {- 1} v [ mathbf {f}].}$

Следовательно, величина Икс = жv[ж] не зависит от выбора основы ж существенным образом и, таким образом, определяет векторное поле на M. Операция (9), сопоставляя (ковариантным) компонентам ковектора а[ж] (контравариантные) компоненты вектора v[ж] данный называется повышение индекса. В компонентах (9) является

${ displaystyle v ^ {i} [ mathbf {f}] = sum _ {k = 1} ^ {n} g ^ {ik} [ mathbf {f}] a_ {k} [ mathbf {f} ].}$

Индуцированная метрика

Позволять U быть открытый набор в ℝ^п, и разреши φ быть непрерывно дифференцируемый функция от U в Евклидово пространство ℝ^м, куда м > п. Отображение φ называется погружение если его дифференциал инъективный в каждой точке U. Образ φ называется погруженное подмногообразие. В частности, для м = 3, что означает, что окружающий Евклидово пространство является ℝ³индуцированный метрический тензор называется первая фундаментальная форма.

Предположим, что φ является погружением на подмногообразие M ⊂ р^м. Обычный евклидов скалярное произведение в ℝ^м является метрикой, которая ограничена векторами, касающимися M, дает средство для получения скалярного произведения этих касательных векторов. Это называется индуцированная метрика.

Предположим, что v является касательным вектором в точке U, сказать

${ displaystyle v = v ^ {1} mathbf {e} _ {1} + dots + v ^ {n} mathbf {e} _ {n}}$

куда е_я стандартные координатные векторы в ℝ^п. Когда φ применяется к U, вектор v переходит к касательному вектору M данный

${ displaystyle varphi _ {*} (v) = sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {a = 1} ^ {m} v ^ {i} { frac { partial varphi ^ {a}} { partial x ^ {i}}} mathbf {e} _ {a} ,.}$

(Это называется продвигать из v вместе φ.) Учитывая два таких вектора, v и ш, индуцированная метрика определяется формулой

${ displaystyle g (v, w) = varphi _ {*} (v) cdot varphi _ {*} (w).}$

Из прямого вычисления следует, что матрица индуцированной метрики в базисе координатных векторных полей е дан кем-то

${ Displaystyle G ( mathbf {e}) = (D varphi) ^ { mathsf {T}} (D varphi)}$

куда Dφ матрица Якоби:

${ displaystyle D varphi = { begin {bmatrix} { frac { partial varphi ^ {1}} { partial x ^ {1}}} & { frac { partial varphi ^ {1}} { partial x ^ {2}}} & dots & { frac { partial varphi ^ {1}} { partial x ^ {n}}} [1ex] { frac { partial varphi ^ {2}} { partial x ^ {1}}} & { frac { partial varphi ^ {2}} { partial x ^ {2}}} & dots & { frac { partial varphi ^ {2}} { partial x ^ {n}}} vdots & vdots & ddots & vdots { frac { partial varphi ^ {m}} { partial x ^ { 1}}} & { frac { partial varphi ^ {m}} { partial x ^ {2}}} & dots & { frac { partial varphi ^ {m}} { partial x ^ {n}}} end {bmatrix}}.}$

Внутренние определения метрики

Понятие метрики может быть определено внутренне, используя язык пучки волокон и векторные пакеты. В этих условиях метрический тензор это функция

${ displaystyle g: mathrm {T} M times _ {M} mathrm {T} M to mathbf {R}}$

(10)

от волокнистый продукт из касательный пучок из M с собой, чтобы р так что ограничение грамм каждому слою является невырожденное билинейное отображение

${ displaystyle g_ {p}: mathrm {T} _ {p} M times mathrm {T} _ {p} M to mathbf {R}.}$

Отображение (10) должен быть непрерывный, и часто непрерывно дифференцируемый, гладкий; плавный, или же настоящий аналитик, в зависимости от интересующего случая и от того, M может поддерживать такую ​​структуру.

Метрика как раздел пакета

Посредством универсальное свойство тензорного произведения, любое билинейное отображение (10) порождает естественно к раздел грамм_⊗ из двойной из пучок тензорных произведений из ТM с собой

${ displaystyle g _ { otimes} in Gamma left (( mathrm {T} M otimes mathrm {T} M) ^ {*} right).}$

Секция грамм_⊗ определяется на простых элементах ТM ⊗ ТM к

${ displaystyle g _ { otimes} (v otimes w) = g (v, w)}$

и определяется на произвольных элементах ТM ⊗ ТM путем линейного расширения до линейных комбинаций простых элементов. Исходная билинейная форма грамм симметричен тогда и только тогда, когда

${ displaystyle g _ { otimes} circ tau = g _ { otimes}}$

куда

${ displaystyle tau: mathrm {T} M otimes mathrm {T} M { stackrel { cong} { to}} TM otimes TM}$

это карта плетения.

С M конечномерна, существует естественный изоморфизм

${ displaystyle ( mathrm {T} M otimes mathrm {T} M) ^ {*} cong mathrm {T} ^ {*} M otimes mathrm {T} ^ {*} M,}$

так что грамм_⊗ рассматривается также как часть связки Т *M ⊗ Т *M из котангенсный пучок Т *M с собой. С грамм симметрично как билинейное отображение, то грамм_⊗ это симметричный тензор.

Метрика в векторном расслоении

В более общем смысле можно говорить о метрике в векторный набор. Если E - векторное расслоение над многообразием M, то метрика - это отображение

${ displaystyle g: E times _ {M} E to mathbf {R}}$

от волокнистый продукт из E к р которая является билинейной в каждом волокне:

${ displaystyle g_ {p}: E_ {p} times E_ {p} to mathbf {R}.}$

Используя двойственность, как указано выше, метрика часто идентифицируется с раздел из тензорное произведение связка E* ⊗ E*. (Видеть метрика (векторное расслоение).)

Изоморфизм тангенса – котангенса

Метрический тензор дает естественный изоморфизм от касательный пучок к котангенсный пучок, иногда называемый музыкальный изоморфизм.^[6] Этот изоморфизм получается, если для каждого касательного вектора Икс_п ∈ T_пM,

${ Displaystyle S_ {g} X_ {p} , { stackrel { text {def}} {=}} , g (X_ {p}, -),}$

то линейный функционал на Т_пM который посылает касательный вектор Y_п в п к грамм_п(Икс_п,Y_п). То есть с точки зрения спаривания [−, −] между Т_пM и это двойное пространство Т^∗
_пM,

${ displaystyle [S_ {g} X_ {p}, Y_ {p}] = g_ {p} (X_ {p}, Y_ {p})}$

для всех касательных векторов Икс_п и Y_п. Отображение S_грамм это линейное преобразование из Т_пM к Т^∗
_пM. Из определения невырожденности следует, что ядро из S_грамм сводится к нулю, и поэтому теорема ранга-недействительности, S_грамм это линейный изоморфизм. Более того, S_грамм это симметричное линейное преобразование в том смысле, что

${ displaystyle [S_ {g} X_ {p}, Y_ {p}] = [S_ {g} Y_ {p}, X_ {p}]}$

для всех касательных векторов Икс_п и Y_п.

Наоборот, любой линейный изоморфизм S : Т_пM → Т^∗
_пM определяет невырожденную билинейную форму на Т_пM посредством

${ displaystyle g_ {S} (X_ {p}, Y_ {p}) = [SX_ {p}, Y_ {p}] ,.}$

Эта билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда S симметрично. Таким образом, существует естественное взаимно однозначное соответствие между симметричными билинейными формами на Т_пM и симметричные линейные изоморфизмы Т_пM к двойному Т^∗
_пM.

В качестве п варьируется в зависимости от M, S_грамм определяет раздел пакета Hom (TM, Т *M) из изоморфизмы векторных расслоений касательного расслоения к кокасательному расслоению. Этот участок имеет такую ​​же гладкость, что и грамм: он непрерывный, дифференцируемый, гладкий или вещественно-аналитический в соответствии с грамм. Отображение S_грамм, которая сопоставляется каждому векторному полю на M ковекторное поле на M дает абстрактную формулировку «понижения индекса» на векторном поле. Обратное S_грамм это отображение Т *M → ТM что аналогичным образом дает абстрактную формулировку «повышения индекса» ковекторного поля.

Обратное S⁻¹
_грамм определяет линейное отображение

${ displaystyle S_ {g} ^ {- 1}: mathrm {T} ^ {*} M to mathrm {T} M}$

которое неособо и симметрично в том смысле, что

${ displaystyle left [S_ {g} ^ {- 1} alpha, beta right] = left [S_ {g} ^ {- 1} beta, alpha right]}$

для всех ковекторов α, β. Такое неособое симметричное отображение дает (по тензор-гом присоединение ) на карту

${ Displaystyle mathrm {T} ^ {*} M otimes mathrm {T} ^ {*} M to mathbf {R}}$

или двойной дуальный изоморфизм в сечение тензорного произведения

${ displaystyle mathrm {T} M otimes mathrm {T} M.}$

Длина дуги и линейный элемент

Предположим, что грамм является римановой метрикой на M. В локальной системе координат Икс^я, я = 1, 2, …, п, метрический тензор имеет вид матрица, обозначаемый здесь грамм, элементами которого являются компоненты грамм_ij метрического тензора относительно координатных векторных полей.

Позволять γ(т) быть кусочно-дифференцируемым параметрическая кривая в M, за а ≤ т ≤ б. В длина дуги кривой определяется

${ displaystyle L = int _ {a} ^ {b} { sqrt { sum _ {i, j = 1} ^ {n} g_ {ij} ( gamma (t)) left ({ frac {d} {dt}} x ^ {i} circ gamma (t) right) left ({ frac {d} {dt}} x ^ {j} circ gamma (t) right) }} , dt ,.}$

В связи с этим геометрическим приложением квадратичный дифференциальная форма

${ displaystyle ds ^ {2} = sum _ {i, j = 1} ^ {n} g_ {ij} (p) dx ^ {i} dx ^ {j}}$

называется первая фундаментальная форма связанный с метрикой, а ds это линейный элемент. Когда ds² является вытащил обратно к изображению кривой в M, он представляет собой квадрат дифференциала по отношению к длине дуги.

Для псевдоримановой метрики приведенная выше формула длины не всегда определяется, потому что член под квадратным корнем может стать отрицательным. Обычно мы определяем длину кривой только тогда, когда величина под квадратным корнем всегда одного знака или другого. В этом случае определите

${ displaystyle L = int _ {a} ^ {b} { sqrt { left | sum _ {i, j = 1} ^ {n} g_ {ij} ( gamma (t)) left ( { frac {d} {dt}} x ^ {i} circ gamma (t) right) left ({ frac {d} {dt}} x ^ {j} circ gamma (t) right) right |}} , dt ,.}$

Обратите внимание, что, хотя в этих формулах используются выражения координат, они фактически не зависят от выбранных координат; они зависят только от метрики и кривой, по которой интегрируется формула.

Энергия, вариационные принципы и геодезические

Для данного сегмента кривой другой часто определяемой величиной является (кинетическая) энергия кривой:

${ displaystyle E = { frac {1} {2}} int _ {a} ^ {b} sum _ {i, j = 1} ^ {n} g_ {ij} ( gamma (t)) left ({ frac {d} {dt}} x ^ {i} circ gamma (t) right) left ({ frac {d} {dt}} x ^ {j} circ gamma (t) right) , dt ,.}$

Это использование происходит от физика, в частности, классическая механика, где интеграл E видно, что они напрямую соответствуют кинетическая энергия точечной частицы, движущейся по поверхности многообразия. Так, например, в формулировке Якоби Принцип Мопертюи видно, что метрический тензор соответствует тензору масс движущейся частицы.

Во многих случаях, когда вычисление требует использования длины, может быть выполнено аналогичное вычисление с использованием энергии. Это часто приводит к более простым формулам, поскольку исключается необходимость в квадратном корне. Так, например, геодезические уравнения можно получить, применив вариационные принципы либо к длине, либо к энергии. В последнем случае видно, что уравнения геодезических возникают из принцип наименьшего действия: они описывают движение «свободной частицы» (частицы, не испытывающей сил), которая ограничена движением по многообразию, но в остальном движется свободно с постоянным импульсом внутри многообразия.^[7]

Каноническая мера и форма объема

Аналогично случаю поверхностей метрический тензор на п-мерное паракомпактное многообразие M дает естественный способ измерения п-размерный объем подмножеств многообразия. В результате естественный позитив Мера Бореля позволяет развить теорию интегрирования функций на многообразии с помощью связанных Интеграл Лебега.

Мера может быть определена Теорема Рисса о представлении, давая положительный линейный функционал Λ на пространстве C₀(M) из компактно поддерживается непрерывные функции на M. Точнее, если M является многообразием с (псевдо) римановым метрическим тензором грамм, то существует единственный положительный Мера Бореля μ_грамм такой, что для любого карта координат (U, φ),

${ displaystyle Lambda f = int _ {U} f , d mu _ {g} = int _ { varphi (U)} f circ varphi ^ {- 1} (x) { sqrt {| det g |}} , dx}$

для всех ж поддерживается в U. Здесь Det грамм это детерминант матрицы, образованной компонентами метрического тензора в координатной карте. Это Λ корректно определена на функциях с носителями в координатных окрестностях, обосновывается Якобиева замена переменных. Он продолжается до единственного положительного линейного функционала на C₀(M) с помощью разделение единства.

Если M кроме того ориентированный, то можно определить естественный объемная форма из метрического тензора. В положительно ориентированная система координат (Икс¹, ..., Икс^п) форма объема представлена ​​как

${ displaystyle omega = { sqrt {| det g |}} , dx ^ {1} wedge cdots wedge dx ^ {n}}$

где dx^я являются координатные дифференциалы и ∧ обозначает внешний продукт в алгебре дифференциальные формы. Форма объема также позволяет интегрировать функции на многообразии, и этот геометрический интеграл согласуется с интегралом, полученным с помощью канонической меры Бореля.

Примеры

Евклидова метрика

Самый известный пример - элементарный Евклидова геометрия: двумерный Евклидово метрический тензор. В обычном (Икс, у) координаты, мы можем написать

${ displaystyle g = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} ,.}$

Длина кривой сводится к формуле:

${ Displaystyle L = int _ {a} ^ {b} { sqrt {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2}}} ,.}$

Евклидова метрика в некоторых других распространенных системах координат может быть записана следующим образом.

Полярные координаты (р, θ):

${ Displaystyle { begin {align} x & = r cos theta y & = r sin theta J & = { begin {bmatrix} cos theta & -r sin theta sin theta & r cos theta end {bmatrix}} ,. end {align}}}$

Так

${ Displaystyle г = J ^ { mathsf {T}} J = { begin {bmatrix} cos ^ {2} theta + sin ^ {2} theta & -r sin theta cos theta + r sin theta cos theta - r cos theta sin theta + r cos theta sin theta & r ^ {2} sin ^ {2} theta + r ^ {2 } cos ^ {2} theta end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & r ^ {2} end {bmatrix}}}$

к тригонометрические тождества.

В общем, в Декартова система координат Икс^я на Евклидово пространство, частные производные ∂ / ∂Икс^я находятся ортонормированный относительно евклидовой метрики. Таким образом, метрический тензор - это Дельта Кронекера δ_ij в этой системе координат. Метрический тензор по произвольным (возможно, криволинейным) координатам q^я дан кем-то

${ displaystyle g_ {ij} = sum _ {kl} delta _ {kl} { frac { partial x ^ {k}} { partial q ^ {i}}} { frac { partial x ^ {l}} { partial q ^ {j}}} = sum _ {k} { frac { partial x ^ {k}} { partial q ^ {i}}} { frac { partial x ^ {k}} { partial q ^ {j}}}.}$

Круглая метрика на сфере

Единичная сфера в ℝ³ поставляется с естественной метрикой, индуцированной внешней евклидовой метрикой посредством процесса, описанного в индуцированная метрическая секция. В стандартных сферических координатах (θ, φ), с участием θ то холодность, угол, отсчитываемый от z-ось и φ угол от Икс-ось в ху-плоскость, метрика принимает вид

${ displaystyle g = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & sin ^ {2} theta end {bmatrix}} ,.}$

Обычно это записывается в виде

${ displaystyle ds ^ {2} = d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d varphi ^ {2} ,.}$

Лоренцевы метрики из теории относительности

В квартире Пространство Минковского (специальная теория относительности ), с координатами

${ displaystyle r ^ { mu} rightarrow left (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3} right) = (ct, x, y, z) ,,}$

метрика, в зависимости от выбора метрическая подпись,

${ displaystyle g = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 end {bmatrix}} quad { text {или}} quad g = { begin { bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} ,.}$

Для кривой с, например, постоянной координатой времени, формула длины с этой метрикой сводится к обычной формуле длины. Для подобный времени кривой, формула длины дает подходящее время по кривой.

В этом случае пространственно-временной интервал записывается как

${ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} = dr ^ { mu} dr _ { mu} = g _ { mu nu} dr ^ { mu} dr ^ { nu} ,.}$