Ортогональная группа - Orthogonal group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математика, то ортогональная группа в измерении п, обозначенный O (п), это группа из преобразования с сохранением расстояния из Евклидово пространство измерения п которые сохраняют неподвижную точку, где групповая операция задается составление трансформации. Ортогональную группу иногда называют общая ортогональная группа, по аналогии с общая линейная группа. Эквивалентно, это группа п×п ортогональные матрицы, где групповая операция задается формулой матричное умножение; ортогональная матрица - это настоящий матрица, чья обратный равно его транспонировать. Ортогональная группа - это алгебраическая группа и Группа Ли. это компактный.

Ортогональная группа в размерности п имеет два связанные компоненты. Тот, который содержит элемент идентичности подгруппа, называемая специальная ортогональная группа, и обозначил ТАК(п). Он состоит из всех ортогональных матриц детерминант 1. Эта группа также называется группа ротации, обобщая тот факт, что в размерностях 2 и 3 его элементы являются обычными вращения вокруг точки (в размере 2) или линии (в размере 3). В низком измерении эти группы были широко изучены, см. ТАК (2), ТАК (3) и ТАК (4). В другой компоненте связности все ортогональные матрицы имеют –1 как детерминант.

По сути, для любого поля F, а п×п матрица с записями в F такой, что его инверсия равна его транспонированию, называется ортогональная матрица над F. В п×п ортогональные матрицы образуют подгруппу, обозначаемую O (п, F), из общая линейная группа GL (п, F); это

${ displaystyle operatorname {O} (n, F) = left {Q in operatorname {GL} (n, F) mid Q ^ { mathsf {T}} Q = QQ ^ { mathsf { T}} = I right }.}$

В более общем смысле, учитывая невырожденный симметричная билинейная форма или квадратичная форма^[1] на векторное пространство через поле, то ортогональная группа вида группа обратимых линейные карты сохраняющие форму. Предыдущие ортогональные группы представляют собой частный случай, когда на некотором основании билинейная форма является скалярное произведение, или, что то же самое, квадратичная форма - это сумма квадратов координат.

Все ортогональные группы алгебраические группы, поскольку условие сохранения формы можно выразить как равенство матриц.

имя

Название «ортогональная группа» происходит от следующей характеристики ее элементов. Учитывая Евклидово векторное пространство E измерения п, элементы ортогональной группы O (п) находятся, вплоть до а равномерное масштабирование (гомотия ), линейные карты из E к E эта карта ортогональные векторы к ортогональным векторам.

В евклидовой геометрии

Ортогональная группа O (п) является подгруппой общая линейная группа GL (п, р), состоящий из всех эндоморфизмы которые сохраняют Евклидова норма, то есть эндоморфизмы г такой, что ${ Displaystyle | г (х) | = | х |.}$

Позволять E (п) быть группой Евклидовы изометрии из Евклидово пространство S измерения п. Эта группа не зависит от выбора конкретного пространства, поскольку все евклидовы пространства одной размерности являются изоморфный. В подгруппа стабилизатора точки Икс ∈ S - подгруппа элементов г ∈ E (п) такой, что г(Икс) = Икс. Этот стабилизатор (точнее, изоморфен) O (п), поскольку выбор точки в качестве начала индуцирует изоморфизм между евклидовым пространством и связанным с ним евклидовым векторным пространством.

Есть естественный групповой гомоморфизм п из E (п) к O (п), который определяется

${ Displaystyle п (г) CDOT (у-х) = г (у) -g (х),}$

где, как обычно, вычитание двух точек означает перевод вектор, который сопоставляет вторую точку с первой. Это хорошо определенный гомоморфизм, поскольку прямая проверка показывает, что, если две пары точек имеют одинаковую разницу, то же самое верно и для их изображений: г (подробнее см. Аффинное пространство § Вычитание и аксиомы Вейля ).

В ядро из п - векторное пространство переводов. Итак, перевод формы нормальная подгруппа из E (п), стабилизаторы двух точек равны сопрягать под действием сдвигов, и все стабилизаторы изоморфны O (п).

Более того, евклидова группа является полупрямой продукт из O (п) и группа переводов. Отсюда следует, что изучение евклидовой группы по существу сводится к изучению O (п).

ТАК(п)

Выбрав ортонормированный базис евклидова векторного пространства ортогональная группа может быть отождествлена ​​с группой (при матричном умножении) ортогональные матрицы, которые являются такими матрицами, что

${ displaystyle QQ ^ { mathsf {T}} = I.}$

Из этого уравнения следует, что квадрат детерминант из Q равно 1, и, следовательно, определитель Q либо 1 или –1. Ортогональные матрицы с определителем 1 образуют подгруппу, называемую специальная ортогональная группа, обозначенный ТАК(п), состоящий из всех прямые изометрии из O (п), которые сохраняют ориентация пространства.

ТАК(п) нормальная подгруппа O (п), как ядро детерминанта, который является гомоморфизмом групп, образ которого является мультипликативной группой {–1, +1}. Более того, ортогональная группа является полупрямой продукт из ТАК(п) и группа с двумя элементами, так как при любом отражение р, надо O (п) ТАК(п) = р ТАК(п).

Группа с двумя элементами {±я} (куда я - единичная матрица) - это нормальная подгруппа и даже характеристическая подгруппа из O (п), и если п четный, также ТАК(п). Если п странно, O (п) это внутренний прямой продукт из ТАК(п) и {±я}. Для каждого положительного целого числа k то циклическая группа C_k из k-кратные вращения нормальная подгруппа О (2) и ТАК (2).

Каноническая форма

Для любого элемента O (п) существует ортогональный базис, матрица которого имеет вид

${ displaystyle { begin {bmatrix} { begin {matrix} R_ {1} && & ddots & && R_ {k} end {matrix}} & 0 0 & { begin {matrix} pm 1 && & ddots & && pm 1 end {matrix}} end {bmatrix}},}$

где матрицы р₁, ..., р_k матрицы вращения 2 на 2, то есть матрицы вида

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b - b & a end {bmatrix}},}$

с ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = 1.}$

Это следует из спектральной теоремы перегруппировкой собственные значения которые комплексно сопряженный, и с учетом того, что все модули собственных значений ортогональной матрицы равны 1.

Элемент принадлежит ТАК(п) тогда и только тогда, когда есть четное число –1 по диагонали.

Частный случай п = 3 известен как Теорема Эйлера вращения, который утверждает, что каждый (неединичный) элемент ТАК (3) это вращение относительно однозначно определенной оси.

Размышления

Размышления элементы O (п) чья каноническая форма

${ displaystyle { begin {bmatrix} -1 & 0 0 & I end {bmatrix}},}$

где я это (п–1)×(п–1) единичная матрица, а нули обозначают нулевые матрицы строк или столбцов. Другими словами, отражение - это преобразование, преобразующее пространство в его зеркальное изображение по отношению к гиперплоскость.

Во втором измерении каждое вращение - результат двух отражений. Точнее поворот угла θ представляет собой произведение двух отражений, оси которых имеют угол θ / 2.

Каждый элемент O (п) является продуктом не более чем п размышления. Это немедленно следует из приведенной выше канонической формы и случая размерности два.

В Теорема Картана – Дьедонне является обобщением этого результата на ортогональную группу невырожденной квадратичной формы над полем характеристики, отличной от двух.

В отражение через начало координат (карта v ↦ −v) является примером элемента O (п) это не продукт менее чем п размышления.

Группа симметрии сфер

Ортогональная группа O (п) это группа симметрии из (п − 1)-сфера (для п = 3, это просто сфера ) и все объекты со сферической симметрией, если начало координат выбрано в центре.

В группа симметрии из круг является О (2). Подгруппа, сохраняющая ориентацию ТАК (2) изоморфна (как настоящий Группа Ли) к круговая группа, также известен как U (1), мультипликативная группа сложные числа абсолютной величины равной единице. Этот изоморфизм переводит комплексное число ехр (φ я) = cos (φ) + я грех (φ) из абсолютная величина  1 специальной ортогональной матрице

${ displaystyle { begin {bmatrix} cos ( varphi) & - sin ( varphi) sin ( varphi) & cos ( varphi) end {bmatrix}}.}$

В высшем измерении O (п) имеет более сложную структуру (в частности, перестала быть коммутативной). В топологический структуры п-сфера и O (п) сильно коррелированы, и эта корреляция широко используется для изучения обоих топологические пространства.

Структура группы

Группы O (п) и ТАК(п) настоящие компактный Группы Ли из измерение п(п − 1)/2. Группа O (п) имеет два связанные компоненты, с участием ТАК(п) будучи компонент идентичности, то есть связная компонента, содержащая единичная матрица.

Как алгебраические группы

Ортогональная группа O (п) можно отождествить с группой матриц А такой, что ${ displaystyle A ^ { mathsf {T}} A = I.}$ Поскольку оба члена этого уравнения равны симметричные матрицы, это обеспечивает ${ Displaystyle textstyle { гидроразрыва {п (п + 1)} {2}}}$ уравнения, которым должны удовлетворять элементы ортогональной матрицы, и которым не все удовлетворяют элементы любой неортогональной матрицы.

Это доказывает, что O (п) является алгебраический набор. Более того, можно доказать, что его размерность равна

${ displaystyle { frac {n (n-1)} {2}} = n ^ {2} - { frac {n (n + 1)} {2}},}$

откуда следует, что O (п) это полное пересечение. Это означает, что все его неприводимые компоненты имеют такое же измерение, и что у него нет встроенный компонент.По факту, O (п) имеет две неприводимые компоненты, которые различаются знаком определителя (то есть det (А) = 1 или det (А) = –1). Оба неособые алгебраические многообразия того же измерения п(п – 1) / 2. Компонент с det (А) = 1 является ТАК(п).

Максимальные торы и группы Вейля

А максимальный тор в компактном Группа Ли г является максимальной подгруппой среди тех, которые изоморфны Т^k для некоторых k, где Т = SO (2) - стандартный одномерный тор.^[2]

В O (2п) и ТАК (2п), для каждого максимального тора существует базис, на котором тор состоит из блочно-диагональные матрицы формы

${ displaystyle { begin {bmatrix} R_ {1} && 0 & ddots & 0 && R_ {n} end {bmatrix}},}$

где каждый р_j принадлежит ТАК (2). В O (2п + 1) и ТАК (2п + 1), максимальные торы имеют одинаковую форму, окаймленные строкой и столбцом нулей, и 1 на диагонали.

В Группа Вейля из ТАК (2п + 1) это полупрямой продукт ${ displaystyle { pm 1 } ^ {n} rtimes S_ {n}}$ нормального элементарный абелев 2-подгруппа и симметричная группа, где нетривиальный элемент каждого {±1} фактор {±1}^п действует на соответствующий круговой фактор Т × {1} от инверсия, а симметрическая группа S_п действует как на {±1}^п и Т × {1} путем перестановки факторов. Элементы группы Вейля представлены матрицами в O (2п) × {±1}. S_п Фактор представлен матрицами перестановки блоков с блоками 2 на 2 и конечной единицей на диагонали. В {±1}^п компонент представлен блочно-диагональными матрицами с блоками 2 на 2 либо

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} quad { text {или}} quad { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}},}$

с последним компонентом ±1 выбрано для определения 1.

Группа Вейля ТАК (2п) это подгруппа ${ Displaystyle H_ {n-1} rtimes S_ {n} < { pm 1 } ^ {n} rtimes S_ {n}}$ из этого ТАК (2п + 1), где ЧАС_п−1 < {±1}^п это ядро гомоморфизма произведения {±1}^п → {±1} предоставлено ${ displaystyle left ( epsilon _ {1}, ldots, epsilon _ {n} right) mapsto epsilon _ {1} cdots epsilon _ {n}}$; это, ЧАС_п−1 < {±1}^п - подгруппа с четным числом знаков минус. Группа Вейля ТАК (2п) представлен в ТАК (2п) по прообразам при стандартном впрыске ТАК (2п) → SO (2п + 1) представителей группы Вейля ТАК (2п + 1). Те матрицы с нечетным числом ${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}}}$ у блоков нет оставшихся финальных −1 координаты, чтобы сделать их детерминанты положительными, и, следовательно, не могут быть представлены в ТАК (2п).

Топология

Эта секция может быть сбивает с толку или неясно читателям. В частности, не определено большинство обозначений; нет контекста для объяснения, почему эти соображения относятся к статье. Более того, раздел, по сути, состоит из списка расширенных результатов без предоставления информации, необходимой неспециалисту для их проверки (без ссылок, без ссылок на статьи об используемых методах вычислений, без набросков доказательств. Пожалуйста, помоги нам прояснить раздел. Возможно обсуждение этого вопроса на страница обсуждения. (Ноябрь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Эта секция может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к Сделайте это понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Ноябрь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

.

Низкоразмерная топология

Низкоразмерные (действительные) ортогональные группы знакомы пробелы:

• О (1) = S⁰, а два точка дискретное пространство
• SO (1) = {1}
• ТАК (2) является S¹
• ТАК (3) является рп^{3 [3]}
• ТАК (4) является дважды покрытый к SU (2) × SU (2) = S³ × S³.

Фундаментальная группа

С точки зрения алгебраическая топология, за п > 2 то фундаментальная группа из ТАК(п, р) является циклический порядка 2,^[4] и вращательная группа Вращение(п) это его универсальный чехол. За п = 2 фундаментальная группа бесконечный циклический а универсальная крышка соответствует реальная линия (группа Отжим (2) единственное связное 2-кратная крышка ).

Гомотопические группы

Как правило, гомотопические группы π_k(О) действительной ортогональной группы связаны с гомотопические группы сфер, и, как правило, их трудно вычислить. Однако можно вычислить гомотопические группы стабильной ортогональной группы (также известной как бесконечная ортогональная группа), определяемой как прямой предел последовательности включений:

${ displaystyle operatorname {O} (0) subset operatorname {O} (1) subset operatorname {O} (2) subset cdots subset O = bigcup _ {k = 0} ^ { infty} operatorname {O} (k)}$

Поскольку все включения замкнуты, следовательно, кофибрации, это также можно интерпретировать как союз. С другой стороны, S^п это однородное пространство за O (п + 1), и один имеет следующие пучок волокон:

${ displaystyle operatorname {O} (n) to operatorname {O} (n + 1) to S ^ {n},}$

что можно понимать как "Ортогональная группа O (п + 1) действует переходно на единичной сфере S^п, а стабилизатор точки (мыслится как единичный вектор ) - ортогональная группа перпендикулярное дополнение, которая является ортогональной группой на размерность ниже. Таким образом, естественное включение O (п) → O (п + 1) является (п − 1)-связанный, поэтому гомотопические группы стабилизируются, и π_k(O (п + 1)) = π_k(O (п)) за п > k + 1: таким образом, гомотопические группы стабильного пространства равны нижним гомотопическим группам неустойчивых пространств.

Из Периодичность Ботта мы получаем Ω⁸О ≅ О, поэтому гомотопические группы О 8-кратно периодичны, что означает π_{k + 8}(О) = π_k(О), и нужно лишь перечислить 8 нижних гомотопических групп:

${ displaystyle { begin {align} pi _ {0} (O) & = mathbf {Z} / 2 mathbf {Z} pi _ {1} (O) & = mathbf {Z} / 2 mathbf {Z} pi _ {2} (O) & = 0 pi _ {3} (O) & = mathbf {Z} pi _ {4} (O) & = 0 pi _ {5} (O) & = 0 pi _ {6} (O) & = 0 pi _ {7} (O) & = mathbf {Z} конец {выровнен}}}$

Отношение к KO-теории

Через сжимающая конструкция, гомотопические группы стабильного пространства О отождествляются со стабильными векторными расслоениями на сферах (с точностью до изоморфизма ) со сдвигом размерности 1: π_k(О) = π_{k + 1}(BO). Настройка КО = BO × Z = Ω⁻¹О × Z (сделать π₀ укладываются в периодичность), получаем:

${ displaystyle { begin {align} pi _ {0} (KO) & = mathbf {Z} pi _ {1} (KO) & = mathbf {Z} / 2 mathbf {Z} pi _ {2} (KO) & = mathbf {Z} / 2 mathbf {Z} pi _ {3} (KO) & = 0 pi _ {4} (KO) & = mathbf {Z} pi _ {5} (KO) & = 0 pi _ {6} (KO) & = 0 pi _ {7} (KO) & = 0 конец {выровнен}}}$

Вычисление и интерпретация гомотопических групп

Низкоразмерные группы

Первые несколько гомотопических групп могут быть вычислены с использованием конкретных описаний низкоразмерных групп.

• π₀(О) = π₀(O (1)) = Z/2Z, от ориентация -сохраняющий / реверсивный (этот класс выживает до О (2) а значит стабильно)
• π₁(О) = π₁(SO (3)) = Z/2Z, который вращение происходит от SO (3) = рп³ = S³/(Z/2Z).
• π₂(О) = π₂(SO (3)) = 0, который выходит на π₂(ТАК (4)); последний, таким образом, исчезает.

Группы Ли

Из общих фактов о Группы Ли, π₂(г) всегда исчезает, и π₃(г) бесплатно (свободный абелевский ).

Векторные пучки

С точки зрения векторного расслоения π₀(KO) это векторные расслоения над S⁰, что составляет две точки. Таким образом, по каждой точке расслоение тривиально, а нетривиальность расслоения - это разница между размерностями векторных пространств над двумя точками, поэтому π₀(KO) = Z является измерение.

Пространства петель

Использование конкретных описаний пространств петель в Периодичность Ботта, можно интерпретировать высшие гомотопии О в терминах более простых для анализа гомотопий более низкого порядка. Используя π₀, О и О/ U состоит из двух компонентов, KO = BO × Z и KSp = BSp × Z имеют счетно много компоненты, а остальные подключены.

Интерпретация гомотопических групп

В двух словах:^[5]

• π₀(KO) = Z около измерение
• π₁(KO) = Z/2Z около ориентация
• π₂(KO) = Z/2Z около вращение
• π₄(KO) = Z около топологическая квантовая теория поля.

Позволять р быть любым из четырех алгебры с делением р, C, ЧАС, О, и разреши L_р быть пучок тавтологических линий над проективная линия рп¹, и [L_р] свой класс в K-теории. Отмечая, что рп¹ = S¹, Cп¹ = S², ЧАСп¹ = S⁴, Оп¹ = S⁸, они дают векторные расслоения над соответствующими сферами, и

• π₁(KO) генерируется [L_р]
• π₂(KO) генерируется [L_C]
• π₄(KO) генерируется [L_ЧАС]
• π₈(KO) генерируется [L_О]

С точки зрения симплектическая геометрия, π₀(KO) ≅ π₈(KO) = Z можно интерпретировать как Индекс Маслова, считая его основной группой π₁(U / O) конюшни Лагранжев грассманиан так как U / O ≅ Ом⁷(KO), так π₁(U / O) = π₁₊₇(KO).

Башня Уайтхед

Ортогональная группа закрепляет a Башня Уайтхед:

${ displaystyle ldots rightarrow operatorname {Fivebrane} (n) rightarrow operatorname {String} (n) rightarrow operatorname {Spin} (n) rightarrow operatorname {SO} (n) rightarrow operatorname { На)}$

которое получается последовательным удалением (уничтожением) гомотопических групп возрастающего порядка. Это делается путем построения короткие точные последовательности начиная с Пространство Эйленберга – Маклейна для удаления гомотопической группы. Первые несколько входов в башню - это вращательная группа и группа строк, и им предшествует группа Fivebrane. Убитые гомотопические группы в свою очередь π₀(О) чтобы получить ТАК из О, π₁(О) чтобы получить Вращение из ТАК, π₃(О) чтобы получить Строка из Вращение, а потом π₇(О) и так далее для получения более высокого порядка браны.

Неопределенной квадратичной формы над действительными

По реальным числам, невырожденные квадратичные формы классифицируются по Закон инерции Сильвестра, которая утверждает, что на векторном пространстве размерности п, такую ​​форму можно записать как разность суммы п квадраты и сумма q квадраты, с п + q = п. Другими словами, существует базис, на котором матрица квадратичной формы является диагональная матрица, с участием п записи равные 1, и q записи равные –1. Пара (п, q) называется инерция, является инвариантом квадратичной формы в том смысле, что он не зависит от способа вычисления диагональной матрицы.

Ортогональная группа квадратичной формы зависит только от инерции, и поэтому обычно обозначается O (п, q). Более того, поскольку квадратичная форма и ее противоположность имеют одну и ту же ортогональную группу, мы имеем O (п, q) = O (q, п).

Стандартная ортогональная группа O (п) = O (п, 0) = O (0, п). Итак, в оставшейся части этого раздела предполагается, что ни п ни q равно нулю.

Подгруппа матриц определителя 1 в O (п, q) обозначается ТАК(п, q). Группа O (п, q) имеет четыре компонента связности, в зависимости от того, сохраняет ли элемент ориентацию на любом из двух максимальных подпространств, где квадратичная форма положительно определена или отрицательно определена. Компонента тождества, элементы которой сохраняют ориентацию на обоих подпространствах, обозначается ТАК⁺(п, q).

Группа О (3, 1) это Группа Лоренца это фундаментально в теория относительности. Здесь 3 соответствует пространственным координатам, а 1 соответствует времени.

Сложных квадратичных форм

Над полем C из сложные числа, каждая невырожденная квадратичная форма представляет собой сумму квадратов. Это означает, что если q является квадратичной формой над векторным пространством V измерения п, есть базы V на котором матрица q - единичная матрица, а значение q на векторе v ∈ V это сумма квадратов составляющих v.

Таким образом, существует только одна ортогональная группа для каждого измерения над комплексами, которая обычно обозначается O (п, C). Его можно отождествить с группой комплексные ортогональные матрицы, то есть комплексные матрицы, произведение которых с их транспонированием является единичной матрицей.

Так же, как и в реальном случае, O (п, C) имеет две компоненты связности. Компонент тождества состоит из всех матриц O (п, C) с 1 как их определитель, и обозначается ТАК(п, C).

O (п, C) и ТАК(п, C) комплексные группы Ли размерности п(п − 1)/2 над C (размер больше р вдвое больше). За п ≥ 2 эти группы некомпактны, как и в реальном случае ТАК(п, C) не просто связано. За п > 2 то фундаментальная группа из ТАК(п, C) является циклический порядка 2 тогда как основная группа SO (2, C) является бесконечный циклический.

Над конечными полями

Характеристика отличается от двух

Над полем характеристики, отличной от двух, два квадратичные формы находятся эквивалент если их матрицы конгруэнтный, то есть если при смене базиса матрица первой формы преобразуется в матрицу второй формы. Две эквивалентные квадратичные формы явно имеют одну и ту же ортогональную группу.

Невырожденные квадратичные формы над конечным полем характеристики, отличной от двух, полностью классифицируются на классы конгруэнции, и из этой классификации следует, что существует только одна ортогональная группа в нечетной размерности и две в четной размерности.

Точнее, Теорема Витта о разложении утверждает, что (в характеристике, отличной от двух) каждое векторное пространство, снабженное невырожденной квадратичной формой Q можно разложить в прямую сумму попарно ортогональных подпространств

${ Displaystyle V = L_ {1} oplus L_ {2} oplus cdots oplus L_ {m} oplus W,}$

где каждый L_я это гиперболическая плоскость (то есть существует такой базис, что матрица ограничения Q к L_я имеет форму ${ displaystyle textstyle { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}}}$), а ограничение Q к W является анизотропный (это, Q(ш) ≠ 0 для каждого ненулевого ш в W).

Теорема Шевалле – Предупреждение утверждает, что более конечное поле размер W не больше двух.

Если размер V нечетно, размерность W таким образом, равна единице, и его матрица конгруэнтна либо ${ displaystyle textstyle { begin {bmatrix} 1 end {bmatrix}}}$ или чтобы ${ displaystyle textstyle { begin {bmatrix} varphi end {bmatrix}},}$ где φ является неквадратным скаляром. Это приводит к тому, что существует только одна ортогональная группа, которая обозначается O (2п + 1, q), где q - количество элементов конечного поля (степень нечетного простого числа).^[6]

Если размер W два и –1 не является квадратом в основном поле (то есть, если его количество элементов q сравнима с 3 по модулю 4), матрица ограничения Q к W конгруэнтно либо я или –я, где я - единичная матрица 2 × 2. Если размер W два и –1 квадрат в основном поле (т. е. если q сравнима с 1 по модулю 4) матрица ограничения Q к W конгруэнтно ${ displaystyle textstyle { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & phi end {bmatrix}},}$ φ - любой неквадратный скаляр.

Это означает, что если размерность V четно, есть только две ортогональные группы, в зависимости от того, размерность W ноль или два. Они обозначаются соответственно О⁺(2п, q) и О⁻(2п, q).^[6]

Ортогональная группа О^ϵ(2, q) это группа диэдра порядка 2(q − ϵ), где ϵ = ±.

Когда характеристика не равна двум, порядок ортогональных групп равен^[7]

${ displaystyle left | operatorname {O} (2n + 1, q) right | = 2q ^ {n ^ {2}} prod _ {i = 1} ^ {n} left (q ^ {2i } -1 вправо),}$

${ displaystyle left | OperatorName {O} ^ {+} (2n, q) right | = 2q ^ {n (n-1)} left (q ^ {n} -1 right) prod _ {i = 1} ^ {n-1} left (q ^ {2i} -1 right),}$

${ displaystyle left | OperatorName {O} ^ {-} (2n, q) right | = 2q ^ {n (n-1)} left (q ^ {n} +1 right) prod _ {i = 1} ^ {n-1} left (q ^ {2i} -1 right).}$

Для характеристики два формулы те же, за исключением того, что множитель 2 из ${ displaystyle left | OperatorName {O} (2n + 1, q) right |}$ необходимо удалить.

Инвариант Диксона

Для ортогональных групп Инвариант Диксона является гомоморфизмом ортогональной группы в фактор-группу Z/2Z (целые по модулю 2), принимая значение 0 в случае, если элемент является произведением четного числа отражений, и значение 1 в противном случае.^[8]

Алгебраически инвариант Диксона можно определить как D(ж) = ранг (я − ж) по модулю 2, где я это тождество (Тейлор 1992, Теорема 11.43). Над полями, не относящимися к характеристика 2 он эквивалентен определителю: определитель равен −1 в степени инварианта Диксона. В полях характеристики 2 определитель всегда равен 1, поэтому инвариант Диксона дает больше информации, чем определитель.

Специальная ортогональная группа - это ядро инварианта Диксона^[8] и обычно имеет индекс 2 в O (п, F ).^[9] Когда характеристика F не 2, инвариант Диксона равен 0 всякий раз, когда определитель 1. Таким образом, когда характеристика не равна 2, ТАК(п, F ) обычно определяется как элементы O (п, F ) с определителем 1. Каждый элемент в O (п, F ) имеет определитель ±1. Таким образом, в характеристике 2 определитель всегда 1.

Инвариант Диксона также можно определить для Группы Клиффорда и Группы контактов аналогичным образом (во всех измерениях).

Ортогональные группы характеристики 2

Ортогональные группы над полями характеристики 2 часто демонстрируют особое поведение, некоторые из которых перечислены в этом разделе. (Ранее эти группы были известны как гипоабелевы группы, но этот термин больше не используется.)

• Любая ортогональная группа над любым полем порождается отражениями, за исключением уникального примера, когда векторное пространство является 4-мерным над полем с двумя элементами и Индекс Витта равно 2.^[10] Отражение в характеристике два имеет несколько иное определение. Во второй характеристике отражение, ортогональное вектору ты берет вектор v к v + B(v, ты) / Q (ты) · ты где B это билинейная форма^{[требуется разъяснение ]} и Q - квадратичная форма, связанная с ортогональной геометрией. Сравните это с Отражение домохозяина нечетной характеристики или нулевой характеристики, которая принимает v к v − 2·B(v, ты) / Q (ты) · ты.
• В центр ортогональной группы обычно имеет порядок 1 в характеристике 2, а не 2, так как я = −я.
• В нечетных размерах 2п + 1 в характеристике 2 ортогональные группы над идеальные поля такие же, как симплектические группы в измерении 2п. Фактически симметричная форма чередуется в характеристике 2, и, поскольку размерность нечетная, она должна иметь ядро ​​размерности 1, а фактор по этому ядру является симплектическим пространством размерности 2п, на которую действует ортогональная группа.
• В четных размерностях характеристики 2 ортогональная группа является подгруппой симплектической группы, поскольку симметричная билинейная форма квадратичной формы также является альтернированной формой.

Спинорная норма

В спинорная норма является гомоморфизмом ортогональной группы над полем F к факторгруппа F^×/(F^×)² (в мультипликативная группа поля F вплоть до умножение на квадрат элементов), который отражается в векторе нормы п к образу п в F^×/(F^×)².^[11]

Для обычной ортогональной группы над вещественными числами это тривиально, но часто нетривиально над другими полями или для ортогональной группы квадратичной формы над вещественными числами, которая не является положительно определенной.

Когомологии Галуа и ортогональные группы

В теории Когомологии Галуа из алгебраические группы, представлены некоторые другие точки зрения. Они имеют объяснительную ценность, в частности, в отношении теории квадратичных форм; но были по большей части постфактумв том, что касается открытия явлений. Во-первых, квадратичные формы над полем можно идентифицировать как Галуа ЧАС¹, или скрученные формы (торсоры ) ортогональной группы. Как алгебраическая группа, ортогональная группа, вообще говоря, не является ни связной, ни односвязной; последний момент привносит спиновые явления, а первый связан с дискриминант.

«Спиновое» название спинорной нормы можно объяснить связью с вращательная группа (точнее группа контактов ). Теперь это можно быстро объяснить с помощью когомологий Галуа (которые, однако, появились позже, чем введение этого термина, более прямым использованием Алгебры Клиффорда ). Спиновое покрытие ортогональной группы дает короткая точная последовательность из алгебраические группы.

${ displaystyle 1 rightarrow mu _ {2} rightarrow mathrm {Pin} _ {V} rightarrow mathrm {O_ {V}} rightarrow 1}$

Здесь μ₂ это алгебраическая группа квадратных корней из 1; над полем характеристики, отличной от 2, она примерно такая же, как двухэлементная группа с тривиальным действием Галуа. В связывающий гомоморфизм из ЧАС⁰(O_V), которая представляет собой просто группу О_V(F) из F-значные баллы, чтобы ЧАС¹(μ₂) по существу спинорная норма, потому что ЧАС¹(μ₂) изоморфна мультипликативной группе поля по модулю квадратов.

Также существует связывающий гомоморфизм из ЧАС¹ ортогональной группы к ЧАС² ядра спинового покрытия. Когомологии неабелевы, так что это все, что мы можем, по крайней мере, с общепринятыми определениями.

Алгебра Ли

В Алгебра Ли соответствующие группам Ли O (п, F ) и ТАК(п, F ) состоит из кососимметричный п × п матрицы, со скобкой Ли [ , ] предоставленный коммутатор. Обеим группам соответствует одна алгебра Ли. Часто обозначается как ${ Displaystyle { mathfrak {o}} (п, F)}$ или ${ displaystyle { mathfrak {so}} (п, F)}$, и назвал ортогональная алгебра Ли или специальная ортогональная алгебра Ли. Над действительными числами эти алгебры Ли для разных п являются компактные реальные формы двух из четырех семей полупростые алгебры Ли: в нечетном измерении B_k, где п = 2k + 1, а в четном измерении D_р, где п = 2р.

Поскольку группа ТАК(п) не является односвязным, теория представлений ортогональных алгебр Ли включает оба представления, соответствующие обычный представления ортогональных групп и представления, соответствующие проективный представления ортогональных групп. (Проективные представления ТАК(п) являются просто линейными представлениями универсального покрытия, вращательная группа Вращение(п). Последние представляют собой так называемые представление вращения, которые важны в физике.

В более общем смысле, учитывая векторное пространство ${ displaystyle V}$ (над полем характеристики, отличной от 2) с невырожденной симметричной билинейной формой ${ Displaystyle ( cdot, cdot)}$специальная ортогональная алгебра Ли состоит из бесследных эндоморфизмов ${ displaystyle phi}$ которые являются кососимметричными для этой формы (${ Displaystyle ( фи А, В) + (А, фи В) = 0}$). Вместо поля характеристики 2 мы рассматриваем знакопеременные эндоморфизмы. Конкретно мы можем приравнять их к чередующимся тензорам ${ displaystyle Lambda ^ {2} V}$. Соответствие выдается:

${ Displaystyle v клин w mapsto (v, cdot) w- (w, cdot) v}$

Это описание в равной мере применимо к неопределенным специальным ортогональным алгебрам Ли ${ displaystyle { mathfrak {so}} (p, q)}$ для симметричных билинейных форм с сигнатурой ${ displaystyle (p, q)}$.

По действительным числам эта характеристика используется при интерпретации завиток векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малое вращение или "завиток", отсюда и название.

Связанные группы

Ортогональные группы и специальные ортогональные группы имеют ряд важных подгрупп, супергрупп, фактор-групп и покрывающих групп. Они перечислены ниже.

Включения O (п) ⊂ U (п) ⊂ USp (2п) и USp (п) ⊂ U (п) ⊂ O (2п) являются частью последовательности из 8 включений, используемых в геометрическое доказательство теоремы периодичности Ботта, а соответствующие факторпространства - симметричные пространства самостоятельного интереса - например, U (п) / O (п) это Лагранжев грассманиан.

Подгруппы Ли

В физике, особенно в области Калуца ​​– Кляйн компактификации, важно выяснить подгруппы ортогональной группы. Основные из них:

${ Displaystyle mathrm {O} (п) supset mathrm {O} (п-1)}$ - сохранить ось

${ Displaystyle mathrm {O} (2n) supset mathrm {U} (n) supset mathrm {SU} (n)}$ – U (п) те, которые сохраняют совместимую сложную структуру или совместимая симплектическая структура - см. 2-из-3 собственности; SU (п) также сохраняет сложную ориентацию.

${ Displaystyle mathrm {O} (2n) supset mathrm {USp} (n)}$

${ Displaystyle mathrm {O} (7) supset mathrm {G} _ {2}}$

Супергруппы Ли

Ортогональная группа O (п) также является важной подгруппой различных групп Ли:

${ Displaystyle { begin {align} mathrm {U} (n) supset mathrm {SU} (n) & supset mathrm {O} (n) mathrm {USp} (2n) & supset mathrm {O} (n) mathrm {G} _ {2} & supset mathrm {O} (3) mathrm {F} _ {4} & supset mathrm {O} (9) mathrm {E} _ {6} & supset mathrm {O} (10) mathrm {E} _ {7} & supset mathrm {O} (12) mathrm {E} _ {8} & supset mathrm {O} (16) конец {выровнено}}}$

Конформная группа

Быть изометрии, действительные ортогональные преобразования сохраняют углы, и поэтому конформные карты, хотя не все конформные линейные преобразования ортогональны. В классическом понимании это разница между соответствие и сходство, на примере SSS (сторона-сторона-сторона) конгруэнтность треугольников и AAA (угол-угол-угол) подобие треугольников. Группа конформных линейных отображений р^п обозначается CO (п) для конформно ортогональная группа, и состоит из произведения ортогональной группы на группу расширение. Если п нечетно, эти две подгруппы не пересекаются, и они прямой продукт: CO (2k + 1) = O (2k + 1) × р^∗, где р^∗ = р∖{0} настоящий мультипликативная группа, а если п четно, эти подгруппы пересекаются по ±1, так что это не прямое произведение, а прямое произведение с подгруппой растяжения положительным скаляром: CO (2k) = O (2k) × р⁺.

Аналогично можно определить ОГО (п); обратите внимание, что это всегда: ОГО (п) = CO (п) ∩ GL⁺(п) = SO (п) × р⁺.

Дискретные подгруппы

Поскольку ортогональная группа компактна, дискретные подгруппы эквивалентны конечным подгруппам.^{[примечание 1]} Эти подгруппы известны как точечные группы и могут быть реализованы как группы симметрии многогранники. Очень важный класс примеров - это конечные группы Кокстера, включающие группы симметрии правильные многогранники.

Размер 3 особенно изучен - см. группы точек в трех измерениях, многогранные группы, и список групп сферической симметрии. В двух измерениях конечные группы либо циклические, либо диэдральные - см. группы точек в двух измерениях.

Другие конечные подгруппы включают:

• Матрицы перестановок (в Группа Кокстера А_п)
• Матрицы перестановок со знаком (в Группа Кокстера B_п); также равно пересечению ортогональной группы с целочисленные матрицы.^{[заметка 2]}

Покрывающие и факторгруппы

Ортогональная группа не является ни односвязный ни бесцентровый, и, таким образом, имеет группа покрытия и факторгруппа соответственно:

• Два покрытия Группы контактов, Штырь₊(п) → O (п) и Штырь₋(п) → O (п),
• Частное проективная ортогональная группа, O (п) → PO (п).

Это все обложки 2 к 1.

Для специальной ортогональной группы соответствующие группы:

• Спиновая группа, Вращение(п) → SO (п),
• Проективная специальная ортогональная группа, ТАК(п) → PSO (п).

Вращение - это покрытие 2 к 1, а в четном измерении PSO (2k) является покрытием 2 к 1, а в нечетном измерении PSO (2k + 1) покрытие 1: 1; т.е. изоморфен ТАК (2k + 1). Эти группы, Вращение(п), ТАК(п), и PSO (п) являются групповыми формами Ли компактного специальная ортогональная алгебра Ли, ${ Displaystyle { mathfrak {так}} (п, mathbb {R})}$ - Спин - это односвязная форма, PSO - бесцентровая форма, а SO вообще ни то, ни другое.^{[заметка 3]}

В размерности 3 и выше это покрытия и частные, в то время как размер 2 и ниже несколько вырожден; см. подробности в конкретных статьях.

Главное однородное пространство: многообразие Штифеля

В главное однородное пространство для ортогональной группы O (п) это Коллектор Штифеля V_п(р^п) из ортонормированные базы (ортонормированный п-рамки ).

Другими словами, пространство ортонормированных базисов похоже на ортогональную группу, но без выбора базовой точки: для ортогонального пространства нет естественного выбора ортонормированного базиса, но как только он задан, существует взаимно однозначный выбор. -один соответствие между базисами и ортогональной группой. Конкретно, линейное отображение определяется тем, куда оно отправляет базис: так же, как обратимое отображение может принимать любой базис в любой другой базис, ортогональное отображение может принимать любое ортогональный основание для любого другого ортогональный основание.

Другие многообразия Штифеля V_k(р^п) за k < п из неполный ортонормированные базисы (ортонормированные k-кадры) остаются однородными пространствами для ортогональной группы, но не главный однородные пространства: любые k-рамку можно взять любую другую k-кадр по ортогональной карте, но эта карта не определяется однозначно.

Смотрите также

Конкретные преобразования

• Координатные вращения и отражения
• Отражение через происхождение

Конкретные группы

• группа вращения, ТАК (3, р)
• ТАК (8)

Связанные группы

• неопределенная ортогональная группа
• унитарная группа
• симплектическая группа

Списки групп

• список конечных простых групп
• список простых групп Ли

Теория представлений

• Алгебра Брауэра

Примечания

Цитаты

использованная литература

внешняя ссылка

• «Ортогональная группа», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Джон Баэз «Находки по математической физике на этой неделе» неделя 105
• Джон Баэз о Octonions
• (на итальянском) n-мерная параметризация специальной ортогональной группы