Комплект кадров - Википедия - Frame bundle

В математика, а комплект кадров это основной пучок волокон F (E) связанный с любым векторный набор E. Слой F (E ) над точкой Икс это набор всех заказанные базы, или же кадры, за E_Икс. В общая линейная группа естественно действует на F (E ) через изменение основы, придающий расслоению фреймов структуру главной GL (k, р) -бандл (где k это ранг E ).

Комплект кадров гладкое многообразие это тот, который связан с его касательный пучок. По этой причине его иногда называют связка касательных рам.

Определение и конструкция

Позволять E → Икс быть настоящим векторный набор ранга k через топологическое пространство Икс. А Рамка в какой-то момент Икс ∈ Икс является заказная основа для векторного пространства E_Икс. Точно так же кадр можно рассматривать как линейный изоморфизм

{ displaystyle p: mathbf {R} ^ {k} to E_ {x}.}

Набор всех кадров на Икс, обозначенный F_Икс, имеет естественный правильное действие посредством общая линейная группа GL (k, р) обратимых k × k матрицы: элемент группы грамм ∈ GL (k, р) действует на раму п через сочинение дать новый каркас

{ displaystyle p circ g: mathbf {R} ^ {k} to E_ {x}.}

Это действие GL (k, р) на F_Икс оба свободный и переходный (Это следует из стандартного результата линейной алгебры, что существует единственное обратимое линейное преобразование, переводящее один базис на другой). Как топологическое пространство, F_Икс является гомеоморфный в GL (k, р), хотя в нем отсутствует групповая структура, так как нет «предпочтительного фрейма». Космос F_Икс называется GL (k, р)-торсор.

В комплект кадров из E, обозначаемый F (E) или F_GL(E), это несвязный союз из всех F_Икс:

{ displaystyle mathrm {F} (E) = coprod _ {x in X} F_ {x}.}

Каждая точка в F (E) - пара (Икс, п) куда Икс это точка в Икс и п это рамка на Икс. Существует естественная проекция π: F (E) → Икс который отправляет (Икс, п) к Икс. Группа GL (k, р) действует на F (E) справа, как указано выше. Это действие явно бесплатное, и орбиты суть просто слои π.

Связка кадров F (E) может иметь естественную топологию и структуру расслоения, определяемую структурой расслоения E. Позволять (U_я, φ_я) быть локальная тривиализация из E. Тогда для каждого Икс ∈ U_я имеется линейный изоморфизм φ_я,Икс : E_Икс → р^k. Эти данные определяют биекцию

{ displaystyle psi _ {i}: pi ^ {- 1} (U_ {i}) to U_ {i} times mathrm {GL} (k, mathbf {R})}

данный

{ displaystyle psi _ {i} (x, p) = (x, varphi _ {i, x} circ p).}

С этими биекциями каждое π⁻¹(U_я) можно задать топологию U_я × GL (k, р). Топология на F (E) это окончательная топология коиндуцированные отображениями включения π⁻¹(U_я) → F (E).

Со всеми вышеперечисленными данными пакет кадров F (E) становится основной пучок волокон над Икс с структурная группа GL (k, р) и локальные тривиализации ({U_я}, {ψ_я}). Можно проверить, что функции перехода выключенный(E) такие же, как у E.

Все вышесказанное работает и в категории сглаживания: если E является гладким векторным расслоением над гладкое многообразие M тогда связка кадров E можно задать структуру гладкого главного расслоения над M.

Связанные векторные пучки

Векторный набор E и его расслоение кадров F (E) находятся связанные пакеты. Одно определяет другое. Связка кадров F (E) можно построить из E как указано выше, или более абстрактно, используя Теорема построения расслоений. В последнем случае F (E) - расслоение с той же базой, структурной группой, тривиализирующими окрестностями и функциями перехода, что и E но с абстрактным волокном GL (k, р), где действие структурной группы GL (k, р) на слое GL (k, р) является умножением слева.

Учитывая любые линейное представление ρ: GL (k, р) → GL (V,F) существует векторное расслоение

{ Displaystyle mathrm {F} (E) times _ { rho} V}

связанный с F (E), который задается произведением F (E) × V по модулю отношение эквивалентности (pg, v) ~ (п, ρ (грамм)v) для всех грамм в GL (k, р). Обозначим классы эквивалентности через [п, v].

Векторное расслоение E является естественно изоморфный в расслоение F (E) ×_ρ р^k где ρ - фундаментальное представление GL (k, р) на р^k. Изоморфизм задается формулой

{ Displaystyle [p, v] mapsto p (v)}

куда v вектор в р^k и п : р^k → E_Икс это рамка на Икс. Легко проверить, что эта карта четко определенный.

Любой векторный пучок, связанный с E может быть дано приведенной выше конструкцией. Например, двойной комплект из E задается формулой F (E) ×_{р *} (р^k) * где ρ * - двойной фундаментального представления. Тензорные пучки из E можно построить аналогичным образом.

Связка касательных рам

В связка касательных рам (или просто комплект кадров) из гладкое многообразие M связка кадров, связанная с касательный пучок из M. Комплект кадров из M часто обозначается FM или GL (M), а не F (TM). Если M является п-мерно, то касательное расслоение имеет ранг п, поэтому комплект кадров M является главной GL (п, р) связать M.

Гладкие рамки

Местные разделы комплекта кадров M называются гладкие рамки на M. Теорема о сечении для главных расслоений утверждает, что расслоение реперов тривиально над любым открытым множеством в U в M который допускает гладкую рамку. Учитывая гладкую рамку s : U → FU, тривиализация ψ: FU → U × GL (п, р) дан кем-то

{ Displaystyle psi (p) = (х, s (x) ^ {- 1} circ p)}

куда п это рамка на Икс. Отсюда следует, что многообразие распараллеливаемый тогда и только тогда, когда связка кадров M допускает глобальный раздел.

Поскольку касательное расслоение M тривиализуема над координатными окрестностями M так это комплект кадров. Фактически, для любой координатной окрестности U с координатами (Икс¹,…,Икс^п) координатные векторные поля

{ displaystyle left ({ frac { partial} { partial x ^ {1}}}, ldots, { frac { partial} { partial x ^ {n}}} right)}

определить гладкую рамку на U. Одним из преимуществ работы со связками кадров является то, что они позволяют работать с кадрами, отличными от кадров координат; можно выбрать раму, адаптированную к поставленной задаче. Иногда это называют метод перемещения кадров.

Форма припоя

Расслоение реперов многообразия M является особым типом главного расслоения в том смысле, что его геометрия фундаментально связана с геометрией M. Эта связь может быть выражена с помощью векторная 1-форма на 'FM называется форма припоя (также известный как фундаментальный или же тавтологический 1-форма ). Позволять Икс быть точкой многообразия M и п кадр на Икс, так что

{ displaystyle p: mathbf {R} ^ {n} to T_ {x} M}

является линейным изоморфизмом р^п с касательным пространством M в Икс. Форма припоя FM это р^п-значная 1-форма θ, определяемая

{ Displaystyle theta _ {p} ( xi) = p ^ {- 1} mathrm {d} pi ( xi)}

где ξ - касательный вектор к FM в точке (Икс,п), и п⁻¹ : Т_ИксM → р^п - это обратное отображение фрейма, а dπ - дифференциал отображения проекции π: FM → M. Форма припоя горизонтальна в том смысле, что она обращается в нуль на векторах, касательных к слоям π и правая эквивариантная в том смысле, что

{ Displaystyle R_ {g} ^ {*} theta = g ^ {- 1} theta}

куда р_грамм правильный перевод грамм ∈ GL (п, р). Форма с этими свойствами называется базовой или тензорная форма на 'FM. Такие формы находятся в переписке 1-1 с TM-значные 1-формы на M которые, в свою очередь, находятся в соответствии 1-1 с гладкими связка карт TM → TM над M. В этом свете θ - это просто карта идентичности на TM.

В качестве соглашения об именах термин «тавтологическая одноформа» обычно зарезервирован для случая, когда форма имеет каноническое определение, как здесь, в то время как «припаянная форма» более подходит для тех случаев, когда форма не определена канонически. . Это соглашение здесь не соблюдается.

Пакет ортонормированных кадров

Если векторный пучок E оснащен Метрика риманова расслоения затем каждое волокно E_Икс это не только векторное пространство, но и внутреннее пространство продукта. Тогда можно говорить о наборе всех ортонормированные рамки за E_Икс. Ортонормированный каркас для E_Икс заказанный ортонормированный базис за E_Икс, или, что то же самое, линейная изометрия

{ displaystyle p: mathbf {R} ^ {k} to E_ {x}}

куда р^k укомплектован стандартным Евклидова метрика. В ортогональная группа O (k) действует свободно и транзитивно на множестве всех ортонормированных реперов через правую композицию. Другими словами, множество всех ортонормированных реперов является правым O (k)-торсор.

В пучок ортонормированных кадров из E, обозначается F_О(E), - множество всех ортонормированных реперов в каждой точке Икс в базовом пространстве Икс. Его можно построить методом, полностью аналогичным методу обычного пакета кадров. Расслоение ортонормированных реперов ранга k Риманово векторное расслоение E → Икс является главным O (k) -связать Икс. Опять же, конструкция работает так же хорошо в гладкой категории.

Если векторное расслоение E является ориентируемый тогда можно определить ориентированный ортонормированный пучок кадров из E, обозначается F_ТАК(E), как главный SO (k) -расслоение всех положительно ориентированных ортонормированных реперов.

Если M является п-размерный Риманово многообразие, то пучок ортонормированных реперов M, обозначается F_ОM или O (M), - ортонормированное расслоение реперов, связанное с касательным расслоением к M (который по определению снабжен римановой метрикой). Если M ориентируемо, то существует также ориентированное ортонормированное расслоение реперов F_ТАКM.

Для риманова векторного расслоения E, расслоение ортонормированных реперов является главным O (k)-подгруппа общего линейного расслоения реперов. Другими словами, карта включения

{ displaystyle i: { mathrm {F}} _ { mathrm {O}} (E) to { mathrm {F}} _ { mathrm {GL}} (E)}

является основным карта пакета. Один говорит, что F_О(E) это сокращение структурной группы выключенный_GL(E) из GL (k, р) тоже(k).

грамм-конструкции

Если гладкое многообразие M поставляется с дополнительной структурой, часто естественно рассматривать подгруппу полного кадра M адаптированный к данной структуре. Например, если M является римановым многообразием, как мы видели выше, что естественно рассматривать ортонормированное расслоение реперов M. Расслоение ортонормированных реперов - это просто редукция структурной группы F_GL(M) в ортогональную группу O (п).

В общем, если M гладкий п-многообразие и грамм это Подгруппа Ли GL (п, р) определим грамм-структура на M быть сокращение структурной группы выключенный_GL(M) к грамм. В явном виде это основной грамм-бандл F_грамм(M) над M вместе с грамм-эквивариантный карта пакета

{ Displaystyle { mathrm {F}} _ {G} (M) to { mathrm {F}} _ { mathrm {GL}} (M)}

над M.

На этом языке риманова метрика на M дает начало O (п) -структура на M. Ниже приведены некоторые другие примеры.

Каждый ориентированное многообразие имеет ориентированный пучок кадров, который является просто GL⁺(п, р) -структура на M.
А объемная форма на M определяет SL (п, р) -структура на M.
А 2п-размерный симплектическое многообразие имеет естественный Sp (2п, р)-структура.
А 2п-размерный сложный или же почти комплексное многообразие имеет естественную ГЛ (п, C)-структура.

Во многих из этих случаев грамм-структура на M однозначно определяет соответствующую структуру на M. Например, SL (п, р) -структура на M определяет форму объема на M. Однако в некоторых случаях, например, для симплектических и комплексных многообразий, дополнительный условие интегрируемости необходим. A Sp (2п, р) -структура на M однозначно определяет невырожденный 2-форма на M, но для M чтобы быть симплектической, эта 2-форма также должна быть закрыто.